CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG

Từ đósuy ra cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB//DC 1 Ta lại có => AB=DC 2 Từ 1 và 2, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song s

MỤC LỤC

Chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0o đến 180o

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác

Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác

Dạng 3: Chứng minh, rút gọn biểu thức

Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính tích vô hướng, góc giữa hai vec tơ

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng

Dạng 3: Chứng minh vuông góc Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vectơ Dạng 5: Biểu thức tọa độ

Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Dạng 1: Tính toán các đại lượng Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Dạng 3: Giải tam giác và ứng dụng thức tế

Chương III: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1: Phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng

Dạng 2: Xét vị trí tương đối

Dạng 3: Khoảng cách và góc

Bài 2: Phương trình đường tròn Bài tập viết phương trình đường tròn, tiếp tuyến

hướng: Hai vecto được gọi là

cùng phương nếu giá của

chúng song song hoặc trùng

nhau.

Loại 1: Xác định các vecto cùng phương, cùng hướng.

VD1: Cho ba vectơ ,, đều khác vec

tơ Khẳng định sau đây đúng hay sai?

Nếu hai vectơ , cùng phương với thì , cùng phương.

Giải :

Gọi theo thứ tự ∆1,∆2,∆3 là giá của các

vectơ ,,.

+ cùng phương với

nên Δ1//Δ3 ( hoặc Δ1≡Δ3) (1)

+ cùng phương với

nên Δ2//Δ3 ( hoặc Δ2≡Δ3 ) (2)

Từ (1), (2) suy ra

Δ1//Δ2 ( hoặc Δ1≡Δ2 ), theo định nghĩa

hai vectơ , cùng phương

Vậy câu trên đúng

Loại 2: Xem hình và chỉ ra các vecto cùng phương, cùng hướng, ngược hướng:

Trong hình sau hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.

Giải:

- Các vectơ cùng phương: cùng phương

; ,, và đôi một cùng phương, cùng phương với

- Các vectơ cùng hướng: và ; ,, đôi một cùng hướng

- Các vectơ ngược hướng: và , và ; và ;

và

Dạng 2: Bài tập liên quan đến

hai vectơ bằng nhau.

Sử dụng định nghĩa hai vecto

Loại 1: Chứng minh hai vectơ bằng nhau dựa vào định nghĩa.

bằng nhau: Hai vecto được gọi

là bằng nhau nếu chúng cùng

độ dài và cùng hướng.

tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề:

+ Mệnh đề 1 : Khi thì ABCD là hình bình hành

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:  và cùng hướng Từ đósuy ra cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB//DC (1)

Ta lại có => AB=DC (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó

là hình bình hành

+ Mệnh đề 2 : Khi ABCD là hình bình hành thì

+ Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M′ để

có =

Như vậy: + =+ ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ chính là vec tơ tổng của

và + Ta lại có - =+

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ

ta có:

Vậy vec tơ chính là vec tơ hiệu của

và

Loại 3: Bài toán thực tế

VD2: Cho ba lực , cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên Cho biết cường độ của đều là 100N và Tìm cường độ và hướng của lực

Theo đề bài cường độ đều là 100N nên MA=MB

Mặt khác: nên tam giác ABM đều

Dựng hình bình hành MADB Do vật ứng yên nên ta có: 

Gọi I là trung điểm của AB ta có:

 MC=MD=2MI=2.=

Do đó có hướng là tia phân giác trong của góc và có độ lớn là

Dạng 2: Bài toán liên quan đến

Giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

+(

Vì ABCD là hình bình hành nên hai vec

tơ là hai vec tơ đối nhau nên: = Vậy: (đpcm)

Loại 2: Cho đẳng thức và tìm trường hợp tương ứng:

VD2: Cho là hai vectơ khác Khi nào

có đẳng thức:

Giải:

+ Từ điểm A bất kì vẽ Dựng hình bình hành ABCD.

