Chuyên đề hình học phẳng ( luyện thi đại học, cao đẳng)

Để học sinh thấy đợc cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học.. Trong quá trình dạy học tôi

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trang bị những tri thức, phơng pháp và phát triển t duy, trí tuệ cho học sinh là mụctiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán Trong chơng trìnhHình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phơng pháp tọa độ trong mặt phẳngOxy là phần rất quan trọng Phần tọa độ trong mặt phẳng đóng vai trò cực kì quantrong trong toán học và cũng là phần không thể thiếu trong các đề thi Đại học trongnhững năm học gần đây Học sinh đợc làm quen với các bài tập về tọa độ và đờngthẳng trong Đại số từ khi học THCS, lên THPT các em lại gặp lại trong môn Đại số

10 và hình học 10, nhng các em vẫn hay gặp khó khăn khi cho rằng đây là toán hình học Để học sinh thấy đợc cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học.

Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các

ph-ơng pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hớng dẫn học sinh biết nhận dạng bàitoán và phát triển thành các bài toán mới Đây cũng là vấn đề có thể phát triển đ ợc tduy toán học cho học sinh

Dới đây tôi xin trao đổi với quý đồng nghiệp và các em học sinh một chuyên đề

nhỏ trình bày vấn đề nhỏ về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng: ”Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy.”

Nội dung đề tài gồm 3 phần:

Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Phần 2: Điểm đờng thẳng đặc biệt trong tam giác

Phần 3: Bài tập tổng hợp

2 Mục đích nghiên cứu

Một vấn đề trong Hình học 10 mà học sinh thấy khó khăn khi gặp phải Giúp họcsinh định hớng đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy khigiải bài tập

Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp, kĩ năng giải toán hình học giải tích trong mặtphẳng Qua đó nhằm nâng cao khả năng t duy logic, tạo hứng thú học tập cho họcsinh

3 Đối tợng nghiên cứu

Các kiến thức về tọa độ điểm, đờng thẳng đặc biệt của tam giác và phơng trình ờng thẳng Nhằm tìm lời giải cho mỗi bài toán về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng

đ-cụ thể

4 Giới hạn của đề tài

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh khối 10 của trờng THPT Hồng Thái tôithấy các em hay gặp khó khăn khi làm bài tập về tìm điểm và phơng trình đờng thẳngtrong tam giác Nên tôi tập trung vào việc: “giúp học sinh tìm điểm đờng thẳng trongtam giác khi biết một số dữ kiện đặc biệt”, áp dụng giảng dạy trong các tiết học tựchọn bám sát cho học sinh lớp 10 tôi dạy.

5 Nhiệm vụ của đề tài.

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn Hình học 10 phần phơng pháp tọa độ trongmặt phẳng: giải đợc bài toán “tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độOxy ”

6 Phơng pháp nghiên cứu

6.1 Về lí luận:

“Phỏt triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở cỏc em ý thức, năng lực vận dụng

một cỏch thụng minh những điều đó học”

Đổi mới trong phơng pháp dạy học hiện nay coi trọng việc: “lấy học trò làm

trung tâm ngời thầy chỉ đóng vai trò là ngời giúp các em đi đúng hớng, giúp các

em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo”

6.2 Về thực tiễn

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyệnvọng tha thiết của đội ngũ giáo viên Toán học là môn khoa học suy diễn trừu tợngnên là giáo viên Toán với tôi đây cũng là dịp để tôi học tập, nghiên cứu, trau dồi đểrút ra những kinh nghiệm cho riêng mình Để mỗi tiết học toán trôi qua học sinhhình thành những kiến thức mới và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất,thông minh nhất trong việc học toán Các em thấy yêu thích môn toán hơn, hứngthú học tập hơn

NỘI DUNG

Phần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

1 VẫC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1.1 Vộctơ u(u1,u2)là vộctơ chỉ phương (VTCP) của (  )  (  ) //giỏ của u

1.2 Vộctơ n(a,b)là vộctơ phỏp tuyến (VTCP) của (  )  (  ) //giỏ của n

1.3 Nhận xột: Đường thẳng ( ) cú vụ số vộctơ chỉ phương và vụ số vộctơ phỏp

tuyến đồng thời u  n

2 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG

2.1 Phương trình tham số: Đường thẳng ( ) đi qua điểm M0(x0,y0)và có VTCP

) , (u1 u2

t u x x

2 0

1 0

Nhận xét: VTCP u(u1,u2)  VTPT n(u2, u1)

