DẠNG 20 tìm điểm BIỂU DIỄN số PHỨC CHO TRƯỚC

CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm điểm biểu diễn số phức khi biết tọa độ..  Tìm tập điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đường tròn, elip, parabol.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z a bi  , a b   được biểu diễn bởi điểm ,  M a b  ; 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tìm điểm biểu diễn số phức khi biết tọa độ

 Tìm tập điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đường tròn, elip, parabol

BÀI TẬP MẪU

phức 3 2i có tọa độ là A.2;3 . B.2;3

C.3;2 . D.3; 2 

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định điểm biểu diễn của một số phức.

Phương pháp

Số phức z a bi  , a b  , 

được biểu diễn bởi điểm M a b ; 

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Dạng z a bi  , a b  , 

B2: Tìm điểm biểu diễn của số phức z là M a b ; 

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D Điểm biểu diễn số phức z 3 2i có tọa độ là 3; 2 

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Điểm M4; 1  là điểm biểu diễn số phức nào sau đây?

A z 4 i B z 4 i C z 1 4i D z 1 4i

Hướng dẫn giải Chọn A

Điểm M4; 1  là điểm biểu diễn số phức z  4 i

Câu 2 Điểm M trong hình vẽ biểu diễn số phức z Số phức z bằng

x y

-3

-2 O

M

1

A z 2 3i B z 2 3i C z 2 3i D z 2 3i

Lời giải Chọn D

Từ hình vẽ ta có z  2 3i z 2 3i

Câu 3 Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z Số phức z là

DẠNG TOÁN 20: TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC

Trang 2

y

2

-3

O

M

1

A z  3 2i B z  3 2i C z  3 2i D z  3 2i

Lời giải Chọn B

Từ hình vẽ ta có z 3 2i, suy ra z  3 2i

Câu 4 Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z tìm phần thực và

phần ảo của số phức z

x

y M

2

-1

A Phần thực là 1 và phần ảo là 2i B Phần thực là 2 và phần ảo là 1

C Phần thực là 2 và phần ảo là i D Phần thực là 1 và phần ảo là 2

Ta có số phức z 1 2i nên phần thực là 1 và phần ảo là 2

Câu 5 Cho số phức z thoả mãn 2 3 i z 23 2 i Hỏi điểm biểu diễn số phức z là

điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

x y

Q P

5

-5

A Điểm N B Điểm M C Điểm P D Điểm Q

Ta có 2 3 i z 23 2 i

23 2

4 5

2 3

i



 Do vậy điểm M4;5 là điểm biểu diễn số phức z

Câu 6 Cho số phức z 3 2i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

A Q  1;3 B P5; 5  C M  5;5 D N1; 3 

w z i z   3 2i i 3 2 i  5 5i

Trang 3

Vậy điểm biểu diễn của số phức w z i z  . là P5; 5 .

Câu 7 Cho số phức z 1 2i 2 3 i, điểm biểu diễn của số phức .iz là

A M  1;8 B M1;8 C M8; 1  D M8;1

Lời giải:

Chọn A

1 2  2 3  8

z  i  i   i  i z  1 8i Điểm biểu diễn số phức .iz là M1;8

Câu 8 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 3 4i và B là điểm biểu diễn của số

phức z  3 4 i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

B Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

C Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x

D Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

Lời giải Chọn A

Dựa vào giả thiết ta suy ra A3; 4  và B  3; 4

Ta thấy A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Câu 9 Cho hai số phức z1 1 i và z2  1 2i Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn

của số phức 3 z1 z có tọa độ là 2

A 4; 1  B 1;4 C 4;1. D 1; 4.

Lời giải

Chọn A

Ta có: 3z1z2 3 1  i 1 2i 4 i.

Vậy điểm biểu diễn số phức 3 z1 z là điểm có tọa độ 2 4; 1 

Câu 10 Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B , C lần lượt là điểm biểu diễn hình

học của các số phức z1  , 2 i z2  1 6i, z3   Số phức 8 i z có điểm biểu4

diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC

A z4  9 6i B z4  3 2i C z4  3 2i D z4  9 6i

Ta có:A2; 1 , B  1;6, C8;1

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G3; 2  z4  3 2i

 Mức độ 2

Câu 1 Cho các điểm A, B, C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số

phức 5 i ,  2 i, 2 6i Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình

hành Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây?

