GIÚP HS NÂNG CAO kỹ NĂNG GIẢI tốt một số bài TOÁN cực TRỊ số PHỨC

Mô tả bản chất của sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp đã biết Số phức là vấn đề hoàn toàn mới được đưa vào dạy ở chương trìnhphổ thông, nhưng với thời lượng dành cho số phức thì không đ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

(Trần Duy Tân, Nguyễn Thị Hồng Châu,

Nguyễn Văn Chung, @THPT Ngô Văn Cấn,Nguyễn Văn Reo, @THPT Phan Văn Trị)

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Chương trình Toán THPT)

3 Mô tả bản chất của sáng kiến

3.1.Tình trạng giải pháp đã biết

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới được đưa vào dạy ở chương trìnhphổ thông, nhưng với thời lượng dành cho số phức thì không được nhiều;với các nội dung về khái niệm về số phức, phép cộng trừ nhân chia hai sốphức, phương trình bậc hai với hệ số thực Phần lớn học sinh thường chỉ

áp dụng những dạng toán cơ bản như tìm phần thực, phần ảo, môđun sốphức, ….hay giải phương trình đơn giản trên tập số phức Tuy nhiên, khivận dụng các bài toán về số phức, đặc biệt là các bài toán liên quan đếncực trị về số phức thì học sinh còn lúng túng, hay còn e ngại trong việcphân tích đề để tìm lời giải vì ngoài những kiến thức cơ bản về số phứcthì học sinh còn phải sử dụng đến những kiến thức liên quan như bất đẳngthức, tập hợp điểm biểu diễn trong mặt phẳng,… Bên cạnh đó, kể từ nămhọc 2016 – 2017 thì hình thức thi THPT quốc gia môn Toán được chuyển

từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm, khi đó các câu hỏi về sốphức không chỉ gói gọn trong các dạng đơn giản về số phức hay giảiphương trình số phức mà được mở rộng sang nhiều vấn đề hơn, trong đó

có dạng toán cực trị số phức Khi đó vai trò của người giáo viên rất quan

trọng trong việc tìm những phương pháp dạy học thích hợp để tác độngtới từng đối tượng để học sinh có thể tìm tòi nghiên cứu, đánh thức tiềmnăng cũng như phát huy tính sáng tạo của bản thân đáp ứng yêu cầu đổimới giáo dục hiện nay.

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

- Vấn đề được nêu trong giải pháp của sáng kiến này là thông quabài toán kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của sốphức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trìnhđường thẳng, đường tròn, đường Elíp, sẽ giúp học sinh giải quyết tốtcác bài toán và khai thác kiến thức cơ bản của bài toán, kết hợp vận dụngkiến thức về bất đẳng thức, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,

để từ đó giải quyết được bài toán “cực trị số phức thoả mãn điều kiện chotrước” Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duylogíc của mình giải quyết nhanh gọn bài toán, tạo thêm niềm hăng saycũng như sự đam mê toán học đến với học sinh

3.2.2 Điểm mới trong giải pháp

Qua quá trình nghiên cứu và tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao

kỹ năng giải tốt một số bài toán cực trị số có những điểm mới như sau:

+ Các bài toán được tổng hợp lại và được hệ thống thành các dạngđược giải theo các cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề

+ Các dạng bài tập được thực hiện từ đơn giản đến phức tạp, giúphọc sinh vận dụng từ các kiến thức phần khác như bất đẳng thức, phươngtrình đường thẳng, đường tròn, đường Elip,… để giải các bài toán liênquan giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức.

+ Các bài toán được biên soạn theo hình thức trắc nghiệm phù hợpđịnh hướng đổi mới trong kiểm tra, đánh giá của Bộ giáo dục và đào tạo

và thực tiễn của kỳ thi THPT quốc gia

+ Tăng cường kỹ năng sử dụng máy tính bỏ túi cũng như kỹ thuậtgiải nhanh các bài toán trắc nghiệm để giúp học sinh ứng dụng làm tốtcác bài toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới

3.2.3.Nội dung giải pháp

Nội dung giải pháp nâng cao kỹ năng giải tốt một số bài toán cựctrị số gồm ba phương pháp giải:

³

Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = =a n

3 Bất đẳng thức Bunhiacopxky:

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn z- - 1 2i = 4 Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z+ + 2 i Tính

Bài toán 3 Trong các số phức zthỏa mãn z- (2 + 4i) = 2, gọi z1

và z2là số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất Tính tổng phần ảo củahai số phức z1và z2

Bài toán 5 Trong các số phức z thỏa 2z+ = -z z i , tìm số phức

có phần thực không âm sao cho z- 1

Bài toán tương tự: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn

Bài toán 7: Cho số phức z thỏa mãn |z- 3 - 4i| = 5 Gọi M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác

 z- (a bi+ ) =R: Điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn

tâm I a b( ); bán kính R

 z- (a1 +bi1 ) = -z (a2 +bi2 ) : Điểm biểu diễn số phức z nằm trên

đường trung trực của đoạn AB với A a b B a b( 1 ; , 1) ( 2 ; 2)

 Đặc biệt : z c+ + -z c = 2a: Điểm biểu diễn số phức z

nằm trên Elip (E): x22 y22 1

a +b = với a2 =b2 +c2 ( a, b, c đều dương)

B Các dạng toán thường gặp

* Dạng 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường

thẳng D:ax by c+ + = 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên 

Cách 2: Với bài toán có cho sẳn đáp án thì ta có thể thay z của đáp

án vào đề bài thỏa:

z- - i = -z i và kiểm tra môđun nhỏ nhất là được

Bài toán 2 Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z+ - 2 2i = -z 4i

Tìm số phức z sao cho w=iz+ 1 có môđun nhỏ nhất

Gọi H là hình chiếu của A lên   min w =AH

Đường thẳng d qua A và vuông góc với  có phương trình

* Dạng 2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

a) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C)

có tâm I a b( ); bán kính R Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm O và

I Khi đó đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm như hình vẽ bên.

