Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có nhiều trễ

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Nguyễn quang vinh Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có nhiều trễ Chuyên ngành: giải tích Mã số : 60.46.01 LUậN VĂN THạC S

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh

Nguyễn quang vinh

Một số vấn đề về tính ổn định

của hệ phơng trình vi phân có nhiều

trễ

Chuyên ngành: giải tích Mã số : 60.46.01 LUậN VĂN THạC Sỹ TOáN HọC

Ngời hớng dẫn khoa học:

TS PHAN LÊ NA

Vinh - 2008 mục lục Trang Mục lục……… … 1

mở đầu 2

Chơng 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân 5

1.1 Các định nghĩa 5

1.2 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 6

1.3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 8

1.4 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số

hằng 10

1.5 Số mũ đặc trng 13

1.6 Phổ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 15

1.7 Hàm có dấu xác định 15

1.8 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm 17

1.9 Sự ổn định mũ 19

Chơng 2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ…… 22

2.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản 22

2.2 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ……… ………… 27

2.3 Biểu thức của liên hệ ngợc tuyến tính 34

kết luận 38

tài liệu tham khảo 39

Mở đầu Trong thực tế khi khảo sát các hệ động lực học, khảo sát sự biến đổi của hệ sinh thái học và môi trờng hay khảo sát sự ổn định dân số, mật độ dân c

các nhà khoa học thờng quan tâm đến sự tác động của các yếu tố bên ngoài tác động vào hệ có ảnh hởng nh thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ hay không? Trong quá trình nghiên cứu đó có những trờng hợp sự tác động ban đầu sẽ làm ảnh hởng đến toàn bộ quá trình vận động, nhng có trờng hợp sự tác động lại không làm thay đổi quá trình vận động của hệ Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó ngời ta thờng mô hình hoá toán học các hệ đó Thông qua các hệ toán học con ngời muốn can thiệp vào hoạt động của hệ thống, giữ cho hệ thống không thoát ly quá xa trạng thái cân bằng đợc thiết kế trớc Do đó lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và nó đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nh kinh tế, khoa học kỹ thuật, tính toán…Nh vậy lý thuyết ổn định đóng một vai trò quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân

Chúng ta đã biết đến hai phơng pháp nghiên cứu kinh điển về lý thuyết

ổn định của nhà toán học ngời Nga Liapunov Đây là hai phơng pháp giúpviệc nghiên cứu tính ổn định của hệ phơng trình vi phân đạt hiệu quả nhất.Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng tôi

nghiên cứu đề tài " Một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân

có nhiều trễ″ Trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi không đi sâu vào

nghiên cứu ứng dụng thực tế của tính ổn định phơng trình vi phân có trễ vànhiều trễ, cũng nh hệ không tuyến tính mà chúng tôi chỉ xem xét đa ra các

điều kiện đủ để nghiệm của các hệ trên ổn định và ổn định tiệm cận Sử dụngnghiên cứu trên cho việc đa ra liên hệ ngợc tính ổn định của một vài lớp hệ

điều khiển tuyến tính Với mục đích đó luận văn đơc trình bày gồm hai chơngsau:

Chơng 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân

Trong chơng này trình bày các khái niệm cơ bản, các định lý về tính ổn

định, ổn định tiệm cận của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân đã đợc trìnhbày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3] Các kiến thức ở chơng này hỗ trợcho các kết quả chơng 2 của luận văn

Chơng 2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính có nhiều trễ

Đây là phần chính của luận văn, chúng tôi trình bày các kết quả nghiêncứu về bài toán tính ổn định của một vài lớp phơng trình vi phân có trễ vànhiều trễ Nêu lên điều kiện đủ để lớp hệ theo biến thời gian có trễ và nhiềutrễ ổn định tiệm cận Xét mối liên hệ ngợc của một vài lớp hệ điều khiển

Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tậntâm, nhiệt tình của cô giáo, TS Phan Lê Na Nhân dịp này tác giả xin đợc tỏlòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hớng dẫn, các thầy giáo trong khoa Toán- tr-ờng Đại Học Vinh, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS.Phạm Ngọc Bội, PGS.TS Tạ Quang Hải, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS.Nguyễn Nhụy, PGS.TS Tạ Khắc C Xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trongkhoa Sau Đại Học – Trờng Đại Học Vinh và các bạn bè, đồng nghiệp và gia

đình đã quan tâm giúp đỡ chỉ bảo cho tác giả trong suốt thời gian học tập vànghiên cứu Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới trờng THPT

Thiệu Hóa đã tạo điều kiện về tinh thần cũng nh về vật chất cho tác giả trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại Học Vinh.

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhng do còn hạn chế về mặt kiến thức vàthời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót Tác giảrất mong nhận đợc những góp ý chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, bạn bè vàcác đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn tốtnhất

Trong chơng này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của

hệ phơng trình vi phân tuyến tính (xem trong tài liệu tham khảo [1], [2], [3])

Y 

, , , colon 1

dy dt

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm (t), (a < t < ) của hệ (1.2) (nếu có) đợc gọi

là ổn định (theo nghĩa Liapunov) khi t   (nói ngắn gọn là ổn định) nếu vớimọi  > 0, với mọi t 0 thuộc (a,) tồn tại  =  ( , t0) > 0 sao cho tất cả

các nghiệm Y(t) của hệ (1.2) nếu thỏa mãn điều kiện Y(t0)   (t0) < thì

xác định trong khoảng [t 0, ) và Y(t)   (t) < khi t 0  t < .

1.1.2 Định nghĩa Nếu số  nói trong Định nghĩa 1.1.1 có thể chọn không

phụ thuộc vào t 0, tức là  =  ( ) thì nghiệm (t) đợc gọi là ổn định đều.

1.1.3 Định nghĩa Nghiệm  =(t), (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn

định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov) khi t   (nói ngắn ngọn là ổn định tiệm cận) nếu

i) Nghiệm  ổn định,

ii) Với mọi t 0 thuộc (a, ) tồn tại  = (t 0) > 0 sao cho tất cả các

nghiệm Y = Y(t), t t0 <  nếu thỏa mãn điều kiện Y(t0)   (t0) <  thì

tlim Y(t)   (t) = 0

(1.3)

1.1.4 Nhận xét ([1]) Nghiệm tầm thờng (t)  0 của hệ (1.2) (nếu có) ổn

định và limY(t)

t  = 0 khi Y(t0) < với mọi nghiệmY (t). Hình cầu Y (t)

<  =  (t0) với t 0 cố định, đợc gọi là miền hút của vị trí cân bằng 0.

1.1.5 Định nghĩa Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian

a

    Nếu nghiệm  = (t) at  ổn định tiệm cận và tất cả

các nghiệm Y = Y(t) của (1.2) (a < t 0  t < ) thỏa mãn (1.3) thì nghiệm 

đợc gọi là ổn định trong toàn cục.

j k jk

1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định (tơng ứng

không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định (tơng ứng

không ổn định)

1.2.2 Định lý ([1]) Điều kiện cần và và đủ để (1.5) hệ vi phân tuyến tính ổn

định là nghiệm tầm thờng X(t)0 (to<t <∞) của hệ thuần nhất tơng ứng (1.6)

ổn định.

1.2.3 Hệ quả ([1]) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó của

hệ ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định.

1.2.4 Hệ quả ([1]) Ba mệnh đề sau tơng đơng

a) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.5) ổn định,

b) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn định,

c) Nghiệm tầm thờng của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn

định.

1.2.5 Định nghĩa ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.5) đợc gọi là ổn định đều nếu

tất cả các nghiệm của hệ là ổn định đều

1.2.6 Định nghĩa ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định tiệm

cận nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ là ổn định tiệm cận khi t 

1.2.7 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định đều (tơng ứng với ổn

định tiệm cận) khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X(t)0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.6) ổn định đều (tơng ứng ổn định tiệm cận).

