CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ§1.HÀM SỐ BẬC 2 I/ Lý thuyết II/ Các dạng toán điển hình Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

§1.HÀM SỐ BẬC 2

I/ Lý thuyết

II/ Các dạng toán điển hình

Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

Dạng 3:giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 4: sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khácDạng 5: Tìm phương trình bậc hai khi biết các điểm thuộc parabolDạng 6: Bài toán thực tế

§2.HÀM SỐ BẬC 3

I/ Lý thuyết

II/ Các dạng toán điển hình

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

Dạng 2: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Dạng 3: Tương giao của đồ thị hàm bậc 3

§3.HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

I/ Lý thuyết

II/ Các dạng toán điển hình

Dạng 1: điều kiện để hàm số trùng phương đơn điệu trên khoảng kDạng 2: tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Dạng 3: tương giao của hàm số bậc 4

§4.HÀM SỐ LŨY THỪA

I/ Lý thuyết

II/ Các dạng toán điển hình

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Dạng 2 Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa

§5.HÀM SỐ MŨ-LOGARIT

I/ Lý thuyết

II/ Các dạng toán điển hình

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số logarit

Dạng 2 Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ - logarit

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ - logarit

Dạng 4: Sự tương giao giữa hàm số phân thức và các đồ thị

§7.HÀM SỐ CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI

§1.HÀM SỐ BẬC HAI I/ LÝ THUYẾT

b x a





b x a



 Đỉnh

;

2 4

b I

II/ CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH

DẠNG 1:

XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Loại 1: Xét sự biến thiên trên 

Loại 2: Xét sự biến thiên trên đoạn, khoảng

Loại 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

.+ Bước 2 Tính đạo hàm

 '

f x và tìm các điểm x sao0

cho f x ' 0 0 hoặc f x' 0 không xác định

+ Bước 3 Lập bảng xét dấu f x' 

, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số yf x 

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng

4;2018

thì ta phải có

4; 2018  m  1;  m  1 4 m3

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3

-Ta có BBT

 Hàm số đồng biến trên (2;+∞) vànghịch biến trên (-∞;2) Ta có:

Đỉnh I(2;-1)Trục đối xứng x = 2Giao điểm với Oy là A(0;1)Giao điểm với Ox là B(1;0); C(1/3;0)

Vẽ parabol

Để vẽ đường parabol

y = ax2 + bx + c ta thực hiệncác bước như sau:

– Xác định một số điểm cụ thểcủa parabol (chẳng hạn, giaođiểm của parabol với các trụctoạ độ và các điểm đối xứngvới chúng qua trục đối xứng)

- Căn cứ vào tính đối xứng, bềlõm, hình dáng của parabol

để vẽ parabol

3

Loại 1: Tìm đỉnh, trục đối xứng khi biết trước hàm số bậc 2

Loại 2: Cho trước 2 điểm thuộc parabol tìm trục đối xứng

2 2.2

b x a



.Vậy parabol đã cho có đỉnh là

+ Ta có thể dùng máy tính cầm tay Casio đểtìm tọa độ của đỉnh như sau:

- Đầu tiên, ta giải phương trình

ax bx c  bằng chức năng giải phương trình bậc hai

- Sau khi bấm hiển thị hết nghiệm của phương trình ta bấm dấu “=” hai lần liên tiếp Máy sẽ hiển thị xmin,ymin (với a  ) 0

hoặc xmax,ymax (với a  ) 0

Từ đó ta có tọa độ của đỉnh của parabol

Chẳng hạn với bài toán trên ta có như sau:

Nếu đường thẳng y m cắt parabol tại hai điểm phân biệt thìhai điểm đó đối xứng với nhau qua trục đối xứng của parabol

Trong bài này ta thấy hai điểm

A, B cùng thuộc đường thẳng

4

y  Vậy A, B đối xứng với

nhau qua trục đối xứng của

+ Cho đường thẳng y m cắt parabol

 P y ax:  2bx c tại hai điểm phân biệt

 A; 

A x m

và B x m B; 

