Luận văn nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân bằng phương pháp hàm lyapunov

Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng ……….. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số hằng ……….

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS Phạm Phu Nhân dịp này

em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra vàgiúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình hoàn thiệnbản luận văn Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy côtrong Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho emtrong thời gian học tập tại trường Em xin cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xeminacủa tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Caohoc giải tích 2008 – 2010 về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sựgiúp đỡ nhiệt tình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô vàbạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn

Học viên

Võ Thị Hải Yến

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU ………4

Bảng ký hiệu ……… 5

Chương 1 Nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân bằng phương pháp hàm Lyapunov 1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn ……… 6

1.2 Phương trình sai phân cấp cao 7

1.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ……… 9

1.3.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất……… 9

1.3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng ……… 11

1.4 Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất… 12

1.5 Các khái niệm về ổn định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous ……… 16

1.5.1 Các khái niệm về ổn định ……… 16

1.5.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân autonomous ……… 17

1.6 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân không autonomous ……… 20

Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính

và ứng dụng……… 24

2.1 Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính …… 24

2.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất ……… 24

2.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất ………… 25

2.2 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số hằng ……… 27

2.3 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số hằng ……… 31

2.4 Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với ma trận hệ số biến thiên ……… 38

2.5 Sự tương đương tiệm cận của hệ phương trình sai phân ……… 42

2.6 Một số ví dụ về ứng dụng của hệ phương trình sai phân ……… 46

2.6.1 Mô hình biến động giá cả thị trường ……… 46

2.6.2 Hiện tượng “mạng nhện ” trong kinh tế nông nghiệp ……… 48

2.6.3 Mô hình ngoại thương đa quốc gia ……… 53

Kết luận ……… 57

Tài liệu tham khảo ……… 58

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những nămđầu thế kỷ XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học quan tâm

và nghiên cứu Những kết quả cơ bản của nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều môhình ứng dụng Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ có sự phát triển của công nghệtin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết định tính của các hệphương trình sai phân nói riêng đã có sự phát triển vượt bậc đặc biệt là khả năng ứngdụng thực tiễn của nó

Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lýthuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của các hệ phương trình sai phân Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và cácbiểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp

Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phươngpháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệphương trình sai phân Sau đó trình bày các ví dụ minh hoạ để chỉ ra khả năng ứngdụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng

Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính saiphân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình saiphân cấp cao và hệ phương trình sai phân Phần tiếp theo của chương một là các định

lý cơ bản của Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trìnhsai phân

Trong chương 2 chúng tôi đã trình bày các định lý về tính ổn định của các hệphương trình sai phân thuần nhất Sau đó là một số điều kiện đủ về tính ổn định củacác hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu Phần cuối của luận văn là một số

mô hình kinh tế như mô hình biến động giá cả thị trường, hiện tượng “mạng nhện”trong kinh tế nông nghiệp và mô hình ngoại thương đa quốc gia Nhờ có các kết quảnhận được trong viêc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình sai phân chúng

ta có thể đi đến các kết luận hữu ích trong việc nghiên cứu các mô hình trên

Bảng ký hiệu

Tập hợp các số nguyên không âm

Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ) Tập hợp các số nguyên mở rộng

Sai phân của

u(n) ( hoặc ) Hàm biến số nguyên

CHƯƠNG 1

( )a

n

i k

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn

Định nghĩa 1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u(n) = u n với

là hiệu

Định nghĩa 1.2 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = u n là sai phân của sai phân cấp 1 của u n , và nói chung sai phân cấp k của hàm u n là sai phân của sai phân cấp k – 1 của hàm số đó.

Sai phân cấp 2 của hàm u n là

Các tính chất của sai phân:

Tính chất 1: Sai phân các cấp đều được biểu diễn qua các giá trị của hàm số

k C

k C

i k i





Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính

số hoặc các hàm số của n, được

gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm số của n, được gọi là vế phải; u n là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

* Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k

(1.1) Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

(1.2) Phương trình đặc trưng

(1.3)

Nghiệm tổng quát của phương

trình sai phân tuyến tính (1.1) là

với là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và là nghiệm tổng quát của phươngtrình thuần nhất tương ứng (1.2)

Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng

Nếu (1.3) có nghiệm thực bội s

thì ngoài nghiệm ta bổ xung

thêm các vectơ cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2) và nghiệm tổng quátcủa (1.2) là

1.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính

1.3.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình sai phân (xem [11])

ở đây , là ma trận

không suy biến

Bài toán Cauchy:

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến

Định nghĩa 1.5 Với mỗi ký hiệu

Khi đó được gọi là họ các ma trận

tiến hoá sinh bởi ma trận hàm

không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green.

Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ toán tử tiến hoá ta thấyvới mỗi thì :

thấy với mọi

1.3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])

sao cho bằng phương pháp biến

1.4 Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

1.4.1 Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Ta giải hệ này bằng

cách đưa về phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 Thật vậy : và

Chú ý định thức của hệ (a)-(b) là , ta có thể viết hệ (a)-(b) dưới dạng

Khi đó là nghiệm của phương trình

thường của hệ (1.12) được gọi

là ổn định theo Lyapunov, nếu với sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi

Định nghĩa 1.7 Nghiệm tầm

thường của hệ (1.12) được gọi là

ổn định tiệm cận theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và sao cho mọi nghiệm u(n) của hệ thoả mãn điều kiện thì

Định nghĩa 1.8 Nghiệm tầm thường

của hệ (1.12) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong định nghĩa tương ứng, số được chọn không phụ thuộc vào a.

( 1) ( , ( ), ( ), , ( ))

m m

m m

Định nghĩa 1.9 Nghiệm tầm

thường của hệ (1.12) được gọi

là ổn định mũ nếu đối với mỗi nghiệm của hệ thoả mãn bất đẳng thức:

trong đó N và là hai hằng số dương.

1.5.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous

Xét bài toán Cauchy: (xem [11])

(1.13)giả sử và với trong lân cận của

gốc sao cho (1.13) có nghiệm tầm

thường Cho là một tập mở trong và chứa gốc Giả sử V(u) là một hàm liên tục vôhướng xác định trên , và

Định nghĩa 1.10 V(u) được gọi là

xác định dương trên nếu và chỉ nếu với ,

Định nghĩa 1.11 V(u) được gọi là

nửa xác định dương trên nếu , với mọi , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác định)

Định nghĩa 1.12 V(u) được gọi là xác định âm ( nửa xác định âm) trên nếu và chỉ nếu là xác định dương ( nửa xác định dương) trên

trong đó Trong (1.14) bên phải là

hàm đơn điệu của r và ta có thể ước lượng hàm này thuộc vào lớp K Do đó tồn tạihai hàm sao cho :

V u 0 u   u  *

*

( ) 0

(1.15)

Từ đó có thể định nghĩa cho hàm xác định dương V(u) như sau :

Định nghĩa 1.14 V(u)

được gọi là xác định dương

trên nếu và chỉ nếu và tồn tại một hàm sao cho

vô hướng xác định dương sao

cho với nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13)

là ổn định.

Chứng minh Do V(u) là xác

định dương, tồn tại một hàm sao

cho với mọi Với cho trước, vì V(u) liên tục và , ta có thể chọn được một số saocho thì Nếu nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn định, khi đó tồn tạinghiệm của (1.13) sao cho thoả mãn với Tuy nhiên do khi , ta có và do đó

,

dẫn tới mâu thuẫn Vậy nếu

thì Nên nghiệm tầm thường

của (1.13) là ổn định

Định lý 1.3 Giả sử tồn

tại hàm vô hướng xác

định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.13) thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận.

Chứng minh Do các giả thiết của

định lý (1.2) được thoả mãn nên

nghiệm tầm thường của (1.13) là ổn định Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và mộtnghiệm = của (1.13) thoả mãn :

(|| ||)u V u( ) (|| ||)u

*

(0) 0

(1.16)

Do nghiệm này thoả mãn

nên tồn tại hằng số d > 0 sao

cho Vậy ta có Điều này kéo theo

và với n đủ lớn vế

phải trở thành âm,

mâu thuẫn với V(u) xác định dương Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên

Hơn nữa V(u(n)) xác định dương và là hàm giảm theo n nên Suy ra Vậy nghiệm

tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.4 Giả sử tồn

tại hàm vô hướng sao

cho với và nghiệm bất kỳ = của (1.13) thoả mãn và nếu trong mọi lân cận H của gốc tồn tại một điểm u 0 sao cho Khì đó nghiệm tầm thường của (1.13) là không

ổn định.

Chứng minh Lấy đủ

nhỏ sao cho tập Đặt ,

M xác định vì V liên tục Gọi là số thoả mãn theo giả thiết tồn tại một điểm sao cho

và Dọc theo nghiệm và do đó là hàm tăng, Do đó nghiệm u(n) này không đi về

gốc Nên , suy ra Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi n đủ lớn, khi đó sẽ vượt ra ngoài tập nên nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn

định

Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân

(1.17)trong đó c là hằng số,

chọn hàm xác định

dương trên Khi đó

Do đó nếu thì nên nghiệm tầm

1.6 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous

Xét bài toán Cauchy: (xem [11])

(1.18)

trong đó u và f là các véctơ thành

phần và Giả sử với mọi để hệ

(1.18) có nghiệm tầm thường Ta thấy hàm Lyapunov cho hệ này phụ thuộc vào n và

(1.18) sao cho với mọi Dọc theo

nghiệm này ta xét số gia của hàm :

Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổnđịnh và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18)

Định lý 1.5 Giả sử tồn tại

hàm vô hướng xác định dương

sao cho với nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thường của

hệ (1.18) là ổn định.

