đa tạp và tính chất tôpô của đa tạp trong không gian euclide

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn tìm hiểu về khái niệm đa tạp trong không gian Euclide n R , các tính chất tôpô của đa tạp và giải một số ví dụ điển hình.. Các vấn đề liền quan như: Tham s

GIAN EUCLIDE

Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Toán

Giáo viên hướng dẫn:

PGS.TS Lâm Quốc Anh

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Khánh Duy

Lớp: Sp Toán K37 MSSV: 1110016

MỤC LỤC

A- PHẦN MỞ ĐẦU………4

B- PHẦN NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức cơ sở……….….…7

1.2.Không gian tôpô ……… ………… 7

1.3 Không gian HAUDORFF……… ……… 8

1.4 Ánh xạ liên tục, đồng phôi……… ……… 9

Chương II: ĐA TẠP TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE 2.1 Đa tạp khả vi……… ……… 10

2.2 Tham số hóa được nhúng……… ….18

2.3 Đường cong……… ………18

2.4 Mặt cong……… ……….21

2.5 Bản đồ và tập bản đồ……….…… 22

2.6 Một số ví dụ……… ………24

Chương III: ÁNH XẠ TRƠN 3.1 Ánh xạ trơn trong không gian Euclide……….….32

3.2 Đa tạp trừu tượng……… …33

3.3 Ánh xạ trơn giữa các Đa tạp trừu tượng……… ………….34

3.4 Nhóm Lie……… ………37

Chương IV: KHÔNG GIAN TIÊP XÚC 4.1 Định nghĩa……… ……… 40

4.2.Không gian tiếp xúc của Đa tạp trong n R ……… ……… 40

4.3.Không gian tiếp xác trừu tượng……… … ….41

4.4 Phân thớ tiếp xúc……… 43

4.5 Trường vector………44

4.6 Sự định hướng……… ………44

4.7 Ánh xạ tiếp xúc……… 48

4.8 Đa tạp con trong k R ……….………49

4.9 Đa tạp con trừu tượng ……….……….49

C- PHẦN KẾT LUẬN ……….……….50 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 51

LỜI CẢM ƠN



Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học là niềm vinh hạnh đối với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn tận tình của Thầy Lâm Quốc Anh Sau một thời gian nổ lực làm việc cuối cùng em cũng đã hoàn thành luận văn

Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là Thầy Lâm Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài luận văn này Và em cũng xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi những khuyết điểm Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn

Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả mọi người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để

em thực hiện luận văn cuối khóa

Sinh viên thực hiện

cổ điển….Nhờ sự gợi ý của Thầy Lâm Quốc Anh nên em đã chọn đề tài “ Đa tạp và tính chất tôpô của đa tạp trong không gian Euclide”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận văn tìm hiểu về khái niệm đa tạp trong không gian Euclide n

R , các tính

chất tôpô của đa tạp và giải một số ví dụ điển hình Ngoài ra còn giúp em có cơ hội củng cố lại kiến thức về Hình học, Đại số, đặc biệt là kiến thức tôpô và giúp em làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thảnh luận văn là phân tích, tổng hợp, so sánh Tìm kiếm các tài liệu về Giải tích trên ta đạp Sau đó phân tích trình bày rõ ràng hợp lý các vấn đề

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Luận văn gồm các phần sau:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về không gian tôpô để làm nên cho các chương sau

Chương II: Đa tạp trong không gian Euclide

Chương này trình bày khái niệm và định lý về đa tạp Các vấn đề liền quan như: Tham số hóa được nhúng, Đường cong, Mặt cong, Bản đồ và tập bản đồ Đưa

ra các dạng bài tập và hướng dẫn cụ thể

Chương III: Ánh xạ trơn

Chương này trình bày khái niệm về ánh xạ trơn, Đa tạp trừu tượng Ứng dụng của ánh xạ trơn đối với đa tạp Giới thiệu sơ lược về nhóm đại số Lie

Chương IV: Không gian tiếp xúc

Chương này trình bày về khái niệm của không gian tiếp xúc của đa tạp trong không gian Euclide cũng như đa tạp trừu tượng Giới thiệu về phân thớ tiếp xúc, trường vector, sự định hướng và đa tạp con

3) Với x y z, , X d x: ( , z)d x y( , )d y( , z) (tiên đề tam giác)

Hàm d được gọi là mêtric trên X Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách của hai điểm x và y

