ĐỊNH NGHĨA• Ví dụ... TÍNH CHẤT• Ví dụ... GIỚI HẠN MỘT PHÍA• Ví dụ... GIỚI HẠN MỘT PHÍA• Ví dụ... ĐỊNH LÝ KẸP• Ví dụ... ĐỊNH LÝ KẸP• Ví dụ... CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN • Ví dụ.
Trang 1LEC 2 GIỚI HẠN
VI TÍCH PHÂN 1
HK1, 2020 – 2021
NGUYỄN VĂN THÙY
nvthuy@hcmus.edu.vn
Trang 2GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2
Trang 3GIỚI HẠN HÀM SỐ
• Ta nói
lim
𝑥→2 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4
Trang 4ĐỊNH NGHĨA
• Định nghĩa (𝜀 − 𝛿)
lim
𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝐿
⇔ (
)
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿
< 𝜀
• Định nghĩa (dãy)
lim
𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝐿
⇔ ∀ 𝑥𝑛 𝑛→+∞ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥𝑛 𝑛→+∞ 𝐿
Trang 5ĐỊNH NGHĨA
• Ví dụ Chứng minh các giới hạn sau không tồn tại
𝑎) lim
𝑥→0 sin 1
𝑥 𝑏) lim𝑥→0 cos 1
𝑥
• Chú ý: 7 dạng vô định
0
0 ;
∞
∞ ; ∞ − ∞; ∞ × 0; 1
∞; 00; ∞0
Trang 6TÍNH CHẤT
• Nếu tồn tại lim
𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) , lim
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) và 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) không có dạng ∞ − ∞ khi 𝑥 → 𝑥0 thì
lim
𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 + lim
𝑥→𝑥0 𝑔 𝑥
• Tương tự cho giới hạn của hiệu, tích, thương, lũy thừa
Trang 7TÍNH CHẤT
• Ví dụ Cho biết
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 8
𝑥 − 1 = 10, Tìm
lim
𝑥→1 𝑓(𝑥)
• Ví dụ Tính
lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
2𝑥 𝑥+1
Trang 8GIỚI HẠN MỘT PHÍA
lim
𝑥→1+
𝑥 − 1
𝑥2 − 1 = 0.5 𝑥→1lim−
𝑥 − 1
𝑥2 − 1 = 0.5
Trang 9GIỚI HẠN MỘT PHÍA
• Định lý 1
lim
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim
𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥)
• Ví dụ
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
Trang 10GIỚI HẠN MỘT PHÍA
• Ví dụ Tính các giới hạn
𝑎) lim
𝑥→−6
2𝑥 + 12
𝑥 + 6 𝑏) lim𝑥→0.5−
2𝑥 − 1 2𝑥3 − 𝑥2
𝑐) lim
𝑥→−2
2 − 𝑥
2 + 𝑥 𝑑) lim𝑥→0−
1
𝑥 −
1 𝑥
Trang 11GIỚI HẠN MỘT PHÍA
• Ví dụ Với 𝑛 ∈ ℤ, 𝑎 ∈ ℝ, Tính các giới hạn
𝑎) lim
𝑥→−1+ 𝑥 𝑏) lim
𝑥→−1 𝑥 𝑐) lim
𝑥→3.2 𝑥
𝑑) lim
𝑥→𝑛− 𝑥 𝑒) lim
𝑥→𝑛+ 𝑥 𝑓) lim
𝑥→𝑎 𝑥
Trang 12ĐỊNH LÝ KẸP
• Định lý 2 Nếu
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 , 𝑎 − 𝜀 < 𝑥 < 𝑎 + 𝜀
lim
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐿 thì
∃ lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿
Trang 13ĐỊNH LÝ KẸP
• Ví dụ Nếu 4𝑥 − 9 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑥2 − 4𝑥 +
7, 𝑥 ≥ 0 Tính
lim
𝑥→4 𝑓(𝑥)
• Ví dụ Chứng minh
lim
𝑥→0 𝑥4cos 2
𝑥 = 0
Trang 14ĐỊNH LÝ KẸP
• Ví dụ Tính các giới hạn
𝑎) lim
𝑥→0+ 𝑥𝑒sin(𝜋/𝑥) 𝑏) lim
𝑥→0 𝑥 sin 1
𝑥
• Ví dụ [15-16] Tính
lim
𝑥→+∞
𝑥 + cos 2𝑥
𝑥 + sin 3𝑥
Trang 15CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
lim
𝑢→0
sin 𝑢
𝑢 = 1; lim𝑢→0
ln(1 + 𝑢)
𝑢 = 1; lim𝑢→0
𝑒𝑢 − 1
𝑢 = 1
lim
𝑢→±∞ 1 + 1
𝑢
𝑢
= 𝑒 = lim
𝑢→0 1 + 𝑢 𝑢1
lim
𝑢→0
arcsin 𝑢
𝑢 = 1; lim𝑢→0
arctan 𝑢
lim
𝑢→0
𝑛
1 + 𝑢 − 1
1 𝑛
Trang 16CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
• Ví dụ Tính các giới hạn
𝑎) lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2 𝑏) lim𝑥→+∞
𝑥 + 1
𝑥 − 1
2𝑥+1
𝑐) lim
𝑥→0 cos 𝑥
1
𝑥2 𝑑) lim
𝑥→𝑎
sin 𝑥 − sin 𝑎
𝑥 − 𝑎