Phương pháp nghiên cứu
+ Tham khảo các tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
+ Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
+ Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
Nội dung đề tài
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
nhất Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân cấp 1 là hệ có dạng
dy1 dt = f 1 (t, y 1 , y 2 , , y n ) dy 2 dt = f2(t, y1, y2, , yn) dy n dt = f n (t, y 1 , y 2 , , y n )
(1.1) trong đó t là biến số độc lập, y 1 = y 1 (t), y 2 = y 2 (t), , y n = y n (t) là các hàm phải tìm Các hàm f i (i = 1,2, , n) được xác định trong miền G của không gian R n+1
Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất được biểu diễn dưới dạng các hàm y 1 = ϕ 1 (t), y 2 = ϕ 2 (t), , y n = ϕ n (t) xác định trên khoảng I Đối với mọi t thuộc I, khi thay các hàm này vào hệ phương trình, ta sẽ thu được một đồng nhất thức.
dy 1 dt = a 11 (t)y 1 + a 12 (t)y 2 + .+a 1n (t)y n dy 2 dt = a 21 (t)y 1 + a 22 (t)y 2 + .+a 2n (t)y n dyn dt = a n1 (t)y 1 + a n2 (t)y 2 + .+a nn (t)y n
(1.3) trong đó các hệ số a ij (i, j = 1,2, , n) liên tục trên khoảng (a, b).
Khi đó, với mỗi x 0 ∈ (a, b); (y 1 0 , y 2 0 , , y 0 n ) ∈ R, tồn tại duy nhất nghiệm y(t) = (y1(t), y2(t), , yn(t)) của hệ (1.3) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa mãn điều kiện ban đầuy1(t0) =y 1 0 ; y2(t0) = y 2 0 ; , yn(t0) y n 0
Hệ phương trình (1.3) có thể được viết dưới dạng vector sau: dY dt = A(t)Y (1.4)
Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 7
tuyến tính thuần nhất Định nghĩa 1.2.1 (Hệ nghiệm cơ bản) Hệ n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.4) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó.
Hệ phương trình (1.3) có nhiều nghiệm cơ bản, được xác định bởi định lý 1.2.1 Theo đó, nếu Y1(t), Y2(t), , Yn(t) là các nghiệm cơ bản của hệ phương trình này, thì biểu thức liên quan sẽ được thiết lập.
Y(t) = C 1 Y 1 (t) + C 2 Y 2 (t) + .+C n Y n (t) là nghiệm tổng quát của hệ phương trình đó, với C1, C2, , Cn là các
Phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình vi phân
1.3.1 Phương pháp đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Xét hệ phương trình vi phân cấp 1
dy 1 dt = f 1 (t, y 1 , y 2 , , y n ) dy 2 dt = f2(t, y1, y2, , yn) dyn dt = f n (t, y 1 , y 2 , , y n )
Trong hệ phương trình (1.5), các hàm f_i (i = 1, 2, , n) là liên tục và có đạo hàm riêng theo tất cả các biến đến cấp n - 1 trong miền G ∈ R^n Xét một nghiệm y_1(t), y_2(t), , y_n(t) của hệ này, khi thay vào (1.5), ta thu được hệ các đồng nhất thức theo t Đồng nhất thức đầu tiên được biểu diễn bằng công thức dy1(t)/dt = f_1[t, y_1(t), y_2(t), , y_n(t)].
Vi phân (1.6) theo t, ta có d 2 y 1 (t) dt 2 = ∂f 1
Vi phân đồng nhất thức (1.7) theo t một lần nữa, ta được d 3 y1(t) dt 3 = ∂F2
∂yi f i = F 3 (t, y 1 , y 2 , , y n ), suy ra d 3 y 1 (t) dt 3 = F 3 [t, y 1 (t), y 2 (t), , y n (t)] (1.8) Tiếp tục quá trình trên n−2 lần, ta nhận được d n y 1 (t) dt n = F n−1 [t, y1(t), y2(t), , yn(t)] (1.9)
Vi phân đồng nhất thức (1.9) theo t một lần nữa, ta được d n y 1 (t) dt n = ∂F n−1
∂y i fi = F n−1 [t, y1(t), y2(t), , yn(t)], suy ra d n y 1 (t) dt n = F n [t, y 1 (t), y 2 (t), , y n (t)] (1.10) Như vậy, gộp các phương trình từ (1.6) đến (1.10), ta được hệ phương trình
Giả sử trong miền đang xét của các biến (t, y 1 , y 2 , , y n ), định thức
Từ hệ phương trình (1.11), ta có thể biểu diễn các đại lượng y 1, y 2, , y n theo biến t cùng với các đạo hàm của y 1 Khi thay thế các giá trị y 2, , y n vào phương trình (1.10), chúng ta nhận được một phương trình vi phân cấp n đối với y 1, được biểu diễn dưới dạng: d n y 1 (t) dt n = Φ(t, y 1, dy 1/dt, d 2 y 1/dt 2, , d n−1 y 1/dt n−1).
