TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

17 2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu... LỜI NÓI ĐẦULý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lýthuyết định tính các phương tr

Mục lục

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 3

1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu nhiên 4

1.3 Quá trình Markov 6

1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 7

1.5 Một vài kết quả bổ trợ 9

2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên 14 2.1 Tính ổn định theo xác suất 14

2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính không ổn định 17 2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu 22

2.4 p-ổn định mũ và q-ổn định mũ 28

3 Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính 34 3.1 Hệ một chiều 34

3.2 p-ổn định mũ và q-không ổn định mũ 40

3.3 Ổn định đều theo nghĩa rộng 49 3.4 Tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính với hệ số hằng 53

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lýthuyết định tính các phương trình vi phân được đặt nền móng bởi A.Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỉ XIX Lý thuyếtnày phát triển mạnh kể từ đó và ngày càng được ứng dụng nhiều đểphân tích các quá trình thực tiễn Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Trần Quang Vinh, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn địnhcủa hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên” , luận văn này nghiêncứu sự biến thiên của nghiệm của hệ phương trình vi phân thường với

vế phải ngẫu nhiên

Cấu trúc của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này liệt kê các khái niệm cơbản về quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa chuyển động Brown, tích phânngẫu nhiên và một số tính chất của nó; khái niệm về quá trình Markov;khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên và công thức vi phânItô; phát biểu một vài kết quả bổ trợ cho các nghiên cứu ở chương 2 vàchương 3

Chương 2: Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên Mụcđích của chương này là nghiên cứu các loại ổn định của phương trìnhItô:

Ta giả sử rằng X(t), b(t, x) và σr(t, x) là các vectơ trong Rl, và ξr(t)

là quá trình Wiener độc lập Hơn nữa, ta giả sử các hệ số của phươngtrình thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong mọi miền bị chặn của x, tứclà:

k

X

r=1

|σr(t, x) − σr(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| < B|x − y|

Các định lý 2.1, 2.5 và 2.8 là sự khái quát hóa những hệ ngẫu nhiên củaphương pháp Lyapunov thứ 2 Tất cả chúng đều yêu cầu điều kiện hàm

Lyapunov phải trơn đều theo t và x trong một lân cận của x = 0, có thểtrừ ra tại điểm x = 0 Ở chương này, ta sẽ xét thêm tính ổn định theoxác suất theo nghĩa mạnh, chính xác là ta sẽ biểu diễn những điều kiện

ổn định không chỉ cho trường hợp |X(t)| → 0 theo xác suất đều theo t,

mà còn trường hợp sup

t>0

|X(t)| → 0 theo xác suất khi |X(0)| → 0

Chương 3: Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính Chương này dànhcho những nghiên cứu chi tiết về hệ tuyến tính Trong chương này, ta sẽchứng minh rằng tính ổn định hoặc không ổn định của hệ ngẫu nhiêntuyến tính với hệ số độc lập thời gian được xác định bởi dấu của kỳvọng của một biến ngẫu nhiên đã biết, phân phối dừng của một quátrình Markov đã biết trong không gian l-chiều Kỳ vọng này sẽ bằnglim

t→∞

ln |X(t)|

t -là số mũ Lyapunov của hệ tuyến tính.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quang Vinh,người đã giành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và giúp

đỡ tác giả trong việc nắm bắt kiến thức cũng như trong việc định hìnhhoàn thiện bản luận văn này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thànhtới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán - tin, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã giảng dạy và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình tác giảhọc tập tại khoa Luận văn cũng được hoàn thành nhờ sự quan tâm,ủng hộ và giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp cao học xác suấtK20, mọi người đã luôn bên cạnh để động viên và cho tác giả những lờikhuyên bổ ích

Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 2012

Học viên

Lê Phương Thanh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Cho T là 1 tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t ∈ T , Xt

là một biến ngẫu nhiên thì X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là hàm ngẫu nhiênvới tham biến t ∈ T

