tính đạo hàm của hàm số mũ

Hướng dẫn giải Chọn B.. Hướng dẫn giải Chọn B.. Hướng dẫn giải Chọn B... Hướng dẫn giải Chọn B.. Hướng dẫn giải Chọn D.A. Hướng dẫn giải Chọn C.. 1 2  Chú ý: Nếu giải bài toán theo cách

Trang 1

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3.2 Tính đạo hàm của hàm số mũ.

MỨC ĐỘ 3

(x) 2x 2 x

A minf(x) 5x� 

� B minf(x) 4x� 

� C minf(x)x�  4

� D Đáp án khác.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Vậy: min ( )x� f x  f(1) 4

Câu 2 [2D2-3.2-3] [THPT Lê Hồng Phong] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  x22e2x

trên 1; 2

A     4

1;2

    2 1;2

min f x e

1;2

    2 1;2

min f x 2e

Ta có: f x�  2x e�2x2x22e2x 2x2 x 2e2x.

Do đó: f x�  0� x1 ( do x�1; 2)

Mà: f     , 1 e 2 f  2 2e4, f  1   nên e2     2

1;2

min f x e

Câu 3 [2D2-3.2-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Tính đạo hàm của hàm số y e sin 2x

' cos 2 2

x

' 2 cos 2 x

C y' cos 2  x esin 2x D y' cos 2 x esin 2x

Ta có y'esin 2x sin 2 ' 2cos 2  x  x esin 2x

Câu 4 [2D2-3.2-3] [BTN 164] Giải phương trình y�� biết 0 y e x x 2

3

,

x  x  .

C 1 3, 1 3

,

x  x   .

2

x x

y e 

y   x e 

y   e    x e 

Trang 2

Hay y"4x24x1e x x 2.

Do đó y" 0 �4x24x 1 0 2 2 2 1 2

x �  �

2 3 1

x x x

y e





 có giá trị lớn nhất trên đoạn  0;3 là:

zzzzz

Tập xác định D�\ 1 .

Ta có

 

2

�

 

 

2 3 2

2 1

2

1

3 1

0;3 0;3

x x



  �

Mà y 1 1;y 0 y 3 1

e

Vậy hàm số 2 31

x x x

y e





 có giá trị lớn nhất trên đoạn  0;3 là 1

2017 x 3 x

y  e  e Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A y�� 3y 2y  3 B y�� 3y 2y 2017

C y�� 3y 2y 2 D y�� 3y 2y 0

Hướng dẫn giải Chọn D.

2017 x 6 x

2017 x 12 x

Khi đó y�� 3y 2y 2017ex12e 2x3 2017 ex6e 2x  2 2017ex3.e 2x  0

239

Pu là 24360 năm(tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức S Ae rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r  ), t là thời gian phân hủy, 0 S là lượng còn lại sau thời

gian phân hủy t Hỏi 10 gam Pu239sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

A 82230 (năm) B 82232 (năm) C 82238 (năm) D 82235 (năm)

-Pu239 có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có:

Trang 3

.24360 ln 5 ln10

24360

r

-Vậy sự phân hủy của Pu239 được tính theo công thức S A e ln 5 ln1024360 t



-Theo đề:

ln 5 ln10

ln 5 ln10 0,000028 24360

t

Chú ý: Theo đáp án gốc là D (SGK) Tuy nhiên: nếu không làm tròn r thì kết quả

ln 5 ln10

1 10

ln 5 ln10 24360

t

 �   �80922� Kết quả gần A nhất

Câu 8 [2D2-3.2-3] [THPT chuyên KHTN lần 1] Giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số

sin cos ( ) 2 x 2 x

f x   lần lượt là

A 2 và 3 B 2 và 2 2 C 2 2 và 3 D 2 và 3

Hướng dẫn giải Chọn C.

Đặt cos2x t ,(0� � �t 1) f x( ) 2 t 21t

Xét hàm số g t( ) 2 t 2 ,1 t t�[0;1] �g t�( )2t 21 tln 2

2

g t�  �    �t Mà

(0) 3 (1) 3 1 ( ) 2 2 3 2

g g g

�



�

y e x  tăng trên khoảng nào ?

A  0; 2 B � ;0 C  � � ;  D 2;� 

Hướng dẫn giải Chọn A.