Y 1(t) là nghiệm của phương trình vi phân cấp n (1.12) Bằng cách thay thế y 1(t) cùng các đạo hàm của nó vào (1.11), chúng ta có thể xác định các nghiệm y 2(t), y 3(t), , yn(t) Hệ hàm y1(t), y2(t), , yn(t) được hình thành là nghiệm cho hệ phương trình (1.5).
Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình
dx dt = 3x−2y dy dt = 2x−y Lời giải.
Vi phân theo t hai vế của phương trình đầu, ta có d 2 x dt 2 = 3dx dt −2dy dt = 3dx dt −2(2x−y) = 3dx dt −4x+ 2y
= 3dx dt −x−(3x−2) = 3dx dt −x− dx dt
Phương trình đặc trưng λ 2 −2λ + 1 = 0 có nghiệm λ = 1 bội 2 Do đó, nghiệm tổng quát có dạng x(t) = c 1 e t +c 2 te t từ phương trình đầu suy ra hàm y có dạng y(t) = 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng dY dt = AY (1.13) trong đó Y = (y 1 , y 2 , , y n ), A là ma trận thực vuông cấp n×n.
Ta tìm nghiệm của hệ (1.13) dưới dạng
Hàm số (1.14) là nghiệm của hệ (1.13) khi λ là trị riêng của ma trận A, và a là vector riêng tương ứng Nếu các trị riêng λ1, λ2, , λn của A là khác nhau và a1, a2, , an là các vector riêng tương ứng, thì nghiệm tổng quát của hệ (1.13) được xác định theo công thức.
Y = C1e λ 1 t a1 +C2e λ 2 t a2 + .+Cne λ n t an với C 1 , C 2 , , C n là các số thực tùy ý.
Nếu trị riêng λ bội k có k vector riêng a1, a2, , ak, thì ta có k nghiệm độc lập tuyến tính cho hệ phương trình: e^(λt)a1, e^(λt)a2, , e^(λt)ak Trong trường hợp trị riêng λ bội k chỉ có m (m < k) vector riêng độc lập tuyến tính a1, a2, , am, nghiệm tương ứng với λ sẽ được xác định dưới dạng khác.
Để xác định các hệ số a1, a2, , ak−m trong biểu thức Y = a0 + a1t + + ak−m tk−m eλt, ta cần thay thế biểu thức (1.14) vào (1.13) Sau đó, tiến hành cân bằng các số hạng tương ứng ở cả hai vế để nhận được hệ phương trình cho việc tìm ra các hệ số này.
Nếu các trị riêng của ma trận A có nghiệm phức, thì nghiệm của hệ (1.13) tương ứng với trị riêng sẽ được xây dựng thông qua các hàm phức theo phương pháp đã nêu.
Chẳng hạn, ứng với λj = p+iq, nghiệm phức của hệ đã cho có dạng
trong đó, nói chung α 1j , α 2j , , α nj là những số phức của hệ đã cho cũng được viết dưới dạng
α 1j e pt (cosqx+ isinqx) α2j e pt (cosqx+ isinqx)
Để biểu diễn nghiệm của hệ thống bằng các hàm thực với A là ma trận thực, ta sử dụng tính chất của phần thực và phần ảo của nghiệm phức tương ứng với trị riêng λ = p ± iq, trong đó các nghiệm này là độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình sau đây: dx dt = 5x+ 2y, dy dt = −4x−y.