(i) Nếu T là tập đếm được thì X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là quá trìnhngẫu nhiên với tham số rời rạc

(ii) Nếu T là 1 khoảng của đường thẳng thực thì X = (Xt, t ∈ T ) đượcgọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục

Định nghĩa 1.2 Cho quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ∈ T ) trên khônggian xác suất (Ω, F , P), với mỗi ω ∈ Ω cố định, X·(ω) : T → R được gọi

là quỹ đạo của quá trình

Quá trình X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là liên tục (liên tục phải, liêntục trái) nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục (liên tục phải,liên tục trái) Nghĩa là: P {ω : X·(ω) là hàm liên tục (liên tục phải, liêntục trái) đối với t ∈ T } = 1

Quá trình X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là quá trình đo được nếu ánh xạ

X : Ω × T → R là đo được đối với đại số tích F × Γ , ở đây Γ là đại số các tập con của T

σ-Quá trình X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là quá trình có số gia độc lậpnếu với mọi t0 < t1 < < tn; tk ∈ T ; k = 1, , n; những biến ngẫu nhiên

Xt0; Xt1− Xt0; Xt2− Xt1; ; Xtn− Xtn−1là những biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.3 Một lọc (Ft, t > 0) là 1 họ tăng các σ- đại số con của

F ; nghĩa là với mọi 0 < t < s < ∞ thì Ft ⊂ Fs ⊂ F

Quá trình X = (Xt, t ∈ T ) được gọi là tương thích với lọc (Ft, t > 0)nếu ∀t > 0 Xt là Ft- đo được

Lọc nhỏ nhất mà đối với nó X tương thích được gọi là lọc sinh bởi X

Kí hiệu FtX, nghĩa là : FtX = σ(Xs, s 6 t)

Lọc FtX được gọi là lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên (Xt, t ∈ T )

4 Hầu tất cả các quỹ đạo của B(t, ω) liên tục, nghĩa là:

P {ω : B(., ω) liên tục} = 1

Định nghĩa 1.5 Cho (Ω,A, P ) là không gian xác suất cơ sở; L2[a, b]

là không gian Hilbert của tất cả các hàm bình phương khả tích trên[a,b] B(t, ω) là một chuyển động Brown Với mỗi f ∈ L2[a, b] giới hạnI(f ) = lim

n→∞I(fn) trong L2(Ω)(với {fn}∞n=1 là dãy hàm bước nhảy hội tụđến f trong L2[a, b]) được gọi là tích phân Wiener của f và ta kí hiệu:

I(f )(ω) =

Z b a

f (t)dB(t)



để đơn giản ta kí hiệu là Rabf (t)dB(t) hoặc Rabf (t)dB(t, ω).

Định nghĩa 1.6 (Tích phân Itô) Cho B(t) là một chuyển động Brownthích nghi với lọc {Ft; a 6 t 6 b} sao cho biến ngẫu nhiên B(t) − B(s)độc lập với σ- trường Fs

Kí hiệu L2ad([a, b] × Ω) là không gian các quá trình ngẫu nhiên f (t, ω)với a 6 t 6 b, ω ∈ Ω thỏa mãn các điều kiện:

i=1ξi−1(B(ti) − B(ti−1)))

Do vậy, dãy I(fn) là một dãy Cauchy trong L2(Ω) và ta có giới hạn

Định lý 1.2 (Tính chất Martingale) Giả sử f ∈ L2ad([a, b]×Ω) khi đóquá trình ngẫu nhiên X(t) = Ratf (s)dB(s); a 6 t 6 b là một martingalevới lọc {Ft; a 6 t 6 b}.

