• Bài toán viết phương trình đường thẳng chứa cạnh đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác.. • Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, hoặc biết 1 số điều kiện cho trướ
Trang 1CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A Yêu cầu ôn luyện
hướng
• Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng
• Véc tơ chỉ phương của đường thẳng Viết phương trình tham số của đường thẳng, phương trình chính tắc
góc
• Bài toán viết phương trình đường thẳng chứa cạnh đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác
• Tìm chu vi, diện tích, đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, hoặc biết 1 số điều kiện cho trước
• Viết phương trìnhtrụcđẳng phương, phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M0, đi qua điểm M0 không nằm trên đường tròn
Trang 2biết điều kiện xác định.
phương trình chính tắc của nó
B Ôn luyện
(2, -2) và cách đều 2 điểm B (1, 1) và C (3, 4)
Cách 1: Δ qua A véc tơ pháp tuyến n(A, B)
Δ qua A (x - 2) + B (y + 2) = 0
Δ cách đều AB ⇔ d(A, Δ) = d(B, Δ).
Cách 2: Δ qua A nhận llà véc tơ chỉ phương
Δ qua trung điểm của AB
phương trình đường thẳng
BC: x - 3y - 6 = 0
CA: x + y + 6 = 0
AB: 3x + y -8 = 0
AB
Trang 32
1
2 cạnh góc vuông
• Đường cao BH nhận llà véc tơ pháp tuyến ⇒ n(1, 1) là véc
tơ chỉ phương
Trong hệ XOY cho 2 đường thẳng Δ và Δ' lần lượt có phương trình
Δ': x - 3y + 9 = 0
bởi Δ và Δ'
Bài tập về nhà
Trong hệ XOY cho A(3, 6); B(1, -1); C(6, 2)
cạnh, đường cao, trung tuyến, trung trực của Δ
ngoại tiếp Δ ABC
đường tròn (T)
x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0
a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của (T)
b) Cho đường thẳng Δ: y = x + b tuỳ theo giá trị của b xác định vị trí của Δ và (T)
AC
Trang 4M2 Viết phương trình tiếp tuyến với (T) tại M1, M2.
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết đường tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x
Giải:
Tâm I (2, 1); R = 3
C1: Thay I = x + b vào phương trình giải và biện luận
C2: Khoảng cách từ I (2, 1) đến Δ với R = 3
d: y = -x ⇔x + y = 0
Δ // d ⇔x + y + c = 0 (c≠0).
d (I, Δ) = 3.⇔Δ là tiếp tuyến
A, B là 2 điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương
a) Viết phương trình đường tròn đường kính AB
b) Cho E (0, 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp Δ AEB với m= 2
Giải:
A (x1, 0); B (x2, 0); x1, x2 là nghiệm phương trình
x1 + x2 = 2 (x1 + x2); x1.x2 = m
M (x, y) ∈(C) ⇔ == 0 ⇔(x - x2)(x - x2) + y2 = 0
⇔(x2 + y2) - (x1 + x2) x + x1.x2 = 0
Đường tròn qua A, B, C ⇔toạ độ thoả mãn phương trình
Bài tập về nhà: Trong hệ XOY cho Δ ABC với A (5, 4); B (2, 7); C (-2, -1) Tìm toạ độ trực tâm H và viết phương trình các đường cao AE, BF,
CD của Δ
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF
Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với cạnh BC
Elip có phương trình:
AM AN
Trang 516x2 + 25y2 = 100 (1)
a) Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của Elip
b) Tìm tung độ của điểm thuộc Elip có hoành độ x = 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm
c) Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với Elip
Giải:
Từ phương trình (1) suy ra
4 25
2
x
+
4
2
y = 1
Suy ra F1, F2, A1, A2, B1, B2; e
Thay x = 2 vào phương trình ⇒ y, ⇒ M1, M2
C1: Tính MF1, MF2 (tính đối xứng)
C2: Áp dụng công thức bán kính qua tiêu
phương trình chính tắc Elip?
a) Độ dài trục lớn băng 6, tiêu cự bằng 4
b) Một tiêu điểm F1 (- 3, 0) và M (1,
2
3) trên Elip
c) Elip qua M (1, 0); N (
2
3, 1)
Bài tập:
a) Viết phương trình chính tắc của Elip nhận F1 (5, 0) làm tiêu điểm, độ dài trục nhỏ 2b = 4 6 Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm thứ 2 F2 và tâm sai e b) Tìm M trên (E) sao cho MF1 = 2MF2
1 Trên mặt phẳng oxy cho Hypebol có phương trình 24x2 - 25y 2 = 600 (1)
- Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai
- Trên tung độ điểm thuộc Hypebol có hoành độ x = 10 và tính khoảng cách tới tiêu điểm
Trang 6(1) ⇔
25
2
x
-
24
2
y
= 1 ⇒ F1, F2, A, A', e
Thay x = 10 vào phương trình ⇒ y ⇒ M, M'
Tìm MF1, MF2 (áp dụng k/c) hoặc áp dụng công thức bán kính qua tiêu Thay y = kx - 1 vào phương trình tìm k để phương trình có nghiệm
2 Viết phương trình chính tắc của Hypebol nhận tiêu điểm F(9, 0) và độ dài trục thuộc 2a = 10 Tìm toạ độ đỉnh, tiêu cận, tâm sai của Hypebol Tìm b để đường thẳng y = 2x + b có điểm chung với Hypebol; khi b = 10 tìm toạ độ giao điểm
Giải:
b2 = c2 - a2 = 81 - 25 = 56 ⇒ b = 2 14, 2a = 10 ⇒ a = 5.