Khi đó: là độ dài đường chéo AC và và

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a

điểm M là trung điểm BC Dựng vectơ

sau và tính độ dài của nó:

Do suy ra theo quy tắc 3 điểm ta có:

= =

dựng vectơ chứa tích một vectơ

toán vectơ, ba quy tắc phép

toán vectơ và tính chất trung

điểm, trọng tâm trong tam giác

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ theohai vectơ sau

+ Gọi G là giao điểm của AK,BM thì G là trọng tâm của tam giác

với điểm tuỳ ý M và số thực t bất kỳ.

Từ giả thiết ta có:

Suy ra: (*)Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên

Mà I là trung điểm CD nên Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có:



 => Ba điểm A,M,C thẳng hàng

Dạng 4: Chứng minh đẳng

thức vec tơ.

Sử dụng các kiến thức sau để

biến đổi vế này thành vế kia

hoặc cả hai biểu thức ở hai vế

cùng bằng biểu thức thứ ba

hoặc biến đổi tương đương về

đẳng thức đúng:

Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên:

(quy tắc hình bình hành của tổng)

Các quy tắc: quy tắc ba điểm,

-Ta biến đổi đẳng thức vectơ về

dạng trong đó điểm A và đã biết

Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao

cho để dựng điểm M ta lấy A làm

gốc dựng một vectơ bằng vectơ suy

ra điểm ngọn vectơ này chính là

điểm M.

-Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã

biết của trung điểm đoạn thẳng và

trọng tâm tam giác.

Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm K sao cho:

độ dài đại số của vecto

Ta xem xét tọa độ củ từng điểm

và biểu diễn chúng lên trục tọa

độ tương ứng với độ dài vecto

đơn vị bằng 1.

Độ dài đại số: Cho hai điểm A,B

trên trục số, tồn tại duy nhất

Tọa độ một điểm: Với mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ của vec tơ được gọi là tọa độ của điểm M.

= x + y ⇔ M(x;y)

Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) b) Giải:

a)Ta có: =>

b)Ta có: =>

Loại 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng qua Ox,Oy,O.

Trong các mặt phẳng Oxy cho điểm M (x0;y0 ).

a) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox.

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy.

c) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O.

a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau

c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc O thì các tọa độ

tương ứng đối nhau

Loại 1: Tìm tọa độ của các vectơ so với vecto trong hình bình hành

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên Gọi (x;y) là tọa độ của D thì

=(x−4;y+1)

=(−4;−4) 

Vậy điểm D (0;−5) là điểm cần tìm.

Bài 5: Giá trị lượng giác từ 0 0 đến 180 0

Dạng 1: Góc và dấu của các giá

Giải:

a) sin 1050=sin(1800−1050) =>sin 1050=sin 750

b) cos 1700=−cos (1800−1700)⇒cos 1700=−cos 100;

c) cos 1220=−cos(1800−1220)⇒cos 1220=−cos 580

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sinA=sin(B+C)

b) cosA=−cos(B+C).

+ Ta có: A+B+C=1800⇒B+C=180° −A a) sin(B+C)=sin(1800−A)=sinA;

b) cos(B+C)=cos(180º−A)=−cosA

Bài 5 Cho góc α , với cos α =

Tính giá trị của biểu thức: P= 3sin2 α+cos 2 α

Loại 2: Chứng minh biểu thức lượng giác

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi góc α

(00≤α≤1800) ta đều có sin2 α+cos2 α=1

Từ M kẻ MP⊥Ox, MQ⊥Oy Xét tam giác vuông OMP có:

sinα=; cosα=

⇒ sin2 α+cos2α==1

Dạng 3: Áp dụng công thức

lượng giác trong tam giác

Cho AOB là tam giác cân tại O có OA=a và có các đường cao OH và AK Giả

sử =α Tính AK và OK theo a và α.

