Dạng 50 bài toán cực trị oxyz chua tham số thỏa đk cho trước

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác.. Diện tích lớn nhất Smax của thiết điện đó là bao nhiêu?. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B0; 4;0 tới điểm C trong đó C là điểm c

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2;1;1 và B2;1;1 Xét khối nón

 N có đỉnh A đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB Khi

 N có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng  P chứa đường tròn đáy của  N

cách điểm E1;1;1 một khoảng là bao nhiêu?

A

12

d 

13

d 

Lời giải Chọn A

Ⓐ

1

;1;12

12

A B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt

phẳng đi qua ba điểm , ,A B I là  P : 2x by c  zd  Tính 0 d b c 

Lời giải Chọn A

Gọi E là trung điểm của AB E1;2;0 và IE R2 9

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là  :2x y 2z0

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d.

Gọi M là hình chiếu vuông góc của E lên d EM dE d;  9

Câu 3: Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3, góc ở đỉnh là 1200 Thiết

diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác Diện tích lớn nhất Smax của

thiết điện đó là bao nhiêu?

A Smax 2a2 B Smax a2 2 C Smax 4a2 D

2 max

98

a

Lời giải Chọn A

O

A B

S

M

nón Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM Theo giả

thiết hình nón có bán kính đáy R OA a  3 cm, ASB 1200 nên ASO 600

Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có:

Do 0 sin ASM  nên 1 SSAM lớn nhất khi và chỉ khi sinASM  hay khi tam1

giác ASM vuông cân tại đỉnh S (vì ASB 1200 900 nên tồn tại tam giác

ASM thỏa mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: Smax 2a2 (đvtt)

Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm , A2;3; 1 ;  B1;3; 2  và mặt cầu

 S x: 2y2z2 2x 4y2z  Xét khối nón 3 0  N có đỉnh là tâm I củamặt cầu và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S Khi  N có thể tích

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1  và bán kính R  3

Xét khối nón  N có đỉnh I , bán kính đáy r và chiều cao h ( h là khoảng

cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa đường tròn đáy) có thể tích là

Khảo sát hàm f h 3h h 3 trên khoảng 0; 3

ta được V max khi N h=1Bài toán quy về lập phương trình mặt phẳng  P đi qua 2 điểm A,B và

Câu 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;0;0 , B3; 4; 4  Xét khối trụ  T

đường kính AB Khi  T có thể tích lớn nhất, hai đáy của  T nằm trên

hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là x by cz d   1  và0

Mặt cầu đường kính AB có tâm I2; 2; 2  và bán kính bằng 3

Gọi x, 0 x3 là bán kính đáy của  T , khi đó  T có chiều cao bằng

2

2 9

h  x , do đó thể tích của  T bằng

đi qua tâm I của mặt cầu  S và song song với mặt phẳng OABcó dạng

mxny pz q   ( với 0 m,n,p,q ;

q p

5 72; ;

 ; , ,

I a b c bán kính là d Giá trị a b c d   bằng

Lời giải Chọn C

Đặt HM  , 0 x h x   Gọi I R r, , lần lượt là tâm và bán kính đường tròn

đáy của nón ( )N , bán kính đường tròn  C Khi đó ta cóCH  h 12 là

chiều cao của ( ),N R 3 2

Khi đó C I H, , thẳng hàng (I nằm giữa C H, )

R h x

x h

13

R

h x x h

13

1

33

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;0), ( 3;1;4)B  và đường thẳng

đường thẳng  và ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB Khi ( )N có thể tích

dạng ax by cz   1 0 Giá trị a b c  bằng

Lời giải Chọn A

Mặt cầu đường kính AB có tâm I ( 1; 2; 2), bán kính 3

Gọi H r, lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của ( )N , C là đỉnh

3'( ) 0

Lời giải Chọn D

Mặt cầu  S có tâm 1 I1; 3; 2  , bán kính R  ; mặt cầu 1 7  S có tâm2

nên IJ song song hoặc chứa trong (P).