Hai nghiệm  tọa độ hai điểm A, B , so sánh độ dài OA, OB

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 +z2 =R R,( > 0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Khi đó IA = z1 - z2 =R2

Suy ra maxP =AM1 =R1 +R2 và minP =AM2 = R1 - R2

Muốn tìm số phức z sao cho Pmax ,Pmin thì ta tìm giao điểm M M1, 2của đường tròn (I R, 1)với đường thẳng AI.

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1 - 2 =R R1 ,( 1 > 0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = -z z3

Lời giải

Từ z- 2 + 2i = 1 suy ra điểm biểu diễn số phức z là đường tròn(C) có tâm I (2 2 ; - ), bán kính R =1

Từ z+ 4i ta chọn z= - 4i có điểm biểu diễn là A(0 4 ; - )

Đường thẳng đi qua I và A có phương trình d x y: - - 4 = 0

Gọi M, N là giao điểm của d với đường tròn (C), suy ra tọa độ M,

N là nghiệm của hệ

4 1

2

2 2

1

2 2

a

P a b b

Đặt w= + -z 1 i Û z= - + Þw 1 i w- + = 1 i 2 suy ra điểm biểu

diễn số phức w là đường trịn tâm I (1 1 ; - ) bán kính R = 2

0

b b

b

a b

é = ê

ê

không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tập hợp điểm biểu diễn z là đường trịn O( )0 0 ; ;R = 2

điểm: F1(-c; , 0 ) F c2( ); 0 ;bốn đỉnh: A1(-a; , 0 ) A a2( ); , 0 B1(-b; , 0) B b2( ); 0 ;độdài trục lớn: A A1 2 = 2a;độ dài trục nhỏ: B B1 2 = 2b ;tiêu cự: F F1 2 = 2c

Vậy min z =OB1 =OB2 =b; max z =OA1 =OA2 =a

b) Cho số phức z thỏa mãn z z- 1 + -z z2 = 2a với 2a> z1- z2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = -z z0 với 1 2

Elip có phương trình (E): 2 2 1

25 16

x +y =

Bài toán 9 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z+ + - 4 z 4 = 10

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z Khi đó , giá trị của biểu thức P =M - m2bằng

Từ z  2 i  z 4 7  i  6 2và F F =1 2 6 2

nên ta có M thuộc đoạn thẳng F F1 2

Gọi H là hình chiếu của N lên F F1 2, ta tìm được 3 3

ta được các số phức thỏa là z= + 3 i,z= - 5 i, z= + 2 2i

 So sánh môđun: 3 + =i 10,5 - i = 26, 2 + 2i = 8

Do đó số phức z= + 2 2i là số phức có môdun nhỏ nhất

Đáp án D.

Bài toán 2 Cho số phức z thỏa điều kiện iz- 3 = -z 2 - i Phần

ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là

Lời giải

Đặt z= +x yi x y, , Î 

Từ iz- 3 = -z 2 - i ta được x+ 2y+ = 1 0 (d)

Sử dụng máy tính

Cách 1: Từ các đáp án cho phần ảo ta thay vào (d) tìm được phần

thực rồi suy ra môđun số phức

Suy ra maxT » 4 47 , hay maxT =2 5

Từ đây ta có thể suy ra minT =2

Vậy đáp án chọn A.

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp

Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng cho giáo viên dạy môn toán lớp 12chương số và được áp dụng ôn tập cho học sinh chuẩn bị ôn tập trong kỳthi THPT quốc gia sắp tới

3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng giải pháp

Đề tài được bắt đầu nghiên cứu thực trạng từ năm học 2016 - 2017tại đơn vị và được thực nghiệm từ đầu năm học 2017-2018 Qua thời gianthực hiện, bản thân tôi nhận thấy việc thực hiện đề tài đã mang lại hiệuquả tích cực như sau:

+ Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học giải được tốt các bàitoán liên quan nhanh, chính xác

+ Học sinh không còn ngán ngẫm, e dè khi gặp những bài toán khó về

số phức và có thể phát triển thành các dạng toán phức tạp hơn Đa số đều

có thái độ hứng thú học tập khi mình đã làm chủ được kiến thức, sẵn sàngcho kỳ thi THPT quốc gia

+ Chất lượng giáo dục ngày một tăng lên, tỉ lệ học sinh khá giỏi cũngtăng lên rõ rệt

Để đánh giá mức độ thành công của đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tracác lớp đang thực hiện đề tài và lớp chưa thực hiện đề tài

Kết quả: lớp chưa thực hiện đề tài thì không đạt kết quả tốt, học sinh

không giải được;Tuy nhiên, lớp thực hiện đề tài thì học sinh đa số đềuthực hiện tốt và giải được khoảng 80% đến 90%.

3.5 Tài liệu kèm theo gồm: không.

Bến Tre, ngày 17 tháng 3 năm 2018