Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và tính ổn định hóa được của các hệ điều khiển tuyến tính

− − − PHAN THỊ THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Cử Nhân Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

− − − ? − − −

PHAN THỊ THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN

TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Cử Nhân Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Mục lục

1.1 Đại số tuyến tính 7

1.2 Giải tích thực 11

1.2.1 Không gian metric 11

1.2.2 Không gian Banach 12

1.2.3 Không gian Hilbert 13

1.2.4 Toán tử tuyến tính 14

1.2.5 Phiếm hàm tuyến tính 15

1.2.6 Toán tử liên hợp 15

1.2.7 Giải tích lồi 16

1.2.8 Toán tử nửa nhóm liên tục 17

1.3 Phương trình vi phân 17

2 Tính điều khiển được 26 2.1 Các khái niệm về tính điều khiển được 26

2.2 Tiêu chuẩn hạng Kalman đối với hệ tuyến tính dừng 28

2.3 Ma trận tích phân điều khiển được đối với hệ (2.1) 34

2.4 Hệ điều khiển dừng có hạn chế 40

2.5 Các hệ điều khiển vô hạn chiều 42

3 Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính 45 3.1 Các khái niệm ổn định trong phương trình vi phân 45

3.2 Bài toán ổn định Lyapunov 47

3.3 Ổn định các hệ tựa tuyến tính 55

3.4 Phương pháp hàm Lyapunov 573.5 Khái niệm ổn định hóa của hệ điều khiển 613.6 Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính là ổn định hóa 623.7 Tính ổn định hóa mạnh của hệ điều khiển tuyến tính 653.8 Ổn định hóa các hệ tựa tuyến tính 69

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành,người đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và đã tận tình giúp đỡ emtrong suốt quá trình thực hiện khóa luận Em cũng xin bày tỏ lòng biết

ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã cho em những kiến thức toán bổ ích trongsuốt quá trình học tập tại trường Nhân dịp này em cũng xin được gửilời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, độngviên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốtnghiệp

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán họcứng dụng quan trọng mới được phát triển khoảng vài chục năm trở lạiđây Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình

và các phương pháp toán học ứng dụng để giải quyết những vấn đề địnhtính của các hệ thống điều khiển Rất nhiều bài toán thực tiễn trong khoahọc, công nghệ, kinh tế được mô tả bởi các phương trình toán học điềukhiển thuần túy và cần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại đểtìm lời giải

Một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống

là lý thuyết điều khiển được, nghĩa là tìm một chiến lược điều khiển saocho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng tháikhác Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khácnhư bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán điều khiển tối ưu, Mục đích của vấn đề ổn định hóa một hệ thống điều khiển là tìm cáchàm điều khiển ngược sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó trởthành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng

Bố cục của khóa luận bao gồm ba chương

• Chương 1 của khóa luận này trình bày những định nghĩa, khái niệm

và định lý cơ bản của giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm

và phương trình vi phân

• Chương 2 của khóa luận này đề cập đến các kiến thức cơ sở về bàitoán điều khiển được của các hệ động lực với thời gian liên tục Cáctiêu chuẩn và điều kiện để các hệ điều khiển có cấu trúc từ đơn giảnđến phức tạp là điều khiển được

• Chương 3 của khóa luận này giới thiệu bài toán ổn định Lyapunov,phương pháp hàm Lyapunov và tính ổn định hóa các hệ điều khiển

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm khóa luận không tránh khỏi sai sót Em rất mong nhận được

những góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn Xinchân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

Người ta thường kí hiệu ma trận bởi A = (aij)m×n

Cho A = (aij)m×n Đặt A0 = (bij)n×m với aij = bij Khi đó A0 được gọi

là ma trận chuyển vị của A

Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A = (aij)m×n Lấy k là số nguyên saocho k ≤ min{m, n} Từ ma trận A lấy k hàng, k cột theo thứ tự từ nhỏ

đến lớn Phần giao của k hàng, k cột này lập thành một ma trận vuôngcấp k Định thức của ma trận vuông cấp k này còn được gọi là định thứccon cấp k của ma trận A.