Do tam giác OAB cân tại O nên ta có =2α Tam giác OKA vuông tại K nên ta có:

AK=OA.sin⇒AK=a.sin2α OK=OA.cos⇒OK=a.cos2α.

Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ.

Dạng 1: Tính tích vô hướng,

góc giữa hai vec tơ.

Loại 1: Tính tích vô hướng giữa hai vecto

Cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a Tính

tích vô hướng

=

Ta có:

CB=;

VẬY: = Loại 2: Tính góc giữa hai vecto

Trên mặt phẳng Oxy cho hai

vectơ và hãy tính góc giữa hai vectơ , trong trường hợp sau:

= (3; 2), = (5;1)

Giải = 3.5+2.(-1)=13

Mặt khác:

cos(=

=>(450

Dạng 2: Tính độ dài vecto

Muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ

dài cách giữa điểm đầu và điểm

cuối của vectơ.

- Trong hệ tọa độ: Cho Khi đó độ

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách

giữa hai điểm M(1; -2) và N (-3; 4).

Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng

cách giữa hai điểm M(x M ;y M ) và

Chứng minh

a) Ta có

Dạng 5: Biểu thức tọa độ của

tích vô hướng

Trên mặt phẳng Oxy cho hai vectơ và hãy tính tích

vô hướng của chúng = (2; −3), = (1, 4)

Cho tam giác ABC vuông tại A, B=580 và

cạnh a=72cm Tính cạnh b, cạnh c và đường cao ha.

Theo định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có:

1800

⇒1800-1800-900-580=320

Xét tam giác vuông ABC có:

b=a.cos320⇒b≈61,06cm c=a.sin320⇒c≈38,15cm;

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

Thay OA=,AB=a,AB=a, AD=BC=b và BD=m

cao AB của tháp dưới các góc: 350 , =48 0 Tính chiều cao của tháp

Để viết phương trình tổng quát

Khi đó phương trình tổng quát

của d là: a(x-x 0 ) + b(y-y 0 ) = 0

Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận (1; -2) làm

véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

=> Vectơ pháp tuyến của là: = (-5; -2)

=> Phương trình đường thẳng () : -5(x+2) - 2(y -3) =

0 hay -5x - 2y –4 = 0

Loại 5: ∆ qua I(x 0; y 0 ) có hệ số góc k:

* Đặt k= thì vectơ pháp tuyến của ∆ là = (n; -m)hay = (-n; m)

* Đưa về loại 1

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ qua I(-1;2) và có hệ số góc k=3

Đặt k= thì vectơ pháp tuyến của ∆ là = (3; -1)

 Phương trình đường thẳng (∆): 2)=0 Hay 3x-y+5=0

3.(x+1)-(y-Loại 6: ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab 0 ( Phương trình đường thẳng của đoạn chắn)

* Dùng công thức:

qua A(1;0), B(0;2)

Vì đường thẳng ∆ qua A(1;0), B(0;2) nên ta có:   2x+y=2

 2x+y-2=0 Loại 7: ∆ qua hai điểm phân biệt A(x A ;y A ), B(x B ;y B )

Cách 2:

Gọi phương trình đường thẳng là d: y=ax+b

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có: 

Thay a=1 và b=1 vào phương trình đường thẳng d thì d

là: y=x+1Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

D=6Dx= -26Dy=7

* Tìm vectơ chỉ phương của

* Suy ra phương trình tham số

b) Từ phương trình tổng quát suy ra phương trình tham số cho đường thẳng d: x + y + 1 = 0

* Suy ra phương trình tham số của :

Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1) Thay số:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

Vì (M) (N) < 0 nên cắt đoạn thẳng MN tại một điểm khác M và N

Dạng 7: Viết phương trình các

đường phân giác

Loại 1: Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau:

Dùng công thức:

Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y +

3 = 0 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d

và d’ là:

 Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’

* Xét vị trí của B, C đối với d1 (hoặc d2)

