DẠNG 10 đạo hàm của hàm số mũ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.. liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định của nó và tính theo công thức ln a x x a �.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Đạo hàm của hàm số mũ – hàm số loga

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Hàm số mũ

a Định nghĩa:

+) Tập xác định : D  �.

+) Tập giá trị : M 0;� .

b Định lý

Định lý: Hàm số y a x liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định của

nó và tính theo công thức

 a x �a x.lna

 Công thức đạo hàm của hàm hợp :

Nếu hàm số u u x   có đạo hàm trên D thì hàm số u x 

và tính theo công thức :

 

 u x   u x .ln

a � �u x a a

2 Hàm số logarit

a Định nghĩa:

 Hàm số logarit là hàm số được cho bởi công thức yloga x, a0,a�1

+) Tập xác định : D � *

+) Tập giá trị : M  �.

b Định lý

 Định lý: Hàm số yloga x, a0,a�1 liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định của nó và tính theo công thức

ln

a x

x a

�

 Công thức đạo hàm của hàm hợp :

Nếu hàm số u u x   có đạo hàm trên D thì hàm số ylogau x   cũng có đạo hàm

trên D và tính theo công thức :

 

     

log

.ln

a

u x

u x

u x a

�

�

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Đạo hàm của hàm số mũ – hàm số logarit

 Đạo hàm của hàm số hợp (của hàm số mũ – hàm số logarit)

 Đạo hàm của hàm số phải sử dụng một số phép biến đổi mũ và logarit

 Đạo hàm cấp cao

BÀI TẬP MẪU

DẠNG TOÁN 10: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ

A.y�2 ln 2x . B.y�2x. C.

2

ln 2

x y�

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tính đạo hàm của hàm số mũ y a x

2 HƯỚNG GIẢI:

Ta áp dụng công thức a x �a x.lna

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lờigiải Chọn A

Tập xác định D  �.

Ta có y� 2x �2 ln 2x .

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Đạo hàm của hàm số y là3x

A.

3

ln 3

x

y� 

x y�

Lờigiải Chọn B

Tập xác định D  �.

Ta có y3x�y�3 ln 3x , với mọi x��.

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y22x1.

A y�22x1ln 4. B y�4 ln 4x1 . C.y�2 ln 22x . D.y�2 ln 22x .

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức đạo hàm  a u � �u a .lnu a

Ta có y�22 1x �2x1 2�2 1x.ln 2 2 ln 2 2x

Câu 3. Đạo hàm của hàm số ye1 2 x là

A.y�2e1 2 x. B.y�e1 2 x. C.y�2e1 2 x. D.y�2ex.

Lờigiải Chọn A

Xét hàm số ye1 2 x Ta có: y� 1 2x�e1 2 x 2e1 2 x.

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số f x  e x1.

A f x�  ex 1. B f x�  ex 1ln . C f x�  ex. D f x�  e lnx   .

Lời giải Chọn A

Ta có f x�   ex 1 �x1 e�x 1ex 1

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm sốy20x

A n

20

l 20

x

y� 

B y� 20 x1. C y� 20x. D y� 20 n 20xl .

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức:  a u � �u a lnu a

ta có: y� 20x � 20x.ln 20.

Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y21 2 x.

A y� 2.21 2 x. B y�21 2 xln 2. C.y� 22 2 xln 2. D y� 1 2 2x  2x.

Lời giải Chọn C

Ta có y� 2.21 2 xln 2 22 2  xln 2.

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y x .3x là

A y�3 1x xln 3 . B y�3 1x xln 3. C y�x.3 ln 3x . D 3 1x x .

Lời giải Chọn A

3x 3 ln 3x

y� x 3 1x xln 3 .

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y ex ln 3x.

A.

1 e 3

x y

x

1

ex y

x

3

ex y

x

1

e ln 3x ex

x

Lờigiải Chọn B

Ta có y ex ln 3x ex ln 3 ln x

1

ex y

x

�

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số

y e



� �

 � �

� �

A y� ex. B

1 ln

x e e

y  � �� �

� �

�

Lời giải Chọn C

Ta có

e



� �

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y3 2x x là

A

3

6 ln 2

x y�

D 6 ln 6x .

Lời giải Chọn D

 

3 2x x 2.3 x 6x

 Mức độ 2

Câu 1. Cho f x  2.3log 81x3 Tính f � 1

A  1 1

2

f � 

2

f�  

C f � 1 1. D f � 1 1.

Lời giải Chọn A

TXĐ: D0;�.

  log 81  

81

2.3 x.ln 3 log

2.3 ln 3

ln 81

x x



  0 1

1 2.3 ln 3

ln 81

4ln 3

2



Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số yx22x2 e x.

A y�x22 e x. B y�x2ex. C y�2x2 e x. D y� 2 ex x.

Lời giải Chọn B

Ta có: y���x22x2 e x���x22x2�exx22x2  ex �

2x 2ex x2 2x 2ex

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số 2  

2

A.

2

7

x y

x

2.7 ln 7

ln 5

x

y

x

C.