Định nghĩa 1.3 Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả cácđịnh thức con khác không của ma trận A, kí hiệu rank A

Định nghĩa 1.4 (Xem [7]) Cho hệ n véc tơ a1, a2, · · · , an ∈ Rn Hệ

{a1, a2, · · · , an} được gọi là độc lập tuyến tính nếu có

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan = 0, λi ∈ R ∀ i = 1, n (1.1)thì λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

Ngược lại nếu tồn tại λ1, λ2, · · · , λn ∈ R sao cho (1.1) thỏa mãn thì

hệ đó gọi là phụ thuộc tuyến tính

Cho A là ma trận cấp (m × n) Ma trận A được gọi là không suy biếnnếu detA 6= 0 hay rankA = n

Định nghĩa 1.5 (Xem [7]) Cho A là ma trận cấp (m × n) Véc tơ

v ∈ Rn\{0} được gọi là véc tơ riêng của ma trận A nếu tồn tại một số

λ ∈R sao cho Av = λv

Khi đó λ được gọi là trị riêng của A ứng với véc tơ riêng v

Các vectơ riêng của A được xác định bởi nghiệm của phương trình

Định lý 1.2 (Xem [7])(Jordan) Cho A là ma trận cấp (n × n) Mọi matrận A bất kỳ có thể đưa về dạng Jordan sau đây bằng một phép biến đổi

ma trận không suy biến P

trong đó [λk] là ma trận vuông chéo với các phần tử đường chéo là λk và

λ1, λ2, · · · , λk là các giá trị riêng của A

Định nghĩa 1.6 (Xem [7]) ChoAlà ma trận cấp(n×n),A = [aij], i, j =

1, 2, · · · , n Chuẩn của ma trận A được xác định bởi

Định lý 1.3 (Xem [7])(Công thức Sylvester) Cho A là ma trận cấp

(n × n)với các trị riêng λ1, λ2, · · · , λn khác nhau Cho f (λ) là hàm đathức bậc n nào đó dạng (1.2) Khi đó

• Nếu A = A0 thì A được gọi là ma trận đối xứng

• Nếu A không suy biến, nghĩa là detA 6= 0, thì sẽ tồn tại ma trậnngược A−1

I = A−1A = AA−1

Định lý 1.4 (Xem [7]) Các điều kiện sau là tương đương

a A là ma trận xác định dương

b Tồn tại c > 0, < Ax, x >≥ c kxk2 ∀ x ∈ Rn

Định lý 1.5 (Xem [7])(Điều kiện Sylvester) Cho A là ma trận cấp

Cho {xn} là dãy trong không gian metric X Ta nói {xn} được gọi

là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi

n, m ≥ n0 thì ρ(xn, xm) < ε

Không gian metric(X, ρ)được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong

X đều hội tụ

Cho X là không gian metric, M ⊂ X Ta nói

X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm được các

tập hợp không đâu trù mật, nghĩa là

Định nghĩa 1.10 Cho X 6=∅ và K là trường (số thực R hoặc số phứcC) Trên X người ta trang bị phép cộng X × X → X và phép nhân vôhướng K × X → X thỏa mãn các điều kiện

a ρ(x, y) = ρ(x − y, 0),

b ρ(αx, 0) = |α| ρ(x, 0) ∀ α ∈ R(hoặc C), x ∈ X,

trong đó ρ(x, 0) được gọi là chuẩn của x và kí hiệu kxk = ρ(x, 0)

• Tập M trong không gian Banach X được gọi là giới nội nếu tồn tạimột số a > 0 sao cho kxk ≤ a với mọi x ∈ M

Nếu với mọi dãy {xn} ⊂ M có thể trích được một dãy con hội tụtới x0 ∈ M thì M gọi là tập compact trong không gian Banach X

