Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Người thực hiện: V

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LƯU ĐÌNH CHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Vũ Thị Thanh Huyền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 3 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Trang 4 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Trang 17

Danh mục các đề tài SKKN đã được đánh giá đạt từ loại C trở lên Trang 19

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Kể từ năm 2016 trở về trước, số phức là một nội dung không khó và chiếm tỉ

lệ nhỏ trong các đề thi THPT quốc gia Song năm học 2016 – 2017, với việc thay đổi hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, thì số phức lại là nội dung được khai thác nhiều và trải đều trên cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Trong đó, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của môđun số phức thường được khai thác ở mức độ vận dụng thấp đến mức độ vận dụng cao

Thông thường, những bài toán này được giải quyết theo phương pháp đại số,

mà chủ yếu là dùng bất đẳng thức và mỗi bài thường được đánh giá theo mỗi cách khác nhau Cách làm này đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo cao và vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức phần bất đẳng thức Đối với học sinh có học lực trung bình khá trở xuống, mảng kiến thức này là một thách thức đối với các em Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy đa số học sinh thường có xu hướng bỏ qua các bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của môđun số phức trong các đề thi Tuy nhiên, bằng cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học thì rất nhiều bài được giải quyết khá đơn giản, hiệu quả và có thể vận dụng cho nhiều bài tập khác

Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến bài toán cực trị số phức song chỉ đưa ra phương pháp đại số để giải quyết hoặc có đề cập đến phương pháp hình học nhưng rời rạc, không hệ thống Do đó, học sinh vẫn lúng túng khi vận dụng, không biết cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học và khi nào thì chuyển được

Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải quyết được các bài toán này, tôi lựa chọn nghiên cứu và triển khai thực hiện đề tài:

“Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra cho học sinh một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn để giải quyết bài toán cực trị số phức mà đa số học sinh có thể tiếp thu và vận dụng được

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán cực trị số phức và các cách giải quyết bài toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết và phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Để làm được bài toán cực trị số phức, ngoài kiến thức về số phức, học sinh cần được trang bị thêm một số kiến thức sau về mô đun số phức và cực trị hình học:

* Mô đun của số phức:

' '

' '

z z

z z (với z ≠ 0) [6]

* Một số bài toán cực trị hình học:

Bài toán 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một

đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất [7]

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm I cố định, điểm M thay đổi trên đoạn AB

Khi đó:

+ Nếu tam giác ABI có IAB tù hoặc ABI tù thì MImin = Min {IA; IB}

MImax = Max {IA; IB}

+ Nếu tam giác ABI có IAB và IBA đều không tù thì MImin = d(I; AB)

MImax = Max {IA; IB}[1]

Bài toán 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và điểm I cố định Một điểm M

thay đổi trên (C) Khi đó

- Nếu I nằm ngoài (C) thì MImin = OI – R, MImax = OI + R

- Nếu I nằm trong (C) thì MImin = R – OI, MImax = OI + R

- Nếu I nằm trên (C) thì MImin = 0, MImax = 2R [2]

Vậy MImin  OI – R , MImax  OI R

M1

O

I

M2

2

B

I

A

M

B

I

Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định Gọi O là

trung điểm AB Một điểm M thay đổi trên elip (E)

cố định có tiêu điểm là A và B Giả sử (E) có độ

dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b Khi đó, độ

dài đoạn OM lớn nhất bằng a và nhỏ nhất bằng b

Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định và 2 điểm

A, B cố định không nằm trên d Một điểm M thay

đổi trên d Khi đó:

+ Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ

là đường thẳng d thì (MA + MB)min = AB khi M =

AB  d

+ Nếu A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng d thì (MA + MB)min = A’B khi M =

A’B  d với A’là điểm đối xứng với A qua đường

thẳng d [1]

Bài toán 6: Cho đường tròn (C) và đường thẳng d

cố định Một điểm M thay đổi trên (C) và một

điểm N thay đổi trên d

Khi đó MNmin = R d I d ( ; )

Dấu “=” xảy ra khi M  H, N  K [2]

Bài toán 7: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cố

định Một điểm M chạy trên đường tròn ( )C1 và điểm N chạy trên đường tròn ( )C2

Ta có:

+ Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2

+ Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì MNmin = I1I2 – R1 + R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2

+ Nếu (C1) và (C2) đựng nhau thì MNmin = R1 R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2 [2]

M

d B

A

M M'

d H

A

B

A'

M M'

d d'

K H

L

I M

N

B

A

D C

I1 I2

M

N

C

B A D

B A

C

M

N

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Khi gặp bài toán cực trị số phức, đa số học sinh gặp khó khăn bởi thực chất bài toán tìm GTNN và GTLN của mô đun số phức chính là bài toán cực trị đại số -một nội dung rất khó trong chương trình toán THPT Đây là nội dung thường được bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi Nó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và

tư duy sáng tạo cao Nếu đưa được về cực trị một biến thì học sinh còn có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Song nếu là cực trị nhiều biến thì học sinh thường lúng túng vì không biết sử dụng bất đẳng thức để đánh giá như thế nào Do

