BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1... Sau đây chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu từng phương pháp.. Nhận dạng: - Biểu thức là tổng, hiệu của các hàm cơ bản... Chú ý dạng tích phân từng
Trang 1BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1 /
1
1 1
x
1
1
ax b
a
3 / 1
lnx
x
ln
ln
dx
ax b C
ax b a
4 x / x
a
5 /
.ln
ln
x
a
( )
ln
mx n
6 /
sinx cosx (SIN THÌ CÓ) 6 sinxdx cosx C 6 1
sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
7 /
cosx sinx (CÓ THÌ KHÔNG SIN) 7 cosxdx sinx C 7 1
cos(ax b dx) sin(ax b) C
a
8 /
2
1 tan
cos
x
x
cos
dx
x C
dx
ax b C a
9 /
2
1 cot
sin
x
x
sin
dx
x C
dx
ax b C a
CÔNG THỨC HẠ BẬC
2 1 cos2
sin
2
2 1 cos 2
cos
2
2 1 cos2
tan
1 cos2
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
Cos nhân cos bằng ½ cos cộng cos Sin nhân sin bằng -½ cos trừ cos Sin nhân cos bằng ½ sin cộng sin
Vòng tròn ma thuật
Hằng đẳng thức
2
a b a ab b
2
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
Công thức lũy thừa
1 n 1
n
a a
2 a m n a a m n
3
m
m n
n
a a
a
4 ( a m n) ( )a n m a m n.
5 ( ) a b n a b n n
6 a b
n n n
a b
7
m
n m n
a a
Trang 2TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân:
Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn a b;
Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số
f x trên đoạn a b Khi đó: ;
b
b a a
tính tích phân
Ta có 3 phương pháp tính tích phân cơ bản:
1) Tính trực tiếp bằng định nghĩa
2) Đổi biến số
3) từng phần
Sau đây chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu từng phương
pháp
PP 1 Tính bằng định nghĩa
Nhận dạng:
- Biểu thức là tổng, hiệu của các hàm cơ bản
- Biểu thức là dạng tích (nhân phân phối đưa về
các dạng cơ bản)
- Biểu thức có dạng A B A B
x x x
Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: ( ) ( )
k f x dx k f x dx
Tính chất 2:
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 3:
f x dx f x dx f x dx a c b
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
0
4
I x x dx
b/
2 1
x
c/ 1 2 2
0
1
I x x dx (TN-2010)
Lời giải
a/
6
x
b/
3
4
4
4
2
x
c/ 1 2 2 0
1
I x x dx
1
0
1 30
PP 2 Đổi biến số
1 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 (Đặt t u x ) : Bước 1: (Đổi biến) Đặt
( ) ( )
t u x dt u x dx
Bước 2: (Đổi cận) : ( )
( )
Bước 3: Thay tất cả theo biến t, tính ra kết quả
b a
Ví dụ 1 Tính tích phân sau:
1 2 3 0
3
1
x
x
Lời giải
Đặt t x 3 1 dt2x dx2 0,25
Trang 3Đổi cận 1 2
Suy ra I
2
2 1 1
ln
dt
t t
Ví dụ 2 Tính ln2 2
0
Lời giải
CÁCH 1: ĐỔI BIẾN
Đặt t e x 1 dt e dx x 0,25
Suy ra I
1
2
t
t dt
Vậy I 1
3
CÁCH 2: TRỰC TIẾP
0
1
ln2
2
0
0,25
ln2
0
2
ln2 3
2
0 3
x
x x
e
Vậy I 1
3
Ví dụ 3 Tính
1 0
I x dx
Lời giải
Đặt t 3x 1 t2 3x 1 2tdt 3 dx 0,25
Suy ra I
2
2
t
t dt
Vậy I 14
9
Ví dụ 4 Tính:
1
4 5ln
e
x
x
Lời giải
Đặt
x
Suy ra I
3
2
t
t dt
Vậy I 38
15
Ví dụ 5 Tính tích phân sau:
3 0
1
x
x
Lời giải
Đặt t x 1 t2 x 1 2tdt dx
0,25
Suy ra I 2 2
1
2 t 1dt
2 3 1
2 3
t t
Vậy I 8
3
Ví dụ 6 (D-2009) Tính tích phân:
3 1
1 1
x
e
Lời giải
Đặt t e x dt e dx x Đổi cận
3 3
1
0,25
Trang 4Suy ra I
3
x
x x
e e
ln 1e ln e
Vậy I lne2 e 1 2 0,25
2 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 (Đặt x u t ( ))
Bước 1: Đặt x u t ( )dx u t dt ( )
Bước 2: Đổi cận : x b t
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích
phân theo biến t ta được
( )
b a
(tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
Nếu hàm số có dạng a2 -x2 thì đặt x = a.sint
Nếu hàm số có dạng x2-a2 thì đặt x =
sin
a
t
Nếu hàm số có dạng 2 1 2
a x thì ta đặt x = a.tant
Ví dụ 1 Tính tích phân sau: I =
1 2 0
1
1x dx
Lời giải
Đặt x tan ,
2
1
1 tan cos
t
Khi đó I = 4 2 4
4
1 tan
1 tan
t dt
dt t t
4
PP 3 tích phân từng phần
b a
udv u v vdu
b a
I f x dx theo các bước sau:
Bước 1: Đặt ( ) '( )
( ) ( )
du u x dx
u u x
dv v x dx
.(trên đạo – dưới nguyên)
Bước 2: Khi đó:
b a
Bước 3: Tính tiếp
