Phát hiện và khai thác các mâu thuẫn, chướng ngại nhằm tăng cường hoạt động tìm tòi tri thức mới trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông luận văn thạc sỹ quản lý giáo dục

Việc phát hiện các mâu thuẫn,chướng ngại trong dạy học toán đã được các nhà chuyên môn quan tâm vànghiên cứu nhằm gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức.. GIẢ THIẾT KHOA HỌC Có thể

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

trong dạy học hình học ở trờng thung học phổ thông

Chuyên ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS – TS ĐÀO TAM

1.1 Trong công cuộc đổi mới của đất nước, Đảng và Nhà nước ta đãnhẫn mạnh yếu tố con người, phát triển con người một cách toàn diện đểđáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước vàthích nghi với xu thế toàn cầu hóa Phạm Minh Hạc cùng các cộng sự đãđưa ra rất nhiều đặc điểm của con người Việt Nam trong thời kỳ mới, cóthể tóm tắt như sau: đó là những con người có năng lực trí tuệ, có kí nănghành dụng, có trình độ chuyên môn, nghiệp vụ; có nặng lực hợp tác vàcạnh tranh; có năng lực di chuyển nghề nghiệp; có tính độc lập của lý trí vàtình cảm Như vậy có thể hiểu con người Việt Nam trong thời kỳ mới làngười có trí thức, có tính độc lập và sáng tạo, có khả năng học tập suốt đời.

1.2 Để đào tạo những con người có những phẩm chất ưu việt nhưtrên thì phải đổi mới giáo dục Đảng và Nhà nước ta đã đề ra mục tiêu đổimới giáo dục là đổi mới một cách toàn diện và tất cả các mặt theo hướngtạo những cơ hội thuận lợi nhất cho người học hoạt động một cách tích cực,độc lập để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Nghị quyết TW2 (khóa VIII)của Đảng đã khẳng định: cuộc cách mạng của phương pháp giáo dục phảihướng vào người học, rèn luyện khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyếtvấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập

ở nhà trường phổ thông Việc xác định mục tiêu đổi mới này, một mặt xuấtphát từ đòi hỏi của điều kiện thực tiến đất nước ta, mặt khác nó hoàn toànphù hợp với quan điểm của triết học Mác - Lênin và tâm lý học hiện đại vềcon người và hoạt động học tập của con người

1.3 Thực trạng dạy học môn Toán trong những năm gần đây chothấy: Giáo viên chỉ quan tâm tới rèn luyện tư duy lôgic, mà ít quan tâm tớirèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh Đó là một điều hết sức phiếndiện làm cho tư duy học sinh bị trì trệ, phát triển không toàn diện Mộtnguyên nhân có thể là nhiều giáo viên chưa hiểu tư duy biện chứng mộtcách đầy đủ, chưa thấy tầm quan trọng của tư duy biện chứng và quan

trọng là thực hiện việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh như thếnào.

1.4 Bên cạnh đó trong quá trình học toán học sinh bộc lộ những yếukém về tư duy biện chứng, nhìn các đói tượng toán học một cách rời rạc,trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biếnđổi, quá trình phát sinh và phát triển, chưa thấy sự thống nhất và mâu thuẫngiữa các mặt đối lập, nên chưa hiểu rõ bản chất của toán học Từ đó dẫnđến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải các bài toán,nhất là các bài toán đòi hỏi phải có sự sáng tạo trong lời giải

1.5 Mâu thuẫn, chướng ngại là cơ sở khoa học của PPDH theo quanđiểm hoạt động, dạy học giải quyết vẫn đề, cũng như dạy học theo lý thuyếttình huống Khi học sinh đứng trước mâu thuẫn và chướng ngại, tư duy củacác em đứng trước thách thức.Tình huống chứa đựng các mâu thuẫn nămngoài vùng hiểu biết của học sinh; buộc học sinh phải tư duy để khắc phụcmâu thuẫn, vượt qua chướng ngại để thâm nhập vào đối tượng, vẫn đề, tìmtòi tri thức mới Những vấn đề trên vừa mang ý nghĩa tâm lý học và ý nghĩatriết học