Định lý 1.3 (Tính chất liên tục) Giả sử f ∈ L2ad([a, b] × Ω) khi đóquá trình ngẫu nhiên X(t) = Ratf (s)dB(s); a 6 t 6 b là liên tục, nghĩa

là tất cả các quỹ đạo chuyển động của nó là các hàm liên tục trên khoảng[a, b]

Xét quá trình Markov với không gian trạng thái E bất kì, (E, A) làkhông gian đo Một quá trình Ft-tương thích X = {Xt}t>0 được gọi làquá trình markov nếu tính markov sau được thỏa mãn:

∀0 6 s 6 t < ∞ và A ∈ A có:

P (Xt+s ∈ A|F6t = P (Xt+s ∈ A|Ft)

Nghĩa là: nếu ta biết trạng thái của hệ tại thời điểm hiện tại t thìmọi thông tin về hành vi của hệ trong quá khứ không còn ảnh hưởngđến sự biến đổi trong tương lai của hệ

Kí hiệu P (s, x, t, A) = P (Xt ∈ A|Xs = x) là xác suất để hệ tại thờiđiểm s đang ở trạng thái x sang thời điểm t rơi vào tập A Ta gọi

P (s, x, t, A) là xác suất chuyển Hàm P (s, x, t, A) được xác định trên

0 6 s 6 t < ∞; x ∈ E, A ∈ A với những tính chất sau:

1 Với mỗi 0 6 s 6 t < ∞ và A ∈ A

P (s, X(s); t, A) = P (X(t) ∈ A|X(s))

2 Với mỗi s 6 t, x ∈ E, P (s, x, t, ·) là một độ đo xác suất trên E

3 Với mỗi s 6 t, A ∈ A hàm P (s, ·, t, A) là một hàm đo được trên E

Quá trình markov X(t) được gọi là thuần nhất nếu xác suất chuyển

P (s, x, t, A) chỉ phụ thuộc vào hiệu số t − s nghĩa là:

P (s + u, x, t + u, A) = P (s, x, t, A) ∀u

Khi đó P (s, x, t, A) có dạng P (s, x, t, A) = P (t − s, x, A) Ở đó

P (t, x, A) = P (Xs+t ∈ A|Xs = x) là xác suất để hệ tại thời điểm s

ở trạng thái x sau một khoảng thời gian t ( tại thời điểm t + s) rơi vào

A Phương trình Chapman-Komogorov khi đó có dạng:

P (t + s, x, A) =

Z

E

P (t, x, dy)P (s, y, A)

Cho ξ(t, ω) là một quá trình Wiener trên khoảng [a, b], xác định trênkhông gian xác suất (Ω, F , P ) Cho eNt(t > 0) là một họ các σ-đại sốcác tập trong F thỏa mãn các điều kiện sau:

1 eNt1 ⊂ eNt2 nếu t1 < t2

2 ξ(t) là biến ngẫu nhiên eNt- đo được với mỗi t > 0

3 Số gia ξ(t + h) − ξ(t) của quá trình ξ(t) độc lập với mọi biến cố

b(t) ∈ Rl là vectơ ngẫu nhiên eNt- đo được

σ1(t), , σk(t) là các vectơ trong Rl mà các thành phần của nó

σij(t); i = 1, , l; j = 1, , k là eNt- đo được với mỗi t cố định

ξ1(t), , ξk(t) là các quá trình Wiener eNt- đo được độc lập sao chocác biến ngẫu nhiên ξi(t + h) − ξi(t) độc lập với mọi phần tử trong eNt

Kí hiệu σ∗(t) là ma trận liên hợp của σ(t) và A(t) = σ(t).σ∗(t).

Ta có công thức Itô sau đây:

Định lý 1.4 Nếu hàm u(t, x), (t ∈ [a, b], x ∈ Rl) có đạo hàm riêng liêntục đến cấp 2 theo x, cấp 1 theo t, và quá trình X(t) nhận giá trị trong

Bổ đề 1.6 Cho X(u) là một quá trình thỏa mãn:

trên khoảng hữu hạn [s, T ], V ∈ C2, biến ngẫu nhiên τU là thời điểm

mà tại đó quỹ đạo của quá trình X(u) lần đầu tiên đi ra ngoài lân cận bịchặn U , đặt τU(t) = min(τU, t) Hơn nữa giả sử rằng: P {X(s) ∈ U } = 1.Khi đó