1.2.8 Chú ý Ta cũng sẽ thu đợc các hệ quả tơng tự hệ quả (1.4) và hệ quả

(1.5) khi thay đổi các từ " ổn định″ tơng ứng bởi các từ " ổn định đều ″ hoặc " ổn

định tiệm cận″

1.3 sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

= A(t)Y (1.7)

trong đó A(t) đợc giả thiết là liên tục trên (a, )

Định lý sau chứng tỏ tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuấn nhấttơng đơng với tính bị chặn của mọi nghiệm của nó

1.3.1 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) ổn định khi và chỉ

khi mỗi một nghiệm X =X(t) (a < t0  t < ∞) của hệ bị chặn trên bán trục

[t 0, ).

1.3.2 Hệ quả ([1]) Nếu hệ vi phân tuyến tính = A(t)Y + F(t) ổn định thì

mọi nghiệm của nó hoặc cùng bị chặn hoặc cùng không bị chặn.

1.3.3 Ví dụ Xét tính ổn định của phơng trình sau

1 )

t dy

Phơng trình thuần nhất tơng ứng x

dt

t dx



 ) (

có nghiệm tổng quát là x(t)

= e -t x(0) Các nghiệm này đều bị chặn trên [0, ) Vì hệ thuần nhất ổn định

nên hệ đã cho cũng ổn định Mặt khác, hệ đã cho có nghiệm y(t) = t không bị

chặn Vậy mọi nghiệm của phơng trình đã cho không bị chặn

1.3.4 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

mọi nghiệm X = X(t) của hệ dần về 0 khi t dần tới .

Chú ý Đối với hệ vi phân không tuyến tính sự dần về không của tất cả

các nghiệm nói chung không suy ra đợc tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầmthờng của nó

1.3.5 Ví dụ Xét tính ổn định nghiệm của tầm thờng hệ

xy t t

x dt

te C

2 1

2

,

đặt t 0 = 1, ta có

)

0 ) 0 0

 



t te t

tồn tại t 1  1 sao cho  1  nhng  1  Chọn  0 là số dơng saocho , 4 , 2 2

 Vậy nghiệm  t 0 không ổn định khi t 

1.4 sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

Xét hệ phơng trình vi phân

= AX (1.8) với A = [a jk ] là ma trận hằng số vuông cấp n.

Nghiệm tổng quát của hệ (1.8) là

X(t) = e At,

(1.9)

trong đó C là ma trận hằng cỡ n  1

1.4.1 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma trận hằng

số A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j =j (A) của ma

trận A có phần thực không dơng, trong đó các nghiệm đặc trng có phần thực bằng không là các ớc sơ cấp đơn.

1.4.2 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma trận hằng

số A là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j

(A) của ma trận A có phần thực âm, tức là Rej (A) < 0, (j = 1, , n).

1.4.3 Chú ý Hệ tuyến tính thuần nhất ổn định với mỗi ma trận hằng A sẽ ổn

định đều đối với thời điểm t0   ,  .

1.4.4 Chú ý Nh vậy, muốn chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến

tính thuần nhất (1.8) chúng ta phải khẳng định tất cả các nghiệm λ 1, , λn của

phơng trình det(A-λE) = 0 có phần thực âm.

1.4.5 Định nghĩa ([1]) Đa thức của biến phức z

f(z) = a0 + a1z + a2z 2 + anz n với n1 (1.10)

với các hệ số thực hoặc phức đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các nghiệm (không điểm) z 1, , zn của đa thức đều có phần thực âm.

Đa thức f n (z) đợc gọi là đa thức chuẩn bậc n nếu tất cả các hệ số của nó thực, a n  0 và a 0 > 0.

1.4.6 Định lý ([1]) Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ

số của nó đều dơng.

Chú ý Mệnh đề đảo của Định lý 1.4.6 nói chung là không đúng, nhng

đối với đa thức bậc hai thì mệnh đề đảo của Định lý 1.4.6 đúng

1.4.7 Ví dụ Xét f(z) = 30 + 4z + z 2 +z 3 có mọi hệ số dơng nhng có các

nghiệm của nó là -3, 1+ 3i, 1- 3i.