A z 4 6i B z 2 8i C z 5 4i D z 9 8i

Ta có: A(5; 1) , B ( 2;1), C(2; 6) Gọi D x y D; D

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD BC  D 5 41 7

D

x y

 



 

 

  D9; 8 

Trang 4

Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy A, 1;2 , B7; 5  lần lượt biểu diễn hai số phức z z1, 2.

C biểu diễn số phức z1z2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A C có tọa độ 6; 3  B CB biểu diễn

số phức  z1

C AB

biểu diễn số phức z1 z2 D OACB là hình thoi.

Lời giải Chọn C

Ta có OA biểu diễn cho z OB1,

biểu diễn cho z nên OA OB BA2    

biểu diễn cho z1 z2 Các câu còn lại dễ dàng kiểm tra là đúng

Câu 3 Cho số phức z m  1 2m 3i , m   Tìm m để điểm biểu diễn của số phức

z nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A m  2 B

4 3

m 

1 3

m 

3 2

m 

3

z m   m i M m m d yx m m  m

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4i; M'

là điểm biểu diễn cho số phức

1 ' 2

i

z   z

Tính diện tích tam giác OMM '

15 2

OMM

S 

25 4

OMM

S 

25 2

OMM

S 

15 4

OMM

S 

 

3 4 3; 4

z  i M 

i

                 

        



Ta có  OM MM  '. ' 0  OMM'

vuông tại M ' nên:

'

' '

OMM

Câu 5 Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z210z34 0 Tìm

tọa độ điểm M biểu diễn số phức w i 1z1

A M2; 8  B M  2;8 C M  8; 2 D M8; 2 

Ta có

1 2

2

5 3

10 34 0

5 3

 



      

 Suy ra w i 1z1 i 1  5 3i  8 2i

Vậy tọa độ điểm M biểu diễn số phức w i 1z1 là M8; 2 

Trang 5

Câu 6 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 3 i z  1 9i Số phức

5

w iz



có điểm biểu diễn là

A 1; 2 B 2; 1  C 1; 2  D 2; 1 

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z a bi  a b  ,   z  a bi

Ta có:

2 3  1 9

z  i z   i  a bi  2 3 i a bi     1 9i

         a 3b 3ai3bi 1 9i

3 1

a b

  



 

  



2 1

a b





 



  z 2 i

1 2 2

iz i i

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là A1; 2 

Câu 7 Gọi M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của z , 1 z trên mặt phẳng tọa độ,2

I là trung điểm MN , O là gốc tọa độ (ba điểm O , M , N phân biệt và không

thẳng hàng) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A z1z2 2OI B z1z2 OI

C z1z2 OM ON

D z1z2 2OM ON 

Gọi M x y là điểm biểu diễn của số phức  1; 1 z1x1y i1

 2; 2

N x y là điểm biểu diễn của số phức z2 x2y i2

Khi đó z1z2 x1x2  y1y i2  z1z2  x1x22y1y22

Vì I là trung điểm MN nên

1 2; 1 2

x x y y

I   

Câu 8 Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 3 5i i  ; 2 3i ;

2 1i

i



.Tìm số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành.

A z 8 2i B z  7 i C z 5 7i D z 5 7i

Ta có: 3 5 i i  5 3i nên tọa độ A5;3

2 3i nên tọa độ B2; 3 

2 1

2

i

i i



  nên tọa độ C2;1

Trang 6

Để ABCD là hình bình hành: AD BC 

nên

5 0

3 4

x y

 





 



5 7

x y





 



Vậy D có điểm biểu diễn số phức là z 5 7i

Câu 9 Giả sử A , B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z , 1 z Khi đó độ dài2

của AB

bằng

A z2  z1 B. z1  z2 C. z1  z2 D z2 z1

Giả sử z1  a bi, z2  c di, a b c d  , , , 

Theo đề bài ta có: A a b ; , B c d ;     

   

2 1

z  z  c a  d b i  z2 z1  c a 2d b 2

Câu 10 Cho 3 điểm A, B , C lần lượt biểu diễn cho các số phức z , 1 z , 2 z Biết3

1 2 3

z z z và z1z2  Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?0

vuông tại C

C Tam giác ABC cân tại C D Tam giác ABC vuông cân tại C

Vì z1z2  nên 0 z z là hai số phức đối nhau, do đó hai điểm 1, 2 A B, đối xứng

qua gốc O ( tức O là trung điểm của đoạn thẳng AB)

AB

z z z  OA OB OC   CO

Vậy ABC có độ dài đường

trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C

 Mức độ 3

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn z i  Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các1

số phức w z  2i là một đường tròn Tâm của đường tròn đó là:

A I0; 1  B I0; 3  C I0;3 D I0;1

Lời giải

Chọn B.