• Ánh xạ f (x) : X → Y được gọi là liên tục tại x0 nếu∀ ε > 0 ∃ δ > 0

sao cho

ρ(f (x), f (x0)) < ε ∀ x ∈ Vδ(x0)

Định lý 1.7 (Xem [9])(Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là một khônggian Banach, F là một không gian định chuẩn và {fα}α∈A là một họ cácánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó nếu với mọi x ∈ E, nếu

Định nghĩa 1.12 (Xem [7]) ChoX là không gian Banach trong đó trang

bị một hàm tích vô hướng < , >: X × X → R thỏa

Các không gian Hilbert thường dùng ở các chương sau là

• Không gian l2 là không gian tất cả các dãy số {αn} sao cho

họ hàm fn = A trong C(X) thỏa mãn điều kiện

a fn(x) giới nội đều, hay là sup

Định nghĩa 1.13 (Xem [7]) Cho X, Y là các không gian Banach, A :

X → Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu

A(αx + βy) = αAx + βAy ∀ α, β ∈ R, (x, y) ∈ X × Y

Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục ký hiệu là L(X, Y ) làmột không gian Banach với chuẩn là

kAk = sup

x≤1

kAxk

A ∈ L(X, Y ) là ánh xạ mở nếu A(V ) là tập mở với V là tập mở.Cho x ∈ X, x 6= 0 Khi đó, x được gọi là véc tơ riêng của toán tử

A ∈ L(X, X) nếu Ax = λx, với λ là trị riêng của A

a f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ∀ x, y ∈ X

b f (αx) = αf (x) ∀ α ≥ 0, x ∈ X

Nếuf0 : X → R là phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn điều kiệnf0(x) ≤

f (x), ∀ x ∈ X0, thì khi đó sẽ tồn tại phiếm hàm tuyến tính ϕ(x) : X →

Tập M ⊂ X gọi là nón nếu λM ⊂ M, ∀ λ > 0 Nón sinh của M tại

0 ∈ M, ký hiệu con M, xác định bởi

đó N là tập hữu hạn hoặc đếm được, có tính chất sau

a Ai (Int M) ⊂ Int M ∀ i ∈ N

b M 6= X

Khi đó tồn tại phiếm hàm f∗ ∈ M+ ⊂ X∗ là véc tơ riêng chung của

{A∗i}i∈N sao cho

A∗if∗ = λif∗, λi > 0, i ∈N.1.2.8 Toán tử nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.15 (Xem [7]) Cho X là không gian Banach Toán tử nửanhóm liên tục là họ các toán tử tuyến tính liên tục S(t) : X → X, t ≥ 0

a (t, x(t)) ∈ I × D.

b x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.3)

Giả sử hàm f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) được chobởi

x(t) = x0 +

Z t

t 0

f (s, x(s)) ds

Định lý 1.12 (Xem [7])(Định lý Caratheodory) Giả sử f (t, x) là hàm

đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D Nếu tồn tại hàm khả tích m(t)

trên (t0, t0 + b) sao cho

nên công thức thứ hai xác định hàmxj(t)liên tục trên đoạn τ +βj, τ +



nên ta có thể xác định xj(t) bởi công thức xấp xỉ thứ hai trên

Tiếp tục quá trình xây dựng này cho mọi j = 1, 2, 3, và ∀ t1, t2 ∈[τ, τ + b] ta có

kxj(t1) − xj(t2)k ≤

M



t1 − βj



− M



t2 − βj

 suy ra họ hàm {xj, t} là liên tục đều, giới nội đều trên [τ, τ + β]

Áp dụng định lý Arzela-Ascoli, sẽ tồn tại dãy con xjk hội tụ đều trên

f (s, xjk(s)) ds =

Z t τ

f (s, x(s)) ds

Vì

xjk(t) = x0 +

Z t τ

f (s, x(s)) ds

Vậy định lý đã được chứng minh.