TXĐ: D� y� e xx 22xex, y�0�x0�x2 Lập bảng biến thiên ta suy ra được hàm số đồng biến trên  0; 2

Câu 10 [2D2-3.2-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hai số thực a b, thỏa mãn 1a b� 0 Tính giá

trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau T  log2ab  loga b. a36

A

min

T không tồn tại B

min 13

min 19

min 16

T  .

.

Đặt t  logab, vì 1   a b � 0 logab logbb t 1

f t t f t t

  Cho f t'( )0�t 2.

Trang 4

Hàm số f t( ) liên tục trên [1; � ) có

(1) 19

lim ( )

t

f



� �

�

4 4x 1

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f x  nghịch biến trên 2; 2

B Hàm số y f x  đồng biến trên 2;0

C Hàm số y f x  nghịch biến trên  �; 2

D Hàm số y f x  đồng biến trên  0; 2

Do hàm số y4x đồng biến trên � và 1 y 0  nên 4 10 x sẽ cùng dấu với x 0

Vì thế f x� cùng dấu với biểu thức    3    2   

Bảng xét dấu f x� là: 

 

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x  nghịch biến trên 2; 2

2 2

x x

y

 



 ðồng biến trên khoảng

1

ln ;0 4

� � gần nhất với số nào sau ðây:

Đặt x

e  Suy ra t 2

2

t m y

t m

 



 đồng biến trên khoảng

1

;1 4

� �

� �.

2

2 2 2

y

t m

�

Để hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

4

� �

� �cần:

1

1 1

1

4 4

4

m

m m

m

  

�

Suy ra chọn C.

Trang 5

Câu 13 [2D2-3.2-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Gọi M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

x

x y e

 trên 1;1 Khi đó:

A M 1;m 0

e

 

2

0

2

x

x e x e

e



�



Suy ra: min1;1 y0; max1;1 y e

Câu 14 [2D2-3.2-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) 2 x22 x là:

A minf(x) 5x� 

� B minf(x) 4x� 

� C minf(x)x�  4

� D Đáp án khác.

Vậy: min ( )x� f x  f(1) 4

Câu 15 [2D2-3.2-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Tính đạo hàm của hàm số y e sin 2x

A ' 1cos 2 sin 2

2

x

y  x e B y' 2 cos 2  x esin 2x

C y' cos 2  x esin 2x D y' cos 2 x esin 2x

' x sin 2 ' 2cos 2 x

Câu 16 [2D2-3.2-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Giá trị lớn nhất của hàm số

3x 2 4 2 5

y e  x  x trên đoạn 1 3;

2 2

� � bằng.

A

11 4

5

12 5

4

13 2

3

14 3

2

y� e  x  x  x e  e  x  x

2

1 3

2 2

;

12 2 2

x

�

  �

�

Trang 6

Ta có 1 3 72 3 3 132   5

y� ��   e y� ��  e y  e

13 2

1 3;

2 2

3 2

Max y e

� �

Câu 17 [2D2-3.2-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Hàm số y e ax a � có đạo hàm cấp n trên0

� là:

A  n ! ax

Ta có y�a e ax, y�a e2 ax, y�a e3 ax Dự đoán y n a e n ax và chứng minh bằng quy nạp

Câu 18 [2D2-3.2-3] [BTN 164] Giải phương trình y�� biết 0 y e x x 2

3

,

x  x  .

C 1 3, 1 3

,

x  x   .

2

x x

y e 

y   x e 

y   e    x e 

Hay y"4x24x1e x x 2

Do đó y" 0 �4x24x 1 0 2 2 2 1 2

x �  �

x x

e y





 đồng biến trên khoảng   2; 1

A m 1 B 1 m 1

e�  C

2 1 1

1

m e m e

� �

�

�� 

�

e

Đặt t e x �t�e x 0

Bài toán trở thành tìm m để hàm số y t 1

t m





 đồng biến trên khoảng 2

1 1

;

e e

1

m y

t m

 

�

Để hàm số đồng biến trên khoảng �1 12; �

Trang 7

0,

1 1

;

m

e e

�  �

�

2

1 0 1

1

m m e m e

  

�

� ��

� �

�

��

�

2 1 1

1

m e m e

� �

�

� �

�� 

�

Câu 20 [2D2-3.2-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x�  x34x 4x 1

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f x  nghịch biến trên 2; 2

B Hàm số y f x  đồng biến trên 2;0

C Hàm số y f x  nghịch biến trên  �; 2.

