CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG

A, ĐƯỜNG THẲNG

I, Lý thuyết

1, Các công thức

* Cho a(x1,y1) và b(x2,y2) khi đó:

a ± b= (x1 ± x2; y1 ± y2) ka = (kx1; ky1)

1

2

1 y

x + a b= x1.x2 + y1y2

= a.b cos α

a = kb











=

=

⇔

2 1

2 1

,

ky y

kx x

cùngphuong b

a 

* Cho A(xA, yA) và B(xB, yB) khi đó:

B

A = (xB – xA; yB – yA) AB = (x B −x A) 2 + (y B −y A) 2











−

−

=

−

−

=

⇔

=

k

ky y y

k

kx x x B kM A M

B A M

B A M

1

1





Nếu M là trung điểm của AB thì:











+

=

+

=

2

2

B A M

B A M

y y y

x x x

2, Phương trình tổng quát của đường thẳng

- P.tr đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0)

⇒ VTPT: n = (A;B) VTCP: u = (-B;A)

với n⊥ ∆ với u// ≡ ∆

3, Phương trình tham số của đường thẳng

- P.tr đt (∆) có dạng:







+

=

+

=

0

0

y bt y

x at x

với t∈R

⇒ VTCP: u = (a,b) và điểm M(x0,y0) ∈ ∆

4, Phương trình chính tắc của đường thẳng

- P.tr đt (∆) có dạng:

b

y y a

x

x− 0 = − 0

⇒ VTCP: u = (a;b) và điểm M(x0,y0) ∈ ∆

5, Khoảng cách từ M(x 0 ;y 0 ) đến ∆: Ax + By + C = 0

d (M,∆) =

2 2 0 0

B A

C By Ax

+

+ +

= ?

Nhận xét:

- Trong ∆ABC độ dài đường cao AH = d (M,BC)

- Đường thẳng (∆) là tiếp tuyến của đường tròn (C)







R

b a tâmI( ; )

↔ d (I,∆) = R

-Ptr đường phân giác của góc tạo bởi:

(∆ 1): A1x + B1y+ C1 = 0

và (∆ 2): A2x + B2y + C2 = 0 cắt nhau là 2

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

+ +

= +

+ +

-khử trị tuyệt đối ta có 2 đường phân giác

6, Góc giữa hai đường thẳng

- Đường thẳng (∆ 1): A1x + B1y+ C1 = 0 ⇒ n1 = (A1;B1)

- Đường thẳng (∆ 2): A2x + B2y + C2 = 0 ⇒ n2= (A2;B2)

⇒ góc giữa hai đường thẳng:

cos

) )(

(

.

2 2 2 1 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A

+ +

+

=

II, Bài toán:

1,Viết ptr đường thẳng

- Phương pháp:

+ Để viết ptr đt (∆) phải:







= ( , ) :

) ,

B A n VTPT

y x quaM



+ P.tr tổng quát đt (∆): A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0

- Chú ý:

+ VTCP: u = (A;B) ⇒ VTPT n = (-B;A) + (∆) // (d): Ax + By + C = 0 ⇒ VTPT của (∆) n = (A, B) + (∆) ⊥(d): Ax + By + C = 0 ⇒ VTPT của (∆) n = (-B;A) + (∆) có hệ số góc là k⇒pt (∆): y = k.x + b

2,Tìm hình chiếu ⊥ của A lên đt (∆)

-Phương pháp:

-Cách 1:

-Viết pt đt (d )







=

=

⇔

∆

⊥ ( ) n u∆ ?

quaA

d



 ⇒p tr đt (d ): ?

-Tìm: I = ( ∆ ) ∩ (d) ⇒tọa độ I la nghiêm của hệ: I

y

x ptđt

d ptđt

⇒







=

=

⇔







? )

(

) (

-Vậy hình chiếu ⊥ của A lên đt (∆) là I

-Cách 2:

-Gọi I (a;b) là hình chiếu ⊥ của A lên đt (∆) thì :

?

?

? )

2 ( 0

.

