Chủ đề hình học không gian

Tính chất Định lý 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho Định lý 2: Về giao t

MỤC LỤC CHƯƠNG II- ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN,

QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

I Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

II Tính chất

BÀI 3 Đường thẳng và mặt phẳng song song

I Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

BÀI 5 Phép chiếu song song hình biểu diễn của một hình không gian

I Phép chiếu song song

II Các tính chất

III Hình biễu diễn

BÀI 2- HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I Vị trí tương đối cuarhai đường thẳng trong không gian.

+ Cho hai đường thẳng a, b, ta có các trường hợp sau:

a) Có một mặt phẳng chứa a và b (a,b đồng phẳng)

* a  b = M

* a  b

b) Không có mặt phẳng chứa a và b (a,b không đồng phẳng ) gọi là a, b chéo nhau.

* Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng năm trong một

mặt phẳng và không có điểm chung

II Tính chất

Định lý 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường trên đường thẳng

cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Định lý 2: (Về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giáo tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thắng song song thì giao

tuyến cảu chúng (nếu có) cũng song song vớ hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

( ) ( )

( )

// // d a ( )

//

d

a

d a b hay b

Định lý 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song

song với nhau

BÀI 3-ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh

đường thẳng đó song song với một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng

Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mp

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng () và () chứa đường thẳng d// ()

• Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

• Giao tuyến đi qua điểm chung và song song với d

Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mp

 Tìm một điểm M chung của hai mặt phẳng

 Tìm đường thẳng d song song với hai mp

Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chungM và song song với đường thẳng d

Định lí 3: cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường

thẳng nay và song song với đường thằng kia

BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Hai mặt phẳng     ,  được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

II Tính chất

Định lý 1: Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt nhau a b, và a b, cùng songsong với mặt phẳng   thì   song song với   .

Định lý 2 Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt

phẳng song song với mặt phẳng đã cho

Hệ quả 1 Nếu đường thẳng d song song với mp  thì qua d có duy nhất một mặtphẳng   song song với mp  .

Hệ quả 2 Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mp thứ 3 thì chúng song song với nhau

Hệ quả 3 Cho điểm A không nằm trong mp  thì với mọi đường thẳng d đi qua A vàsong song với mp  thì đều nằm trong một mp  song song với mp 

 Hình lăng trụ A1A2…An.A'1A'2…A'n

– Hai đáy: A1A2…An và A'1A'2…A'n

là hai đa giác bằng nhau

– Các cạnh bên: A1A'1, A2A'2…

song song và bằng nhau

– Các mặt bên: A1A'1 A'2A2, … là các hình bình hành.

– Các đỉnh: A1, A2, …, A'1, A'2.

– Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm

BÀI 5: PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN

CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

II.

Các tính chất của phép chiếu song song

LÊ THÁNH

TÔNG

III Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của các hình thường gặp

Tam giác Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam

giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, ,tam giác cân, tam giác vuông,…)

Hình bình hành Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn

của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật

Hình tròn Người ta thường dùng hình elip để

biểu diễn cho hình

Đặc biệt: Hình biểu diễn của một hình tròn là một đường elip hoặc một đường tròn,

hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng

MỤC LỤC CHƯƠNG III VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

TÊN BÀI TÓM TẮT SÁCH GIÁO

KHOA

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto

Dạng 2: Chứng minh ba vecto đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng

Dạng 3: Tính độ dài của đoạn thẳngDạng 4: Sử dụng điều kiện của bốn điểm đồng phẳng để giải bài toán hình học không gian

3.Góc giữa hai đường thẳngtrong không gian

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Dạng 2: Dùng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

và mặt phẳng vuông góc3.Tính chất

4.Sự liên quan giữa quan hệsong song và quan hệ vuônggóc

5.Phép chiếu vuông góc và

ba đường thẳng vuông góc

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Dạng 2: Thiết diện đi qua một điểm

và vuông góc với một đường thẳngDạng 3: Tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳngDạng 4: Tìm tập hợp hình chiếu củamột điểm trên một đường thẳng haymột mặt phẳng di động

Bài 4: Hai mặt

phẳng vuông

góc

1.Góc giữa hai mặt phẳng2.Xác định góc giữa hai mặtphẳng cắt nhau

3.Diện tích hình chiếu

4 Hai mặt phẳng vuông góc

Dạng 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳngvuông góc

Dạng 3: Ứng dụng công thức hình chiếu

Dạng 4: Bài tập liên quan đến hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Bài 5: Khoảng

cách

1.Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng2.Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng3.Khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳngsong song

4.Khoảng cách hai mặt phẳng song song

5.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

6.Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đếnmột đường thẳng

Dạng 2: Khoảng cách từ 1 điểm đếnmột đường thẳng

Dạng 3: Khoảng cách từ một đườngthẳng đến mặt phẳng song songDạng 4: Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Dạng 5: Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 6: Ứng dụng phép chiếu vuông góc để tính khoảng cách giữahai đường thẳng chéo nhau

CHƯƠNG III VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A.TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa, quy tắc

Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta cómột vectơ, được kí hiệu là

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu là

A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùngphương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, …được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng

Các quy tắc:

 Quy tắc hình bình hành: Nếu

ABCD là hình bình hành thì

 Quy tắc 3 điểm đối với tổng hai vecto:

 Quy tắc 3 điểm đối với hiệu hai vecto:

Ngoài ra ta cần nhớ thêm:

 Qui tắc hình hộp :

Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì:

 Qui tắc trọng tâm tứ diện.