1.1.2 Định nghĩa Giả sử M là một tập hợp con của không gian mêtric (X,d) Khi

đó d M d M M. là một mêtric trên tập hợp M Không gian mêtric ( , M d M) được gọi là

không gian con của không gian mêtric (X,d) ta gọi d Mlà mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên M.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian mêtric x0X và r là một số

dương Tập hợp S x r 0, xX d x x( , 0)rđược gọi là hình cầu mở tâm x bán 0

1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.2.1 Định nghĩa Một không gian tôpô là một tập không rỗng X được trong bị

một họ các tập con, được gọi là tập mở, với những tính chất sau:

1) Tập Ø và X đều là tập mở

2) Giao của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở

3) Hợp của một họ tùy ý (hữu hạn hay vô hạn) các tập mở là tập mở

1.2.2 Định nghĩa Lân cận của một điểm xX là một tập con U  X với tính chất

là nó chứa một tập mở chứa x Phần trong của một tập A, kí hiệu là 

A , là tập tất cả các điểm xA sao cho A là lân cận của x

Nghĩa là, hợp của tất cả các tập con mở của A, phần trong của A là chính nó vì

nó là mở

1.2.3 Định nghĩa Cho tập con AX Nó được gọi là đóng nếu phần bù A c của

nó là mở trong X Bao đóng của A, kí hiệu là A , là tập tất cả các điểm xX sao cho mỗi lân cận chứa những điểm từ A (hay mỗi lân cận đều có giao với A khác rỗng)

và biên của A là tập A A \ , mà nó chứa tất cả các điểm có tính chất là mỗi lân cận của mỗi điểm đều có giao với A và A c

1.2.4 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô và f :X Y là một ánh

xạ Khi đó, f được gọi là liên tục tại xX nếu với mỗi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho f(U)V , và f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi xX

1.2.5 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô, AX và BY Ánh xạ

B

A

f :  là song ánh và có ánh xạ ngược liên tục được gọi là một phép đồng phôi

1.2.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, và A là một tập con của X Khi

đó họ A GA G  là một tôpô trên A , gọi là tôpô cảm sinh bởi  trên A Không gian A với tôpô cảm sinh A gọi là không gian con của không gian tôpô X.

1.3 KHÔNG GIAN HAUSDORFF

1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff nếu hai

điểm x,y khác nhau bất kỳ của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V

Tính chất

Giả sử A là một tập con mở tùy ý của không gian Hausdorff Khi đó A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff

1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, ĐỒNG PHÔI

1.4.1 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y và ánh xạ f X :  Y, khi đó:

1) Ánh xạ f liên tục tại điểm xX nếu mọi lân cận mở V của f x ( ) trong Y luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho f U ( )  V

2) Ánh xạ f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Tính chất

1) Cho f là ánh xạ từ không gian tôpôX vào không gian tôpô Y Khi đó f liên tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng (hoặc mở) trong X

2) Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục

3) Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập compact (hoặc liên thông)

Mệnh đề

Cho không gian tôpô X thỏa

1

n i i



 với X là những tập con đóng của X i

và các ánh xạ liên tục f i:X i0 Y i( 1, )n sao cho với mọi ,i j1, ,n X iX j  

Hai tôpô X và Y được gọi là đồng phôi (X Y) nếu tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng

Quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương

Chứng minh

(0)

M g Ta thấy 1

h là ánh xạ ngược của h được xách định và đóng

vai trò là hàm h trong điều kiện ( M ) Khi đó:

 U là tập mở trong Rnnên h U ( )là tập mở trong n

R chứa x

Dễ thấy rằng ma trận này có hạng bằng 2 với mọi xS.

Bổ đề 2.1.1 Các không gian D n,S ,n R n đồng phôi với nhau, trong đó

v v

1

11

n

D

u u u

u u

1 2 1

1 2

1( )

1

11

n

R

v v v

v v

M N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích MN

là không gian Hausdorff

Xét điểm ( , ) x y tùy ý thuôc MN

Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U x của điểm x (thuộc M) đồng

Xét điểm x00, ,0,1S n, ta có n

S là một lân cận mở của x Theo bổ đề 0

trên, Sn D n

x  S , khi đó tồn tại một phép quay tâm O là Q sao cho 0 Q x0( )x0

Hiển nhiên Q là phép đồng phôi từ 0 S n lên chính nó Suy ra điểm x có một lân cận

là lân cận mở của x đồng phôi vói n

D nằm trong A Suy ra Alà n-đa tạp

2 f '(y) có hạng k với mọi y W

Khi đó f được gọi là hệ tọa độ trong lân cận của x

Chứng minh

Xét ánh xạ khả vi :h U V thỏa điều kiện  M tức là

Vì I là ma trận đơn vị cấp k nên f y '( ) có hạng là k với mọi y W 

2.1.2 Định nghĩa Tập H k xR k :x k 0 được gọi là nửa không gian của .