+ Khi đó trục đối xứng của  P

xứng của  P . parabol Suy ra phương trình của

+ Xác định hệ số a, b,c tính  b2 4ac

+ Xác định dấu của a+ Áp dụng công thức tính GTLN, GTNN

 Có thể dùng MTCT Casio để tìmGTLN, GTNN của hàm số

Lưu ý:

           2;2

max f x max f 2 ,f 2 max 17,25 25

     1;3

max f x f 1 0

Khi giải bài toán liên quan đến GTLN, GTNNcủa hàm số bậc hai f x  ax2bx c trên một đoạn, ta cần xác định xem 2

b a



thuộc hay không thuộc vào đoạn đó để có cách giải cho ngắn gọn, chính xác

Lưu ý: Ta có thể sử dụng chức năng TABLE của MTCT để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Chẳng hạn với bài này, ta cho Start bằng 1, End bằng 3

và Step bằng 0,2 (nếu máy tính hiển thị được

n dòng kết quả trong bảng, thì ta có thể chọn

Step bằng 1

End Start n



 )

DẠNG 4:

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VỚI ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC

BT1: Cho hai parabol có

Biết hai parabol cắt nhau

tại hai điểm A và B

+ Sau khi tìm được hoành độ x, thế x vào 2

pt ban đầu để tìm y

 Tìm được tọa độ của hai giao điểm+ Khoảng cách giữa hai điểm

Hỏi có bao nhiêu giá trị m

nguyên trong nửa khoảng

 

d y m x m  cắt

parabol  P y x:   2 x 2

tại hai điểm phân biệt nằm

về cùng một phía đối với

trục tung?

d cắt  P tại hai điểm phân biệt nằm về cùng

một phía đối với trục tung khi và chỉ khi  * có hai nghiệm phân biệt cùng đấu

+Gọi hàm số cần tìm là

Hoành độ của đỉnh của  P là x2b a 2

Suy ra tung độ của đỉnh của  P

là y 224.2 1 5 

DẠNG 6:

BÀI TOÁN THỰC TẾ

BT1: Khi một quả bóng được đá lên, nó

sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một

cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng

giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h

là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng

Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ

độ cao 1,2m Sau đó 1 giây, nó đạt độ

cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là h at 2bt c Từ giảthiết suy ra parabol đi qua các điểm 0;1;2

, 1;8;5

và 2;6

7

độ cao 6m Hỏi sau bao lâu thì quả bóng

sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính

a 

DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA BT1: Khảo

0 3 – 4 0

20

+ B3: Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

2.2 Tìm cực trị 2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (x→±∞)

(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính

được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc

9

Tìm điểm uốn ’’ 6 6y  x 

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)-

(điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng

+ Trong đó: x0 là nghiệm của phương trình

y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)

+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của

+) Lập phương trình hoành độgiao điểm của

 C v à  C ’ : f(x)g(x)

+) Giải phương trình tìm x từ đósuy ra y và tọa độ giao điểm +) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của  C và C  ’

DẠNG 3: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x m  ,  0(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng mf x 

+) Lập BBT cho hàm số yf x 

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x m  ,  0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử 0 x x  là 1 nghiệm của phương trình

+) Phân tích:

     

 

0 0

*) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm *) Quy tắc:

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x m  ,  0 (1) Xét hàm số y F x m  , 

+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì

đồ thị y F x m  ,  cắt trục

hoành tại đúng 1 điểm (2TH)

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên

CD CT

y y 

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y F x m  ,  cắt trục hoành tại

2 điểm phân biệt  Hàm số có cựcđại, cực tiểu và y CD CT.y 0

Bài tập minh họaCho hàm số

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt

Nhận xét: Với mỗi giá trị t , học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để

thử nghiệm

13

DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

cóbảngbiến

Hàm số đồng biến trên (−√2 ;0)và(√2 ;+∞) Hàm số nghịch biến trên (−∞;−√2)và (0 ;√2)

Hàm số có một cực đại tại (0 ;5) và hai điểm cực tiểu

DẠNG 2: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Cho 2 hàm số y f x y( ), g x( ) có đồthị lần lượt là  C và C  ’

+) Lập phương trình hoành độ giao điểmcủa

 C v à  C ’ : f(x)g(x)

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y

và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của

 C và C  ’

15

3 121089

030

3 121089

030

3 12108930

t t t t

DẠNG 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

độ giao điểm của đồ thị hàm số và trụchoành Dựa vào đồ thị ta thấy: phươngtrình có 4 nghiệm

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) cónghiệm t t1 2, , thỏa mãn: 0 t  1 t2

4 Đồ thị của hàm số.