Định nghĩa 1.8 Cho (Ω, U, P) là một không gian xác suất, Mt ⊂ U

là một họ σ-đại số các biến cố trong Ω, xác định với mỗi t ≥ 0, sao cho

Ms ⊂ Mt với s < t Cho y(t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiênvới kỳ vọng hữu hạn Ey(t, ω), sao cho y(t, ω) = y(t) là một biến ngẫunhiên Mt-đo được đối với mỗi t Một họ (y(t, ω), Mt) được gọi là mộtmartingale trên nếu với bất kì s < t ta có:

Bổ đề 1.7 Cho V (t, x) là một hàm khả vi liên tục hai lần đối với biến

x, khả vi liên tục đối với biến t trên tập I × {U \ Γ } và bị chặn trêntập I × U , ở đây U là một miền bị chặn trong Rl và Γ ⊂ U là một tậpkhông đạt được đối với quá trình X(t) được xác định bởi (1.4) Giả sử

LV ≤ 0 trên tập I × {U \ Γ } Khi đó quá trình V (τU(t), X(τU(t))) làmột martingale trên

Chứng minh Kí hiệu τ (U, δ) là thời điểm đầu tiên ra khỏi tập U \ Uδ(Γ ),

τU,δ(t) = min(τ (U, δ), t) Do Γ là không đạt được, điều này kéo theo vớimọi t ta có

|σr(t, x) − σr(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| < B|x − y| (1.7)

đúng trên tập E = I × Rl Khi đó với bất kỳ số thực β, t ≥ s, x 6= 0,

Ps,x{τδ(t) < t} < δ

|x|e

k(t−s)

Điều này kéo theo

Từ Bổ đề 1.7 và 1.9 kéo theo

Bổ đề 1.10 Cho V (t, x) là một hàm thuộc lớp C20((t > 0) × U ), bị chặntrên miền (t > 0) × U , ở đây U là một lân cận của điểm gốc và giả sửrằng LV (t, x) < 0 trong miền này Khi đó quá trình V (τU(t), X(τU(t)))

0 ≤ V (t, x) ≤ k|x|β

Trong chương 2 và chương 3, ta sẽ cần hai định lí sau:

Định lý 1.12 Nếu (y(t, ω), Mt, t ≥ 0) là một martingale dương, thìgiới hạn

y∞ = lim

t→∞y(t, ω)

tồn tại hầu chắc chắn và hữu hạn Hơn nữa,

W (x), ở đây W (x) > 0 với x 6= 0 và liên tục.

Định lý 2.1 Cho {t > 0} × U = U1 là một miền chứa đường thẳng

x = 0, và giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C20(U1) là hàm xác định

dương theo nghĩa Lyapunov và thỏa mãn

với x 6= 0 Khi đó nghiệm tầm thường của (1.4) là ổn định theo xác suất

Chứng minh Gọi r là một số sao cho r-lân cận Ur của điểm x = 0 đượcchứa trong U cùng với bao đóng của nó Đặt

Định lý 2.3 Giả sử rằng các hệ số b và σr của (1.4) không phụ thuộcvào thời gian và nghiệm của nó X(t) ≡ 0 ổn định theo xác suất Giả sửtrong một lân cận của điểm x = 0, điều kiện (1.7) được đáp ứng và thỏamãn thêm điều kiện không suy biến

Chứng minh Kí hiệu Ur = {|x| < r} là một lân cận đủ nhỏ của x = 0

và uδ(x) là nghiệm trong miền Ur\ Uδ của bài toán

đó từ các mối liên hệ trước đó suy ra rằng

δ>0

{|Xx(τr,δ)| = r} ⊂

sup

t>0

|Xx(t)| ≥ r

,

và từ bổ đề 1.9 ta có

P

sup

Do vậy, nghiệm X ≡ 0 là ổn định theo xác suất Từ trên suy ra

V (x) → 0 khi x → 0 Cuối cùng, theo nguyên lý maximum mạnh, suy ra

hàm uδ(x) dương và do đó hàm V (x) cũng dương đối với |x| > δ1 > δ.