) 1 ( )

(

I b

a pt

u

I

A

pt I

⇒







=

=

⇒







⇒

=

⇒

∆

∈

∆





Nhận xét: -độ dài AI là kc từ A đến (∆)

-khoảng cách nhỏ nhất từ A đến một điểm trên (∆) là AI

3,Tìm điểm đối xứng của A qua đt (∆)

Phương pháp:

-Tìm hình chiếu ⊥ của A lên đt (∆) là I

-Gọi B là điểm đối xứng của A qua đt (∆)thì I là trung điểm của AB -Ta có: ?

?

? 2

2

B y

x y

y y

x x x

B

B B

A I

B A







=

=

⇒







+

=

+

=

4,Bài toán trong tam giác ABC

4.1,Điểm đặc biệt trong tam giác ABC

a,Trọng tâm G

? 3

?

y y y y

x x x x

C B A G

C B A G

⇔











= + +

=

= + +

=

b,Trực tâm H(a;b)

?

? 0

.

0

H b

a C

A H B AC BH

C B H A BC







=

=

⇔







=

⇔

⊥

=

⇔

⊥









c,Tâm đường tròn ngoại tiếp I(a;b)

?

? )

2 (

) 1 (

2 2

2 2

I b

a pt

CI AI

pt BI

AI

⇔







=

=

⇔







⇔

=

⇔

=

4.2,Các đường thường gặp trong tam giác ABC

? :

?

vtcp

quaA quaM

quaA

⇔







=

⇔

=

⇔











với :M là trung điểm của BC

?

vtpt

quaA BC

quaA

⇔







=

=

⇔







?

vtpt

quaN AB

quaN

⇔







=

=

⇔







với :N là trung điểm của AB

B, ĐƯỜNG TRÒN

I, Lý thuyết

1, Các công thức

- Dạng tổng quát: (x – a)2 + (x – b) 2 = R 2

⇒ Tâm I(a;b) và bán kính R

- Dạng khai triển: x2 + y 2 - 2ax -2 by + c = 0

Điều kiện: a 2 + b 2 – c > 0

⇒ Tâm I(a;b) và bán kính R = a2 +b2 −c

II, Bài toán

1, Viết ptr đường tròn

a, Viết pt tổng quát đường tròn

phương pháp:

- Tìm tọa độ tâm I(a;b)

- Tìm bán kính R = ?

- Kết luận: ptr tổng quát của đ.tròn: (x – a) 2 + (x – b) 2 = R 2

* Nhận xét:

+Điểm M ∈(C) ↔ MI=R

+đường tròn đường kính AB↔Tâm I là trung điểm AB và R=IA=IB=

2

AB

+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) ↔

d (I/∆) = R

b, Viết ptr đ.tròn qua 3 điểm: A(x A ,y A ); B(x B ,y B ); C(x C ,y C )

phương pháp:

- Gọi ptr đ.tròn (C): x 2 + y 2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a 2 + b 2 –c >0

- Vì A, B, C ∈ (C)thay tọa độ các điểm vào (C)⇒hệ ptr 3 ẩn ⇒









=

=

=

?

?

?

c b a

- Kết luận:

c,viết pt đ tr(C) thảo mãn:









∆

∈đt( )

tâmI quaB quaA

phương pháp:

- Gọi ptr đ.tròn (C): x 2 + y 2 - 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a 2 + b 2 –c >0

Ta có tâm I(a;b)

-VÌ I∈(∆) nên thay tạo độ vào pt đt (∆)⇒pt(1)

-Vì A, B ∈ (C) thay tọa độ các điểm vào (C)⇒pt(2) và pt(3)

-Giải hệ ptr 3 ẩn ⇒









=

=

=

?

?

?

c b

a

(kt đk) -Kêt luận:

2, Viết ptr tiếp tuyến của (C): Tâm I(a,b) và bán kính R

a, Ptr tiếp tuyến của (C) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ (C) khi đó tiếp tuyến:

)

; ( :

) , (

0 0

0 0

pt b y a x M I n VTPT

y x quaM

⇔







−

−

=

= +

+





b,Ptr tiếp tuyến của (C) qua M(x 1 ,y 1):

phương pháp:

-xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C)

-kiểm tra M có thuộc đường tròn (C) không ?

+Nếu M ∈(C) thì pt tt: : ?