*B, C nằm khác phía đối với d1

*B, C nằm cùng phía đối với d1

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

* Tìm vecto pháp tuyến của

(hoặc vecto chỉ phương

của )

* Dùng công thức tính cos Suy

ra

b) Tìm các góc tạo bởi hai

đường cắt nhau và không

vuông góc

* Tìm vecto pháp tuyến của

(hoặc vecto chỉ phương của

cos(d1, d2) = |cos() | =

⇒ (d1, d2) = 450

Chủ đề 3: Đường trònDạng 1: Tìm tâm và bán

kính của đường tròn khi cho

phương trình

Bước 1: Xét xem đó có phải

Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn Tìm tâm và bán kính nếu có a) x 2 + y 2 +2x -4y + 9 = 0

b) x 2 + y 2 -6x +4y + 13 = 0 c) 2x 2 + 2y 2 -8x -4y -6 = 0 d) 5x 2 + 4y 2 +x -4y + 1 = 0

c) Ta có: a 2 + b 2 – c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình

đường tròn tâm I() và bán kính R =

5 2 7 d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x 2 và y 2 khác nhau.

* Giải hệ tìm a, b, c rồi suy ra phương trình của (C)

Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).

c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)

Giải:

2 2

1 + 5

= 26a) Đường tròn này có bán kính là OI =

Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x 2 + y 2 + 4x +y -20 = 0

Loại 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.

Chú ý:

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ )= R

- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : tại A

⇔ d(I, ∆ ) = IA= R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 ⇔ d(I,

∆ 1 ) = d(I, ∆ 2 ) = R.

VD1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)(C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với Ox.

b)(C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.

Giải:

a)Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 ( ∆ )

Ta có: R = d(I;; ∆ ) =

3 3

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng:

(x+1) 2 + (y – 2) 2 = 4/5

VD2: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy

Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần

tìm cũng ở góc phần tư thứ tư Do đó tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.

R = IA ⇒ (2 – R) 2 + (-1+ R) 2 = R 2 ⇔ R 2 – 6R + 5 = 0

⇒

1 5

R R

=



 =

 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là:

VD3: Cho hai đường thẳng d 1 : 3x + 4y + 5 = 0 và d 2 : 4x – 3y – 5 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 và d 2

Giải:

Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d

⇒ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)

- Vì đường tròn tiếp xúc với d 1 , d 2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R.

*Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r =

S p

*Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

⇒ Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh bằng nhau và bằng r

Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y

*Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trìnhđường tròn phải tìm.

Cách 2:

*Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.

*Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.

*Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác

ta được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

VD1: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).

a)Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.

b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

Giải:

a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB ⇒ I(4;3) Bán kính R = IA = 5

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:

VD2:Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:

⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.

AB = 20; BC = 25; CA = 15 Diện tích tam giác là: S = 150 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.

Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:

4 3 65 7 24 5 3 4 5 5

tiếp tuyến của đường tròn

Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M(x M ;y M ) thuộc đường tròn (C)

*Tìm tâm I(x0; yo) của (C)

* Vectơ pháp tuyến của là:

Tiếp tuyến là đường thẳng qua M, có vectơ pháp tuyến

là nên có phương trình là:

(xM – x0)(x – xM) + (yM – y0)( y – yM) = 0

VD1: Cho đường tròn có phương trình là: x 2 + y 2 +4x +4y -17 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn với điểm tiếp xúc là M(2;1)

Giải:

Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5

⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là:

2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0

⇔ 4x + 3y-11 = 0.

Loại 2: Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước:

* Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C)

* Viết dạng của phương trình tiếp tuyến A

* tiếp xúc (C)  d(I; ) = RSuy ra các hệ số chưa biết rồi viết phương trình của

Cần chú ý:

có hệ số góc k => : y = kx + m

* //d: ax + by + c = 0 => : ax + by + m = 0 (với m + c)

* vuông góc d: ax + by + c = 0 =>: bx - ay + m = 0