Từ đó hàm V (x) là xác định dương theo nghĩa Lyapunov và LV = 0

Đó là điều phải chứng minh

Nhận xét 2.4 Hàm Lyapunov trong định lý 2.3 được xây dựng chỉ liêntục tại 0 Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát hàm Lyapunov trơn tại

0 có thể không tồn tại Điều này sẽ được chỉ rõ nhờ ví dụ dưới đây.Cho X(t) là quá trình một chiều, cho bởi phương trình

V (x) = |x|1−2b/σ2 thỏa mãn giả thiết của định lí 2.1 Nếu b ≥ 0, hàmnày không khả vi tại 0 Sử dụng nguyên lý maximum cho phương trìnhelliptic, có thể chỉ ra rằng bất kỳ hàm V1(x) nào thỏa mãn điều kiện

V1(0) = 0, V1(ε) ≥ δ, thỏa mãn

V1(x) ≥ δ(|x|/|ε|)1−2b/σ2,

trong miền 0 < x < ε Do vậy, rõ ràng khi b > 0 thì không có hàmLyapunov trơn tại điểm gốc và độc lập với t Tương tự có thể chỉ ra rằngkhông tồn tại một hàm Lyapunov trơn tại 0, phụ thuộc t nhưng có giớihạn trên vô cùng bé

Trong mục này, ta luôn giả sử rằng điều kiện sau đây được thỏa mãn:Điều kiện D Bất kỳ nghiệm nào của (1.4) xuất phát trong miền ε <

|x| < r hầu chắc chắn đạt đến biên của miền này trong một khoảng thờigian hữu hạn với bất kỳ một số r đủ nhỏ và ε > 0

Điều kiện D được thỏa mãn nếu tồn tại trong miền 0 < |x| < r mộthàm W (t, x) ∈ C20({t > 0} × Ur), sao cho với bất kỳ ε, 0 < ε < r,

Chứng minh Theo bổ đề 1.10, quá trình ngẫu nhiên V (τU(t), Xs,x(τU(t)))

là một martingale trên Theo định lí 1.12, điều này kéo theo rằng hcc:

lim

t→∞V (τU(t), Xs,x(τU(t))) = ξ (2.5)

Kí hiệu Bx là tập các quỹ đạo của Xs,x(t) sao cho τU = ∞ Do hàm

V thỏa mãn các giả sử của định lí 2.1, nghiệm X(t) ≡ 0 là ổn định theoxác suất, và do vậy

Từ điều kiện D suy ra tất cả các quỹ đạo chứa trong tập Bx, trừ

ra tập có xác suất 0, ta có inf

t>0|Xs,x(t)| = 0 và từ bổ đề 1.9 ta cũng cókhẳng định mạnh hơn limt→∞|Xs,x(t)| = 0

Do hàm V có giới hạn trên vô cùng bé, ta cũng có

tồn tại đối với hầu hết các quỹ đạo trong Bx Vì các lí do trên, giới hạnnày bằng 0 Do đó hàm V (t, x) xác định dương với quỹ đạo trong Bx,điều này kéo theo lim

t→∞|X(t)| = 0

Từ đó kết hợp với (2.6) ta nhận được chứng minh của định lí

Hệ quả 2.1 Điều kiện D có thể được thay bởi yêu cầu tồn tại một hàm

W (t, x) thỏa mãn bất đẳng thức (2.4) Hàm V (t, x) cũng thỏa mãn bấtđẳng thức đó nếu LV xác định âm Ta đã chứng minh định lí Lyapunovtổng quát về tính ổn định tiệm cận cho các hệ tất định đó là: NghiệmX(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định tiệm cận theo xác suất nếu tồn tại trongmiền {t > 0} × U một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C20({t > 0} × U ),