Các nghiệm riêng của hệ đã cho tìm được dưới dạng x = αe λt , y = βe λt Đặt các biểu thức trên vào hệ phương trình đã cho ta thu được:
Hệ nhận được có nghiệm không tầm thường nếu
= 0, từ đây ta có được λ 1 = 1, λ 2 = 3.
Với λ = λ1 = 1, hệ phương trình (1.15) tương đương với 4α + 2β = 0, từ đó chọn α = 1, β = -2, dẫn đến nghiệm x1 = e^t, y1 = -2e^t Khi đặt λ = λ2 = 3 vào hệ (1.15), ta nhận được phương trình 2α + 2β = 0, từ đó tìm ra α = 1, β = -1, và nghiệm thứ hai là x2 = e^(3t), y2 = -e^(3t).
Hai nghiệm của hệ đã cho là độc lập tuyến tính, tạo thành một hệ nghiệm cơ sở Do đó, mọi nghiệm của hệ có thể được biểu diễn dưới dạng x = C1 e^t + C2 e^(3t) và y = -2C1 e^t - C2 e^(3t).
Ví dụ 1.3 Giải hệ phương trình sau đây: dx dt = 3x+ 2y, dy dt = −x−y.
Trước tiên ta đi xác định nghiệm của phương trình đặc trưng:
Hệ phương trình đã cho có nghiệm phức dưới dạng x = αe^(λ₁t), y = βe^(λ₁t) với λ₁ = 2 - i, trong đó α và β cũng là các số phức Các giá trị α và β được xác định từ phương trình (3 - λ₁)α + 2β = 0.
Nghiệm phức của hệ phương trình được xác định bởi (1 + i)α + 2β = 0, từ đó ta có α = 1−i và β = −1 Các nghiệm phức được viết dưới dạng x = (1−i)e^(2−i)t và y = −e^(2−i)t, có thể chuyển đổi thành x = (1−i)e^(2t)(cos t - i sin t) và y = −e^(2t)(cos t - i sin t) Phần thực và phần ảo của nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho, dẫn đến hai nghiệm thực của hệ được biểu diễn như sau: x₁(t) = e^(2t)(cos t - sin t), y₁(t) = −e^(2t)cos t, và x₂(t) = −e^(2t)(cos t + sin t), y₂(t) = e^(2t)sin t.
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình có dạng x = e^(2t)[(C1 − C2)cos(t) − (C1 + C2)sin(t)] và y = −e^(2t)[C1cos(t) − C2sin(t)], cho thấy các nghiệm là độc lập tuyến tính với nhau.
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNGTRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
Hệ phương trình vi phân thường được mô tả bằng công thức dyj/dt = f j(t, y 1, y 2, , y n) với j = 1, 2, , n, trong đó t đại diện cho biến độc lập (thời gian) và y 1, y 2, , y n là các hàm cần xác định Các hàm f j là những hàm cần tìm trong một bán trụ.
T = I t + ×D y , I t + = {t 0 < t < +∞} và Dy là một miền mở thuộc R n
Hệ (2.1) được mô tả dưới dạng ma trận với phương trình vi phân vector dY/dt = F(t, Y) Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < +∞) của hệ (2.2) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t tiến đến +∞, tức là ổn định, nếu với mọi ε > 0 và t0 thuộc (a,+∞), tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho điều kiện kY(t0)−Z(t0)k < δ được thỏa mãn trong khoảng thời gian t0 < t < +∞, nghĩa là Y(t) thuộc D y khi t nằm trong khoảng [t0, +∞).
2 Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn kY(t)−Z(t)k < ε khi t 0 < t < +∞ (2.4) Đặc biệt, khi F(t,0) ≡ 0, nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 (a,+∞) ổn định nếu với mọi ε > 0 và t 0 ∈ (a,+∞), tồn tại δ = δ(ε, t 0 ) sao cho bất đẳng thức kY(t 0 )k < δ kéo theo bất đẳng thức kY(t)k < ε khi t 0 < t < +∞.
Nếu nghiệm Z(t) ổn định, thì các nghiệm Y(t) gần với Z(t) tại thời điểm ban đầu t0 sẽ nằm hoàn toàn trong ống ε nhỏ tùy ý xung quanh nghiệm Z(t).
Từ các bất đẳng thức (2.3) và (2.4) về ý nghĩa ta luôn luôn có thể chọn δ ≤ε.