1.4.8 Định nghĩa Cho đa thức f(z) = a 0 + a1z + a2z 2 + …+a +a nz n ( n  1) trong

a a

a a

a a

a a

2 3

4 5

0 1

2 3

0 1

0 0

0 0

0

,

với a k = 0 khi k > n, đợc gọi là ma trận Huwitz của đa thức fn (z).

1.4.9 Định lý ([1]) (Tiêu chuẩn Hurwitz) Điều kiện cần và đủ để đa thức

chuẩn fn (z) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức con chính của ma trận

Hurwitz của fn (z) đều dơng, tức là

1

 = a1 > 0, 2=

2 3

0 1

a a

a a

4 10 3 0 0

1 7 4 10 3

0 1 1 7 4

0 0 0 1 1

Các định thức con chính của ma trận Hurwitz là

1 7 4

0 1 1

= 5 > 0,

4

 =

10 3 0 0

7 4 10 3

1 1 7 4

0 0 1 1

= 8 > 0,

5

 = H = 24 > 0

Vậy f 5 (z) là đa thức Hurwitz.

1.4.11 Ví dụ Xét tính ổn định tiệm cận của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

z y x dt dy

z y x dt dx

6 2 4

3 2

1 4 1

3 2 1

5 2 1

0 6 5

Trong số các định thức con của H có 1= -5 < 0, do đó f 3 (z) không phải là ma

trận Hurwitz Vậy hệ đã cho không ổn định tiệm cận

1.5 số mũ đặc trng

Giả sử (t) là một hàm số thực xác định dơng trong khoảng t 0< t <.

Nếu với một dãy t k   nào đó (k = 1,2, ) tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc

vô hạn) với dấu xác định a = limt (t k ) thì số a (hoặc -, hoặc +) đợc gọi

là giới hạn riêng của hàm số   t khi t .

1.5.1 Định nghĩa Giới hạn riêng lớn nhất của hàm số   t khi t   , ký

1.5.3 Ví dụ Xét giới hạn trên và giới hạn dới của các hàm số sint, sin 2 t, cos 2 t.

Giải Ta xác định đợc các giới hạn trên và giới hạn dới của các hàm số đã cho

1.6.1 Định nghĩa ([1]) Tập hợp tất cả các số mũ đặc trng riêng (tức là khác +

và - ) của nghiệm của hệ vi phân đợc gọi là phổ của nó.

1.6.2 Định lý ([1]) Phổ của một hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận

liên tục, bị chặn bao gồm một số hữu hạn phần tử α1< α2 < < αm (m 

Giải Phơng trình có nghiệm tổng quát x = e ct do đó phơng trình này có phổ

dày đặc - < α < 

1.6.4 Định lý ([1]) (Liapunov) Nếu ma trận A(t) bị chặn A (t)  c < 

thì mỗi nghiệm không tầm thờng thực hay phức X = X(t) 0 t0 t  của nó

ii) V(X) > 0, với mọi X  0.

1.7.2 Định nghĩa Hàm V(t, X ) đợc gọi là xác định dơng theo nghĩa Liapunov

(hay là hàm Liapunov) nếu thoả mãn các điều kiện sau

i) V(t, 0) = 0,

ii) Tồn tại các hàm W(X ) xác định dơng và V(t, X )  W(X ) với mọi X

thuộc lân cận X < h.

1.7.3 Định nghĩa Hàm W(t, X ) đợc gọi là xác định âm theo nghĩa Liapunov

nếu thoả mãn các điều kiện sau

V(t, X ) = 0  x = y = 0 hay X = 0.

1.7.5 Định nghĩa Hàm V(t, X ) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao

khi X  0 nếu với t 0 > a nào đó ta có V(t, X ) hội tụ đều về 0 trên [t 0, α) khi X

 0, tức là mọi  > 0 tồn tại  =  ( ) > 0 sao cho V(t,X) < ε khi X <

ii) Hàm V(X ) liên tục, không phụ thuộc thời gian t và V(0) = 0 thì V(X )

sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0.