)

; ( :

) , (

1 1

1

b y a x M I n VTPT

y x quaM

⇔







−

−

=

= +

+





+Nếu M∉(C) thì :

- Ptr đường thẳng ∆ qua M(x1,y1) và có hệ số góc là k có dạng:

y = k.(x- x 1 )+ y1 ↔ k.(x- x 1 )-y+ y1 =0

- Để đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) thì:

d(I/ ∆) = R ⇔ ?

) 1 (

) (

2 2

1

− +

+

−

−

k R k

y b x a k

⇒ pt tiếp tuyến: ?

Nhận xét: + Nếu M∉(C) thì có 2 pt tt qua M

+Nếu có 1 pt tt thì pt tt không có hệ số góc là: x = x1

c, Ptr tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k

phương pháp:

-xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C)

-pt đt ∆ có hệ số góc k có dạng: y = k.x + c ↔ k.x - y +c =0

- Để đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C) thì:

d(I/ ∆) = R ⇔ ?

) 1

− +

+

−

c R k

c b ka

⇒ pt tiếp tuyến: ?

Nhận xét: +Có 2 pt tt cần tìm

+Nếu : tiếp tuyến ∆// đt : y = ax + b⇒k = a +Nếu : tiếp tuyến ∆ ⊥ đt : y = ax + b⇒k =

a

1

−

III-BÀI TẬP

Bài 1: Viết ptr đt đi qua M(1,2) và

1, VTPT: n = (4;-3)

2, VTCP: u = (-1,4)

3, Qua N(1;6)

4, Vuông góc với (d1): 2x – y + 1 = 0

5, Song song với (d2): 3x + 2y – 1 = 0 6,có hệ số góc k = 3

7,vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k = -3

Bài 2: Cho (∆): x + y + 1 = 0 và điểm A(6;0)

1, Tìm điểm B đối xứng với A qua (∆)

2, Viết ptr đt qua A và // với (∆) Bài 3: Cho A(1;2) B(-1;3) C(0;1)

1, Viết ptr đt các cạnh

2, Viết ptr đường cao AH, trung tuyến AN

3, Tìm góc A

Bài 1: 1,Viêt ptr đ.tròn đi qua A(1,2); B(1,-3); C(3,2)

2, Viêt ptr đ.tròn đi qua M(1,4) và tiếp xúc với Ox, Oy

Bài 2: Cho ptr đ.tr: x2 + y2 + 2x + 2y – 1 = 0

1, Xác định tâm và bán kình của đ.tr

2, Viêt p.tr tiếp tuyến qua M (-3;0)

C, BA ĐƯỜNG CONIC

STT Tên Trục Tiêu điểm Tiêu điểm Tâm sai Đường chuẩn

PT t 2 tại

M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ conic

Đk để đt Ax+By+C=0

Là tt của conic

1

Elip(E):

1

2

2 2

2

= +

b

y

a

x

a>b

Trục lớn ∈Ox:2a Trục bé ∈Oy: 2b

c2 = a2 - b2

F1(-c, 0)

1

∆ : x =

-e a

F1F2 = 2c

F2 = (c,0)

2

∆ :x =

e

a

c

12

∆ : x = ±

e a

1

2

0 2

b

y y a

x

x A2a2 + B2b2 = C2

a<b

Trục lớn ∈Oy:2b Trục bé ∈Ox: 2a

c2 = b2 - a2

F1(0, -c)

1

∆ : y =

-e b

F1F2 = 2c

F2 = (0,c)

2

∆ : x =

e

b

c

12

∆ : y = ±

e b

2

Hypebol(H

)

2 1

2 2

2

= +

b

y

a

x

Trục thực ∈Ox:2a

Trục ảo ∈Oy: 2b

c2 = a2 + b2

F1(-c, 0)

1

∆ : x =

-e a

F1F2 = 2c

F2 = (c,0)

2

∆ : x =

e

a

c

12

∆ : x = ±

e

2

0 2

b

y y a

x x

A2a2 - B2b2 = C2

1

2

2 2

2

=

−

b

y

a

x

Trục thực ∈Oy:2b

Trục ảo ∈Ox: 2a

c2 = b2 + a2

F1(0, -c)