Đồ thị của hàm số lũy thừa yx luôn đi qua điểm I 1;1  

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xácđịnh của nó Chẳng hạn:

Xét hàm số y   f x ( ) 

① D  nếu  nguyên dương

② D \ 0  với  nguyên âm

③ D  0;  với  không nguyên

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA

3 0

3

x x x x

x x

⬧ Casio:

table → NHẬP HÀM → START: a

→ END: b → STEP khéo tý

DẠNG 2:

ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

.Đk: 5  x2   0 x2   5 5   x 5TXĐ: D   5; 5

y x , ta có: D 

1 2

lim4'3

+ Tìm y’

+ Lập bảng biến thiên+ Vẽ đồ thị

§5: HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT HÀM SỐ MŨ y a  x,  a  0, a  1 

x x

x

x x

x x x

Đặc điểm chung của đồ thị hàm số y a x và y  loga x khi vẽ trên cùng hệ trục tọa độ: hai đồ thị luôn đối

 ,  0, 1 

f x

ta chỉ cần tìmđiều kiện để f x có nghĩa (xác  

+ Hàm số logarit

23

10 2 ln 2.cos sin

1 3 3 ln 3 1 ln 3) '

+ Lập bảng biếnthiên

+ Vẽ đồ thị

u a Đặc biệt:

=> xđ khoảng đồngbiến, nghịch biến+ Tìm đường tiệmcận

+ Lập bảng biếnthiên

+ Vẽ đồ thị

25

DẠNG 3:

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

⬧ Nếu cho đồ thị hàm số dạng ya y x; loga x ; thì dựa vào dáng đồ thị

⬧ Nếu cho hàm số dạng y a y x; loga x thì dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN

⬧ Casio: Dùng table để khảo sát tính tăng giảm, giảm của hàm số để chọn được đáp

y tại điểm x vừa tìm được/hoặc vẽ BBT

+ Xét GTLN, GTNN bằng ppbiện luận

  là m  1 đạt được khi x  1;giá

trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

A

1log

r

1

⬧ Toán tăng trưởng: S Ae  n

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là 100r

n là số kì hạn

⬧ Casio: Table, Calc, Solve

BT1: Một người gửi 150 triệu đồng vào một ngân hàng

với lãi suất 0,42% /tháng Biết rằng nếu không rút tiền

khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được

nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo Hỏi

sau đúng 5 tháng người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban

đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong

khoảng thời gian đó người đó không rút tiền ra và lai suất

không thay đổi?

BT2: Ông An gửi 100 triệu đồng vào tiết kiệm ngân

hàng theo thể thức lãi kép trong một thời gian khá lâu

mà không rút ra với lãi suất ổn định trong mấy chục năm

qua là 10% /1 năm Tết năm nay do ông kẹt tiền nên rút

hết ra để gia đình đón Tết Sau khi rút cả vốn lẫn lãi,

ông trích ra gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì

ông còn 250 triệu Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao nhiêu

lâu?

Gọi x là số năm ông An đã gửi tiết kiệm.Sau x năm ông An có được số tiền cả vốnlẫn lãi là 100 1 0,1   x

với lãi suất 0,65% / tháng Biết rằng nếu không rút tiền

ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ

được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp

theo Hỏi sau 12 tháng, người đó lĩnh được số tiền (cả

vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? Biết rằng trong khoảng thời

gian này người đó không rút tiền ra, số phần trăm lãi

hằng tháng không thay đổi

BT4: Dân số thế giới được ước tính theo công thức

.

. i n

S A e  , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S

là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.