2.2 Phương trình chính tắc: Đường thẳng ( ) đi qua điểm M0(x0,y0)và có VTCP

) , (u1 u2

u  phương trình chính tắc dạng:

2

0 1

0

u

y y u

) , (a b

1 1

2

1

y y

y y x x

x x

b

y a

x

.2.7 Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau:

( 1) :a1xb1yc1 0, ( 2) :a2xb2yc2  0 với I  ( 1)  ( 2)thì đường thẳng)

( qua I là p(a1xb1yc1) q(a2xb2yc2)  0 với 2 2 0



q p

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

3.1 Dạng tham số: ( 1)đi qua M1(x1,y1) :

t a x x

1 1

1 1

t a x x

' '

'

2 2

2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

- Nếu hệ có 1 nghiệm (x0,y0)thì( 1)  ( 2) I(x0,y0)

- Nếu hệ vô nghiệm thì ( 1) //( 2)

- Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì ( 1)  ( 2)

4 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

2 1 2

1

1 tan : 1

a a

a a a

4.2 Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng:

)

; ( 0

: ) (

)

; ( 0

: ) (

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1

b a n VTPT c

y b x a

b a n VTPT c

y b x a

2 1 2 1 2

1

2 1

.

.

cos

b a b a

b b a a n

n

n n

c by ax M

1 1 1 1

c y b x a

cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác:

2

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường có cùng tính chất.

Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.

0 1 3 8

B y

x

y x

0 12 5 3

C y

x

y x

4 2

Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba

Bài tập 1.4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đườngcao có phương trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0

Bài tập 1.5: Cho tam giác ABC với đỉnh A(1;1) Các đường cao hạ từ B và C lầnlượt nằm trên các đường thẳng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0

Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác định toạ độ các

đỉnh B,C (ĐHSP HN 2000)

Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ A( 1 ; 0 )và 2 đường thẳng lầnlượt chứa các đường cao vẽ từ B và C cĩ phương trình :x 2y 1  0 và 3xy 1  0.Tính diện tích tam giác ABC

Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh cịn lại.

* Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G

* Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1),

Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2)

* Tìm B, C

* Viết phương trình các cạnh của tam giác

Bài tập 2.1: ChoABC biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM:

( 1 ; 1 )

0

1

0 1 2

G y

BM: 2 1 0 2 1 B( 2t 1 ;t)

t y

t x y

y

t x y

Vì I là trung điểm của BC nên:

; 5 ( 5

'

) 1

; 3 ( 1

0 2 1

1 2

' 1 2

C t

B t

t

t t

3 1

3 1

x

3 1

3 1

x

1 1

1 3

Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.

Cách giải:

Cách giải

* Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2)

* Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C

* Viết phương trình AB, AC

Bài tập 3.1: ChoABC biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của gócB: x 2y 1  0, góc C: xy 3  0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Gọi A1, A2lần lượt đối xứng với A qua CN và BM

0 3

x y

x

y x

A1 đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA1  A1(  2 ;  5 )

1 2

0 3 2

K y

x y

x

y x

5 2

5 ( 7 1

7 5 0

1 2

0 3 4

x y

x

y x

Đường thẳng AB có VTCP ( 19 ; 8 ) ( 8 ; 19 )

7

1 ) 7

8

; 7

6 ( 5 9

5 6 0

3

0 3 4

x y

x

y x

Đường thẳng AC có VTCP ( 4 ; 1 ) ( 1 ; 4 )

5

4 ) 5

4

; 5

b Viết phương trình các cạnh của tam giác

Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường có tính chất khác nhau.

Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao

AH và 1 phân giác trong góc C.

Cách giải:

* Lập phương trình BC

* Tìm C giao của BC và phân giác

* Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C

D

Bài tập 4.1: ChoABC biết B(2;-1) và đường cao AH 3x 4y 27  0và phân giác trongCD: x 2y 5  0.Viết phương trình các cạnh của tam giác.

