lec4 vtp1 20 21 daoham

ĐẠO HÀM• Định nghĩa... ĐẠO HÀM• Ví dụ... ĐẠO HÀM• Ví dụ... ĐẠO HÀM• Ví dụ... ĐẠO HÀM• Ví dụ... ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM• Tính đơn điệu • Cực trị • Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất • Tính lồi lõm, điểm

ĐẠO HÀM

LEC 4 VI TÍCH PHÂN 1 HK1, 2020-2021

NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn

HỆ SỐ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN

• Hệ số góc của tiếp

tuyến

𝑘𝑡𝑡

= lim

ℎ→0

𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

𝑦

𝐴

𝐵

𝑓 𝑎

𝑓 𝑎 + ℎ

𝛼

𝐶

𝑥

𝐶 : 𝑦 = 𝑓 𝑥

VẬN TỐC TỨC THỜI

• Vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑡 = 𝑎

𝑣 𝑎 = lim

ℎ→0

𝑠 𝑎 + ℎ − 𝑠 𝑎

ℎ

Thời điểm 𝑡 = 𝑎 Thời điểm 𝑡 = 𝑎 + ℎ

ĐẠO HÀM

• Định nghĩa Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑥 = 𝑎

𝑓′ 𝑎 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

𝑓′ 𝑎 = lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

• Ví dụ Dùng định nghĩa, tính 𝑓′(1)

𝑓 𝑥 = 𝑥

ĐẠO HÀM

• Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑥 tùy ý

𝑓′ 𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

• Ví dụ Dùng định nghĩa, tính 𝑓′(𝑥)

𝑓 𝑥 = sin 𝑥

ĐẠO HÀM MỘT PHÍA

𝑓′ 𝑎+ = lim

𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

𝑓′ 𝑎− = lim

𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

∃𝑓′ 𝑎 ⇔ 𝑓′ 𝑎+ = 𝑓′ 𝑎−

ĐẠO HÀM

• Ví dụ Tính 𝑓′(𝑥) với 𝑓 𝑥 = 𝑥

• Ví dụ [12-13GK] Tính 𝑓′(0) với

𝑓 𝑥 = ൞𝑥3 sin

1

𝑥2 ; 𝑥 ≠ 0 0; 𝑥 = 0

ĐẠO HÀM

• Ký hiệu đạo hàm

𝑓′ 𝑥 = 𝑦′ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥)

• Chú ý

𝑓′ 𝑎 = 𝑓′(𝑥) ቚ

𝑥=𝑎 ; 𝑓′(𝑎) ≠ 𝑓 𝑎 ′

CÔNG THỨC

arcsin 𝑥 ′ = 1

1 − 𝑥2 ; arcsin 𝑢

′ = 𝑢′

1 − 𝑢2

arccos 𝑥 ′ = −1

1 − 𝑥2 ; arccos 𝑢

′ = − 𝑢′

1 − 𝑢2 arctan 𝑥 ′ = 1

1 + 𝑥2 ; arctan 𝑢

′ = 𝑢′

1 + 𝑢2 arccot 𝑥 ′ = −1

1 + 𝑥2 ; arccot 𝑢

′ = − 𝑢′

1 + 𝑢2

TÍNH CHẤT

𝑐𝑓 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑢 + 𝑣 ′ = 𝑢′ + 𝑣′

𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢

𝑣

′

= 𝑢

′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓 𝑢 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑢 𝑥 𝑢′(𝑥)

• Nếu 𝑓′(𝑎) tồn tại và hữu hạn, 𝑓 được gọi là

hàm khả vi Nếu 𝑓 khả vi tại 𝑎 thì 𝑓 liên tục tại

ĐẠO HÀM

• Ví dụ Nếu 𝑓 và 𝑔 có đồ thị như hình vẽ, đặt

𝑢 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) và 𝑣 𝑥 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)

• a) Tìm 𝑢′(1)

• b) Tìm 𝑣′(5)

1

𝑦

𝑓

𝑔

ĐẠO HÀM

• Ví dụ Cho đồ thị của 𝑓 và 𝑔 như hình vẽ, đặt

𝑔 𝑔 𝑥 Tìm

• a) 𝑢′(1)

• b) 𝑣′(1)

• c) 𝑤′(1)

1

𝑦

𝑓

𝑔

ĐẠO HÀM

• Ví dụ Tính y’

𝑦 = arctan 𝑥 − 1 + 𝑥2

• Ví dụ Tính y’

𝑦 = (cos 𝑥)𝑥

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Tính đơn điệu

• Cực trị

• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Tính lồi lõm, điểm uốn

• Tiệm cận

• ÁP DỤNG CHO CÁC HÀM SỐ TÙY Ý, HÀM

LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Cho hàm số 𝑦 = ln 𝑥 − 2 arctan 𝑥 Khẳng định nào sau đây đúng?

• Hàm số tăng trên ℝ

• Hàm số giảm trên ℝ

• Hàm số tăng trên 1; +∞ , giảm trên 0; 1

• Hàm số tăng trên 0; +∞

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Cho hàm số 𝑦 = arctan 𝑥 − ln(1 + 𝑥2)

Khẳng định nào đúng?

• 𝑦 đạt cực đại tại 𝑥 = Τ1 2

• 𝑦 đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1

• 𝑦 không có cực trị

• 𝑦 có một cực đại và một cực tiểu

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

• Cho hàm số

𝑦 = arctan 𝑥

2 + 2𝑥 + 2

𝑥 + 1

Đồ thị hàm số này có

A) 1 tiệm cận đứng 𝑥 = −1

B) 2 TCN 𝑦 = ± Τ𝜋 2

C) 1 TCX 𝑦 = 𝑥