G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai

điều kiện sau xảy ra:

C D

B

B'

C' A

 Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ đồng phẳng là có các số m,n,p không đồng

thời bằng 0 sao cho +

 Cho hai vec tơ không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơđồng phẳng là có các số m,n sao cho

 Nếu ba véc tơ không đồng phẳng thì mỗi vec tơ đều có thể phân tích một cáchduy nhất dưới dạng: +

B CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto

Dạng 2: Chứng minh ba vecto đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng

Dạng 3: Tính độ dài của đoạn thẳng

Dạng 4: Sử dụng điều kiện của bốn điểm đồng phẳng để giải bài toán hình học không gian

BÀI 2.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA.

1 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

- Góc giữa hai véctơ trong không gian:

Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) và là với

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Cho hai vectơ khác vectơ không :

Biểu thức được gọi là tích vô hướng của hai vectơ :

Nếu hoặc thì ta quy ước =

2 Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Vectơ khác vectơ- không, được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với d

- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì k (k≠0) cũng là vectơ chỉ phương của d

- Một đường thẳng dtrong không gian hoàn toàn xác định khi biết một điểm và vectơ chỉ phương của nó

- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi và chỉ khi chúng có vectơ chỉ phương cùng phương với nhau

3 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

1 Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Chú ý:

- Điểm O có thể lấy trên một trong hai đường thẳng avà b

- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900

- Nếu và lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b và (, )= thì

góc (a;b)=α nếu 0<α≤900 và bằng 1800 −α nếu α>900

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Dạng 2: Dùng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

2.Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Định lí: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường

=> 2 => a//b (h2)

3.=> 4 => (h4)

5.Phép chiếu vuông góc và ba đường thẳng vuông góc:

5.1 Định nghĩa :

Cho đường thẳng d Phép chiếu song song theo phương d lên

mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Dạng 2: Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

2.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt

+ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β)

+ Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c Khi đó: ((α),(β)^)=(a,b^)

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ (γ) vuông góc với giao

tuyến c mà (α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b Suy ra ((α),(β)^)=(a,b^)

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, B (A∈(α),B∈(β)) mà AB⊥(β) thì

qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H Khi đó

- Các mặt bên vuông góc với hai đáy

- Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều

b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật

- Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật

- Đường chéo với d= với a,b,c là ba kích thước

Q P

R

b

a

Q P

c) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có đáy và các mặt bên

đều là hình vuông

6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

a) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau

- Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau

- Các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau

b) Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song

song với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp được gọi là

1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Cho điểm M và một đường thẳng Δ Trong mp (M,Δ) gọi H là

hình chiếu vuông góc của M trên Δ Khi đó khoảng cách MH

được gọi là khoảng cách từ điểm M đến Δ

d (M,(Δ))= MH

Nhận xét: OH OM,M Δ

O

H M

2.Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho mặt phẳng (α) và một điểm M , gọi H là hình chiếu của

điểm M trên mặt phẳng (α) Khi đó khoảng cách MH được gọi

Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) song song với nhau Khi

đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên Δ đến mặt phẳng (α)

được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng

(α)

D(Δ,(α))=d (M, (α)), MΔ

4.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khoảng cách

từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được

gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)

.d((α) ,(β))=d (M, (β))=d (N, (α)), Mα) ,Nβ)

5.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b Độ dài đoạn vuông góc chung

MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = IJ

Trường hợp 2: Δ và Δ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau

+Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ' và song song với Δ

α

O

H M

M

β

α M

+ Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống (α)

bằng cách lấy điểm M ∈ Δ dựng đoạn MN ⊥ (α), lúc đó d là

đường thẳng đi qua N và song song với Δ

+ Bước 3: Gọi H = d ∩ Δ' , dựng HK // MN

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = HK = MN

Hoặc

+Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) ⊥ Δ tại I

+Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ' xuống mặt phẳng (α)

+Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ ⊥ d, từ J dựng đường

thẳng song song với Δ cắt Δ' tại H , từ H dựng HM // IJ

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = HM = IJ

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Dạng 3: Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song

Dạng 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 6: Chứng minh vuông góc

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KIẾN THỨC