CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI, HÀM SỐ BẬC BA

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = fx ta tiến hành các bước như sau: Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.. – Xác định một số điểm cụ thể của parabol

 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y = f(x).

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có

nghĩa.

3 Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x ; ( ) trên

mặt phẳng toạ độ với mọi x  D.

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường Khi đó ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó.

4 Sư biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K.

 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x1 2, �K x: 1x2� f x( )1  f x( )2

 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1 2, �K x: 1x2� f x( )1  f x( )2

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).

 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x).

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số

 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho

biểu thức f(x) có nghĩa: D = x R f x co�� ( ) ngh� a .

 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D.

+ A.B  0 

A B

00

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.

 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).

+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn.

+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.

+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

 

làm trục đối

xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh

b I

 

và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

 Dạng 1: Xác định Hàm số bậc hai

 Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai

 Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức

 Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Dạng 1: Cách xác định Hàm số bậc hai hay, chi tiết

1 Phương pháp giải.

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập

và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm

2 Các ví dụ minh họa.

Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai hay, chi tiết

1 Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh

– Xác định trục đối xứng x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với cáctrục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

- Bước 1: Nhận dạng đồ thị: Đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4, hệ số aa dương hay âm.

- Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với Oy và thay tọa độ vào các hàm số ở từng đáp án.

- Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

- Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình y′=0y′=0, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

- Bước 5: Giải phương trình y=0y=0 ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành

độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

HS chỉ cần thực hiện từng bước rồi loại bớt đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì dừng lại, không nhất thiết phải thực hiện hết cả 5 bước nếu đã tìm ra đáp án trước đó để tránh mất thời gian.

Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc

4, hệ số aa âm hay dương.

- Bước 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.

- Bước 3: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình y′=0y′=0, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

- Bước 2: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc

4, từ đó tìm được tâm đối xứng, trục đối xứng,

- Bước 3: Đối chiếu các kết quả thu được ở trên với các đáp án bài cho và xét tính đúng

- Bước 1: Xét tính dương, âm của hệ số aa dựa và dáng đồ thị.

- Bước 2: Tìm điều kiện của dd dựa và giao điểm của đồ thị hàm số với trục OyOy + Nếu giao điểm nằm trên trục hoành thì d>0d>0.

+ Nếu giao điểm nằm dưới trục hoành thì d<0d<0.

+ Nếu giao điểm trùng với gốc tọa độ O thì d=0d=0.

- Bước 3: Tìm điều kiện của b,cb,c dựa vào các điểm cực trị của đồ thị hàm số:

+ Nếu đồ thị hàm số không có cực trị thì phương trình y′=0y′=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔Δ′=b2−3ac≤0⇔Δ′=b2−3ac≤0.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình y′=0y′=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ′=b2−3ac>0⇔Δ′=b2−3ac>0.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị nằm trái phía với trục tung thì phương trình y′=0y

′=0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔3ac<0⇔ac<0⇔3ac<0⇔ac<0.

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên trái trục tung thì phương trình y′=0y

′=0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ⇔⎧⎪

Δ′=b2−3ac>0S=−2b3a<0P=c3a>0⇔{Δ

′=b2−3ac>0S=−2b3a<0P=c3a>0

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên phải trục tung thì phương trình y′=0y

′=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương ⇔⎧⎪

- Bước 1: Tính y′;y′′y′;y″, giải phương trình y′′=0y″=0.

- Bước 2: Giả sử x0x0 là một nghiệm của phương trình y′′=0y″=0 thì điểm

uốn U(x0;f(x0))U(x0;f(x0)).

- Bước 3: Thay tọa độ điểm uốn vào điều kiện đề bài để tìm m

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0)

+ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (x→±∞)

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)

2.4 Lập bảng biến

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 <=> x = ?

- Các điểm CĐ; CT nếu có.

(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, còn nếu được 1 nghiệm nguyên

thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị Thiếu bên nào

học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng.

+ Trong đó: x 0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)

+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số.

y’ = 3x 2 + 6x

Cho y’ = 0 <=> 3x 2 + 6x = 0 <=> [x=0

x=−2

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = -2; yCD=y(−2)=0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT=y(0)=−4

Vậy (-2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox

Giao điểm của đồ thị với trục Oy: x = 0 <=> y = -4 Vậy (0;-4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy Bảng giá trị :

Kết luận: Đồ thị hàm số bậc 3 đã cho nhận điểm U(-1;-2) làm tâm đối xứng.

C Một số bài tập trong đề thi đại học

D Bài tập vận dụng

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba

Hàm số bậc 3 là hàm số có dạng

Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và có dáng điệu như một trong 2 hình sau

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có 1 nghiệm (kép)

Đồ thị hàm số không có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành

Trường hợp 3: Phương trình y'=0 vô nghiệm

Đồ thị hàm số cũng không có điểm cực trị nhưng tiếp tuyến tại điểm uốn không song song với trục hoành

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương

Hàm số bậc 4 trùng phương là hàm số có dạng

Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và có dáng điệu như sau (tùy theo giá trị của a)

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có đúng 1 nghiệm

Khi đó đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị và có dáng điệu của một parabol

Qua bài viết này, độc giả đã nắm được 6 dạng đồ thị của hàm số bậc ba và 4 dạng đồ thị

của hàm số bậc 4 trùng phương.