1

∆ : y =

-e b

F1F2 = 2c

F2 = (0,c)

2

∆ : x =

e

b

c

12

∆ : y = ±

e

b

1

2

0 2

a

x x b

y y

B2b2 - A2a2= C2

3

Parabol

y2 = 2px

Trục đ.xứng: Ox Đỉnh: S(0;0) F(-2

p

;0)

2 :x= − p

∆ y0y= p(x+x0) pB2 = 2AC

y2 = -2px Trục đ.xứng: Ox

Đỉnh: S(0;0) F(-2

p

;0)

2 :x= p

∆ y0y= -p(x+x0) pB2 = -2AC

1, Xác định đặc điểm của Conic

2, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua A(- 3;0)

3, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua B(4;0)

4, Viết ptr tiếp tuyến của Conic // với ∆: x – 2y + 1 = 0

5, Viết ptr tiếp tuyến của Conic ⊥với (d): 2x – 3y + 1 = 0

Bài 1: Cho (P): y2 = 2px

1, Xác định đặc điểm của (P)

2, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua A(2;2)

3, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua B(-2;0)

4, Viết ptr tiếp tuyến của (P) // với ∆: x – 2y + 6 = 0

5, Viết ptr tiếp tuyến của (P) ⊥với (d): x – y + 4 = 0

6, Viết ptr tiếp tuyến của (P) tạo với (d1): 2x – y = 0 một góc 450

Bài 2: Cho (P): y2 = 16x Viết ptr tiếp tuyến của (P):

1, đi qua A(1;2)

2, đi qua B(1;-4)

3, Vuông góc với (d): 2x – y + 5 = 0

Bài 3: Cho (E): 4x2 + 12y2 = 48

1, Xác định các yếu tố của (E)

2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(0;-2)

3, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆: x + y = 0

4, Viết ptr tiếp tuyến // với (d): x – y + 1 = 0

5, Viết ptr tiếp tuyến có hệ số góc K = 2

Bài 4: Cho (E): 1

4 9

2 2

= + y

x

1, Xác định các yếu tố của (E)

2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0)

3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)

4, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆: x -2y - 6 = 0

5, Viết ptr tiếp tuyến ⊥// với (d): x – y + 1 = 0

6, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: 2x – y = 0 một góc

4

Π

Bài 5: Cho (H): 1

4 9

2 2

=

− y

x

1, Xác định các yếu tố của (H)

2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0)

3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)

4, Viết ptr tiếp tuyến // với ∆: x -2y + 4 = 0

5, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: x – y = 0 một góc 450

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

(GIẢI TÍCH)

A, Các khái niệm cơ bản

I, Véc tơ và tọa độ trong không gian

a = x.i+y.j+z.k ⇔a= (x,y,z)

Cho a= (x1,y1,z1) và b= (x2,y2,z2) Khi đó ta có các tính chất sau:

1, a ± b= (x1±x2, y1±y2, z1±z2) 2,k.a = (kx1,ky1,kz1)

3, a⊥b ⇔ a.b= 0 ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2=0 4, 2

1

2 1

2

x

5, a.b= x1x2 + y1y2 + z1z2 = ab cos α ⇔ gọi là tích vô hướng

2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

z y x

z z y y x x

+ + +

+

+ +

7,









=

=

=

⇔

=

2 1

2 1

2 1

kz z

ky y

kx x b k

a 

8, Tích có hương: [ ], ; ; ?

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1









=

=

y x

y x x z

x z z y

z y b a

n  

Nhận xét:-ta có:







⊥

⊥

n b

n a









-ta có:n = a.b sin α

- Cho OM =x.i+ y.j+z.k⇔ M(x,y,z)

- Cho A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB) Khi đó ta có:

1, AB = (xB-xA, yB-yA,zB-zA) 2,AB = (x A −x B) 2 + (y A − y B) 2 + (z A −z B) 2

3,

















−

−

=

−

−

=

−

−

=

⇔

=

k

kz z z

k

ky y y

k

kx x x MB

k

MA

B A M

B A M

B A M

1 1

1

3, M là trung điểm của AB

















+

=

+

=

+

=

⇔

2 2 2

B A M

B A M

B A M

z z z

y y y

x x x

B, Bài toán

Bài toán 1: Chứng minh a,b,c đồng phẳng

* Phương pháp:

- Tính n=[ ]a;b = ?