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu    S1 , S là2

r

J I

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu là (Q):

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2;3;3) A và mặt cầu

  S : x12x 22x 32 12 Xét khối trụ  T nội tiếp mặt cầu  S và

có trục đi qua điểm A Khi khối trụ  T có thể tích lớn nhất thì hai đường

0

x ay bz c    và x ay bz d    Giá trị a b c d0    bằng

A 4 4 2 B  5 C 4 D  5 4 2

Lời giải Chọn B

Gọi ,r h lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của mặt trụ  T

và Rlà bán kính mặt cầu  S

, ta có : R 2 3, h2 R2 r2

r 

Vậy khi khối trụ  T

đạt thể tích lớn nhất thì chiều cao2

Mặt khác tâm của khối trụ  T chính là tâm I1;2;3 của mặt cầu  S nên

trục của khối trụ  T nằm trên đường thẳng

tâm Imột khoảng bằng 2 Gọi M1 ; 2t t;3IAlà tâm của đường tròn

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1, B   1; 1;3 và mặt phẳng

 P x: 2y z  2 0 Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P

sao cho MA MB nhỏ nhấtlà:

Ⓑ

Nguyen

Phương trình đường thẳng AB:

111

x y z t

Tọa độ giao điểm B của  và  P

là nghiệm hệ phương trình sau:

đường kính AB có tâm là trung điểm I2; 2; 1   của AB, bán kính29

này Do đó, để MB lớn nhất thì MB là đường kính của  T

Suy ra max

14 52

, suy ra trị lớn nhất của d D ABC ,  bằng DI  1

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z 32 27 Gọi   là

mặt phẳng đi qua hai điểm A0;0; 4 , B2;0;0

và cắt  S

theo giao tuyến là đường tròn

Đặt IH  , với 0x x3 3 ta có r R2 x2  27 x 2

Thể tích khối nón là

2

1π3

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho A  1;3; 1  , B4; 2;4  và điểm M thay đổi trong không

gian thỏa mãn 3MA2MB Giá trị lớn nhất của P2MA MB 

nên MK đạt giá trị lớn nhất khi MK MI IK  R IK 7 3.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 2

, B5;4;4

và mặtphẳng  P : 2x y z    Nếu 6 0 M thay đổi thuộc  P

tại hai điểm phân biệt A, B Diện tích lớn nhất

của tam giác OAB bằng

Lời giải

Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 và bán kính R 2 2.

    điểm M nằm trong mặt cầu  S .

Gọi H là trung điểm AB OH OM

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng 7

Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   S : x12y 32z 22 4

.Gọi N x y z 0; ;0 0

thay đổi thì diện tích tam

giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Dấu “=” xảy ra khi

D' A'(3;0;-1)

C' B'

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách AM MC là 17 8 3

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A3; 2;3 , B1;0;5

Do đó MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy

ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d

x y z t

H O

Suy ra tọa độ điểm I là: I0;1; 2.

Khi đó S 4NI22IA2IB2IC2, do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặtphẳng  P

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  P

là:

012

2022 Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 

x y z t

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;2;3, B0;4;5 Gọi M là điểm

sao cho MA2MB Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P : 2x 2y z   đạt6 0giá trị nhỏ nhất là

2 2

lớn nhất khi và chỉ khi f m 

lớn nhất  m 5

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A6;3;2

, B2; 1;6  Trên mặtphẳng Oxy, lấy điểm M a b c ; ;  sao cho MA MB bé nhất Tính P a 2b3 c4

A P 129 B P 48 C P  33 D P 48

Lời giải

Mặt phẳng Oxy

có phương trình z  , và 0 A, B nằm cùng phía với Oxy

Gọi A làđiểm đối xứng với A qua Oxy  A6;3; 2 

Ta có MA MB MAMB bé nhất khi M , A, B thẳng hàng, khi đó M A B Oxy

1

;0;02

K 

  , B0;1;0,

10;0;

6 2 3 36

OKBC

2022 Câu 22: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A3;3;0

2022 Câu 24: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu   S : x12 y 22z 32 9

mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn

B Gọi M a b c ; ;  là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến  P

lớn nhất.Khi M thuộc đường thẳng  vuông đi qua M và vuông góc với  P

sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròngiới hạn bởi  C có thể tích lớn nhất Phương trình của mặt phẳng  Q là