1.6 Từ trước đến nay người giáo viên chưa chú trọng khai thác mộtcách đúng mức mâu thuẫn và chướng ngại trong dạy học Toán để tăngcường hoạt động tìm tòi tri thức mới Việc phát hiện các mâu thuẫn,chướng ngại trong dạy học toán đã được các nhà chuyên môn quan tâm vànghiên cứu nhằm gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức Tuy nhiênviệc vạch ra các cách thức phát hiện các mâu thuẫn, chướng ngại như thếnào để có hiệu quả đối với giáo viên trong dạy toán nói chung, dạy họchình học nói riêng cần được quan tâm nghiên cứu sâu hơn nữa

Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: " Phát hiện

và sử dụng các mâu thuẫn, chướng ngại nhằm tăng cường hoạt động tìm tòi tri thức mới trong dạy học hình học ở trường THPT "

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu hoạt động của Giáo viên trong việc phát hiện và khắcphục các mâu thuẫn, chướng ngại để tạo các tình huống dạy học nhằm tăngcường các hoạt động tim tòi tri thức mới của học sinh trong dạy học hìnhhọc ở trường THPT

Vận dụng phương pháp này vào dạy học một số chủ đề trong hìnhhọc ở trường THPT

Góp phần tăng cường đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trườngTHPH trong giai đoạn hiện nay

3 GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Có thể đề xuất một số phương thức phát hiện và khắc phục các mâuthuẫn, chướng ngại nhằm tăng cường hoạt động tìm tòi kiến thức mới gópphần nâng cao hiệu quả dạy học hình học theo mục tiêu chương trình sáchgiáo khoa hiện hành

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến tổ chức các hoạtđộng, phát hiện và khắc phục các mâu thuẫn, chướng ngại

4.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học hình học ở trường THPTtrong giai đoạn hiện nay

4.3 Nghiên cứu và đề ra các cách thức sử dụng các mâu thuẫn,chướng ngại để tăng cường hoạt động tìm tòi tri thức mới

4.4 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biệnpháp đề ra

5 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu việc dạy học toán theo chương trình sách giáo khoa vớiđịnh hướng, xác định những mâu thuẫn, chướng ngại để kích thích tư duy

của học sinh và cách khai thác để phát hiện tri thức mới trong dạy học hìnhhọc ở trường THPT.

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài

liệu liên quan đến đề tài luận văn theo hướng đổi mới phương pháp dạyhọc

6.2 Phương pháp điều tra quan sát: Khảo sát, thông qua phiếu điềutra, hệ thống câu hỏi, dự giờ, để đánh giá ưu, nhược điểm của giáo viêntrong việc phát hiện và khắc phục các mâu thuẫn, chướng ngại trong dạyhọc hình học

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sưphạm để đánh giá tính đúng đắn, tính chấp nhận được của các kết quả nêutrong luận văn

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì luận văn gồm

có ba chương:

chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II: Sử dụng mâu thuẫn và chướng ngại trong dạy dọc hìnhhọc ở trường THPT

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Chương I:

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Quan điểm về hoạt động

1.1.1 Quan điểm về hoạt động trong tâm lý học hiện đại

Hoạt động là một khái niệm cơ bản của tâm lí học hiện đại Cấu trúc

vĩ mô của hoạt động được A N Lêonchiep mô tả trong [22, tr 115-140],dựa trên quan điểm duy vật lịch sử về con người: “Trong tính hiện thực của

nó, bản chất của con người là tổng hoà các mối quan hệ xã hội” (C Mác)

Hoạt động của con người có những thành tố đặc thù là con ngườivươn tới đối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng,… thành đối tượng của hoạtđộng, nhằm tạo ra sản phẩm – thực hiện mục đích của con người (thoả mãnnhu cầu này hay hứng thú khác) Quá trình chuyển hóa trên vừa chứa đựng,vừa thực hiện hứng thú, đam mê, động cơ của con người với tinh thần làchủ thể của hoạt động Để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căng

cơ bắp, thần kinh, năng lực, kinh nghiệm thực tiễn,… để thoả mãn động cơ,gọi là hoạt động Quá trình chiếm lĩnh từng mục đích, gọi là hành động.Chủ thể chỉ có thể đạt mục đích bằng những điều kiện xác định Mỗi điềukiện quy định một cách thức hành động, gọi là thao tác