- Tính n.c = ?

+ Nếu n.c= 0 ⇔ a,b,c đồng phẳng

+ Nếu n.c≠ 0 ⇔ a,b,c không đồng phẳng

* Ví dụ: Xét sự đồng phẳng

1, a = (1;-1;1) b= (0;1;2) c= (4;2;3)

* Phương pháp:

- Tính AB= ?;AC= ?;AD= ?

- Tính n=[AB,AC]= ?

- Tính n.AD= ?

+ Nếu n.AD = 0 ⇔ A,B,C,D đồng phẳng + Nếu n.AD ≠ 0 ⇔A,B,C,D không đồng phẳng

* Ví dụ: Xét sự đồng phẳng

1, A(1,2,3) B(3,2,1) C(-3,2,-1) D(4,2,1)

2, A(-1,-2,1) B(3,-2,1) C(2,1,1) D(-2,1,1)

Bài toán 3: Tính diện tích của ∆ABC

* Phương pháp:

2

1

c p b p a p p AC

Với p =

2

c b

a+ +

* Ví dụ: Tính diện tích của ∆ABC

1, A(1;2;3) B(4;-1;2) C(1;-2;6)

2, A(0;-1;3) B(-2;3;2) C(-1;1;4)

Bài toán 4: Tìm đường cao AH trong ∆ABC

* Phương pháp:

- Tính S∆ABC = ? BC = ?

- Ta có:

BC

S AH BC

AH

2

=

* Ví dụ: Tìm độ dài đường cao trong ∆ABC

1, A(1;2;3) B(-1;2;1) C(1;1;3)

2, A(0;1;2) B(-1;2;3) C(1;2;1)

Bài toán 5: Tìm thể tích tứ diện ABCD

* Phương pháp:

- Tính AB= ?

?

=

AC

?

=

AD

- Tính n=[AB,AC]= ?

? AD=

n

- Thể tích khối tứ diện: V n.AD

6

1 

= =?

Bài toán 6: Tính đường cao AH trong tứ diện ABCD

* Phương pháp:

- Ta có: V AH.S BCD

3

1

=

BCD

S

V

AH = 3

* Ví dụ: Tìm thể tích và đường cao của khối tứ diện

1, A(1;2;3) B(4;1;2) C(4;2;3) D(1;1;3)

2, A(4;-2;-1) B(0;1;0) C(1;2;1) D(1;3;5)

*****************************

I, Lý thuyết

1, Phương trình tổng quát của (α )

Ax + By + Cz + D = 0 (α )

⇒ VTPT: n = (A,B,C) với n⊥(α)

- Với M0(x0;y0;z0) ∈(α ) ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

- u= (a,b,c) là véc tơ chỉ phương của (α )⇔ Aa + Bb + Cc = 0

2, Góc giữa hai mặt phẳng

- Hai mặt phẳng: (α 1): A1x + B1y + C1z + D = 0

(α 2): A2x + B2y + C2z + D = 0

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc α

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2

1

2 1

.

cos

C B A C B A

C C B B A A n

n

n n

+ + +

+

+ +

=

=  





- Nếu α = 900 hay (α1) ⊥ ( α2) ⇔n1.n2 = 0

3, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

- Cho hai mặt phẳng: (α 1): A1x + B1y + C1z + D = 0

(α 2): A2x + B2y + C2z + D = 0

- Ta có: n1 = (A1;B1;C1) và n2 = (A2;B2;C2)

+ Nếu :

2

1 2

1 2

1

C

C B

B A

A

≠

≠ thì (α1) ∩(α2) = d

+ Nếu:

2

1 2

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

A = = ≠ thì (α1) // (α2)

+ Nếu:

2

1 2

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

A

=

=

= thì (α1) ≡ (α2)

II, Bài toán

Bài toán 1: Viết p.tr của (α )







= ( ; ; ) :

)

;

;

C B A n VTPT

z y x quaM

 Với A2+B2+C2 ≠ 0

⇒ P.tr tổng quát của (α ): A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0