Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

Phưoìig pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide...14... Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến trong k

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tở lòng biết ơn chân thành tới T.s Khuất Văn Ninh,

người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầyKhuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cún và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, thảng 6 năm 2013 Học viên

Nguyễn ngọc BìnhTôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cún của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.s Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđượccông bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên

Nguyễn ngọc Bình

MỤC LỤC

Mở đầu 1

1 Môt số kiến thức chuẩn bi 3

• • 1.1 Không gian Banach 3

1.1.1 Không gian định chuẩn 3

1.1.2 Không gian Banach 3

1.2 Nguyên lý ánh xạ co 4

1.3 Phương pháp xấp xỉ liến tiếp 5

1.4.Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert và phương trình toán tử 10

1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu 10

1.4.2 Toán tủ’ d - đon điệu 10

1.4.3 Toán tử đơn điệu đều 11

1.4.4 Toán tủ’ đơn điệu mạnh 11

1.4.5 Toán tử coercive 11

1.4.6 Phương trình toán tử 12

1.5.Một số khái niệm liên tục 12

1.5.1 Toán tử đêmi liên tục 12

1.5.2 Toán tô hê mi liên tục 12

1.5.3 Toán tử rađian liên tục 13

1.5.4 Toán tủ’ liên tục Lipschitz 13

1.5.5 Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn 13

2 Phưoìig pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 14

2.1.Phương pháp thác triển theo tham số 14

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm 14

2.1.2 ước lượng tốc độ hội tụ 18

2.2 Phương pháp thác tri en theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính trong M" 21

2.2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.19) sử dụng phương pháp thác triển theo tham số 23

2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo tham số 23

2.2.3 Ví dụ 27

2.3 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến trong không gian IR" 31

2.3.1 Định nghĩa 31

2.3.2 Định lý tồn tại của phương trình nghiệm (2.33) 32

2.3.3 Ví dụ 33

3 ứng dụng phần mềm Toán học vào giải bài toán hệ phưong trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclỉde 39

3.1 Giải hệ phương trình tuyên tính băng phân mêm Tõán học 39

3.1.1 Ví dụ 1 39

3.2 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phần mềm toán học 47

3.2.1 Ví dụ 1 47

3.2.2 Ví dụ 2 52

Mỏ Đầu

1 Lý do chon đề tài

Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực mạnh

mẽ Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tủ' theo quan điểm xấp xỉ

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong phú đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụngrộng rãi

Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn bước theo tham số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co Phương pháp thác triển tham số úng dụng nhiều để giải các phương trình toán tử phi tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong nhũng úng của phương pháp này

Bởi vậy tôi đã chọn đề tài:

“Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide”.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tủ’ phi tuyến nhiều biến trong không gianEuclide

3 Nhiệm vụ nghiên cún

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Phương pháp thác triển theo tham số

- ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán tửphi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cún

Nghiên cún ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống nhũng vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập

6 Đóng góp mới của luận văn

- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triến theo tham số

- Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy tính điện tử

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức Hàm

thực p trên Xgọi là một chuẩn trên Xnếu:

/) /?(*)>0 \/ XG X; P ( X ) = 0<^>X = 0.

iĩ) /?(Ẳx) = |>l|jơ(jt) V/l E K VxeX.

ỉiỉ) p(x + y)<p(x) +p{y)

Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định

1.1.2 Không gian Banach

Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi chuẩn

được gọi là không gian Banach

Xét không gian /2 =|x = (x1,x2, ,x/, )lx/ eM,V/ eN*,y]xy|2 <+oo|.

Với X = (), y = (y.) e /2, \ỉk e M, ta định nghĩa:

cùng với chuấn đó là một không gian Banach

1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.2.1

Cho hai không gian metric Mị =(X,d ] ),M 2 =(Y,d 2 ) Ánh xạ A: M, —» M 2

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 < 6 < 1 sao cho: d 2 (A(x),A(y)^<ỡdị(x,ỵ), Vx,y

G X .