Ví dụ 2.1 Cho hệ phương trình vi phân Y˙ = 4Y −t 2 Y, Y(0) = 0.
Hiển nhiên Z(t) ≡ 0 là nghiệm của hệ Y˙ = 4Y −t 2 Y. Để tìm các nghiệp còn lại, ta giải hệ trên
Nghiệm Z(t) ≡ 0 ổn định theo Lyapunov với δ(ε) = ε.e − 16 3 Nếu có thể chọn số δ > 0 không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t0 ∈ G, thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G Ngược lại, nghiệm Z(t) được coi là không ổn định theo Lyapunov nếu tồn tại ε > 0, t0 ∈ (a,+∞) và mọi δ > 0, có ít nhất một nghiệm Yδ(t) và thời điểm t1 = t1(δ) > t0 sao cho kYδ(t0) − Z(t0)k < δ và kYδ(t1) − Z(t1)k > ε.
Nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 không ổn định nếu với ε > 0, t0 ∈ (a,+∞) nào đó và với mọi δ > 0, tồn tại nghiệm Y δ (t) và thời điểm t 1 > t 0 sao cho kY δ (t 0 )k < δ , kY δ (t)k ≥ ε.
Ví dụ 2.2 Cho hệ phương trình vi phân
Giả sử Z = Z(t) ≡ 0 là nghiệm của hệ (2.5).
Ta tìm các nghiệm khác của hệ (2.5)
C 3 Suy ra nghiệm Z(t) ≡0 không ổn định. Định nghĩa 2.1.4 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) được gọi là ổn định tiệm cận khi t→ +∞, nếu:
1 Nó ổn định theo Lyapunov.
2 Với mọi t 0 ∈ (a,+∞), tồn tại ∆ = ∆(t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm
Y(t) (t0 < t < +∞) thỏa mãn điều kiện kY(t0) − Z(t0)k < ∆ sẽ có tính chất t→+∞lim kY(t)−Z(t)k = 0 (2.6)
Nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và t→+∞lim Y(t) = 0 khi kY(t 0 )k < ∆.
Ví dụ 2.3 Theo ví dụ (2.1), hệ Y˙ = 4Y −t 2 Y có nghiệm Z(t) ≡ 0 ổn định.
Vậy Z(t) ≡0 ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.4 Cho hệ phương trình vi phân dY dt +Y = 0 (2.7) với điều kiện đầu Y 1 (t 0 ) =Y 1 0 , Y 2 (t 0 ) = Y 2 0
Nghiệm chung của (2.7) có dạng
Y(t) small> −t NghiệmY1(t), Y2(t) của (2.7) thỏa điều kiện đầuY1(t0) =Y 1 0 , Y2(t0) = Y 2 0 ,
Vậy, nghiệm bất kỳ của (2.7) ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dy j dt n
X k=1 a jk (t)y k + f j (t) (j = 1, 2, , n), (2.8) trong đó các hệ số a ij (t) và các số hạng tự do f j (t) liên tục trong khoảng (a,+∞).
Dưới dạng ma trận - vector, hệ (2.8) có thể viết dY dt = A(t)Y +F(t), (2.9) trong đó, ma trận A(t) và vector F(t) liên tục trong khoảng (a,+∞). Giả sử
X(t) = [x ij (t)] (detX(t) 6= 0) (2.10) là ma trận nghiệm cơ bản của của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng dY dt = A(t)Y (2.11)
Do đó, X(t) thỏa mãn phương trình ma trận
Theo mục 1.2, nghiệm hệ (2.11) có dạng
Y˜(t) =X(t)C (2.12) với C là ma trận cột hệ số nào đó.
Giả sử nghiệm Y˜ = ˜Y(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu Y˜(t 0 ) = ˜Y 0 Thay t= t 0 vào (2.12), ta có
Y˜ = X(t)X −1 (t 0 ) ˜Y(t 0 ) Đặc biệt, nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa khi t = t 0 , tức
X(t 0 ) =E, trong đó E là ma trận đơn vị, thì (2.12) có dạng
Hệ phương trình vi phân tuyến tính Y˜(t) = X(t) ˜Y(t 0 ) được coi là ổn định nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định theo Lyapunov khi t→ +∞ Ngược lại, nếu các nghiệm không ổn định, hệ được gọi là không ổn định.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể được phân loại thành ổn định đều hoặc ổn định tiệm cận Theo định nghĩa, một hệ phương trình vi phân tuyến tính được coi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t tiến đến vô cùng dương, với thời điểm ban đầu t0 nằm trong khoảng (a, +∞) Ngược lại, hệ này được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t tiến đến vô cùng dương.