Phương trình chính tắc:
25
2
x
-
56
2
y
= 1, tiệm cận y = ±
5
14
5 9
Thay y = 2x + b vào phương trình
44x2 + 100bx + 25 (b2 + 56) = 0 ⇒ b2 ≥ 44
Với b = 10 ⇒ 44x2 + 1000x + 25.156 = 0 ⇒ x, y
Bài tập về nhà: Viết phương trình chính tắc của Hypebol có đỉnh A (a, 0); A' (-a, 0) có 2 tiệm cận vuông góc Chứng minh rằng tâm sai của Hypebol không phụ thuộc vào a Biết Hypebol có tiêu cự trên đi qua B (5, -3) Xác định a Viết phương trình chính tắc của Hypebol và tìm toạ độ tiêu điểm, e
cho (P) với phương trình chính tắc:
y2 = 12x
a) Tìm toạ độ tiêu điểm, phương rình đường chuẩn của (P)
b) Một điểm trên (P) có hoành độ x = 2 Tính khoảng cách từ điểm
đó đến tiêu điểm
Trang 7c) Qua I (2, 0) vẽ các đường thẳng thay đổi cắt (P) tại A, B CMR tích các khoảng cách từ A, B tới trục Ox là một hằng số
Giải:
y2 =2px ⇒ p = 6 Tiêu điểm F (3, 0), đường chuẩn x = -3.
x = 2 ⇒ y2 = 24 ⇒ y = ± 2 6
MF1 = MF2 = 5
Đường thẳng qua I (2, 0) có phương trình a (x - 2) + by = 0
⇒ ax + by -2a = 0.
Toạ độ giao diểm là nghiệm cuả hệ phương trình
=
= +
12x y2
0 2a
-by
ax
⇒ ay2 + 12by – 24a = 0
a = 0 phương trình có 1 nghiệm (loại)
a ≠0 phương trình có 2 nghiệm y1, y2
Thao Viét y1.y2 = -24 Khoảng cách từ A, B đến Ox là y1 y2 = = y1.y2
=24
của (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong các trường hợp sau:
- Đường chuẩn x = -2
- Đi qua điểm A (2, -1) nhận Ox là trục đối xứng Tìm giao điểm của đường thẳng x – y – 1 = 0 với (P) đó
- (P) đi qua A (2, 1)
Bài tập:
Cho (P) y2 = 4x Một đường tahửng bất kì đi qua tiêu điểm cắt (P) tại 2 điểm A, B CMR: Tích khoảng cách từ A, B đến trục Ox là 1 đại lượng không đổi
-6x + 2y + 6 = 0 và điểm A (1, 3)
a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn, chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn
Trang 8(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4 ⇒ tâm I (3, -1), R = 2.
IA = 2 5 > 2 vậy A ngoài (C)
Đường thẳng Δ qua A có phương trình là a(x – 1) + b(y - 3) = 0
(a2 + b2 ≠ 0).
ax + by – a – 3b = 0
Δ là tiếp tuyến ⇔ d(I, Δ) = 2.
của Elip
25
2
x
+
9
2
y
=1 song song với đường thẳng d: x + 2y -1 = 0
Δ song với d ⇔ x + 2y + c = 0 (c ≠ -1) Δ là tiếp tuyến ⇔ 25 + 36 = c2
⇒ c = ± 61
với (P)
5
2
x
-
4
2
y
= 1 đi qua điểm
M (3, -2)
Giải:
Δ qua M có phương trình là: a (x -3) + b (y + 2)= 0 (a2 + b2 ≠ 0 )
⇔ ax + by – (3a – 2b) = 0.
Δ là tiếp tuyến ⇔ 5a2 – 4b2 = (3a – 2b)2
⇔ 4a2 – 12ab + 8b2 = 0 Chọn b = 1 ⇒ a2 - 3a + 2 = 0 ⇒ a = 1, a = 2.
phẳng mà từ đó kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới Elip
6
2
x
+
3
2
y = 1
Giải:
Giả sử có 2 đường thẳng vuông góc với nhau:
Trang 9Δ ax + by + c = 0 và Δ’ - bx + ay + c’ = 0 Δ và Δ’ là tiếp tuyến của
Elip ⇔
= +
= +
2 2 2
2 2 2
' 3 6
3 6
c a b
c b a
với c.c’ ≠ 0 Toạ độ của M là nghiệm của
= +
+
−
=
+
+
0 '
0
c
ay
bx
c
by
ax
⇒ c2 + c’2 = (a2 + b2)(x2 + y2) ta có c2 + c’2 = 9(a2 + b2)
⇒ x2 + y2 = 9 Vậy điểm M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R = 3 Bài tập:
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 3x – 4y = 0 a) Tìm toạ độ tâm và bán kính
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox c) Viết phương trình đường thẳng qua M (2, 1) cắt (C) tại 2 điểm A, B nhận M làm trung điểm
d) Tính góc hợp bởi 2 tiếp tuyến của (C) đi qua I (1, 5)