Đối với hệ tuyến tính







˙x = Ax + g(t), t ≥ 0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0

Nói chung

Φ(t, t0) 6= e

R t t0 A(s) ds

Định lý 1.13 (Xem [7]) Cho Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệthuần nhất (1.7) Khi đó

a Mọi nghiệm của hệ (1.6) với x(t0) = x0 là

Gọi F (t, s) là ma trận cơ bản của hệ liên hợp (1.8) Ta có định lý sau

Định lý 1.14 Nếu Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.7) thì

Cho u(t) : [t0, ∞) → R+; a(t) : [t0, ∞) → R+, định lý sau đây cho

ta một công thức đánh giá nghiệm quan trọng theo bất đẳng thức tíchphân mà thường được sử dụng nhiều trong lý thuyết ổn định

Định lý 1.15 (Xem [7])(Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử u(t), a(t) làhai hàm không âm, liên tục trên [t0, ∞) Giả sử

0

≤ a(t), t ≥ t0

Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên từ t0 đến t ta có

(1.9)

trong đó u(t) là hàm đo được, khả tích và giả sử hàm f (t, x, u) thỏamãn các điều kiện của định lý Caratheodory sao cho hệ luôn có nghiệm.Nghiệm của hệ (1.9) được biểu diễn dưới dạng

thì nghiệm được cho bởi

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

Z t

t0

Φ(t, s)B(s)u(s) ds

Chương 2

Tính điều khiển được

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyếntính dạng

Một hàm véc tơ u(t) xác định trên [0, ∞) khả tích lấy giá trị trong Rm

sẽ được gọi là điều khiển chấp nhận được của hệ (2.1)

Xét hệ diều khiển tuyến tính (2.1) với giá trị ban đầu x(0) = x0 chotrước Vậy ứng với mỗi điều khiển chấp nhận được u(t), bài toán Cauchycủa hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1) luôn có nghiệm x(t, x0, u)

tại thời điểm t được cho bởi

x(t, t0, u) = φ(t, 0)x0 +

Z t 0

φ(t, s)B(s)u(s) ds, t ≥ 0 (2.2)

Trong đó φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất

˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0

Định nghĩa 2.1 (Xem [7]) Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn, (x0, x1) đượcgọi là điều khiển được sau thời gian t1 ≥ 0 nếu tồn tại điều khiển chấpnhận được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) của hệ thỏa

x(0, x0, u) = x0; x(t1, x0, u) = x1

Định nghĩa 2.2 (Xem [7]) Hệ điều khiển (2.1) được gọi là điều khiểnđược hoàn toàn (GC) nếu với bất kì hai trạng thái x0, x1 sẽ tìm được mộtthời gian t1 ≥ 0 sao cho (x0, x1) là điều khiển được sau thời gian t1.Định nghĩa 2.3 (Xem [7]) Hệ điều khiển (2.1) được gọi là đạt đượchoàn toàn (GR) nếu với mọi x1 ∈ Rn, tồn tại t1 ≥ 0 sao cho (0, x1) làđiều khiển được sau thời gian t1

Định nghĩa 2.4 (Xem [7]) Hệ điều khiển (2.1) được gọi là điều khiểnđược hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kỳ trạng thái x0 ∈ Rn, tồn tạimột thời gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển được sau thời gian t1.Một cách hình học, nếu ta định nghĩa tập <t(x0) là tập hợp tất cả cáctrạng thái x ∈ Rn mà từ đó hệ thống đạt được từ trạng thái x0 sau thờigian t1, nghĩa là

2.2 Tiêu chuẩn hạng Kalman đối với hệ tuyến tính

eA(t−s)Bu(s) ds (2.4)

Định lý 2.1 (Xem [7])(Tiêu chuẩn hạng Kalman) Hệ tuyến tính dừng

(2.3) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi

Chứng minh - Điều kiện cần

Giả sử phản chứng rằng hệ (2.3) la GC nhưng điều kiện hạng (2.5)không thỏa mãn, nghĩa là