Chứng minh Do là xác định

dương nên tồn tại một hàm sao

cho với mọi Với cho trước, vì liên tục và , nên ta có thể chọn được một số saocho khi thì Nếu nghiệm tầm thường của (1.18) là không ổn định, thì tồn tại nghiệm

0

( 1) ( , ( )); ( ) , ( ),

u n f n u n u a u n N a

(1u i m), 1

V n u n V a u

của (1.18) sao cho thoả mãn , Tuy nhiên do khi , ta có = và

do đó

,

dẫn tới mâu thuẫn Vậy nếu

thì Nên nghiệm tầm thường

của (1.18) là ổn định

Định lý 1.6 Giả sử tồn

tại hàm vô hướng xác

định dương sao cho trong đó và nghiệm bất kỳ của (1.18) thoả mãn Khi đó nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định tiệm cận.

Chứng minh Do các giả thiết của

định lý (1.5) được thoả mãn nên

nghiệm tầm thường của (1.18) là ổn định Do đó với cho trước, giả sử tồn tại và mộtnghiệm = của (1.18) thoả mãn:

phải trở thành âm, mâu thuẫn với

V(n,u) xác định dương Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên Hơn nữa xác

định dương và là hàm giảm theo n nên Suy ra Vậy nghiệm tầm thường của (1.18)

là ổn định tiệm cận

Định lý 1.7 Giả sử các điệu kiện

của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều.

 u n a V n u n V n u n  V n u n|| ( ) ||( , ,0) 0n N n N a0( )|| ( ) ||( , ( )) 0( , ( ))|| ( ) |||| ( ) ||u n( , ( ))( , )nn n u n( )n n n u  u n u n 2111( ) 0211( ) a n a1S1( )11

mọi Vì nếu giả sử điều này không đúng thì tồn tại sao cho và mà Tuy nhiên donên với mọi , do đó ta có

Mâu thuẫn này dẫn tới điều phải chứng minh

Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của hệ sai phân(1.18) là không ổn định

Định lý 1.8 Giả sử tồn tại

hàm vô hướng sao cho:

i, với mọi , trong đó ;

ii, Với mọi , tồn tại với sao cho ;

Chứng minh Giả sử ngược lại

nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là

ổn định Khi đó với mọi thoả mãn , tồn tại một số sao cho , ta có Từ giả thiết (i) ta

có

,

Từ giả thiết (i) ta có là hàm giảm

Do đó với mọi ta có Điều này

kéo theo

Từ giả thiết (i) ta có

Lại theo giả thiết (iii) ta có

Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được

Tuy nhiên từ suy ra

Do đó ta có

Điều này dẫn tới ,

mâu thuẫn với Vậy nghiệm

tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định

2.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])

Khi đó hệ trên có thể viết dưới dạng:

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến

Định nghĩa 1.5 Với mỗi ký hiệu

Khi đó được

gọi là họ các ma trận tiến hoá sinh

bởi ma trận hàm không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy ) hoặc còn được gọi là hàm Green

Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận Cauchy và họ các trận tiến hoá ta thấyvới mỗi thì:

Khi là ma trận hằng ta thấy với

mọi

2.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

Xét bài toán Cauchy (xem [11])

(2.2)trong đó và ,

sao cho bằng phương pháp biến

Vì nên thay (2.6) vào (*)

ta nhận được (2.3)

Hệ quả 2.1 Nếu là ma trận hằng ta

được

với mọi (2.7)

Bằng phương pháp truy hồi

ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng:

T n A n

T n( )n

T n( )n

(0)( ) ( ) ( ) ,

thường của (2.10) được gọi là ổn

định theo Lyapunov nếu >, , sao cho từ bất đẳng thức suy ra với mọi

Chú ý : Sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định đều

Trước tiên ta chứng minh định lý về sự ổn định của nghiệm tầm thường của (2.10)

Định lý 2.2 Nghiệm tầm thường của hệ (2.10) là ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương sao cho với mọi ta có

(2.12)

Chứng minh : Điều kiện đủ:

Với bất kỳ ta chọn Khi đó nếu ta

có:

Do đó nghiệm

tầm thường của

hệ (2.10) là ổn định theo định nghĩa

Điều kiện cần: Giả sử nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định ta sẽ chứng minh

điều kiện (2.12) được thỏa mãn

Thật vậy do nghiệm tầm thường của

(2.10) là ổn định nên với tồn tại sao

Nếu theo định nghĩa chuẩn của ma trận suy ra (2.12).

Nếu ta chứng minh tồn tại số sao cho:

Nhận xét: Từ định lý (2.2) ta thấy nếu nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định thì

tất cả các nghiệm của hệ là giới nội và ngược lại

Định nghĩa 2.3 Nghiệm tầm thường của hệ (2.10) được gọi là ổn định tiệm cận nếu

các điều kiện sau đây được thỏa mãn.

a Nghiệm tầm thường của (2.10) là ổn định

b Tồn tại sao cho với mọi

nghiệm u(n) của hệ thỏa mãn điều

kiện thì

Định lý 2.3 Nghiệm tầm thường của

hệ phương trình sai phân (2.10) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại số thực và sao cho:

u u





*

* 0

T n u 

0 1 1

1( )