k

R Tập M  Rk được gọi là một đa tạp k -chiều có biên nếu với mỗi điểm xM

điều kiện ( M ) hoặc điều kiện ( M ') sau đây được nghiệm đúng

( M ') Tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở V  Rn và một vi phôi

:

h U V sao cho:

2) Biên của A, FrA là một đa tạp n 1-chiều;

3) Tập hợp N AFrA là một đa tạp n -chiều có biên

Ta cũng có khẳng định tương tự cho một tập con mở của đa tạp n -chiều

Vậy A là một đa tạp n -chiều

2) Với mỗi xFrA tồn tại U mở chứa x

Theo chứng minh trên U là một đa tạp n -chiều nên tồn tại V mở, V  n

Bây giờ ta chứng minh iii như sau: Vì xN nên xA hoặc xFrA

Nếu xA thì x thỏa điều kiện M

Nếu xFrA thì x thỏa điều kiện M'

Vì AFrA   (do A mở) nên tại mỗi điểm xN không thể đồng thời thỏa mãn cả

hai điều kiện Mvà M' Vậy N AFrA là một đa tạp n -chiều có biên

Tương tự trong trường hợp B là tập con mở của đa tạp A n -chiều trong Rn

Vì B A nên FrB AA

Nếu xB suy ra xA do đó x thỏa điều kiện M

Nếu xFrB , nếu xA thì x thỏa điều kiện M, nếu xA thì x thỏa điều kiện

M'

Ta thấy rằng tại mỗi điểm xBFrB không thể đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện

Mvà M' Vậy BFrB là một đa tạp n -chiều có biên.

Định lý 2.1.6

Đối với mỗi điểm x của đa tạp k -chiều n

M  R tồn tại một tâp mở A  Rn và một ánh xạ g : A  Rn k sao cho:

(0)

AM g

2) g'xcó hạng n k tại khắp các điểm mà gx0

2.2 THAM SỐ HÓA ĐƯỢC NHÚNG

2.2.1 Định nghĩa Một đa tạp tham số hóa chính quy  : U  Rn mà nó là một phép đồng phôi U (U) được gọi là tham số hóa được nhúng

Đặc biệt, định nghĩa này dùng cho đường cong và mặt cong, vì thế chúng ta có thể nói về đường cong tham số hóa được nhúng và mặt cong tham số hóa được nhúng

Bổ sung tính trơn và chính quy, vì thế điều kiện trên  là đơn ánh và ánh xạ ngược (x ) x là liên tục(U)U Vì điều kiện liên tục là quan trọng cho phần sau nên chúng ta sẽ xét tỉ mỉ về nó

2.2.2 Định nghĩa ChoA  Rn Một tậpBA được gọi là mở tương đối nếu nó

có dạng B AW với một vài tập mở W  Rn

2.3 ĐƯỜNG CONG

Chúng ta bắt đầu với định nghĩa của đường cong trong R Ý tưởng đó là một

tập con của 2

R là một đường cong nếu trong lân cận của mỗi điểm của nó thì nó là

ảnh của một đường cong tham số hóa được nhúng

Để đơn giản chúng ta giả sử rằng p(x0,y0) với x 0 >0

Đặt W R2là nửa mặt phẳng bên phải  x y x, 0 Khi đó, W là lân cận mở của

p, và đường cong tham số hóa (t)(cost,sint), với 

(I)CW

Bổ đề 2.3.1 Cho C là một tập không rỗng Khi đó, C là một đường cong nếu và chỉ

nếu nó thỏa mãn điều kiện sau với mỗi pC

Tồn tại lân cận mở W R2của p sao cho CW là đồ thị của hàm trơn h, trong

đó một trong hai biến x 1 , x 2 được xét như hàm của biến còn lại

Chứng minh:

Giả sử rằng C là một đường cong và lấy pC Đặt 2

: I R

  là một tham số hóa được nhúng và( )t0  p Trong trường hợp đặc biệt m=1, chúng ta thấy rằng tồn tại một lân cận V của t 0 trong I sao cho V cho phép một sự tham số hóa như là đồ thị

Suy ra rằng tồn tại một tập mở W'R2 sao cho :

( )V ( )I W' C W W'