Vậy max

1163

nên  Q : 2x2y z a  0

a a

Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A9; 3;5 , B a b c ; ;  Gọi M , N , P

lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng toạ độ Oxy

B  

  Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng  P sao cho

 ,  2

d M d 

và NA2NB Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN

A MNmin  1 B MNmin  2 C min

22

2.3

góc với mặt phẳng Ozx Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B0; 4;0

tới điểm C trong

đó C là điểm cách đều đường thẳng  và trục Ox

B O

Vì đường thẳng  đi qua điểm A0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì  song

song với trục Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz Dễ thấy OA là đường vuông góc chung

của  và Ox

Xét mặt phẳng   đi qua

10;0;

và mọi điểm nằm trên  

có khoảng cách đến  và Ox là bằng nhau Vậy tập hợp điểm C là các điểm cách đều đường thẳng  và trục Ox là mặt phẳng  

Mặt phẳng   đi qua

10;0;

 

z

Đoạn BC nhỏ nhất khi C là hình chiếu vuông góc của B lên  

Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B0; 4;0 tới điểm C chính là khoảng cách từ B0;4;0

đến mặt phẳng  

:

102

 

z

10

12

+ Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 1 u  1 1;1; 2

và đi qua điểm O0;0;0

.+ Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 2 u   2  2;1;1

và đi qua điểm K  1;0;1

.+ Vì u1 ,u2.OK 5

nên hai đường thẳng đã cho có vị trí chéo nhau

+ Suy ra MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của d và 1 d 2

n m

Gọi điểm E thỏa EA 2EB0

Suy ra B là trung điểm của AE, suy ra E3; 4;5 .Khi đó: MA2 2MB2 ME EA  2 2ME EB 2

M  cho giá trị lớn nhất nên ta chọn M3; 4;0 .

Câu 33: Trong không gian cho ba điểm A1;1;1

, B  1;2;1

, C3;6; 5 

Điểm M thuộc mặtphẳng Oxy sao cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là

Do đó MA2MB2MC2 bé nhất khi MG bé nhất.

Hay M là hình chiếu của điểm G lên mặt phẳng Oxy.

là H khi đó AH d Do đó nếu hình chiếu của A trên mp mà nằm

trên đường thẳng d thì chỉ có thể trùng với điểm H Mà tam giác IAH luôn vuông góc tại

là AH d A P ,  AI suy ra khoảng cách từ Ađến  P

lớn nhất bằng AI Khi đó mặt phẳng  P

qua I và nhận AI  1; 4;1

làm véctơpháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P

Câu 37: Cho ba điểm A1; 1; 0, B3; 1; 2 , C  1; 6; 7

Tìm điểm MOxz sao cho

Vậy ta có: MA2MB2MC2 nhỏ nhất khi MG2 nhỏ nhất  G là hình chiếu vuông góc

của M lên mặt phẳng Oxz  M1;0;3

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :

m21x 2m2 2m1 y4m2z m 22m0

luôn chứa một đường thẳng  cố

định khi m thay đổi Đường thẳng d đi qua M1; 1;1 vuông góc với  và cách O một

khoảng lớn nhất có véc tơ chỉ phương u  1; ;b c

.Gọi H là hình chiếu của O trên d Ta có OH OM

d cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi d OM , khi đó d có một véc tơ chỉ

Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;1;1 , B2;1; 1 ,  C0; 4;6

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng  P x y z m:    0 và mặt cầu  S

có phương trình x 22y12z216 Tìm các giá trị của m để  P cắt  S theo giaotuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất

2022 Câu 41: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P

tổng khoảng cách từ các điểm A B C, , đến  là lớn nhất Hỏi  đi qua điểm nào trongcác điểm dưới đây?

Ta lần lượt thử các trường hợp xem DM  DJ

hay không thì ta thấy M    3; 5; 1

.Phương trình

Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét các mặt phẳng  

thay đổi có phươngtrình ax by  a b z   , trong đó hai số a và b không đồng thời bằng 0 Tìm khoảng0

cách h lớn nhất từ điểm A2;1;3

tới các mặt phẳng  

A

3 2.2

h 

B h 3 2. C

1.2

phần có diện tích bằng nhau Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

( )

( , )

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H º K.

d 

13

d 

13

d 

Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,mặt phẳng  P

đi qua điểm M1; 2;1

cắt cáctia Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , (A B C, , không trùng với gốc) O sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng  P

đi qua điểm nào trong các điểm dướiđây?