Định lý 1.2.1

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M =(x,d ) vào chính nó đều

có điểm bất động X duy nhất, nghĩa ìầ X eX thỏa mãn hệ thức Ax =x.

Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ A: X —» X thỏa mãn điều kiện :

d (Ax, Aỵ) < ỡd (x, ỵ) với hằng số 0 < 1 và Vx, ỵ eX

Khi đó tồn tạo duy nhất phần tử X* sao cho X* = Ax*, hơn nữa với mọi

x ữ eX thì dãy Ị* Ị xác định bởi x k+] =Ax hĩ VkeN là hội tụ đều ,đồng

thời ta có ước lượng:

Giả sử toán tư phi tuyến A tác động trong X, nghĩa là A(x) G X với XG X

Ta nói rằng toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:

Trong đó a=const > 0

Neu giả thiết thêm rằng a<l thì ta nói rằng toán tử A là toán tử co trong X

Định lí 1.3.1

Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tủ’ co Khi đó phương

trình (1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp

đơn

n = 1,2,

trong đó X*là nghiệm của phương trình (1.1)

Chủng minh Trước hết ta chứng minh rằng dãy {x } là dãy cơ bản từ đó

suy ra sự hội tụ của nó

Ta có

Ik+I - N H*») - A{ - x »~' )|| -a k - X«-1 II’

k+i-*Jpa Fi-*0

Từ đó

k+* MP Ihu ~ x n*k-íII+IKu-1 “Vt-2||+—+I-Vi

<(a"+*-' +a"+*'2 + + a")||x, -x0||

a"

1 Fi-*o

1-a

Từ đó suy ra dãy {xn} là dãy cơ bản vì a < 1

Ta chứng minh rằng giới hạn X* của dãy {*„} là nghiệm của phương

trình (1.1) Rõ ràng là

II* - y\\ = ||^w - ^(y)|| ^ «Ik - y\\ ■

Từ đó ta có lim A(x n _ x ) = A(x).

n—>oc

Điều này có nghĩa là X* là nghiệm của phương trình (1.1)

Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất Kí hiệu X, y

là nghiệm của phương trình (1.1)

Giả sử toán tủ’ A tác động trong s(x 0 , r) và toán tò co trong hình cầu đó Khi

đó phương trình (1.1) có một nghiệm duy nhất trong s, nghiệm đó là giói hạn của

dãy (1.2) Tốc độ hội tụ được xác lập bởi công thức (1.3) hoặc (1.4) Định lí 1.3.3

Giả sử A là toán tử co trong s(-Ỉ0, r ) và

\\A(x 0 )-x 0 \\<ạ-a)r.

Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng

Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tủ’ tác động trong s

Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một lũy thừa

nào đó A k của toán tử A là một toán tử co trong X Khi đó phương

Khi đó A*[A(jc*)] = A[A*(jt*)] = A(jc*),

Nghĩa là /4(x*)là điểm bất động của toán tử Ak Do đó tính chất duy nhất

của điểm bất động của toán tử Ak, ta suy ra

Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F ( x , ỵ ) tác động từ X x X vào

X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

Như vậy A(x) là toán tử co Cho nên từ định lí 1.3.2 suy ra phươngtrình (1.6) có nghiệm duy nhất.

Định lí được chứng minh

1.4 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert và phưoìig trình toán tử

1.4.1 Khái nỉệm toán tử đơn điệu

Giả sử X là không gian định chuấn thực, X* ỉà không gian liên hợp của

X Toán tử Ấ: D(/4)<= X -»X* được gọi là toán tử đơn điệu trên D( Á )

nếu:

(1.7)

Trong đó (A,x) = A^x)(Gỉả trị của phiếm hàm A tạỉx).

Nếu Vxj€ỡ(x) ta có (a(x) - A(y),x- Ỷ) > 0 thì toán tử A được gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt).