Ta có w z  2i z w 2i

Gọi w x yi x y  ,   Suy ra  z x 2y i

Theo giả thiết, ta có x2y i i  1

Vậy tập hợp các số phức w z  2i là đường tròn tâm I0; 3 

Câu 2 Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z;iz

bằng

Lời giải Chọn C.

Trang 7

Gọi z a bi  , a b  , nên iz ai b  , z i z  a bi b ai   a ba b i 

Ta gọi A a b ,  ,  B b a , , C a b a b  ,   nên AB b a a b  ,  

, ACb a,  1

2

18

2 a b

    1 2 2

18

2 a b

    a2b2  6 z 6

Câu 3 Cho số phức z có z 4 Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy

biểu diễn số phức w z 3i là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

4

Gọi số phức w x yi  , trong đó x , y  

Điểm M x y là điểm biểu diễn số phức w  ; 

Ta có: w z 3i w 3i z  w 3i z  w 3i z  x2 y 32 4

 2

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là một đường tròn có tâm

0;3

I và bán kính bằng 4

Câu 4 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

z  z 

A Đường tròn    

x  y  B Elip

2 2

1

25 4

x y

C Đường tròn    

x  y  D Elip

2 2

1

25 21

x y

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z x yi ;    , ,x y   Gọi A là điểm biểu

diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có:

z  z   MB MA 

Ta có AB 4 Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với tiêu điểm là A2;0, B  2;0, tiêu cự AB 4 2c, độ dài trục lớn là 10 2a , độ dài trục bé là 2b2 a2 c2 2 25 4 2 21 

Vậy, tập hợp là Elip có phương trình

1

25 21

Câu 5 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z i  z z 2i là

Parabol D Một Elip.

Gọi z x yi   z  x yi, x y  ,

2 z i  z z2i  2 xy1i 2y2i  2 x2y12  022y22

4 x y 2y 1 4y 8y 4

        4x2 16y

2 1 4

Trang 8

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z i  z z 2i là

một Parabol  P có phương trình:

2 1 4

Câu 6 Cho số phức z thỏa mãn z 2 3 i  z 2 3 i Biết z 1 2i  z 7 4 i 6 2 ,

 ; 

M x y là điểm biểu diễn số phức z , khi đó x thuộc khoảng

A 0;2 B 1;3 C 4;8 D 2;4

z  i  z  i  (x 2)2(y3)2 (x 2)2(y 3)2  y0

z  i  z  i   (x1)2 4 (x 7)216 6 2

(x 1) 4 6 2 (x 7) 16

2

11 2 28 130

 2 2

11

11 2 28 130

x





 

11

6 9 0

x





 

  

  x Thử lại thấy thỏa mãn.3

Câu 7 Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

12 5  17 7

13 2



A d: 6x4y 3 0 B d x: 2y1 0

C  C x: 2y2 2x2y 1 0

D  C x: 2y2 4x2y 4 0

Đặt

 ,  2

z x yi x y





 





12 5  17 7

13 2



 

12 5i z 17 7i 13z 2 i

12 5i z  1 i 13z 2 i

        12 5 i z  1 i 13 z 2 i 13z  1 i 13z 2 i

       x yi    1 i x yi 2 i x12y12 x 22y12

6x 4y 3 0

    (thỏa điều kiện z  ).2 i

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 6x4y 3 0

Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  Tập hợp3

các điểm biểu diễn cho số phức w z 1i là đường tròn

A Tâm I3; 1 , R 3 2 B Tâm I  3;1, R 3

C Tâm I  3;1, R 3 2 D Tâm I3; 1 , R 3

Ta có z 1 2i 3 z1i   1 2 1i  i 3 1i  w 3 i 3 2

Giả sử w x yi  x y  ,   x 3y1i 3 2

x 32 y 12 18

      I3; 1 , R  18 3 2

Trang 9

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4 i  Trong mặt phẳng 2. Oxy tập

hợp điểm biểu diễn số phức w2z 1 i là hình tròn có diện tích

A S 9 B S12 C S 16 D S 25

1

2 1

2

w z  i z  

 