2022 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3- )

và mặt phẳng( )P : 2x+2y z- + =9 0 Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương ur=(3; 4; 4- )

cắt ( )P tại B Điểm M thay đổi trong ( )P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90o.Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M º E.

Khi đó (AM)min=AE và MB qua B nhận BEuur làm vectơ chỉ phương.

+ Ta có: B dÎ nên B(1 3 ;2 4 ; 3 4+ t + t - - t) mà BÎ ( )P suy ra:

2 1 3+ t +2 2 4+ t - - -3 4t + = Û =-9 0 t 1Þ B(- 2; 2;1- )

.+ Đường thẳng AE qua A(1; 2; 3- ), nhận nrP=(2;2; 1- ) làm vectơ chỉ phương có phương

trình là

1 2

2 23

+ Do đó đường thẳng MB qua B(- 2; 2;1- ), có vectơ chỉ phương BEuur= -( 1;0; 2- ) nên có

phương trình là

22

-ïï íï

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d, khi đó  P chứa .

Mp  P qua M  2; 2;1  và có vectơ pháp tuyến n P  u d 2; 2; 1 

Do IA2IB23IC2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ

nhất Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P : 3x 3y 2z12 0

Vectơ chỉ phương của IM là n  3; 3; 2  

Phương trình tham số của IM là:

 M là hình chiếu của I trên mặt phẳng  

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng  

6136

Dễ dàng chứng minh được với X , 0 Y dựng được như vậy thì với mọi 0 X Y Oxy,  ta luôn

có AX BY A X BY  A X 0BY0 A X 0B X 0 A B 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của AX BY bằng 5

Câu 57: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2z2  và điểm 8

thẳng  thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu  S

tại hai điểm phân biệt A B, Tính diệntích lớn nhất của tam giác OAB.

 Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc

với đường thẳng d , đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất

Khi đó, đường thẳng  đi qua M , vuông góc với đường thẳng d và vuông góc với đường

thẳng AM nên có véctơ chỉ phương là uu AM d; 

2022 Câu 59: Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc Gọi ,  ,  lần lượt là góc

giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ABC

B A

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot 2  3 cot 2  3 cot 2

OH OA

, sin

OH OB

, sin

OH OC

a b c

h

3 3

Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1,

A 16x 40y 44z39 0 B 16x40y44z 39 0

C 16x40y 44z39 0 D 16x 40y 44z 39 0

Lời giải

Ta có

3

34

Do đó, MA, MB cùng tạo với mặt phẳng Oxy

các góc bằng nhau khi và chỉ khi

x y

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y 22z 32 16

B K

Mặt cầu có tâm I1; 2;3

bán kính là R 4.

Ta có A, B nằm trong mặt cầu Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu

của I lên thiết diện

Ta có diện tích thiết diện bằng S r2 R2 IH2

Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhấtkhi IH lớn nhất Mà IH IK suy ra  P

qua A B, và vuông góc với IK

Ta có IA IB  5 suy ra K là trung điểm của AB Vậy K0;1;2

và KI  1;1;1

.Vậy   P : x1 y z 20  x y z   3 0

Vậy T  3

Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;0;0, B0; 2;0 và C0;0;3 Mặt

cầu  S luôn qua A, B , C và đồng thời cắt ba tia Ox , Oy , Oz tại ba điểm phân biệt M

, N , P Gọi H là trực tâm của tam giác MNP Tìm giá trị nhỏ nhất của HI với I4; 2; 2.

Lời giải

Gọi M m ;0;0, N0; ;0n , P0;0;p .

Gọi E là tâm mặt cầu  S , R là bán kính mặt cầu  S .

Gọi K là trung điểm AM , ta có : EK AM

      vectơ pháp tuyến của MNP là n  1; 2;3 .

Vì tứ diện OMNP có 3 cạnh từ O đôi một vuông góc nên OH MNP

Khi đó phương trình mặt phẳng qua I và vuông góc OH là : x2y3z14 0

 H1; 2;3  IH  10