có giới hạn trên vô cùng bé, sao cho hàm LV là xác định âm trong miềnnày

Hệ quả 2.2 Điều kiện D luôn đúng nếu ma trận A(t, x) thỏa mãn điềukiện không suy biến (2.1) Thật vậy, khi đó hàm W = k − |x|n thỏa mãnđiều kiện (2.4) nếu chọn k và n thích hợp Điều này có nghĩa là, nếu điềukiện (2.1) đúng, thì sự tồn tại một hàm V (t, x) thỏa mãn giả thiết củađịnh lí 2.1 và có giới hạn trên vô cùng bé cũng đủ để nghiệm X(t) ≡ 0của (1.4) là ổn định tiệm cận Từ điều này và định lí 2.3 kéo theo mệnh

đề sau: "Giả sử rằng các hệ số b và σr độc lập với t và điều kiện khôngsuy biến (2.1) được thỏa mãn Khi đó, nếu nghiệm của (1.4) ổn địnhtheo xác suất, thì nó cũng ổn định tiệm cận theo xác suất" Mệnh đềnày có thể được khái quát hóa cho những hệ không thuần nhất phụ thuộcthời gian Ví dụ về hệ tất định đã chỉ ra rằng điều kiện (2.1) không thểgiảm đi được

Vẫn như trước, ta kí hiệu Ur là tập con {|x| < r} của Rl

Định lý 2.6 Giả sử rằng tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C20({t > 0} × Ur)sao cho

lim

x→0inf

Cho Điều kiện D được thỏa mãn Khi đó nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4)không ổn định theo xác suất Hơn nữa, trong trường hợp này, biến cố

sup

t>0

|Xs,x(t)| < r

,

có xác suất 0 với mọi s > 0, x ∈ Ur

Chứng minh Kí hiệu τr,ε là thời điểm đầu tiên đạt được tập {|x| =r} ∪ {|x| = ε}, τr,ε(t) = min(τr,ε, t) Từ (2.7) ta có

EV (τr,ε(t), Xs,x(τr,ε(t))) ≤ V (s, x)

đúng trong miền Ur \ Uε với bất kỳ ε < r Cho t → ∞ và sử dụngĐiều kiện D ta thu được EV (τr,ε, Xs,x(τr,ε)) ≤ V (s, x) Bất đẳng thứcChebyshev kéo theo ước lượng

inf

|x|<ε,t>0V (t, x)P

sup

Nhận xét 2.7 Khẳng định tương tự được suy ra hệ quả của định lý2.5 cho ta điều kiện đủ cho tính ổn định như sau:

(1) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.7),(2.8) và (2.1) đúng trong miền {t > 0} × Ur

(2) Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là không ổn định nếu điều kiện (2.8)đúng và hơn nữa sup

t→∞Xs,x(t) = 0

o

= 1

Định lý 2.8 Điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định theonghĩa rộng là nó ổn định đều theo xác suất và hơn nữa quá trình X(t)

là tuần hoàn trong miền |x| < ε với bất kỳ ε > 0

Chứng minh Do nghiệm X(t) ≡ 0 ổn định đều theo xác suất, kéo theovới bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

sup

δ>0,|y|<δ

P

sup

t>u

|Xu,y(t)| > ε



≤ ε

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định lý 2.9 Một điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn địnhtheo nghĩa rộng là tồn tại một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C20(E) vớigiới hạn trên vô cùng bé sao cho hàm LV là xác định âm và

(3) Tồn tại hàm xác định dương V2(t, x) ∈ C20(E), có giới hạn trên vôcùng bé sao cho LV2 ≤ 0.

