CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP

Nguyên hàm 1.1 Nguyên hàm và tính chất a Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trên K.. Định lí 2: Ngược lại, nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K

NỘI DUNG CỤ THỂ I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1 Nguyên hàm

1.1 Nguyên hàm và tính chất

a) Định nghĩa

Cho hàm số f (x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với

mọi x K.∈ K

Ví dụ:

1) Hàm số F (x)=x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)=2 x trên khoảng

(− ∞;+∞) vì F ' (x)=(x2)=2 x , x∈(− ∞;+∞).

2) Hàm số F (x)=ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x)=1

x trên khoảng (0 ;+∞) vì

F ' (x)=(ln x)=1

x , x ∈(0;+∞).

b) Định lí

Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số

C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

Định lí 2: Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f ( x )dx

Khi đó : ∫( x ) dx = F(x) + C , C ∈ K ℝ

Ví dụ:

1) Với x ∈(− ∞;+∞),∫2 x dx=x2+C ;

2) Với s ∈(0 ;+∞),∫1s ds=ln s+C ;

1.2 Tính chất của nguyên hàm

1) (∫f (x)dx )'=f (x) và ∫f '(x )dx =f (x )+C

2) ∫kf (x)dx=k∫f (x )dx (k là một hằng số khác 0)

3) ∫[f (x )± g (x)]dx=∫f (x)dx ±∫g(x )dx

Ví dụ:

1) ( ∫cos xdx)'=(sin x +C)'=cos x và ∫( cos x) ' dx=∫(−sin x¿ )dx=cos x +C ¿

2) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)=3 sin x +2

x trên khoảng (0 ;+ ∞)

Giải Với x ∈(0 ;+∞), ta có

∫ (3 sin x+2

x)dx=3∫sin x dx +2∫1x dx=−3 cos x +2 lnx+C

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Ta thừa nhận định lí dưới đây

Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Ví dụ :

1) Hàm số f (x)=x23 có nguyên hàm trên khoảng (0 ;+ ∞) và ∫x

2

3dx=3

5 x

5 3

+C

2) Hàm số g(x )= 1

si n2x có nguyên hàm trên từng khoảng (k π ;(k+ 1)π ),(k ∈ ℤ) và

si n2x dx=− cotx+C

1.4

Bảng nguyên hàm

1.5 Phương pháp tính nguyên hàm

1.5.1 Phương pháp đổi biến số

Định lí: Nếu ∫f (u)du=F (u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫f (u( x))u '(x )dx=F(u(x))+C

Hệ quả: ∫f (ax+b)dx=1

a F (ax+b)+C ,(a ≠ 0)

Ví dụ: Tính ∫¿ ¿x ¿

Giải Đặt u=x+1thì du=dx Khi đó, tích phân đã cho thành

∫u −1 u5 du=∫ (u14− 1

u5)du=∫u − 4 du −∫u − 5 du

Lưu ý: Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên

từng khoảng xác định của nó

Ví dụ: Tính ∫(2 x 2

+ 1

3

√x2)dxtrên khoảng (0 ;+∞)

Giải Với x ∈(0 ;+∞) ta có

∫(2 x 2

+ 1

3

√x2 )dx=2∫x2dx +∫x

−2

3 dx

¿ 2

3x

3

+3 x

1 3

+C=2

3x

3

+ 3√3x +¿

¿ 1

3.

1

u3+

1

4.

1

u4+C

Thay u = x+1 vào kết quả ta được

∫¿ ¿x ¿

1.5.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí: Nếu hai hàm số u=u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫u (x)v '(x )dx =u(x)v (x )−∫u '(x )v (x)dx

Chú ý: Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

∫udv=uv −∫v du

Ví dụ: Tính

1) ∫x e x dx

2) ∫xcos xdx ;

Giải.