Nhân vô hướng hai vế của phương trình trên với v ∈ Rn, v 6= 0 ta có

Theo giả thiết hệ là GC và ∀ x ∈ Rn, theo công thức nghiệm (2.4),

∃ t1 > 0 và điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ U sao cho

Ta chứng minh hệ ˙x = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0 đạt được hoàn toàn sauthời gian t1 > 0, nghĩa là

v0eA(t1 −s)Bu(s) ds = 0 ∀ u(.) ∈ Ut1

Vì hàm dưới dấu tích phân liên tục theo s ∈ [0, t1] và tích phân triệttiêu ∀ u ∈ Ut1 nên

v0eA(t1 −s)B = 0 ∀s ∈ [0, t] (2.9)Đặt s = t1 ta có v0AB = 0

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của v0AeA(t1 −s)B = 0 theo s ta có

Vì v 6= 0 nên mâu thuẫn với điều kiện (2.5)

⇒ ∃t1 > 0 : <t1 = Rn ∀ x0, x1 ∈ Rn,

Đặt a = x1 − eAt1x0, trong đó t1 được xác định từ điều kiện (2.8)

Vì hệ là GR sau thời gian t1, nên ta sẽ tìm được một điều khiển

u(t) ∈ U sao cho

Ví dụ 2.1 Xét tính điều khiển được của hệ

Ví dụ 2.2 Xét tính điều khiển được của hệ

· · ·01

Nhận xét 2.2 Từ chứng minh điều kiện của định lý 2.1 ta thấy quan

hệ sau đây nghiệm đúng

x =

Z t 0

e−AsBu(s) ds

Từ đó ta có

GC ⇒ GN C ⇒ rank[A/B] = n

Điều tương tự cũng xảy ra khi trong phần chứng minh điều kiện đủ,

ta chứng minh điều kiện 2.8 với tập điều khiển được về 0 sau t1 > 0 nào

đó và toán tử Lt : U → Rn lúc đó sẽ được thay bởi

ltu = −

Z t 0

e−AsBuds

b Hệ (2.2) là GR hoặc GR sau một thời gian t1 > 0.

c Hệ (2.2) là GNC hoặc GNC sau một thời gian t1 > 0

x(t, x0, u) của hệ (2.1) được cho bởi

Ma trận Lt được gọi là ma trận tích phân điều khiển được

Định lý 2.3 Hệ (2.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi matrận LT là không suy biến với mọi T > t0

Chứng minh - Điều kiện cần

Giả sử hệ (2.1) là GC, nhưng Lt là ma trận suy biến ∀t > t0

∀x ∈ Rn và vì matrận Lt là đối xứng (∀t > t0) nên ta có thể xét dạngtoàn phương sau:

Theo định lý 2.2, hệ cũng là GR sau một thời gian T > t0 nào đó

Vì Lt theo giả thiết phản chứng là suy biến

Suy ra ma trận LT có ma trận nghịch đảo là L−1T

∀x0, x1 ∈ Rn ta có điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ U được xác địnhbởi

u(t) = −B0(t)φ0(T, t)L−1T (φ(T, t0)x0 − x1) (2.13)Trong trường hợp u(t) xác định theo (2.13) thì dễ dàng kiểm tra đượcrằng nó là điều khiển chấp nhận được chuyển trạng thái từ x0 tới x1

Ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ là

t 23t3

2

3t3 158 t5

... data-page="26">

Chương 2

Tính điều khiển được< /h2>

Xét hệ thống điều khiển mơ tả phương trình vi phân tuyếntính dạng

Một hàm véc tơ u(t) xác định [0, ∞) khả tích lấy giá trị... gọi điều khiển chấp nhận hệ (2.1)

Xét hệ diều khiển tuyến tính (2.1) với giá trị ban đầu x(0) = x0 chotrước Vậy ứng với điều khiển chấp nhận u(t), toán Cauchycủa hệ phương trình. ..

(2.14)

trong Ω tập lồi, ∈ Ω Xác định tập điều khiển hệ( 2.14) sau Định lý sau cho ta tiêu chuẩn tính điều khiển đượccủa hệ (2.14) với giả thiết Ω tập lồi