5 2

0 5 3 4

x y

x

y x

Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên BB ' CD Phương trình BB’ có dạng:2x ym 0

BB’ qua B(2;-1) nên m  5 Phương trình BB’ dạng: 2x y 5  0

5 2

0 5 2

I y

x y

x

y x

27 4 3

0 3

x y

x y

Phương trình AB dạng: 4 7 1 0

3 1

3 5

x

Bài tập tương tự:

Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh A( 1 ; 3 ), đường cao BH nằm

trên đường thẳng y  x, phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x 3y 2  0 Viếtphương trình cạnh BC

Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH: x 2y 2  0,đường phân giác CD: x y 1  0 Tìm tọa độ các điểm A, C

Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.

Cách giải:

* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.

* Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao)

* Tìm tọa độ C.

* B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số.

* Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó Tìm được B.

* Lập phương trình AB,BC

Bài tập 5.1: Cho ABC biết A(2;-7) và đường cao BH 3xy 11  0và trung tuyến

CM : x 2y 7  0.Viết phương trình các cạnh của tam giác

) 6

; 5 ( 0 7

2

0 23

x

y

x

R t t

y

t x y

11

3

:

) 11 3

; (  

; 2

2 (t  t

M

) 1

; 4 ( 4 0

7 2

18 3 2 2

1 4

x

Phương trình đường thẳng BC: 7 9 19 0

1 6

1 4

a Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

b Tính diện tích tam giác

Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(2;1) đường cao qua B: x 3y 7  0 và trungtuyến qua C: xy 1  0 Xác định tọa độ B và C của tam giác

Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(13) đường cao qua B: y 1  0 và trung tuyếnqua C: x 2y 1  0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có C(4;-1) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từđỉnh A có phương trình tương ứng là : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.

Cách giải:

* Kiểm tra điểm A khơng thuộc 2 đường đã cho

* Tìm K đối xứng với A qua phân giác

* C thuộc CK (tham số hĩa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số

* Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đĩ Tìm được C.

) 8

; 7 ( 7 0

1 2

3 2

1

2          



M

Lấy K đối xứng với A qua CD nên AK  CD

mà AK qua A phương trình AK:

0 1 0

) 2 (

0 1

I y

x

y x

2 8

2 1

0 1 2

x

y x

2 2

2 1

2 1

Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt nào đó của tam giác.

Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trọng tâm.

AB

A  nên tọa độ A là nghiệm của hệ: ( 4 ; 1 )

0 3 5 2

0 15 4

x

y x

) 15 4

; ( 15 4 0

15 4

t x y

x

AB

B

) ' 2 1

; ' 5 4 ( ' 2 1

' 5 4 0

3 5 2

t y

t x

y x

33

13'24

43

8'5

3

3

t

t t

t

t t y

y y y

x x x x

C B A G

C B A G

), 3

86

; 3

Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trực tâm.

Cách giải:

* Viết phương trình đường thẳng BH, tìm B

* Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C

* Viết phương trình BC

Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm H( 1 ; 1 ) và

0 6 2

0 6 2 5

x

y x

Đường thẳng CH  ABnên phương trình CH: 2x 5ym 0

AA

B

H

C

28 ( 0 7 5 2

0 21 7 4

x

y x

) 2

; 1 ( )

1

; 2 ( 6

43 ) 6

B và có VTPT n BC(  1 ; 2 ) nên phương trình dạng:

2

19 ( 2 ) 5

4

3x y  và tọa độ trực tâm H(3;-1) Viết phương trình đường thẳng cạnh còn lại

Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trung điểm cạnh còn lại

Cách giải:

* B thuộc AB ( tham số hóa B)

* C thuộc AC ( tham số hóa C)

* M là trung điểm của BC

B nên B( 2b 2 ;b)

0 4 3

3

42

2 2

c b

y

c b

x

M M

Theo bài ra M( 2 ; 2 ) nên:

18 0

3

6 2

2 2

3 4

2 2

2 2

c

b c

b

c b c

b

c b

) 7

32

; 7

* Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho

* Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài

Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và  : 2x y 0

a Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC cân ở C.

b Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC vuông ở A

; 4 ( 4 0

* Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng.

* Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài

( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)

Bài tập 11.1:Cho d1: 2x 3y 1  0; d2: 4xy 5  0 và điểm A là giao của d1, d2 Tìm

; 3 1 ( ) ( 2 1

3 1 0

1 3

2

:

b y

b x

y x

; ( 0 5 4

5 4

0 1 3 2

2

y

x y

x

y x d

742

33

23

3

3

c b

c b y

y y y

x x x x

C B A G

C B A G

55

; 7

5 ( 7

5

) 7

43

; 7

61 ( 7

  1 ,bc 0

b

y a x

(*) 1 1

b a b

a

b

2 2

2 2

Với ab 4thay vào  

6 , 2 4

(*) 2

a b

a b b

2 2 :

0 6 3 1

2 6 :

2

1

y x y

x d

y x y

x d

Với a bthay vào (*)  b  2  a 2 (loại) Vì trùng với d2

Bài tập tương tự

Bài tập 11.2: Cho d1:xy 5  0; d2:x 2y 7  0 và điểm A(2;3) Tìm B  d1và C  d2

sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0)

Phần 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP.

Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A( 0 ; 2 )và B(  3 ;  1 ) Tìm tọa độ trực

tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB (ĐH-A2004)

Giải:

Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)

+ Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT BA( 3 ; 3 ) có phương trình:

; 3 ( 1

0 3 3

H y

y x

+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm)

Đường trung trực cạnh OA có phương trình y  1, Đường trung trực cạnh OB cóphương trình 3xy 2  0

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:

; 3 ( 1

0 2 3

3

I y

; 3 ( 1

3 0

1

0 2 3

x y

y x OA

6 3 2

0 4 4 )

1 ( ) 3 (

) 2 (

2 2

2

2

2 2

a b

a b

a

b a b

a

Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=900 biết

G trọng tâm của tam giác Tìm tọa độ đỉnh A,

B, C.(ĐH-B2003)

Giải:

Vì G là trọng tâm ABC và M là trung điểm BC nên:

) 2

; 0 ( ) 3

; 1 (

Mà ABCvuông cân tại A nên MAMBMC 10

 tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn :  12 ( 1 ) 2 10

4 0

10 ) 1 ( 1

0 4 3

2 2

x y

x y

y x

y x

; 10 ( ), 1

0 ) 7 )(

1 ( ) 10 )(

2

(

y x

y y x

4 , 1 2

6

0 15 20

5 2

y x

y x x

y

x x

Khoảng cách từ G tới AB bằng h

3

1.Theo công thức khoảng cách ta có

2

5 8 3 2

3 3

1 )

;

AB G d

; 1 ( 1

) 2

; 2 ( 2 1

3 2

1 3 2 1

3

G t

G t

M

A

C

BG

Với G1( 2 ;  2 )thì ( 1 ; 1 )

1

1 3

2 ) 2 (

3

2 3 2 3 3

x y

y y y

x x x x

c

c c

c B

A G c

B A G c

Với G1( 1 ;  5 )thì

10

2 3

2 ) 5 (

3

2 3 1 3 3

x y

y y y

x x x x

c

c c

c B

A G c

B A G c

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: C( 1 ;  1 ),C(  2 ;  10 )

Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2 ; 2 ) và các đường thẳng d1:xy 2  0

và d2:xy 8  0 Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1, d2sao cho tam giác ABC vuông

2

) 2 (

0 ) 6 )(

( ) 2 )(

2 ( 0

c c

b b

c b c

b AC

AB

AC AB

2 ) 4 )(

1 ( 18

8 2

0 2 4

2 2

2

c b c

c b

b

c b

3 , 1 1

, 2

1 , 2 3

2

2

c b y

x

y x

y

x

xy

Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3)

Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình

chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trongcủa góc A có phương trình : x y 2  0 và đường cao kẻ từ B có phương trình

0 1

Vì d1 là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua

H và vuông góc với d1 cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H

qua d1 Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của

HH’ Phương trình đường thẳng l : y 1   (x 1 )

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : ( 2 ; 0 )

) 1 ( 1

0 2

y

y x

Gọi tọa độ của H’(a;b) thì ( 3 ; 1 )

0 2

1

4 2

1 1

b

x a

Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và  d2: 4x 3y 1  0 nên AC có hệ số góc bằng k 43nên có phương trình là:

4

13 4

3 )

3 ( 4

3

y