lec9 vtp1 20 21 tichphanxacdinh

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHLEC 9... BÀI TOÁN DIỆN TÍCH... BÀI TOÁN DIỆN TÍCH... TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH• Ví dụ... TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH• Chú ý.. Nếu fx khả tích trên đoạn [a;b] thì giới hạn của tổng tích

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

LEC 9 VI TÍCH PHÂN 1 HK1, 2019-2020 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn

BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

XẤP XỈ DIỆN TÍCH HÌNH THANG

𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖∗ 𝑥𝑖

𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖−1 𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖∗

𝐴 = lim

𝑛→+∞ 𝑆𝑛 = lim

𝑖=1 𝑛

𝑓 𝑥𝑖∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

• Chia đoạn 𝑎; 𝑏 thành 𝑛 đoạn con bằng nhau

và chọn 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖 Khi đó

𝐴 = lim

𝑖=1

𝑛

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑓 𝑎 +

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑖

• Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑥2; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1

ĐỊNH NGHĨA TP XÁC ĐỊNH

• Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con bởi n+1 điểm

𝑥0 = 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏

• Trên đoạn con thứ i là 𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖 , lấy tùy ý 𝑥𝑖∗

• Lập tổng tích phân Riemann

𝑆𝑛 = ෍

𝑖=1 𝑛

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖∗

ĐỊNH NGHĨA TP XÁC ĐỊNH

• Cho 𝑛 → +∞ sao cho max

• Nếu lim

𝑛→+∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và không phụ thuộc vào cách chọn điểm 𝑥𝑖∗, thì hàm 𝑓(𝑥) được gọi

là khả tích trên đoạn [a; b] và S được gọi là tích phân xác định của 𝑓(𝑥) trên đoạn [a;b],

ký hiệu

ĐỊNH NGHĨA

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖∗

• Ý nghĩa hình học:

න

𝑎

𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim

𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑑𝑡(𝐷)

ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH

[a;b] thì 𝑓(𝑥) bị chặn trên đoạn [a;b]

• Suy ra: nếu 𝑓(𝑥) không bị chặn trên đoạn [a;b] thì 𝑓(𝑥) không khả tích trên đoạn [a;b]

[a;b] hoặc 𝑓(𝑥) chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên đoạn [a;b] thì 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn [a;b]

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Ví dụ Các tích phân sau có phải là tích phân xác định không?

𝐼 = න

0

1

sin 𝑥

𝑥 𝑑𝑥 ; 𝐽 = න

0

1

𝑑𝑥

𝑥 − 1

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Chú ý Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì giới hạn của tổng tích phân không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] và không phụ thuộc vào cách chọn điểm 𝑥𝑖∗ Do đó, ta chia đều đoạn [a;b] thành n đoạn con bằng nhau và chọn

𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖, ta có

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑖=1

𝑛

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑓 𝑎 +

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑖

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Chú ý: 𝑥0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm 𝑓 nếu cả hai giới hạn sau tồn tại và hữu hạn

lim

𝑥→𝑥0+ 𝑓(𝑥) ; lim

𝑥→𝑥0− 𝑓(𝑥)

• Ví dụ Tính tích phân sau bằng định nghĩa

𝐼 = න

1

𝑥2 𝑑𝑥

CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ

• Định lý (Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân)

• Nếu 𝑓(𝑥) khả tích trên đoạn [𝑎; 𝑏] và 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) thì

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) ቚ

𝑎 𝑏

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Ví dụ

𝐼 = න

0

1

arctan 𝑥 𝑑𝑥

• Ví dụ

𝐼 = න

0

1

𝑑𝑥

1 + 𝑥 + 1

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Tính chất

න

𝑎

𝑥

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

′

= 𝑓(𝑥)

න

𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥)

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡

′

= 𝑓 𝑣 𝑥 𝑣′ 𝑥 − 𝑓 𝑢 𝑥 𝑢′(𝑥)

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Ví dụ

lim

ℎ→0

1

ℎ න

2

2+ℎ

1 + 𝑡3 𝑑𝑡 ;

lim

𝑥→0

1

𝑥 න

0 𝑥

1 − tan 2𝑡 1/𝑡 𝑑𝑡

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Ví dụ Tính đạo hàm các hàm số sau

𝐹 𝑥 = න

0

𝑥

𝑡2

1 + 𝑡3 𝑑𝑡; 𝐹 𝑥 = න

𝑥

1

𝑡 + sin 𝑡 𝑑𝑡

𝐹 𝑥 = න

2𝑥 3𝑥+1

sin 𝑡4 𝑑𝑡

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

• Ví dụ Tìm 𝑓′(𝜋/2) nếu

𝑓 𝑥 = න

0

𝑔(𝑥)

1

1 + 𝑡3 𝑑𝑡;

𝑔 𝑥 = න

0 cos 𝑥

1 + sin(𝑡2) 𝑑𝑡