2.2.1 Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.2.1 Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính dY dt = A(t)Y +F(t) (2.13) ổn định với số hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thường
Y˜ 0 ≡ 0 (t 0 < t < +∞, t 0 ∈ (a,+∞)) của hệ thuần nhất tương ứng dY dt = A(t)Y (2.14) ổn định.
Chứng minh. Điều kiện cần.
Giả sử Z = Z(t) (t 0 < t < +∞) là một nghiệm ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε, t 0 ) > 0 sao cho với nghiệm Y = Y(t) của hệ phương trình, khi t 0 < t < +∞, ta có bất đẳng thức kY(t)−Z(t)k < ε, nếu như kY(t 0 )−Z(t 0 )k < δ.
Gọi Y˜(t) là một nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.2) Suy ra
Các bất đẳng thức (2.15) và (2.16) tương đương với việc kY˜(t)k < ε trong khoảng thời gian t0 < t < ∞ nếu kY˜(t0)k < δ Theo định nghĩa, nghiệm tầm thường Y˜ 0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.14) được coi là ổn định theo Lyapunov khi t tiến đến +∞ Điều này tạo ra một điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ thống.
Giả sử nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ Nếu Y˜ ≡ Y˜(t) (với t0 ≤ t < +∞) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình này và thỏa mãn điều kiện kY˜(t0)k < δ(ε, t0), thì sẽ có kY˜(t)k < ε cho mọi t0 ≤ t < +∞.
Nếu Z(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất và Y(t) là nghiệm bất kỳ, thì từ bất đẳng thức kY(t 0 )−Z(t 0 )k < δ, ta có thể suy ra kY(t)−Z(t)k < ε trong khoảng thời gian từ t 0 đến vô cùng.
Vậy nghiệm Z(t) ổn định theo Lyapunov khi t→ +∞.
Từ việc chứng minh điều kiện cần của định lý, có thể kết luận rằng tính ổn định của nghiệm tầm thường Y˜0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.11) phụ thuộc vào tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ (2.8) với số hạng tự do F(t) Định lý 2.2.2 khẳng định rằng hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.9) sẽ ổn định đều nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.11) ổn định đều khi t → +∞.
Chứng minh. Điều kiện cần.
Giả sử Z = Z(t) (t0 < t < +∞) là một nghiệm ổn định đều của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.8).
Tức là với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho mọi nghiệm Y = Y(t) là nghiệm bất kỳ của (2.8) khi t →+∞, ta có bất đẳng thức kY(t)−Z(t)k< ε khi kY(t0)−Z(t0)k< δ (2.17)
Vì Y˜(t) = Y(t) −Z(t) nên các bất đẳng thức (2.17) tương đương với các bất đẳng thức sau kY˜(t)k< ε khi t 0 < t < ∞ nếu kY˜(t 0 )k < δ.
Từ đó suy ra, nghiệm tầm thường Y˜ 0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định đều theo Lyapunov khit →+∞. Điều kiện đủ.
Giả sử nghiệm tầm thường Y˜ 0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định đều theo Lyapunov khi t→ +∞.
Khi đó, nếu Y˜ ≡ Y˜(t) (t0 ≤ t < +∞) là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất sao cho kY˜(t0)k < δ(ε) thì kY˜(t)k< ε khi t 0 ≤ t < +∞.
Mà Y˜(t) = Y(t) − Z(t), với Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.8) và Y(t) là nghiệm bất kỳ của hệ đó.
Từ đó suy ra kY(t 0 )−Z(t 0 )k< δ ⇒ kY(t)−Z(t)k < ε khi t 0 ≤t < +∞.
Nghiệm Z(t) sẽ ổn định đều khi t tiến tới vô cùng Theo định lý 2.2.3, hệ phương trình vi phân tuyến tính được coi là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường Y˜ 0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng cũng ổn định tiệm cận khi t tiến tới vô cùng.