Tập WW' có tất cả các tính chất mong muốn của W trong bổ đề

Ngược lại, giả sử rằng điều kiện trong bổ đề được thỏa mãn, với điểm p cho trước

trong R

Chứng minh

Theo tính liên tục của các đạo hàm riêng, thì tập các điểm không tới hạn trong

 là tập con mở Nếu chúng ta thay thế  bởi tập này thì tập C có thể được biểu

diễn như tập mức pQ f p( )c, chúng ta có thể áp dụng định lí hàm ẩn cho nó

Khi đó, từ bổ đề suy ra rằng C là đường cong

Chúng ta tiến hành cách làm tương tự như cho đường cong

2.4.1 Định nghĩa Một mặt cong trong R là một tập không rỗng 3 S  R3thỏa

mãn điều kiện sau với mỗi pS

Tồn tại một lân cận mở W  R3 của p, một mặt cong tham số hóa được nhúng

Ví dụ Ảnh S (I) của một mặt cong tham số hóa được nhúng là một mặt cong trong R Chúng ta có thể lấy3 W  R3

Định lí 2.4.1

Cho f :   Rlà một hàm trơn, trong đó 3

R

  là mở và cR Nếu không rỗng thì tập S p f p( )v , p không là điểm tới hạn,là mặt cong trong

nó là một mặt cong

Bổ đề 2.4.1 Cho S là một tập không rỗng Khi đó, S là một mặt cong nếu và chỉ nếu

nó thỏa mãn điều kiện sau với mỗi pS

Tồn tại lân cận mở W  R3của p sao cho S W là đồ thị của hàm trơn h, trong

đó một trong ba biến x1, x2, x3 được xét như hàm của hai biến còn lại

S   U Trong trường hợp này

họ bản đồ được gọi là tập bản đồ của S

Ví dụ Ánh xạ ( , )u v (cos ,sin , ),v v u u v, R là chính quy và phủ mặt trụ

S  x y z x y  nhưng nó không là đơn ánh

Đặt U1( , )u v    v ,U2 ( , ) 0u v  v 2

Và đặt i là hạn chế của  lên U i với i = 1,2 Khi đó, 1và2đều là đơn ánh, 1

phủ S ngoại trừ đường thẳng x = -1, và 2phủ S ngoại trừ đường thẳng x = 1 Hợp chúng lại bao phủ toàn bộ S và vì thế chúng tạo thành một tập bản đồ

Là bản đồ trên mặt cầu đơn vị Sự hạn chế trên u và v đảm bảo rằng chúng là chính

quy và đơn ánh Bản đồ  phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong mặt

phẳng xz, với x0, và bản đồ ~ phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong

mặt phẳng xy, với x 0(một nửa đường xích đạo) Xem hình bên dưới hai đường tròn bị loại trừ là rời nhau Vì vậy hai bản đồ cùng nhau phủ mặt cầu và chúng tạo thành một tập bản đồ

Định lí 2.5.1

Cho S là một mặt cong Khi đó, tồn tại tập bản đồ của nó

Chứng minh

Với mỗi pS chúng ta chọn một mặt cong tham số hóa được nhúng .Vì

phép đồng phôi là đơn ánh nên tham số hóa này là bản đồ trên S Hợp của tất cả các

Chứng minh tương tự ta được với i,j bất kỳ mà Ui  Uj  thì  Ui, i và  Uj, j

là phù hợp Do đó S2 với họ bản đồ   Ui, i i  1,2,3,4,5,6  là đa tạp khả vi

Bài 2: Trong R3 ta định nghĩa: T =    3 2 2 

Giả sửA x y z  1, ,1 1  , B x y z2, 2, 2  U1, sao cho 1  A  1  B

 y z1, 1  y z2, 2

  Khi đó  x y z1, ,1 1   x y z2, 2, 2 vìx  1  y2 Suy ra A = B Vậy là 1đơn ánh



là liên tục vì các hàm thành phần toạ độ liên tục

Vậy  U1, 1là bản đồ Hoàn toàn tương tự ta có   Ui, i i  1,2,3,4 là các bản đồ trên T

Bây giờ ta chứng minh với i,j bất kỳ mà Ui  Uj  thì  Ui, i và  Uj, j là phù hợp Chẳng hạn, ta chứng minh U1, 1 và  U2, 2 là phù hợp

Chứng minh tương tự ta được với i,j bất kỳ mà Ui  Uj  thì  Ui, i và  Uj, j

là phù hợp Do đó T với họ bản đồ   Ui, i i  1,2,3,4  là đa tạp khả vi

Bài 3: Trong R2 ta định nghĩa: S1 =    2 2 2 