Dạng 49 bai toán cực trị số phức thỏa đk cho trước

Giá trị lớn3... Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn... Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực của... Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.. Gọi H là giao điểm của

Dạng:

Tóm tắt lý thuyết

r  x a  y b R hoặcr z a bi R Hình vành khăn giới hạn bởi

hai đường tròn đồn tâm I a b ;  ,bán kính lần lượt là ,r R

y ax bx c x ay  by c c  Parabol

Câu hỏi phát triển

Ⓑ

A 2044 B  23 2021 C 23 2021 D 2 23 2021 .

Lời giải Chọn C

Đặt z1 a bi z, 2  c di với , , ,a b c d   Theo giả thiết thì.

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức z có điểm biểu1

diễn M , số phức z có điểm biểu diễn là N thỏa mãn 2 z 1 1, z 2 3 và

N1

M

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức 1 3z , suy ra 1 OM  1 3

Gọi N là điểm biểu diễn của số phức 1 2z , suy ra 2 ON  Gọi 1 6 P là điểm

sao cho OM 1ON 1OP

Suy ra tứ giác OM PN là hình bình hành.1 1

Do từ giả thiết MON  120 , suy ra M ON 1 1 120

Dùng định lí cosin trong tam giác OM N ta tính được1 1

Khi đó 3z12z2 3i AQ1, bài toán trở thành tìm AQ 1 max biết điểm A

trên đường tròn  C1 Dễ thấy AQ1max OQ1R1  3 3 3

 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3z1 2z2 1 2i 3z1 2z2   1 2i

Đặt 3z1 2z2 w2 w2 3 7, suy ra điểm biểu diễn w là 2 B thuộc đường tròn C tâm 2 O0;0 bán kính R 1 3 7 Gọi điểm Q là biểu 2

diễn số phức 1 2i  Khi đó 3z1 2z2   1 2i BQ2

, bài toán trở thành tìm BQ2 min biết điểm B trên đường tròn C Dễ thấy điểm 2 Q nằm trong đường tròn2

C nên 2 BQ2min R2  OQ2 3 7 5.Vậy M0m0 3 7 3 3  5 3

Câu 9: Xét hai số phức z z thỏa mãn 1 2; z1  2; z2  5 và z1 z2  Giá trị lớn3

là điểm biểu diễn cho z1 z2 MNz1 z2 3

Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức 2z , P thuộc đường tròn tâm O bán 2

Gọi C2 là đường tròn đối xứng với với C2 qua d, suy ra

C2 : x82y 22 1 và gọi N là điểm đối xứng với N qua d C2 có

ra khi và chỉ khi 3 điểm I A I1, , 2 thẳng hàng.

Vậy minP  85 3

Bài tập rèn luyện

Ⓒ

Ⓒ

B P 5 2 73 C

5 2 732

N

D

A

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,  F4;7 và N1; 1  

Từ AE A F   z 2 i  z 4 7 i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng

EF Gọi H là hình chiếu của N lên EF , ta có

Suy ra M N, thuộc đường thẳng d: 2m1x2m 2 y 3 0

Do đó M N, là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn  C

Ta có z1 z2 MN nên z1 z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

là điểm biểu diễn hình học của số phức w

Từ giả thiết z 2 2 i  ta được:1

5

x x

M

53

M

m  .

Câu 5: Cho số phức zthoả mãn z 2 3 i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z 1 i là đường tròn I;1 và w là khoảng

cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z z  z z 4

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt A M m  Mệnh đề nào sau đây là đúng?

I B

Gọi M x y ;  , F16;0

và F 2 6;0

.Khi đó    MF1MF2 20F F1 212 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E

cóhai tiêu điểm F và 1 F Và độ dài trục lớn bằng 2 20

Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130

Câu 10: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  Số phức

4 3

z  i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N Biết rằng M , M ,

N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i 5

Ta có M và M ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox Do đó, để chúng tạo

thành một hình chữ nhật thì yM  yN hoặc yM  yN Suy ra y3x4y hoặc



15



25

y 

vào  1 suy ra x  15.Vậy phần thực của số phức z là

15



Theo bài ra ta có z 1 3i  2 x12y 32 4

.Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I1; 3

z  nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I, M , I thẳng hàng, M nằm giữa I và I.

Phương trình đường thẳng II là x  1

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R 2 là M11; 1

thỏa mãn Vậy z  1 i

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z z  z z 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của P z 2 2  i Đặt A M m  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

310

Ta có z OM z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  Mlà hình chiếu của O trên d

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x 2y 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A1; 1 

biểu diễn số phức 1 i , điểm B   1; 2

biểudiễn số phức  1 2i

Khi đó  *  MA MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực của

 Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z là đường tròn 2  C x: 2y2 4x2y 3 0

cótâm I2; 1  và bán kính 2  2

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 z2 là đoạn thẳng MN  z1 z2 nhỏ nhất khi vàchỉ khi MN nhỏ nhất

N

M

I N'

do đó max z1 z2 2 34 AB2R I1;0d

Từ đó ta có

12

m 

nên : 3d x 5y 3 0

1 2

Ta có: + z  3 2  2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường

tròn có tâm I3 2 ;0

, bán kính r  2.+ w 4 2i 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn

M O

a b 

Vậy a b max  66

M 

tại

74

t

và m  3 tại t  2

Vậy

13 3

b a c c

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng : 5x 4y 20 0

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M E và N   sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với  có dạng d: 5x 4y c 0, c 20

d tiếp xúc với  E khi và chỉ khi 2 5 92  4 4 2892 17

17

c c

H B

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z+ +z 2z z- =8

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất của biểu thức P = -z 3 3- i Tính M + m

A 10+ 34. B 2 10. C 10+ 58. D 5+ 58.