D Hàm số y f x  đồng biến trên  0; 2

Do hàm số y4x đồng biến trên � và 1 y 0  nên 4 10 x sẽ cùng dấu với x 0

Vì thế f x� cùng dấu với biểu thức   x34x x   0 x x2 2 x 2

Bảng xét dấu f x� là: 

 

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x  nghịch biến trên 2; 2

Câu 21 [2D2-3.2-3] [BTN 171] Cho hàm số y4 x2 , phương trình ' 03 y  có mấy nghiệm thực:

Xét hàm số y4 x2 3

3 2 4

x



Ta thấy ' 0y  với x� � ; 3 � 3;� do đó phương trình ' 0 y  vô nghiệm

Câu 22 [2D2-3.2-3] [BTN 169] Hỏi hàm số y e x x 2 tăng trên khoảng nào ?

A  0; 2 B � ;0 C  � � ;  D 2;� 

TXĐ: D� y� e xx 22xex, y�0�x0�x2 Lập bảng biến thiên ta suy ra được hàm số đồng biến trên  0; 2

Trang 8

Câu 23 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên Quang Trung] Cho hàm số

  4

2017

3x x

e  m -1 e +1

Tìm m để

hàm số đồng biến trên khoảng  1;2

A m3e2 1 B 3e21� �m 3e31

C 3e31�m3e41 D m�3e41

3 1 1

3

x x

  

 

3 1 1

3

x x

  

 Hàm số đồng biến trên khoảng  1;2 

 

3 1 1

3

x x

  

 

3 1 1 4

0, 2017

4

2017

x x

x

  

�

� Nên (*)  3e3xm1e x �0,x� 1;2 

 

2

3e x1�m x, �1;2

 Đặt  g x 3e2x  �1, x  1;2 ,  g x 3e2x.2 0,  �x  1; 2

Vậy (*) xảy ra khi m g�  2  4

2sin x 2cos x

Đặt tsin ,2x t� 0;1 .

2t 2 t

y   trên  0;1 1

2 ln 2 2 ln 2 0t t

2

t  t t

1 (0) 3; (1) 3; 2 2

2

Vậy max 0;1 y 3

Trang 9

Câu 25 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên KHTN] Kí hiệu   4 2

1

2log



x

Điều kiện: 1�x0



 2 12  2.1

2

 x  x   x  x

Suy ra f 2017 2017� f f 2017  2017.

sin

1 ln 2

2 2

ln 2

� �

1 ln 2

2 2

ln 2

� �

C

1 ln 2

ln 2

� �

1

ln 2

� �

Cách 1:

Logarit Nepe hai vế của hàm số   cos

 

ln ln sin x  cos ln sin

Tiếp tục đạo hàm hai vế, ta được:

ln   cos ln sin   sin ln sin  cos cos

sin

2 cos

�

Suy ra   cos cos cos sin ln sin 

sin

Trang 10

cos

2 cos

� �

y

4

1

2 2

4

.ln

1

2



Chú ý: Nếu giải bài toán theo cách trên thì rất phức tạp và mất thời gian với hình thức thi trắc

nghiệm Ta có một cách giải nhanh hơn, hiệu quả hơn nhờ tính năng “Tính đạo hàm tại một điểm” của máy tính cầm tay CASIO

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay CASIO:

– Trước hết, ta thấy do bài toán liên quan đến hàm lượng giác, nên ta cần đổi đơn vị góc sang Radian (Rad) bằng cách ấn SHIFT  MODE  4 (hình bên)

– Ấn SHIFT  � Máy tính hiện ra  



x

d

dx (như hình dưới).

– Ta nhập vào máy tính:    cos 

4



X X

d

X

– Từ các đáp án Nhập vào máy tính để chọn giá trị đúng nhất.

Ta thấy chỉ có 4

1 ln 2

2 2

ln 2

� �

thỏa mãn

f x e  Biết phương trình f� x  có0 hai nghiệm x x Tính 1, 2 x x 1 2

A 1 2

9 4

7 4

3 2

f x�   x e  f�x    �� x ��e 

f� �  x  � x  x  (có hai nghiệm) 1 2

7 4

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	918,5 KB