1) Đặt u = x và dv =ex

dx ,ta có du = dx và v=e x .Do đó

∫x e x dx=x e x −∫e x dx=x e x − e x+C

2) Đặt u = x và dv =cos xdx ,ta có du = dx và v=sin x Vậy

∫xcos xdx=xsin x −∫sin xdx=xsin x +cos x +C

2 Tích phân

2.1 Khái niệm tích phân

a) Định nghĩa

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)

trên [a; b]

Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên

đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là ∫

a

b

f (x )dx

Ta dùng kí hiệu F¿ để chỉ hiệu số F(b) - F(a)

Vậy

Ta gọi ∫

a

b

tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

∫

a

a

f (x )dx=0 ;∫

a

b

f (x )dx =−∫

b

a

f (x)dx

b) Nhận xét

1) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi∫

a

b

f (x )dx hay∫

a

b

f (t)dt Tích

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến

số x hay t.

2) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên

đoạn [a; b], thì tích phân ∫

a

b

f (x )dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S = ∫

a

b

f (x )dx

2.2 Tính chất của tích phân

1) ∫

a

b

kf (x)dx=k∫

a

b

f (x )dx ( k là hằng số)

2) ∫

a

b

[f (x )± g(x )]dx=∫

a

b

f ( x)dx ±∫

a

b

g (x)dx

Ví dụ: Tính ∫

1

4

(x2+3√x)dx

∫

b

a

f (x )dx=¿F¿ ¿= F(b) - F(a)

Giải Ta có

∫

1

4

(x2+3√x)dx =∫

1

4

x2dx +3∫

1

4

x

1

2dx

¿(x33) |4

1+3(2

3x

3

2) |4

1=

43−1

3 +2(2

3

−1)=35

3) ∫

a

b

f (x )dx=∫

a

c

f (x )dx+∫

c

b

f (x)dx (a < c < b)

Ví dụ: Tính ∫

0

2 π

√1− cos2 x dx

Giải Ta có

∫

0

2 π

√1− cos2 x dx=∫

0

2 π

√2 si n2x dx=√2∫

0

2 π

|sin x|dx

Vì |sin x| = ¿

Nên ∫

0

2 π

√1− cos2 x dx=√2( ∫

0

π

|sin x|+∫

π

2 π

|sin x|dx)

¿√2( ∫

0

π

sin xdx −∫

π

2 π

sin xdx) ¿√2 ¿

2.3 Phương pháp tính tích phân

2.3.1 Phương pháp đổi biến số

a) Dạng 1

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x =

φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β]](*) sao cho φ(α) = a,φ(β]) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t [α; β].].∈ K

Khi đó:∫

a

b

f (x )dx=∫

α β

f (φ(t))φ '(t)dt

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

Giải

a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt

Đổi cận: x = 0 t = 0; x = 1 t = π/2.⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2

Vậy I=∫

0

1

√1− x2dx=∫

0

π

2

|cost|dt=∫

0

π

2

costdt=sin t|

π

2

0 =1

b) Đặt x = tant, ta có dx = 1

co s2t dt

Đổi cận: x=0⇒t=0; x=1 ⇒t= π

4

Vậy ∫

0

1

1

1+x2dx=∫

0

π

4

1

1+tan2t .

dt

co s2t=∫

0

π

4

dt= π

4

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn Ví

dụ, để tính tích phân I=∫

0

√ 3

x2dx

√x2 +1 thì phải đổi biến dạng 1 còn với tích phân

0

√ 3

x3dx

√x2+1 thì nên đổi biến dạng 2

b) Dạng 2

Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm

liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β]

Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x [a; b] ∈ với g(u) liên tục trên đoạn [α; β]].

Khi đó: ∫

a

b

f (x )dx=∫

u(a)

u(b) g(u)du

Ví dụ: Tính tích phân sau: I=∫

0

π

2

sin2xcosxdx

Đặt u = sin x Ta có du = cos xdx.