b a
vdu
để được kết quả
NGUYÊN TẮC ĐẶT U TRONG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO THỨ TỰ ƯU TIÊN
lnx Đa thức e x (hoặc a x) sinx (hoặc
cosx )
Nhất “Lô” Nhì “Đa” Tam “Em” Tứ “Giác”
Nhận dạng Dạng nguyên hàm Đặt u Đặt dv
( ) ax b
P x e dx
u P x ( ) dv e ax bdx
( )cos
P x ax b dx
u P x ( ) dvcosax b dx
( )sin
P x ax b dx
u P x ( ) dvsinax b dx
( )ln
P x ax b dx
ulnax b dv P x dx ( )
ln
2
x dx
x
Đặc biệt
( ) 2 x 1
thì cũng đặt u P x ( ) và
2 x 1
( )cos2
thì cũng đặt u P x ( ) và cos2
sin 2 2
v x)
Chú ý dạng tích phân từng phần lập (xem Ví dụ 1, b)
Trang 5Ví dụ 1 Tính: a/ 2
0
cos
Lời giải
a/ Đặt
Ta có:
0
2 0
b/
2
0
x
(từng phần lập)
Đặt
Khi đó
2
0
cos
x
0
0
Với 2
0
sin
x
Đặt
Khi đó
0
0
x
1 2
Ví dụ 2 (TN-2013) Tính tích phân sau
2 0
1 cos
Lời giải
0 0
2 0
1 cos
Vậy I
2
Ví dụ 3 Tính tích phân sau: 1
0
I e xdx
Lời giải
0 0
1 2
0
1
2
x
x
e
0,25
Vậy I 3
2
Ví dụ 4 Tinh tích phân sau:
2 3 1
lnx
x
Lời giải
Đặt
3
2
ln
1 2
dx
x dx
dv
v x
x
0,25
Khi đó I
2 2
1 1
ln
2 2 1
Trang 6Vậy I 3 2 ln 2
16
Ví dụ 5 (Khối D - 2012): Tính tích phân sau:
4
0
Lời giải
I
2
x
2 4
0
sin 2
0,25
2
du dx
u x
Khi đó
0
4
0
1
cos2
4 0
0,25
Vậy I 2 1
32 4
dấu giá trị tuyệt đối
* Định lí: Nếu f(x) liên tục và không đổi dấu trên a b ;
thì:
f x dx f x dx
Phương pháp tính tich phân: ( )
b a
f x dx
Giải pt f x 0, tìm các nghiệm x0 nằm
trong a b;
Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính
0
0
x
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau: a)
3 0
2 x dx
2 2 0
I x x dx (Khối D - 2003)
Lời giải
a/
3 0
2 x dx
Ta có: 2 x 0 x 2 0;3
khi đó 3 2 3
5
b/
2 2 0
I x x dx (Khối D - 2003)
Ta có x2 x 0 x 0 hoặc x1 thuộc 0;2
x x dx x x dx x x dx
1
thức Ax B2 dx
Dạng 1 ax b dx
cx d
PP: Chia đa thức ax b a A
cx d c cx d
Dạng 2
1 2
1
dx
Trang 7PP: Biến đổi
Dạng 3 Ax B2 dx
PP: Giải pt: ax2bx c 0
* Nếu có hai nghiệm x1 và x2 thì
2
thức để tìm C và D
* Nếu có 1 nghiệm kép x0 thì
0
x x
dùng đồng nhất thức để tìm C và D
Chú ý: nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì áp dụng
phép chia đa thức sau đó áp dụng dạng 2 hoặc dạng
3
Ví dụ 1 Tính tích phân sau:
3 2
1
x dx x
Lời giải
3 2
x
Ví dụ 2 Tính tích phân sau:
3 1
1
1 dx
x x
Lời giải
Ví dụ 3 Tính
1 2 0
1 1
x
Lời giải
Ta có
x
0 0
1
x
x
Ví dụ 4 Tính tích phân sau:
4 2
dt
t
Lời giải
2
3
l
1
dt
t
4 3
ln
ln
t t
phân tính diện tích, thể tích
Trước khi học bài này các em hãy xem lại các phương pháp tính tích phân và tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi:
( ) 0
y f x y
x a x b a b
Diện tích của hình phẳng (H) là:
( )
b a
S f x dx
Giải pt f x 0, tìm các nghiệm x0 nằm trong a b;
Sau đó chia thành các khoảng nhỏ để tính
0
0
x
S f x dx f x dx f x dx
Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y x 24x3 , trục hoành và hai đường thẳng x 0,x 2
Trang 8Lời giải
3 0;2
x
x
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S x x dx x x dx x x dx
(đvdt)
Dạng 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
( )
yf x và y g x ( )
Diện tích của hình phẳng (H) là:
( ) ( )
b a
S f x g x dx
Tìm a, b bằng cách giải pt: f x( )g x( ) 0 ,
tìm các nghiệm,
Nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là
b
Sau đó chia ra thành các đoạn nhỏ để tính
0
0
x
Sf x g x dx f x g x dx f x g x dx
Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị của hai hàm số :
2
f x x x và g x( )x33x22x
Lời giải
1
4
x
x
( ) có đồ thị (C1); g x( ) có đồ thị (C2)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
4
1
Dạng 3 Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số:
( )
yf x , trục Ox và 2 đường thẳng
x a x b a b quay xung quanh Ox tạo thành
khối tròn xoay có thể tích là:
2( )
b a
V f x dx
Ví dụ 1 Gọi D là hình phẳng được giới hạn
bởi các đường: y x 21 và trục hoành
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục hoành
Lời giải
Ta có
b a
1
1