Theo thống kê dân số thế giới tính đến 01/ 2017 , dân số

Việt Nam có khoảng 94,970 triệu người và tỉ lệ tăng dân

số là 1,03% Nếu tỉ lệ tăng dân số không đổi thì đến

năm 2020 dân số nước ta có bao nhiêu triệu người, chọn

+ Tiệm cận đứng:

d y c





+ Tiệm cận ngang:

a x c



d c

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

( ) ( )

2

m

m x

DẠNG 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

+ TXĐHàm số:

 Xét ĐB, NB+ TCĐ, TCN+ Vẽ BBT+ Tìm giao điểm+ Vẽ Đồ thị

+ TXĐ+ tìm ý+ Biện luận để h/s ĐB,NB

DẠNG 3: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC

Ví dụ 1: Hàm số

21

x y x





 có đồthị là hình vẽ nào sau đây?

A

B

Hàm số

21

x y x





 có tiệm cận đứng x = 1 Tiệmcận ngang y = 1 nên loại trường hợp D

Đồ thị hàm số

21

x y x

x thuộc 1 trong các biểu đồ vào h/s y

 Xét các x, y đóthuộc biểu đồ nào

31

D

Ví dụ 2: Đường cong trong hình

bên là đồ thị của hàm số nào sau

đồ thị và thế vào đap

án A, B, C, D

DẠNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÀM SỐ PHÂN THỨC VÀ CÁC ĐỒ THỊ

Bài 1:Tìm toạ độ

giao điểm của hai

hàm số

25

 Tìm được x

 Tìm y

 Ra được tọa độ điểm M

2 2 1

3

525( 3, )2

11

(2 ) 1 0 (1)

x x

m x

x m x x x

2 8 0

    

Và x  1 không thoả (2)Nên hai đồ thị luôn cắt nhau

+ Viết phương trình hoành độ giao điểm+ Biện luận m

Bài 3: Viết phương

trình tiếp tuyến của

y x

y x và y3x14

+ Viết đạo hàm+ Tìm hệ số góc+ Tìm x đẻ thay vào

pt tiếp tuyến

33

Cho đường cong

Ox, Oy tại A,B sao

cho diện tích tam

x y x



Tìm điểm M( )C sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt

Ox, Oy tại A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

1

4 , ở đây O là gốc toạ độ

( 1)

o o

20,( 1)

o o

x B

OAB

x x

M  

là hai điểm cần tìm trên (C)

§7: HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Các dạng hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp

 yf x( )

 yf x 

+ Giữ nguyên phần nằm trên trục hoành

+ Lấy đối xứng qua Ox những phần nằm dưới trục hoành

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số (C): y x  3 3 x2 2 như hình vẽ Từ đồ thị (C) hãy tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

3 3 2 2

x  x  m

có 6 nghiệm phân biệt

Dựa vào đồ thị ta suy ra được m (0, 2) thì phương trình có 6 nghiệm

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số

21

x y

x y

2 Hàm số dạng y  f x  

- Vì hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục tung

- Cách vẽ đồ thị hàm số yf x 

+ Vẽ đồ thị hàm số yf x 

+ Giữ nguyên phần bên phải trục tung

+ Lấy phần bên phải đó đối xứng trục Oy

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số (C): y x  3 3 x2 2 như hình vẽ Từ đồ thị (C) hãy tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

3 3 2 2

x  x  m

có 4 nghiệm phân biệt

Dựa vào đồ thị ta suy ra được m  ( 2, 2) thì phương trình có 4 nghiệm

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số

21

x y

x y

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số

21

x y

x





 (C) như hình vẽ Từ đồ thị (C) hãy xác định đồ thị hàm số2

x y

x y

x y

x y

4.Hàm số dạng y u x v x  ( ) ( )

- Cách vẽ đồ thị hàm số yu x v x( ) ( )

+ Vẽ đồ thị hàm số y u x v x ( ) ( ) + Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên miền ( ) 0u x 

+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm trên miền ( ) 0u x 

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số (C): y x  3 3 x2 2 như hình vẽ Từ đồ thị (C) hãy tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

2

1 ( 2 2)

x x  x  có 4 nghiệm phân biệt.m

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số (C): y x  3 3 x2 2 như hình vẽ Từ đồ thị (C) hãy tìm tất cả các giá trị m để phương trình:  