Giải:

£ïïî , tập hợp

2 2cos 3 4 cos 2 cos 2

Đặt tcos ,x t  1;1 Xét hàm y 2 2 t  2 1t

Với

12

y   

Với

12

y   

Vậy  1;1 

13max

* Ta có z 6 8  zi x 6yi   8  y xi 8x6y 48 x2y2 6x 8y i

.Theo giả thiết z 6 8  zi

là số thực nên ta suy ra x2y2 6x 8y0 Tức là các điểm,

thuộc đường tròn  C tâm I3; 4 , bán kính r  22.

Lời giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và 1 A  2;1; B4;7 lần lượt là hai điểm biểu diễn

hai số phức  2 i , 4 7i Ta có AB 6 2 Phương trình đường thẳng AB là

Gọi N là điểm biểu diễn số phức z2 và I2;1

là điểm biểu diễn số phức 2 i Ta có

d I AB   , suy ra AB không cắt đường tròn.

Gọi K là hình chiếu của I2;1

lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng.

Câu 28: Cho các số phức z1  , 2 i z2   và số phức 2 i z thay đổi thỏa mãn

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 2i  z 4i

và z 3 3 i 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

  ; z 3 3 i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I3;3 và bán kính bằng 1

Biểu thức P z 2 AM trong đó A2;0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C ,

mà MA MB AB   17 Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C .

22 5917

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4 i  5

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của biểu thức

B Pmin  2 1 C min

5 2 22

D min

3 2 22

t t

Từ đó,

Pz z  z  z  z z4z46 2 z41 z4z46 2 z41

.Đặt z4  x iy, với ,x y   Do z 1

nên

z  x y 

và 1 x y,  1Khi đó P x iy x iy  6 2 x iy 1 2x6 2 x12y2

Lời giải

Gọi z x y  i, với ,x y R Khi đó M x y ; 

là điểm biểu diễn cho số phức z.

Theo giả thiết, 5w2 i  z 4  5 w i    2 i  z 45i

Vì BI2  12 32 10R2  nên B nằm ngoài 4  C

Vì KI2  1 R2 4 nên K nằm trong  C .

Ta có MA2MB2MK2MB2MK MB 2KB

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK

Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C và đoạn thẳng BK.

P 

994513

P 

Lời giải

Gọi M , 1 M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức 2 z , 1 2z , 2 z trên hệ trục tọa độ

Oxy Khi đó quỹ tích của điểm M là đường tròn 1 C1

tâm I3; 4

, bán kính R  ;1quỹ tích của điểm M là đường 2 C2 tròn tâm I6;8

, bán kính R  ;1

quỹ tích của điểm M là đường thẳng : 3 d x 2y12 0

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM1MM2 2

Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với 1 3 C1

, C3 Khi đó với mọi điểm

I I

Câu 38: Cho các số phức z1  1 3i, z2  5 3i Tìm điểm M x y ; 

biểu diễn số phức z , biết3

rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x 2y  và mô đun số1 0phức w3z3 z2 2z1 đạt gí trị nhỏ nhất

là điểm biểu diễn cho z và A   1; 1

là điểm biểu diễn cho số phức 1 i  , khi đó z  1 i AM với M thuộc đường tròn  C

55sin

Vậy giá trị lớn nhất của z 1 i là 2 5 Dấu " " xảy ra khi sina   1

22

33

y 

,

15

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng : x 2y 3 0

Ta có min z dO, Gọi  d là đường thẳng qua O và vuông góc với 

là điểm biểu diễn số phức z x yi  Vì z  nên 2 i M N2;1.

2

w 

3min

Câu 44: Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2i  z 3 i 3 5 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z 1 3i Tìm M , m

Vì 1   y 5 1 6y 5 25   1 z 1 5

Vậy z 1 nhỏ nhất khi

11

x y

Tập hợp điểm A là đường thẳng d1: x=2.

( ) ( ; )

z2= + Þa i B z2 =B a 1 Þ

Tập hợp điểm B là đường thẳng d2: y=1.

Giao điểm của d1 và d2 là P(2 1; ).

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d1 và d2

I

P M

d2

55

x y

x y

x

P y

x

P y

Câu 48: Cho số phức z a bi a b   ,   thỏa mãn  z 1 i  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức1

5

P  a b là

A 3 2 B 2 2 C 3 2 2 D 2 2

Lời giải

 Theo BĐT Bunhia ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2

Câu 50: Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn 2 1 1  2 

a a i a

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O bán kính R 1

Ta có: OI  Do đó: 5 OMmin OM1 OI R  5 1 4

Câu 51: Xét số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2 b2 bằng

Lời giải

Gọi M x y ; 

là điểm biểu diễn số phức z x yi  với x y  ,

Ta có z 2 4 i  5 x 22y 42   tập hợp điểm biểu diễn số phức 5 z là

Vậy a2 b2 40

Câu 52: Cho z z là hai trong các số phức thỏa mãn 3 3 21, 2 z  i 

và z1 z2  Giá trị lớn4nhất của z1  z2 bằng

Vậy điểm biểu diễn số phức z z thuộc đường tròn tâm 1, 2 I3, 4, bán kính R 5

Giả sử z1  x1 y i1 có điểm biểu diễn A x y 1, 1; z2 x2y i2 có điểm biểu diễn B x y 2, 2 .

Vì z1 z2  4 x1 x22y1 y22  4 AB4