Nếu bậc của Px lớn hơn hoặc bằng bậc của Qx thì dùng phép chia đa thức... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ; sao cho
'
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du B
ài tập
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
x x dx
9
1 2 3
x dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
Trang 220
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22 2
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
26 4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
x x dx
32
1 2
3
x dx
x
33
1
0
1
x x dx
34
2
3 1
1
1dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38
2ln 1
1
e e x
dx x
39
21 ln2
ln
e
e
x dx
x x
40
1
sin(ln )
e
x dx x
41
1
1 3ln ln
e
x x dx x
4
2ln 1
1
e e x
dx x
43
21 ln2
ln
e
e
x dx
x x
44
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
1
2 3 0
5
46
2
4 0
47
4
2 0
Trang 32/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng a2 x2, a2 x2 và x2 a2 (trong trong đó
a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với a2 x2 , đặt sin , ;
2 2
x a t t
hoặc x a cos , t t 0;
Với a2 x2 , đặt , ;
2 2
x atgt t
hoặc x acotgt t , 0;
Với x2 a2 , đặt , ; \ 0
a
t
hoặc ;
cos
a x
t
2
t
B
ài tập : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2 0
b)
1
2
01
dx x
c)
9
2 0
2
2
0 4
dx x
e)
2 2 2
2 0
x dx
1 x
f)
3 2
5 x x2 4
dx
g)
1
2 0
1 x dx
h)
3
0
1
x x dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cụng thức tớch phõn từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d u x v x v x u x dx
Tích phõn các hàm sụ́ dờ̃ phát hiợ̀n u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
Đặt
cos
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Trang 4Đặt ln( )
dx du
dv f x dx v f x dx
@ Dạng 3: sin
cos
ax bx
bx
Đặt:
1
ax
u e
b
Bài tập
1)
1
0
3
x x
2)
2
0
cos ) 1 (
xdx
x 3)
6
0
3 sin ) 2 (
xdx
x 4)
2
0
2 sin
xdx
x
5)
e
xdx
x
1
ln 6)
e
dx x x
1
2).ln 1
( 7)
3
1
ln
4x x dx 8)
1
0
2 ).
3 ln(
x
9)
2
1
2 1)
(x e x dx
10)
0
cos
x 11)
2
0
2.cos
dx x
x 12)
2
0
2 2 ).sin (
dx x x x
13)
2
5
1
ln xdx
x
14) 2 2
0
x cos xdx
1 x 0
e sin xdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
2
1
x ln xdx
18) 3
2 0
x sin xdx cos x
19)
2 0
xsin x cos xdx
0
x(2 cos x 1)dx
III.Tích phân một số hàm số thờng gặp
1 Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
I 2 dx a 0
(trong đó ax2 bx c 0 với mọi x ; )
Xét b2 4 ac
+)Nếu 0 thì 2
2
dx I
b
a x
a
tính đợc
+)Nếu 0 thì
1 2
I
Trang 5(trong đó
1
1
I
2
I
1
1
(trong đó
2
( ) mx n
f x
liên tục trên đoạn ; ) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
2 2
2
) 2 (
+)Ta có I=
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
2
) 2
Tích phân dx
c bx ax
b ax A
2
) 2 (
c bx ax
Aln 2
Tích phân
2
dx
tính đợc
( )
b
a
P x
Q x
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1, , ,2 nthì đặt
Trang 61 2
( )
( )
n
n
A
P x
+ Khi Q x ( ) x x2 px q , p2 4 q 0thì đặt
2
( )
( )
+ Khi Q x ( ) x x 2 với thì đặt
2
( ) ( )
A
Bài tập
a/
1
2 0
x
dx
b/
1 2
dx
x x
c/
1
2
x dx
x
d/
0
2
2 2 dx
x x
x
e/
1
1 x2 2x 5
dx
f/
5
3
1
x x
x
g/
b a
dx b x a
x )( ) (
1
h/
1
0
3
1
1dx
x
x x
i/
1
0
x
dx
k/
3
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
l/ 3
2
dx x
x
x
x x
1
0
2
3
3 2
IV.Tích phân hàm vô tỉ
.Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ : Tính tích phân:
1
dx I
.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác
Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng
Ví dụ :Tính
1
0
2
x I
Bài tập:
Trang 7x 2
5
2
dx
2
x
c/
1
dx
d/
2
1
x 4 x dx
2 2 2
2 0
x dx
1 x
3
2
5 x x2 4
dx
V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
x 2
2
0
2 0
4 2 1
x 3x 2dx
3
1
2
x dx
6.
2
2
2
1