Ví dụ 1.4.1 Cho không gian Hilbert H Khi đó ta có H* =H, xét toán tử Ta có

(A(x)-A(y),x-y} = (A(x)-A(y),x-y)

LÚC đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi

(A(x)-A(;y),.x- y)>0, Vx,yeH.

1.4.2 Toán tử d-đon điệu

Cho không gian định chuắn X, toán tử A:X —> X* gọi là d-đơn điệu nếu:

(Au - A V , U - v) >(a(||w||) —a(||v||))(||w|| —||v||).

Với a là hàm sổ tăng thật sự trên [0,+oo).

* Nhận xét:

Theo định nghĩa ta có :

1.4.3 Toán tử đơn điệu đều

Cho không gian định chuan X, toán tử A: X —> X* gọi là đơn điệu đều nếu :

(1.9) 1.4.4 Toán tử đơn điệu mạnh

Cho không gian định chuân X, toán tử A: X —» X* gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hang số m > 0 sao cho:

iv) Neu toán tủ' A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử

đơn điệu nghiêm ngặt

1.4.5 Toán tử coercive

Toán tử A :X —»X* (X là không gian định chuẩn) gọi là toán tử

coercive (toán tử bức) nếu tồn tại xác định trên [0;+oo) sao cho:

Cho X là không gian Banach và toán tử A: X —» X Xét phương

Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2

1.5 Một số khái niệm liên tục

1.5.1 Toán tử đêmi liên tục

Giả sử X,Y là hai không gian định chuẩn và ánh

xạ A:X —»y.

Ảnh xạ A được gọi ỉà đêmỉ liên tục tại i0eD(A)cX nếu với mọi dãy {x^l c=

D mà ||jcn — JC0II —> 0 khi n —»00thì hội tụ yếu về G(x0)

1.5.2 Toán tử hêmi liên tục

Giả sử X , Y là hai không gian định chuân và ảnh

xạ A:X —>Y.

Ảnh xạ A được gọi là hêmi liên tục tại x() E Dị^À) d X nếu A(x0 +Df) —» A(x0) khỉ t —y0.

1.5.3 Toán tử rađian liên tục

Cho không gian định chuấn X, toán tử A: X —» X* gọi ỉà rađian liền tục nếu V«,ve X thì hàm số <p(s) = i^Aịu + sv), liên tục trên [0,1]

1.5.4 Toán tử liên tục Lipschitz

Giả sử X là không gian định chuân, X* là không gian liên hợp của X Toán tử A: X —> X* được gọi là liên tục Lipschitz nếu 3L = const >0sao cho

(1.12)

1.5.5 Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn

Giả sử X là không gian định chuân, X* là không gian liên hợp của

X Toán tử A: X —» X* được gọi là liên tục Lipschỉtz bị chặn nếu tồn tại hàm số ỊẤ đơn điệu tăng trên [0,+oo) sao cho Vw,v E X :

II Au - AvII < JLỈ (R), R = max(||w||,||v||).

Chưong 2

hai vói toán tử đon điệu và liên tục Lipschitz

2.1 Phương pháp thác triển theo tham số

Neu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thìcó thể chỉ rađược £0 > 0 sao cho £qL < 1 bằng cách cố định mộtsố tự nhiên N sao cho

N>L và đăt sn = —

0 N Khi đó phương trình X + £ {) Ax = f xác định một toán tử co £ 0 A Thật

vậy

\ / X ị , x 2 e X :II^qAxị — £ ,

0 Ax 2 Ị| = £o||A x i “ Ax 2 II Do A thỏamãn điều kiên Lipschitz nên

^oIỊAXị - Ax 2 || < £ 0 L ị x ị — x 2 ị AXj -^ 0 Ax 2 ||<£- 0 L||x, - X 2 \ \

Mà 0 < S 0 L < 1 suy ra £ 0 A là toán tử co.

Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là x(£)và giả sử x(s 0 ) tìm được.