đó, các em thường không giải quyết được bài toán hay nếu giải được thì cũng rất chật vật

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lưu Đình Chất nói riêng, tư duy logic và tư duy sáng tạo còn rất hạn chế Vì vậy, khi gặp bài toán cực trị số phức trong các đề thi, các em thường có xu hướng

bỏ qua, dẫn tới kết quả thi chưa cao

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, tôi giới thiệu cho học sinh phương pháp chung để giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học Sau đó, tôi chia các bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản và sắp xếp hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, bài tập sau kế thừa và khai thác kết quả bài tập trước Với cách làm như vậy, học sinh không còn “ngợp” khi đứng trước bài toán cực trị số phức và từng bước nâng cao tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề, đến một mức nào

đó, các em hoàn toàn có thể tự mình làm được những bài tập khó

Phương pháp chung:

-Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số phức z -Bước 2: Chuyển yêu cầu tìm cực trị số phức sang tìm cực trị hình học của điểm biểu diễn hình học của z

-Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán

Thực chất của bước 1 và bước 2 là diễn đạt lại yêu cầu bài toán theo ngôn ngữ hình học Hai bước này quyết định sự thành công của bài toán GV cần phân tích cho học sinh hiểu được rằng: Có thể giả thiết của số phức z và yêu cầu tìm cực trị số phức là khác nhau song nếu biểu diễn hình học của nó là một thì cách giải các bài toán này là như nhau

Cụ thể, tôi chia bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản sau:

Dạng 1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng Tìm số phức z

có z z ' lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 1 Cho số phức z thỏa mãn: z i   1 z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Hướng dẫn

Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y R) thì z OM

Ta có: z i   1 z 2i  x 1 (y1)i  x (y 2)i

x 12  y 12 x2  y 22 x 3y 1 0

M thuộc đường thẳng (d): x3y 1 0

Þ z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất

1 ( ; )

10

OM d O d

10

z OM

Ví dụ 2 Cho số phức z thỏa mãn: z 2 3 i   z 1 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của

3

z i .

Hướng dẫn

Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y R)

Gọi I(3; -1) thì z 3 i IM

Ta có: z 2 3 i   z 1 2i  x 2 ( y3)i   x 1 (2 y i)

x 22 y 32 x 12 2 y2 3x 5y 8 0

            Þ M thuộc đường thẳng (d): 3x 5y 8 0

Þ z 3i nhỏ nhất  IM nhỏ nhất ( ; ) 3 34

17

IM d I d

min min

3 34 3

17

z i IM

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i  z 4i Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

iz  .[3]

Hướng dẫn

Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y R)

Ta có: z 2 2i  z 4i  x 2 (y 2)i  x (y 4)i

x 22  y 22 x2  y 42 x y 2 0

           (1)

Ta lại có: iz  1 y 1 xi  (y 1)2 x2 (2)

Đặt N(y; x), I(1; 0) thì từ (1) và (2) Þ IN = iz 1 và N thuộc đường thẳng

(d): x y  2 0

Þ iz 1nhỏ nhất  IN nhỏ nhất ( ; ) 2

2

IN d I d

min

2 1

2

iz IN 

d O

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn uz 3 i z   1 3i là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Hướng dẫn

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y R) thì z OM

Ta có: ux3  y 1i  x1  y 3i x2y24x 4y 6 2x y 4i

Þ u R  x y   Þ M thuộc đường thẳng d: x – y + 4 = 0 4 0

Þ z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  OM d O d( ; ) 2 2 Þ zmin OMmin 2 2

Ví dụ 5 Cho số phức z thỏa mãn: z2 4 z z( 2 )i Tìm giá trị nhỏ nhất của

z i

Hướng dẫn

Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y R) , I(0; -1) thì

z i IM

Ta có: 2 4 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 2 0

2

z i

z z z i z i z i z z i

z i z

 



 



* z2i 0  z = -2i  z + i = -i Þ z i 1

* z 2i z  x2 (y 2)2 x2 y2  y 1 0 Þ M d y :  1 0

Þ z i nhỏ nhất  IM nhỏ nhất  IM d I d( ; ) 2 Þ z i 2

Từ 2 trường hợp Þ Min z i 1

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đoạn thẳng Tìm số phức z

có z z ' lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 6 Cho số phức z thỏa mãn z 1 i  z 3 2 i  5 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M + m.

Hướng dẫn

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi Þ

Đặt A(1; 1), B(3; 2) Khi đó

z  i  z  i   MA MB  AB

MA MB AB

Þ   Þ M thuộc đoạn thẳng AB

Ta có:  AO AB  Þ3 OAB tù nên OA OM OB 

Þ M Max z OB 13, m Min z OA 2

Þ M m  13 2

B

O A

M

Ví dụ 7 Cho số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1i .