Chứng minh. Điều kiện cần.
Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.1) có nghiệm Z(t) nào đó là ổn định tiệm cận.
Đối với mọi ε > 0, có tồn tại δ > 0 sao cho với mọi nghiệm Y = Y(t) của hệ phương trình vi phân không thuần nhất khi t → +∞ và thỏa mãn điều kiện kY(t₀)−Z(t₀)k < δ, thì kY(t)−Z(t)k < ε Hơn nữa, với mọi t thuộc khoảng (a, +∞), tồn tại ∆ = ∆(t₀) > 0 sao cho với mọi Y(t) (t₀ ≤ t < +∞) nếu kY(t₀)−Z(t₀)k < ∆ thì lim t→ +∞ kY(t)−Z(t)k = 0.
Ta có Y˜(t) = Y(t)−Z(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Vì vậy, các bất đẳng thức (2.18) và (2.19) tương đương với các bất đẳng thức khác.
Suy ra nghiệm tầm thường Y˜ 0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định tiệm cận. Điều kiện đủ.
Giả sử nghiệm tầm thường Y˜(t0) = ˜Y0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn đinh tiệm cận theo Lyapunov khi t→ +∞.
Nếu Y˜(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và thỏa mãn điều kiện kY˜(t 0 )k < δ, thì ta có kY˜(t)k < ε với t 0 ≤ t < +∞ Hơn nữa, khi t tiến tới vô cực, giới hạn kY˜(t)k sẽ bằng 0 nếu kY˜(t0)k < ∆, với ∆ = ∆(t0) > 0.
Nếu kY(t 0 )−Z(t 0 )k < δ, thì kY(t)−Z(t)k < ε với δ > 0, và khi t tiến tới vô cùng, lim kY(t)−Z(t)k = 0 nếu kY(t 0 )−Z(t 0 )k < ∆ (với ∆ = ∆t > 0) Ở đây, Y˜(t) được định nghĩa là Y(t)−Z(t), trong đó Z(t) là một nghiệm của hệ phương trình vi phân không thuần nhất và Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ này.
Do đó, nghiệm Z(t) ổn định tiệm cận khi t→ +∞.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính được coi là ổn định khi tất cả các nghiệm của nó đều ổn định Ngược lại, nếu có ít nhất một nghiệm không ổn định, hệ phương trình sẽ không ổn định.
Hệ quả 2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định khi chỉ khi hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính với số hạng tự do F(t) ổn định tiệm cận cần có điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định.
2.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với
phân tuyến tính với ma trận hằng
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất dY/dt = AY, với A là ma trận hằng n×n, được coi là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj của A đều có phần thực không dương.
Reλ j (A) ≤ 0 (j = 1,2, , n) và các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn.
Để chứng minh điều kiện cần, cần có kiến thức bổ sung về lý thuyết ma trận; do đó, chúng ta chỉ tập trung vào việc chứng minh điều kiện đủ của định lý.
Giả sử λ j = a j + iβ j (j = 1,2, , p) là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trận A với phần thực aj âm, và λk = iγk (k = 1, , q) là tất cả các nghiệm đặc trưng của A với phần thực bằng không Theo kết quả của mục 1.3.2, nghiệm bất kỳ của hệ (2.24) có dạng như sau.
(cosγ k t+isinγ k t)C k (2.25) trong đó P j (t) là hàm - vector đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bội của λ j và C k là các vector - cột hằng số Vì a j < 0, nên e α j t P j (t) → 0 khi t →+∞.
Vì vậy từ công thức (2.25) suy ra rằng mỗi nghiệm Y(t) bị chặn trên nửa trục t 0 ≤ t < +∞.
Như vậy, theo định lý 2.3.1, hệ (2.24) là ổn dịnh.
Hệ thuần nhất tuyến tính với ma trận hằng A ổn định sẽ ổn định đều cho mọi thời điểm ban đầu t 0 ∈ (−∞,+∞) Định lý 2.4.2 khẳng định rằng hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (2.24) với ma trận hằng A ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λ j = λ j (A) của A đều có phần thực âm.
Chứng minh. Điều kiện cần.