Chứng minh Chứng minh được suy ra từ định lí 2.8 và các định lý đãđược nhắc đến trong chương 1 và chương 2 Ta vẫn nhận được khẳngđịnh đúng nếu thay thế điều kiện (1) bởi điều kiện (1’): tồn tại hàmkhông âm V3(t, x) ∈ C20(E) sao cho LV3 < kV3 với một hằng số dương

k nào đó và lim

R→∞ inf

|x|>RV3 = ∞ Tương tự điều kiện (2) có thể thay bởiđiều kiện (2’): điều kiện không suy biến (2.1) đúng trong tập UR\ Uε vớibất kỳ ε < R hoặc (2) cũng có thể được thay bởi điều kiện yếu hơn là

aii(t, x) > aR,ε > 0 với i nào đó

trình ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu

Định lý 2.11 Giả thiết rằng các hệ số của phương trình

dXs,x(t) = b(t, Xs,x)dt + σ(t, Xs,x)dξ(t), (2.9)

liên tục theo t, x trong Rl, với các đạo hàm bị chặn liên tục cấp 2 và cáccấp lớn hơn 2 theo x1, , xl Khi đó nghiệm Xs,x(t) của phương trình(2.9) khả vi liên tục hai lần theo nghĩa trung bình bình phương đối với

là một nghiệm của phương trình

Như trong chứng minh của Bổ đề 1.8, bây giờ ta tính kỳ vọng cả hai

vế của đẳng thức và áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman, ta thu được bấtđẳng thức

E[Yx,∆x(t)]2n ≤ ek(t−s), (2.11)

ở đây hằng số k chỉ phụ thuộc vào cận trên nhỏ nhất của σ0x, b0x và số n

Cụ thể, từ (2.11) suy ra Xs,x+∆x(t) → Xs,x(t) theo xác suất khi ∆x → 0

Do đó các hệ số A và B của (2.10) hội tụ theo xác suất khi ∆x → 0 đếncác hàm b0x(u, Xs,x(u)) và σx0(u, Xs,x(u)) một cách tương ứng Từ đó cáchàm A, B, b0x và σ0x cũng bị chặn, điều này suy ra tất cả các moment

của hiệu số A − b0x và B − σx0 hội tụ đến 0 Vì thế, ta dễ rút ra kếtluận Yx,∆x(t) hội tụ theo nghĩa trung bình bình phương khi ∆x → 0 đếnnghiệm của phương trình

Với những lập luận tương tự ta chứng minh được sự tồn tại và liêntục của đạo hàm bậc hai

Bổ đề 2.12 Cho các hệ số của (2.9) liên tục theo t, x và thỏa mãn điềukiện

Cũng giả sử rằng chúng có đạo hàm riêng bậc 1 và bậc 2 bị chặn, liêntục theo x1, , xl Khi đó với bất kỳ số thực β hàm u(s, x) = E|Xs,x(t)|βkhả vi liên tục hai lần theo x1, , xl, có thể trừ ra tại x = 0 Khi đó tacũng có

∂u(s, x)

∂x

≤ k1|x|β−1ek2 (t−s),

∂2u(s, x)

∂xi∂xj

∂V

∂xi

< k4|x|p−1,

∂2V

∂xi∂xj

< k4|x|p−2 (2.26)với k4 > 0 nào đó

thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lí với việc chọn hằng số T > 0thích hợp Thật vậy, do (2.23),

V (t, x) ≤

t+T

Z

t

A|x|pexp{−α(u − t)}du = k1|x|p

Do các hệ số b và σr có đạo hàm riêng bị chặn theo xi, trong khi đó

Hai định lí sau đưa điều kiện cần đủ cho tính p -ổn định

mũ hệ ngẫu nhiên với hàm... hàm Lyapunov Chúng ta nhận đượcbằng cách khái qt hóa từ định lí biết với hệ tất định

Định lý 2.14 Nghiệm tầm thường hệ (2.22) p -ổn định mũ với

t ≥ tồn hàm V (t, x) ∈ C20(E)... (2.24), (2.25) suy

Từ (2.24) ước lượng suy (2.23) Định lí chứng minh

Định lý 2.15 Nếu nghiệm X(t) ≡ hệ (2.22) p -ổn định mũ vàcác hệ số b σr có đạo hàm liên tục bị chặn