Đổi cận: x = 0 u(0) = 0; x = π/2 u(π/2) = 1⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2

Khi đó I=∫

0

π

2

sin2xcosxdx=∫

0

1

u2du=1

3u

3|1

0=

1 3

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

2.3.2 Phương pháp tính bằng tích phân từng phần

Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn

[a; b] thì

∫

a

b

u (x)v '(x )dx =¿ ¿

hay ∫

a

b

udv=u v|b

a −∫

a

b vdu

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a) I=∫

0

π

2

xsin xdx b¿I=∫

1

e lnx

x2 dx

Giải

a) Đặt u = x, ta có dv = sin xdx

Ta có du = dx và v= - cos x Do đó

Vậy I=∫

0

π

2

xsin xdx =¿

¿ ¿

b) Đặt u = ln x, ta có dv =1

x2dx

Ta có du = 1x dx vàv=−1

x Do đó

Vậy I=∫

1

e

lnx

x2 dx=1

x ln x|

e

1+∫

1

e

1

x2dx=(−1

e −

1

e)−(0 −1)=1−2

e

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

3.1 Tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b, thì diện tích S được cho bởi công thức:

S=∫

a

b

|f ( x)|dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=x3, trục hoành và hai đường thẳng x=− 1, x=2

Giải Ta có x3≤ 0 trên đoạn [-1;0] và x3≥ 0 trên đoạn [0;2] Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, ta có:

S=∫

−1

2

|x3|dx=∫

−1

0

(− x3)dx +∫

0 2

x3dx

¿− x4

4 | 0

−1+

x4

4|2

0=

17 4

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) liên

tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a,x=b thì diện tích S được cho bởi công

thức :

∫

a

b

|f1(x )− f2(x )|dx

Chú ý: Khi áp dụng công thức cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu

tích phân Muốn vậy, ta giải phương trình f1(x)− f2(x)=0 trên đoạn [a;b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó, f1 (x)− f2 (x) không đổi dấu trân các

đoạn [a;c],[c;d],[d;b] Trên mỗi đoạn, chẳng hạn trên đoạn [a;c], ta có

∫

a

c

|f1(x )− f2(x )|dx=¿ ¿

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y=x3− x và

y=x − x2

Giải Ta có

f1 (x)− f2 (x)=(x3− x )−(x − x2)=x3+x2− 2 x

Phương trình f1(x)− f2(x)=0 có 3 nghiệm x1=−2, x2=0, x3=1

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

S=∫

−2

1

|x3+x2−2 x|dx=| ∫

− 2

0

(x3+x2−2 x)dx|+| ∫

0

1

(x3+x2−2 x)dx|

¿(x4

4 +

x3

3 − x

2

) | 0

− 2+(x4

4 +

x3

3 − x

2

) |1

0=

37 12

3.2 Tính thể tích

a) Thể tích của vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có

hoành độ x = a,x = b (a < b) S(x) là diện tích của thiết diện Thể tích của vật thể

được cho bởi công thức: V =∫

a

b

S (x)dx là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

b) Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

* Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng

B được tính bằng công thức V =∫

0

ℎ

B x2

ℎ2dx= B

ℎ2(x33) |ℎ

0=

Bℎ

3

* Thể tích khối chóp cục: Thể tích khối chóp cục tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện

tích hai đáy lần lượt là B, B’ và có chiều cao bằng h được tính bằng công thức

V =∫

a

b

B x

2

b2 dx=

B

3 b2(b

2− a3

)=B b − a

3 .

a2+ab+b2

b2

Vì B'=B a

2

b2và ℎ=b − a nên

V = ℎ

3(B+√BB '+ B ')

3.3 Thể tích của khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x) không âm và liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a,

x = b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay Thể tích V của khối tròn xoay này

được cho bởi công thức: V =π∫

a

ℎ

f2(x)dx

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x, trục hoành và hai đường

thẳng x = 0, x = π tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung

quanh trục Ox.

Giải Áp dụng công thức trên, ta có

V =π∫

0

π

sin2xdx= π

2∫

0

π

(1 −cos 2 x )dx

¿π

2(x −1

2sin 2 x) |π

0=

π2

2

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được

giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) không âm và liên tục trên đoạn [c;d], trục Oy và hai đường thẳng y = c,y = d quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay Thể tích

a ℎ

g2(y )dy