1

2

z  i       i   w  i  i   w  i 

Giả sử w x yi  x y,   , khi đó   1 x 72y92 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I7; 9 , bán kính 4

r 

Vậy diện tích cần tìm là S .42 16 

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z- +3 4i =2và w=2z+ - Trong mặt phẳng 1 i

phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R Khi đó:

A I( 7;9),- R=16 B I( 7;9),- R=4 C I(7; 9),- R=16 D I(7; 9),- R=4.

Giả sử z= +x yi x y( , Î ¡ ).

z- + i = Û x+ - +yi i = Û x- + +y = .

Từ w=2z+ - =1 i 2(x+yi)+ - =1 i (2x+ +1) (2y- 1)i.

Giả sử w= +a bi a b( , Î ¡ ) Ta có

1

2

a x

y

-ïï = ï

ì + =

ïî ï =ïïïî . Thay x y, vào phương trình ( )* , ta có

æ- ö æ÷ + ö÷

Suy ra w chạy trên đường tròn tâm I(7; 9- ), bán kính R=4.

 Mức độ 4

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H là tập hợp các điểm biểu diễn

hình học của số phức z thỏa mãn

12

4 3 2 2

z z

  





  

 Diện tích của hình phẳng

 H là

A 4 4 B 8 8 C 2  4 D 8  4

Trang 10

y

D

6

O

A

B

I

3

4

M

Cách 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z x yi  là điểm

 ; 

M x y

Ta có

12

4 3 2 2

z z

  





  

2 12

x



 

6 6

x x

 

 

 



Hình phẳng  H

là hình tô đậm trên hình vẽ

Ta có IA IB 2 2, ID 2và AB2AD2 IA2 ID2 4, suy ra

 2

AIB

Gọi S là diện tích hình quạt 1 AIB Ta có

2 1

1

2 4

Diện tích tam giác AIBlà 2

1

2

Vậy diện tích hình phẳng  H là S H S1 S2   2 4

Cách 2:

Hình phẳng  H được biểu thị là phần tô màu trên hình vẽ (kể cả bờ), là hình giới hạn bởi đường tròn  C có tâm I4;3 , bán kính R 2 2và đường thẳng 6

x 

Ta có x 42y 32 8 y 32  8 x 42  y 3 8 x 42

 C cắt đường thẳng 3 y  tại 2 điểm có tọa độ 4 2 2;3 

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 y 3 8 x 42

, 3

y  , x  , 6 x  4 2 2

Ta có   4 2 2  2

0

6

2 2 8 4 d 2, 2831

H



Vậy ta chọn C

Câu 2 Gọi z z là hai trong các số phức 1, 2 z thỏa mãn z 3 5 i 5và z1 z2 6 Tìm

môđun của số phức   z1 z2 6 10 i

A  10 B  32 C  16 D   8

Trang 11

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3 5 i 5 là đường tròn  C tâm I3; 5  bán kính R  5

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z suy ra 1, 2 M N, nằm trên đường tròn  C Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH MN

Do z1 z2  6 MN  6 MH NH  3 IH  IM2 MH2  4

1 2 6 10 1 3 5 2 3 5



         

     

Câu 3 Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức

z thoả mãn đồng thời z  và m z 4m3mi m2

Đặt z x yi  x y,   Ta có điểm biểu diễn  zlà M x y  ; 

Với m  , ta có 0 z  , thoả mãn yêu cầu bài toán.0

Với m  , ta có:0

+ z m M thuộc đường tròn  C tâm 1 I0;0 , bán kính R m

 M thuộc đường tròn C tâm 2 I4 ; 3m  m, bán kính R m2

+) Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  C1

và C tiếp xúc nhau 2

2

5

4 5

6 0

m

  

   

       



 Kết hợp với m  , suy ra 0 m 0; 4;6 Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10

Câu 4 Cho z , 1 z là hai trong các số phức 2 z thỏa mãn điều kiện z 5 3 i  , đồng5

thời z1 z2  Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 8 w z 1 z2 trong mặt

phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

A

x  y 

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,3 MB