2.7 ln 7

ln 2

x

y

x

2

x y

x

Lờigiải ChọnC

Ta có y72xlog 5 log2  2 x�y�2.7 ln 72x xln 21 .

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số yesinx.

A y�cos ex sinx. B y�ecosx. C y�sin ex sinx1. D y�cos ex sinx.

Lời giải Chọn A

Ta có: y�sinx � esinx cos ex sinx.

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số

2 1

8x

y  .

A

2

2 8x

Lời giải Chọn D

Vì  8x2  1 �2 8x x2  1.ln 8 2 8x x21.3.ln 2 6 8x x21.ln 2.

Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số ylog e x2

A.

e

x x y�

x x y�



Lời giải Chọn B

 

e e 2 ln102 e e2 ln10

y

�



Câu 7. Đạo hàm của hàm số

2

ex x

y  là

A x2xe2 1x

2x1 ex x. D 2x1 e x.

Lời giải

Chọn C

Ta có y�x2x�.ex2 x   2

2 1 ex x

y� x 

�

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số ylog 23 x1.

A y� 2x 11 ln 3

 C y�2x 21 ln 3

 . D y�2x1 ln 3 .

Lời giải Chọn C

Đạo hàm của hàm số ylog 23 x1 là y�2x 21 ln 3

Câu 9. Cho hàm số

1 ln 1

y x



 Xác định mệnh đề đúng

A xy�  1 ey B xy�   1 ey C xy�   1 ey D xy�  1 ey

Lời giải Chọn D

1

x

�



1

y x

xy

�

Câu 10. Cho hàm số ye cos2x x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.y�� �4y 5y 0 B.y� �4y�5y 0 C.y�� �4y 5y 0 D.y� �4y�5y 0

Lờigiải ChọnC

Ta có y� 2e cos 2x xe sin 2x x e  2x2cosxsinx.

Ta có y�� �4y 5ye 3cos 2x  x4sinx8e cos 2x x4e sin 2x x5e cos 2x x0.

 Mức độ 3

Câu 1. Hàm số

ln

y





2

2

cos 2x

Lời giải Chọn D

Ta có:



Do đó:

y

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số     2  

1

f x   x x x� .

A

ln 1

x

f x



ln 1

f x

C

ln 1

x

f x

 

ln 1

f x

Lời giải ChọnB

   

     

2

ln

1 2 ln 1

1

'

x x

x







Câu 3. Cho hàm số   x

y f x x Tính f � 1

A f� 1 ln. B f� 1  ln . C f� 1 . D f� 1  .

Lời giải Chọn D

yx � y x

x x

y

x



�

x



Suy ra: f� 1  .

Câu 4. Tính đạo hàm số y f x  logx222

A  2  2 2 

2

2

x y

� 

2

1

y

x

� 

2

x y

x

� 

x y

� 

Lời giải Chọn A

2

1

x

y

x





2 2

2

x y

x

�



� 

�

2

2

x

 

Câu 5. Tính đạo hàm số   log 2 2

y f x  

A

 

2

log 2 2

2 2

2 ln10

x x y x



�

2

log 10 20 2

2 ln10

y x



�

C

2

log 2 2

2 ln10

x y

x



�

 

2

log 2 2

2 2

2 ln 2

x x y x



�

Lời giải Chọn B

2

2



�

Câu 6. Tính đạo hàm số ylnx x21

A

2 2

1

x y

x

�

2 1

x y

x

�



C

2 2

1

x y

x x

�

1 1

y x

�



Lời giải Chọn D

Ta có:    2  2

2

1

x

� 

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số  

biến trên đoạn  0;1 ?

Lời giải Chọn D

Ta có y�3x26x 9 3m 7x33x2  9 3m x 1.ln 7

y     đồng biến trên  0;1 � y��0, x� 0;1

� 3x26x 9 3m �0,x� 0;1 � m x�22x 3, x� 0;1

0;1

m� x  x x�

� m�3

Do m nguyên dương nên m�1; 2;3

Câu 8. Cho hàm số f x  lnx22x Tính đạo hàm của hàm số 2 

1

y

f x



A  2 

1

x y



�

x y

 

�

C  2  3 2 

4 4

x y



�

2

x y



�



Lời giải Chọn C

y

f x

�

�



2



x



 

Câu 9. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

y ln x  1 mx1

đồng biến trên khoảng  � �; 

Lời giải Chọn A

x

x

1

x

x

ۣ�

ۣ

x

f x

x



 có

 

 

2 2 2

1

x

f x

x

 Bảng biến thiên :

Dựa vào BBT 2 1,

x

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m x y

x m





 

;

e �

Lời giải Chọn C

Tập xác định D0;�\ e m1 .

2

2

2

x x m



�











2

2 2

;

1 2

m

m m

e

m

m m

e

m



Cách 2: Đặt tlnx, ta biết rằng hàm số f x  lnx đồng biến trên e2;�

1

mt

g t

t m





2 1

g t

t m

;

2;� �

 

0

g t m

�

�

�

2 0

1

1 2

2

1

m



 Mức độ 4

Câu 1. Hàm số

2 3 1

x x x

y e





Lời giải Chọn C

Tập xác định D�\ 1

Ta có

�

 

 

x

x

  �

Mà y 1 1

e



; y 0  y 3 1.