Giả sử hệ (2.24) ổn định tiệm cận Khi đó hệ này sẽ ổn định theo Lyapunov khi t →+∞ và do đó theo định lý 2.4.1 ta có
Reλ j ≤ 0 (j = 1, , m) (2.26) Giả sử tồn tại ớt nhất một nghiệm đặc trưng λ s = ià s (1 ≤ s ≤m) sao cho
Reλs = 0. khi đó hệ (2.24) có nghiệm dạng
Z = e λ s t C ≡ (cosà s t + isinà s ).C, với C là vector - cột khác không Điều này dẫn đến kZk = kCk 6= 0, cho thấy Z không bằng 0 khi t → ∞, điều này mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của hệ (2.24).
Giả sử λ 1 , , λ m (m ≤ n) là tất cả các nghiệm đặc trưng của A và Reλ j 0, a n 6= 0.
Một đa thức chuẩn bậc n (với n≥ 1) không có nghiệm tầm thường Theo định lý 2.5.1, nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz, thì tất cả các hệ số của nó đều dương.
Đối với đa thức chuẩn bậc hai f(z) = a0 + a1z + a2z^2, điều kiện a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0 là điều kiện đủ để đảm bảo rằng đa thức này là đa thức Hurwitz Đối với các đa thức chuẩn bậc cao hơn, tính dương của các hệ số cũng cần được xem xét để xác định tính chất tương tự.
Ví dụ Đa thức f(z) = 30 + 4z +z 2 +z 3 có các hệ số là dương (30, 4, 1, 1) song không phải là đa thức Hurwitz bởi vì các nghiệm của nó là z 1 = −3, z 2 = 1 + 3i, z 3 = 1−3i.
Để chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính thuần nhất (2.24), theo định lý 2.4.2, chúng ta chỉ cần xác nhận rằng đa thức đặc trưng của ma trận A, tức là det(λE −A) = 0, là đa thức Hurwitz.
Ta xét đa thức chuẩn f(z) = a 0 +a 1 z + + a n z n (2.30) trong đó a 0 > 0, a n 6= 0 (n ≥ 1).
Trong định lý 2.5.2, được biết đến là định lý Hurwitz, điều kiện cần và đủ để một đa thức chuẩn (2.30) trở thành đa thức Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận phải dương Quy ước a_s = 0 được áp dụng với s < 0 hoặc s > n.
Hurwitz của nó đều dương, tức là
Chúng tôi không chứng minh định lý này mà chỉ áp dụng nó để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng hoặc với hệ số hằng Điều này liên quan đến điều kiện Hurwitz (2.32).
2.5.3 Tiêu chuẩn Hurwitz trong hệ phương trình vi phân
Giả sử dY dt = AY (2.33) là hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng thực A = [a jk ] và có phương trình đặc trưng của ma trận A là det(λE −A) = 0 (2.34)
Khi đó, hệ (2.33) ổn định tiệm cận nếu vế trái của phương trình đặc trưng (2.34) là đa thức Hurwitz.
Ví dụ 2.5 Xác định miền ổn định tiệm cận của hệ
dx dt = −x+αy +β dy dt = −αx−y +αz dz
Phương trình đặc trưng của hệ trên có dạng λ+ 1 −α −β α λ+ 1 −α β α λ+ 1
Hệ (2.35) ổn định tiệm cận nếu f(λ) là đa thức Hurwitz. Mà
1 + 2α 2 +β 2 > 0 ∀α, β ∈ R. Vậy với mọi α và β, hệ (2.35) đều ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.6 Ta xét lại hệ phương trình vi phân ở Ví dụ 1.3
dx dt = 3x+ 2y dy dt = −x−y với đa thức đặc trưng f(λ) =λ 2 −4λ+ 5.
Dễ thấy rằng f(λ) không phải đa thức Hurwitz.
Vậy hệ phương trình vi phân trên không ổn định.
Luận văn đã trình bày được một số kết quả như sau:
1 Trình bày được các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và đưa ra một số ví dụ.
2 Trình bày được các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và các hệ quả.
3 Trình bày được các định lý về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng.
4 Ngoài ra, luận văn cũng nói thêm về đa thức Hurwitz và tiêu chuẩn Hurwitz.
5 Cuối cùng, luận văn đã đề cập đến việc ứng dụng tiêu chuẩn Hurwitz để chứng minh sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và một số ví dụ minh họa.