CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

3.3.Một vài qui tắc về giới hạn vô cực a Quy tắc tìm giới hạn của tích fx.gx Nếu và hoặc -∞ thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: bQuy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của gx x

MỤC LỤC

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I-LÍ THUYẾT:

1.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 2

1.2 Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 2

1.3 Giới hạn một bên: Định nghĩa 2: 2

Định lí 2: 3

2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa 3: 3

Chú ý: 3

3 Giới hạn vô cực của hàm số : 3.1 Giới hạn vô cực: Định nghĩa 4: 3

3.2 Một vài giới hạn đặc biệt: 4

3.3.Một vài qui tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) 4

b)Quy tắc tìm giới hạn của thương .4

c) Chú ý : 5

II- CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa 5

DẠNG 2: Xem đồ thị xác định giới hạn của hàm số 6

DẠNG 3: Giải bài tập giới hạn hàm số dạng vô định 1.Loại 7

2 Loại 8

3 Loại 9

4 Loại 9

DẠNG 4: Giải bài tập giới hạn hàm số mũ 9

BÀI 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC

I LÍ THUYẾT

1 Hàm số lên tục tại một điểm

1.1 Định nghĩa 1 11

2 Hàm số liên tục trên một khoảng 2.1 Định nghĩa 2 11

2.2 Nhận xét 12

3 Một số định lí cơ bản 3.1 Định lí 1 12

3.2 Định lí 2 13

3.2 Định lí 3 13

II CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: Dùng định nghĩa để xét tính liên tục của hàm số 13

DẠNG 2 Xét tính liên tục của hàm số 14

DẠNG 3: Cách tìm m để hàm số liên tục 16

DẠNG 4: Vẽ đồ thị hàm số và xét tính liên tục thông qua đồ thị 17

DẠNG 5: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 18

DẠNG 6: Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm 19

CHỦ ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I-LÍ THUYẾT:

1.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

1.1 Định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

Định nghĩa 1:

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y =f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}

Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y =f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất

kì, x0<xn<b và xn x0, ta có f(x n ) L.

Kí hiệu:

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y =f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì,

a) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞)

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x→+∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và

xn→+∞, ta có f(x n )→L

Kí hiệu: hay f(x)→L khi x→+∞

b) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞; a)

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x→ -∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn <a và

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞

khi nếu dãy số (xn) bất kì, xn > a và , ta có

Nhận xét :

3.2 Một vài giới hạn đặc biệt:

a) với k nguyên dương.

b) nếu k là số lẻ

c) nếu k là số chẵn.

3.3.Một vài qui tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Nếu và ( hoặc -∞) thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

b)Quy tắc tìm giới hạn của thương

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K đang tính giới hạn, x≠)

DẠNG 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Sử dụng các định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một

điểm, giới hạn một bên, định lí 2 của giới hạn một bên ( khi và chỉ khi ) để giải bài tập

 x=2Giả sử ( xn ) là dãy số bất kì ,xn є D

 xn ≠ 2, xn → 2 khin→+∞

DẠNG 2: Xem đồ thị xác định giới hạn của hàm số:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Quan sát đồ thị để tìm ra trong từng khoảng đề bài yêu cầu thì

hàm số sẽ tiến về đâu

Bài 5:Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Hãy xác định giới hạn của hàm số trên từng khoảng

Giải:

Nhìn vào đồ thị ta có:

với f(x) được xét trên khoảng (-∞; -3)

với f(x) xét trên khoảng (-3; 3)

với f(x) xét trên khoảng (-3; 3)

DẠNG 3: Giải bài tập giới hạn hàm số dạng vô định

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

+Bước 1: Để giải quyết các bài tập giới hạn hàm số dạng vô định, đầu tiên, chúng ta cần phải khử dạng vô định Các dạng vô định hàm số bao gồm: 0/0 ; ∞/∞ ; ∞ - ∞ ; 0 ∞

+Bước 2: Sau khi khử xong các dạng vô định, chúng ta sẽ tiến hành giải các bài tập

này như các bài tập giới hạn hàm số thông thường, dựa vào các công thức phía trên

Một số phương pháp khử dạng vô định

b)L= �ới �(�o) = �(�o) = 0 và P(x) và Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử và

�iới ạℎ � �à� � ườℎ �� � ứℎ � �ă�

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:Ta thường sử dụng phương pháp nhân liên hợp cả tử và mẫu,

thêm bớt,… để đưa về dạng đã biết cách giải:

Hai phương pháp giải phổ biến đối với hàm số mũ là sử dụng các giới hạn đặc biệt

hay sử dụng các công thức đạo hàm như ln x

BÀI 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC

I-LÍ THUYẾT

1 Hàm số liên tục tại một điểm

1.1 Định nghĩa 1: Cho hàm số y=f (x)xác định trên khoảng Kvà x 0 � KHàm số

y = f (x)được gọi là liên tục tại x0 nếu x lim f (x) x0 f (x ).0

3 Một số định lí cơ bản

3.1 Định lí 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

3.2 Định lí 2:

Giả sử y=f (x)và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 Khi đó

a) Các hàm số y=f (x) g(x)+ ,y=f (x) g(x)- và y=f (x).g(x) liên tục tại x 0;

b) Hàm số

f (x) y

g(x)

=

liên tục tại x 0 nếu g(x ) 0 � 0.

3.3 Định lí 3:

Nếu hàm số y=f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b)<0, thì phương trình f (x)=0

có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b)

3.3 CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Dùng định nghĩa để xét tính liên tục của hàm số:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Áp dụng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và liên tục

trên khoảng, trên đoạn để giải

Vậy hàm số gián đoạn tại x =3

Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia

và tại các điểm chia của các khoảng đó

+ Với x>2: f (x) là phân thức hữu tỉ nên liên tục (2; + �).

+ Với x<2: f (x) là đa thức bậc nhất nên liên tục (- � ; 2 )

Do đó hàm số không liên tục tại x = 2

Vậy f (x)liên tục trên khoảng (- � ; 2 và 2; +) ( �).

DẠNG 3: Cách tìm m để hàm số liên tục

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này

- Điều kiện để hàm số liên tục tại x0:

- Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D

và có hai số a, b thuộc D sao cho f(a).f(b) < 0

Phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai+1) (i = 1,2,…,k) nằm trong D sao cho f(ai).f(ai+1) < 0

+Đồ thị là đường liền nét thì hàm số liên tục.

+Đồ thị đứt nét thì tại điểm đó là điểm gián đoạn

b)+ Đồ thị hàm số là đường liền nét tại x =1,x=2,x=0.

+ Hàm số liên tục tại x=0;x=1;x=2

+ Đồ thị hàm số là một đường liền nét

+ Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (- � � ; + )

DẠNG 5: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI: x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x 0 hàm số

Nếu b và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x=0

DẠNG 6: Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

– Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0

– Hàm số f(x) liên tục trên đoạn ta có:

2) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

-Tìm k cặp số ai,bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau và f(ai).f(bi) <0 i=1,2,…k

3) Khi phương trình f(x)=0 có chứa tham số thì cần chọn a,b sao cho:

-f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi

-Hoặc f(a),f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm

Mặt khác vì f(0).f(1) = 1.(-3) < 0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm

b) Hàm số g(x) = cosx – x xác định trên R nên liên tục trên R

Mặt khác, ta có g(0).g(π/2) = 1 (-π/2) < 0 nên phương trình đã cho có nghiệm trongkhoảng (0; π/2)