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi

Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1) Þ z  1 i MI

Ta có:

z  i  z  i   MA MB AB 

Þ M thuộc đoạn thẳng AB

Ta lại có: AI AB 6;BI BA 66Þ IAB v IBA à 

   

nhọn

Þ Max z  1 i Max{IA, I }B  73

Min z  1 i d I AB( ; )

Phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0 Þ 1 ( ; ) 5

2

Min z  i d I AB 

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn Tìm số phức z

có z z ' lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 8 Cho số phức z thỏa mãn: z 3 4 i 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z OM Ta có:

z  i   x  y 

Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính R 4

5 4 9

max

Min z OM OI R

Max z OM OI R

Ví dụ 9 Cho số phức z thỏa mãn: z 2 3 i 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

z i [4]

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi Þ N(x; - y) là điểm biểu

diễn của z x yi 

Gọi A(- 1; - 1) Þ z  1 i AN

Ta có: z 2 3 i  1 x 22 y 32 1

Þ N thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 1

B

I A

M

min min

m ax

m ax

Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn 2 2

1

z i

z i

 



  Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z OM

Ta có: 2 2 2  1 2 1  1

1

z i

z i

 

 

x 22  y 12 2x 12  y 12 x2  y 32 10

Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính R  10

10 3

max

Min z OM OI R

Max z OM OI R

Ví dụ 11 Cho số phức z thỏa mãn 1

3

3 4 1

2 3 4 8

z i

z i

    



  

Tìm giá trị nhỏ

nhất và lớn nhất của z

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z OM

Ta có:

1

3

z i

x 32  y 42 52

     Þ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn (C)

tâm I(3; - 4) bán kính R 5

5 5 10

max

Min z OM OI R

Max z OM OI R

      Þ Min z  và Max0 z  10

Ví dụ 12 Cho số phức z thỏa mãn: z2  6z25 2 z 3 4 i Tìm giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của z 3 5 i

Hướng dẫn

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y R)

Gọi A(3; -5) Þ z 3 5 i AM

Ta có: z2 6z25 2 z 3 4 i I

M'

3 4 0 ( 3 4 )( 3 4 ) 2 3 4

3 4 2

z i

z i

  



  



* z 3 4 i  0 z  3 4i z 3 5 i 1

* z 3 4 i  2 x 32  y 42  Þ M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; 4), 4 bán kính R = 2 Þ 3 5 min 9 3 6

Min z i AM AI R Max z i AM AI R

Từ 2 trường hợp trên Þ Min z 3 5 i 1, Max z 3 5 i 12

Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn 3 3 2 1 2 3

1 2 2

i

i



nhất và lớn nhất của z 3 2 i

Hướng dẫn

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y R) , gọi A(3; 2) Þ N(y; x) là

điểm biểu diễn của z x yi  và z 3 2 i AN

Ta có: 3 3 2 1 2 3 ( 1 2 )( ) 1 2 3

1 2 2

i

i





(x y 2 1) ( x 2 y 2)i 3 (x y 2 1) ( x 2 y 2) 3

x y x

    Þ N thuộc đường tròn (C) tâm I1;0 , R1

min min

m ax

m ax

Dạng 4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một elip Tìm số phức z có z z '

lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 14 Cho số phức z thỏa mãn z4  z 4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

A 10 và 4 B 5 và 4 C.4 và 3 D 5 và 3 [8]

Hướng dẫn

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z Đặt A(-4; 0), B(41; 0)

Khi đó z4  z 4 10  MA MB 10 và

Do MA + MB = 10 Þ M thuộc elip (E) có tiêu a b

M

a b

M

điểm là A(-4; 0), B(4; 0) và độ dài trục lớn là

2a = 10

(E) có tiêu cự 2c = AB = 8 Þ c = 4 Þ b2 a2  c2 32 Þ (E) có độ dài trục nhỏ 2b

= 6

Khi đó Max z maxOM  a 5, Min z minOM  b 3 Þ đáp án D

Nhận xét : GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a =

AB và 2a < AB để tránh nhầm lẫn dạng 2 và dạng 4

Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa mãn 2 2 4

  Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z .

Hướng dẫn

1 ( 1) 1 ( 1) 4 1 ( 1) 1 ( 1) 4 (1)

                    Gọi M(y; x), A(1; -1), B(-1; 1) Þ (1)  MA + MB = 4

Þ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn

2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 2 , có tâm O(0; 0) là trung

điểm AB

Ta có: b2 = a2 – c2 = 2 Þ b  2 Þ độ dài trục nhỏ 2b 2 2

Ta lại có OM = y2 x2 z

Þ Max z MaxOM  a 2, Min z MinOM  b 2

Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn z 4 3i  z 8 5 i 2 38 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 4 i .

Hướng dẫn

Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z Đặt A(-4; 3), B(8; 5) Þ I(2; 4) là trung điểm của AB

Khi đó z 4 3i  z 8 5 i 2 38 MA MB 2 38 và z IM .

Do MA + MB = 2 38 Þ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B và độ dài trục lớn

là 2a = 2 38 , tâm là I(2; 4)

(E) có tiêu cự 2c = AB = 2 37 , có độ dài trục nhỏ 2b = 2 (trong đó

b a  c  )

Khi đó Max z max IM  a 38, Min z minOM  b 1

Bài tập vận dụng.