Như vậy ta đã trượt một bước £ 0 theo tham biến £ từ phần tử x(0) = / theo hướng đến phần tử x(l) = u

Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến £ sẽ đến nghiệm của

phương trình (2.2) sau một số hữu hạn bước

Xét phương trình loại hai:

Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho trước

Giả thiết A(0)=0 Định lý 2.1.1

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong khong gian Banach X là liên tục Lipschitz và đơn điệu Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý

f e x

Chứng minh

Giả sử ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L

Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N>L và đặt £ n = —

N

Ta viết phương trình (2.3) dưới dạng sau:

y = X + £ Q A X = Fjx

z = y + ^0AF_,};Ee/7

2>’

C ử = u + £ 0 A F ~ ] F 2 ' \ F ~ \ _ 2 u = F n _ ] u Hay x + Ax = x +

£ ữ Ax+£ ữ Ax+ + £ Q AiX = f Thực hiện N-l phép

thay biến: y = x + £ 0 Ax = F,x z = y + s ữ AF-'y =

Vì vậy toán tử F~' và F 2 xác định tại tất cả các điểm của không gian X

Toán tử F~ ] thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L=1 vì:

X,tl=ịAI |(y„) + /,n = 0,l,2 (2.9)Mỗi lần muốn tìm F,"1(y/I) ta cần giải phương trình

Ta có thế hiếu cách viết (2.11) như sau

Ta lấy xấp xỉ không J0 = X và dựng quá trình lặp

*™+i= 2 Ax™ 2A*+f’ x°=*’ m=0’1’2’- Giả sử dãy này hội tụ đến phần

2.1.2 Ước lượng tốc độ hội tụ

Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách tự nhiên làtrong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng

n phép lặp Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1) thỏa mãn điều kiện A(0) = 0

Định lý 2.1.2

Giả sử ánh xạ A tác động trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ{x(n,N)Ị, N>L, n=l,2, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng X của phương trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng

Vì toán tử £ 0 A là toán tử co vói hệ số co q = € Q L = — < 1, nên phương

trình trên với phần tô tùy ý f gX có nghiệm duy nhất x(s Q ) = X* Giá trị xấp

xỉ của phần tử dễ dàng thu được nhờ quá trình lặp thông thường x „ = ~ s 0Ax*-ỉ +

ánh xạ co khi giải phương trình này ta thực hiện thay biến (2.4)

Sau đó phương trình trên sẽ có dạng

y + sAV;'y = f

Như đã chứng minh, trong phương trình này toán tử £ Q AF\ 1 là toán tử co do đónhờ nguyên lỹ ánh xạ co phương trình (2.13) có nghiệm y Giá trị xấp xỉ của phần tử

y thu được nhờ quá trình lặp

Với sai số ju(n) Vì toán tử e ữ A co với hệ số co q = s ữ L<\ nên sai số ju(n) cho đối số của toán tử s ữ A tương đương với sai số qju(n) cho vế phải của phương trình

y + s 0 AF i "'y = f.

Vì ánh xạ F 2 ~' liên tục Lipschitz với hàng số L=l, nên mang sai số qju(n) vào

vế phải của phương trình y + £0AF,-1 y = / sẽ gây ra trong nghiệm tương ứng sai số

không quá qụịrỉ).

Sai số ju(n) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình y + £0AFj_1;y

= /, đối với nghiệm xấp xỉ yn, ta sẽ thu được

Lý luận tương tự với bài toán k:

X + ksAx = / , /■ e [1,7V] ta thu được ước lượng

lk-x(ks ữ )\\ = A k (n)<ổ k (n) + S l (n), (2.15)

ổịin) <q[ổ i _ Ị (rì) + + ổ ] (n)'ị + ju(n), \<ỉ <k (2.16)Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng Viết bất đẳng thức (2.16) dưới dạng khác

s k < jUexp[q(k — l)], k =2,3,4, , (2.17)