Vậy hàm số

2 3 1

x x x

y e





Câu 2. Cho hàm số   ln 2018 ln

1

x

f x

x

Tính S f ' 1   f ' 2  f ' 3  L f ' 2017  

A

4035 2018

S

B

2017 2018

S 

C

2016 2017

S 

D S 2017

Lờigiải ChọnB

1

x

f x

x

�

Do đó

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

2 2018

2

với mọi giá trị x thuộc 0;�

A m9 B 0 m 1 C m1 D m2

Lờigiải ChọnC

Hàm số đã cho xác định x�0;�

2

2

2

2

0;

min

x





2

f x   x x� �

  2018 ln 2018x   1

�

Khi đó  f x� đồng biến trên x�0;� và f � 0 ln 2018  1 0

Suy ra  f x đồng biến trên x�0;� và  f 0 1

Vậy m1 thì thỏa YCBT.

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y8cotxm3 2 cotx3m2 (1) đồng

biến trên

; 4

 

�

�

�

A 9�m3 B m�3 C m�9 D m 9.

Lời giải Chọn C

Đặt 2cotx  vì t x�� 4; �

�

� � nên 0 �t 2 Khi đó ta có hàm số: y t 3 m3t3m2 (2).

2

y� t  m

Để hàm số (1) đồng biến trên

; 4

 

�

�

� thì hàm số (2) phải nghịch biến trên

0; 2 hay 3t2 m 3 0,� t�0;2 ۣۣ �m 3 3 ,t2 t 0; 2

Xét hàm số: f t   3 3 ,t2  �t 0; 2 � f t�   6t

  0

f t�  �t0.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9�f t   3, t�0;2

Vậy hàm số (1) đồng biến trên

; 4

 

�

�

� khi m�9

Câu 5. Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y2f x  3f x 

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số f x  ta thấy f x  � 1, x��

Khi đó xét hàm số   2f x  3f x 

g x

Ta có g x�   f x�  2��f x .ln 2 3 f x .ln 3��

  0

g x

 

0

�

� �

f x

Xét phương trình 2f x .ln 2 3 f x .ln 3 0

trên khoảng � �; 

 

3

2

3

� �

f x

f x

(loại)

 

f x

Tức là hàm g x  có 3 điểm cực trị

Câu 6. Cho hàm số f x  e10x20 Tìm 2021 

A f2021 x 200.e10x20. B f2021 x 102021.201010 10.e x20.

C f2021 x 10!.e10x 20. D f2021 x 102021 10.e x 20.

Lời giải Chọn D

Ta có

f x�  e  � x �e   e  ;

f�x ��f x� ��� e  � e 

;

f�x ��f�x ��� e  � e 

;

………

 2021   102021 10x 20

Câu 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  x x tại điểm có

hoành độ bằng 2

Lời giải Chọn C

Hàm số y f x  x x xác định trên khoảng 0;�.

Ta có y f x  x x�ln f x  lnx x �ln f x  xlnx

Lấy đạo hàm hai vế, ta có

 

f x

x

f x

�

 

    1 ln 

f x�  f x  x

�

f x� x  x f�    

Ta có f  2 22 4.

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 2 là

  2 2  2

y f� x  f hay y4 1 ln 2  x8ln 2 4 .

Câu 8. Cho hàm số

  5

2020 2021

y

Biết rằng m a�.ebc( với , ,a b c��) thì hàm

số đã cho đồng biến trên khoảng  2;5 Tính Slog5a c b.

A

1 125

S

Lời giải

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;5 thì y��0,x� 2;5

 

5

Suy ra a5;b8;c  3

Câu 9. Tính đạo hàm cấp n n�*

của hàm số yln 2x3.

A

n n

n

x

   1 ! 2

n n

x

C

n n

n

x

n n

n

x

Lời giải Chọn D

Ta có: yln 2x3 �y� 2x2 3



 

2

2

1 1

2

y

x



�

�

 

2 3

3

1.2

2 1

y

x

�

n n

n

x

Giả sử

n n

n

x

vậy:

Với n1 ta có:

2

y x

�

 Giả sử  1 đúng đến n k , 2 k� � tức là *

k k

k

x

Ta phải chứng minh  1 đúng đến n k 1, tức là chứng minh

1 !

k k

k

x





Ta có:

k 1   k

y  � �y �

k k

k

x



2

k

k

k x k

x





 

1 1

2

1 !

k k

k k

x





 

k k

k x





Vậy

n n

n

x

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a a 0  thỏa mãn

2021

2021 2021

a a

a

A.0 a 1 B.1 a 2021. C.a�2021 D.0 �a 2021.

Lời giải Chọn D

Ta có

2021

2021 2021

a a

a

a

2021

2021

a

a a

1

x

y f x

Ta có

 

0

x

x

x

'

y

 

2

1

0

x

y

x



Nên y f x  là hàm giảm trên 0;�

Do đó f a  �f 2021,a0 khi 0 �a 2021.