1.7.6.Ví dụ a) Xét hàm V(t, X ) = x 2 + y 2 -2αxycost với  < 1 có giới hạn

vô cùng bé bậc cao khi r = x2  y2 → 0,

b) Hàm v = sin 2 [t( x12 + x22 + + x2n )] không có giới hạn vô cùng

2 2

x     → 0 mặc dù nó bị chặn và

dần về 0 khi X → 0.

1.8 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm

Giả sử G(t, X) liên tục theo t và có các đạo hàm riêng lên tục theo x 1, x2, , xn trong một miền T (T = { a < t< , X < H }) và

đợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V(t, X ) trong nghĩa của hệ

3 1

2

2 2

2 2

y x y x dt dx

y x y x dt dx

Giải Chọn hàm V(t, x, y) = x 2 + 2y 2 Rõ ràng hàm này là xác định dơng Đạohàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là

= 2x(2y - x) (1- x 2 - 3y 2 ) - 4y ( x+ y) ( 1- x 2 - 3y 2)

= -2( 1- x 2 -3y 2 )( x 2 +2y 2 )  0 với x, y đủ bé.

Ta nhận thấy tất cả các điều kiện của định lý trên đợc thoả mãn Vậy nghiệmtầm thờng x 0 , y  0 của hệ đã cho là ổn định

1.8.5 Định lý ([1]) (Định lý thứ hai Liapunov) Giả sử đối với hệ quy đổi

(1.11) tồn tại một hàm xác định     0

1 , 1 ,

t

V  t x có giới hạn vô cùng bé bậc

cao khi X  0 và có đạo hàm theo t xác định âm V (t, X)

trong nghĩa của hệ

đó Khi đó nghiệm tầm thờng X  0 của hệ ổn định tiệm cận khi t .

1.8.6 Ví dụ Xét tính ổn định của nghiệm tầm thờng đối với hệ

2 5

3

3

y x dt dy

x y dt

dx

Giải Hàm v = x 2 + y 2 thoả mãn các điều kiện của Định lý 1.8.5 Ta có

1.9.1 Định nghĩa Nghiệm tầm thờng của ξ = 0 của hệ (1.13) đợc gọi là ổn

định mũ khi t→+ nếu đối với mỗi nghiệm x(t)  x(t; t0, x0) của hệ đó ở

trong miền nào đó t 0  t < , x  h < H thoả mãn bất đẳng thức

( 0 )

0

x t N x t e  , (t  t0) (1.14)trong đó N và α hai hằng số dơng không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm

x(t).

1.9.2 Nhận xét Nhận thấy từ sự ổn định mũ của nghiệm ξ = 0 suy ra sự ổn

định tiệm cận của nó Thật vậy, đặt x (t) <

N



= έ trong đó ε > 0 tuỳ ý Từ

bất đẳng thức (1.14) ta có x (t) < với tt0, tức là nghiệm ξ = 0 ổn định

theo Liapunov, ngoài ra ta có tlimx(t) = 0 nếu x(t0) ≤ h.

1.9.3 Bổ đề ([1]) Nếu nghiệm tầm thờng của hệ tuyến tính thuần nhất

với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞ thì hệ đó ổn định mũ tức là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t→ ∞.

Chứng minh Nh ta đã biết nghiệm tầm thờng ξ = 0 của hệ (1.15) ổn định tiệm

cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trng λ p (A) của mọi ma trận A có phần thực

e t t

x N t t

0

0 ) ( ) 0(

) ( )





Chú ý Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên từ tính ổn định tiệm

cận của nó nói chung, không suy ra tính ổn định mũ

Nh vậy, nghiệm ξ = 0 của phơng trình này ổn định tiệm cận khi t→ ∞,

V(x)  W(x), (t t0, x ≤ h < H) (

1.18)

trong đó