Hoạt động luôn có tính hướng đích (thoả mãn động cơ) và hành động

là quá trình thực hiện hoá mục đích (tạo ra được sản phẩm), còn thao tác lại

do điều kiện quy định Do đó, có sự khác nhau giữa mục đích và điều kiệnquy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác; nhưng sự khác nhau đóchỉ là tương đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng những phương tiệnkhác nhau Khi đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kĩ thuật, tức là cơ cấuthao tác, chứ không hề thay đổi bản chất (vẫn cùng làm ra một sản phẩm)

Về phương diện tâm lí, hành động sinh ra thao tác, nhưng thao tác khôngphải là phần riêng rẽ của hành động; sau khi được sinh thành, thao tác cókhả năng tồn tại độc lập và có thể tham gia vào nhiều hành động khác

Hoạt động có biểu hiện bề ngoài là hành vi, hai phạm trù này hỗ trợcho nhau, trong đó, hoạt động bao gồm cả hành vi lần tâm lí, ý thức (tức là

cả công việc của chân tay và của não) Hoạt động của con người tất yếudẫn đến chỗ nảy sinh ý thức và ý thức là thành tố thực sự trong sự vận động

của hoạt động Vì vậy, ý thức, tâm lí người bao giờ cũng mang tính chấttích cực Hơn nữa, tính tích cực này là tính tích cực hoạt động đặc thù củacon người, tức là nó mang tính chất say sưa, vì nó luôn luôn gắn bó với sựthực hiện mục đích của hoạt động.

Theo A N Lêonchiep, thế giới tâm lí con người có thể nghiên cứu ở

Như vậy, “nghĩa” của một tri thức được hình thành từ những tìnhhuống cụ thể để người học hoạt động, nhờ đó tri thức được kiến tạo vừanhư phương tiện, vừa như kết quả của hoạt động Trong dạy học nói chung

và dạy học Hình học nói riêng, tri thức không được thu nhận một cách bịđộng mà phải do chính chủ thể tích cực xây dựng nên trong mối tương tácvới tập thể lớp học Vì vậy, cùng với việc tạo ra những tình huống hànhđộng, cần tổ chức những tình huống giao lưu để người học có nhu cầu traođổi thông tin trong quá trình giải quyết vấn đề và những tình huống kiểmchứng để xác nhận hay bác bỏ kiến thức

1.1.2.Quan điểm về hoạt động trong dạy học toán

Con người chỉ có thể phát triển thông qua hoạt động của chính mình.Người học phải tự hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức cho chính mình, điều

đó chỉ được thực hiện khi chủ thể có:

- Nhu cầu và hứng thú với hoạt động học tập

- Phải biết từng thao tác, nội dung của toàn bộ hoạt động hay củamỗi thao tác

- Phải biết được hoạt động ngằm đạt được kết quả gì?

Hoạt động của học sinh khác với các hoạt động thông thường là ởchỗ các hoạt động được đặt dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của thầy theo mụcđích đã định trước

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Quan điểm hoạt động trong PPDHđược cấu thành:

1.1.2.1 Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

Tư tưởng này có thể được cụ thể hoá như sau:

a Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Hoạt động được gọi là tương thích với nội dung nếu nó được tiếnhành trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó Nói cách khác,một hoạt động là tương thích với nội dung nếu việc nắm được nội dungnày là điều kiện hay kết quả (đọng lại trong chủ thể) của hoạt động đó

Các dạng hoạt động sau cần chú ý [10-tr139]:

- Những hoạt động nhận dạng và thể hiện;

- Những hoạt động toán học phức hợp;

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn toán;

- Những hoạt động trí tuệ chung;

- Những hoạt động ngôn ngữ

Ví dụ 1: Để dạy cho học sinh lớp 9 nắm vững nội dung định lí "Tứgiác nội tiếp trong đường tròn" ta cần tổ chức các hoạt động sau:

- Hoạt động trí tuệ: Bất kì tam giác nào cũng nội tiếp được trong mộtđường tròn, điều đó còn đúng không nếu đó là tứ giác? Ví dụ hình bìnhhành, hình chữ nhật? Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròntạo nên một tứ giác lồi Cho biết góc A = 60, hãy dùng kiến thức về góc nộitiếp tìm độ lớn của góc C Từ đó nêu lên một giả thuyết và chứng minh

- Hoạt động nhận dạng, thể hiện: Hãy xét

các tứ giác hình bình hành, hình chữ nhật, hình

vuông, hình thang cân, thang thường, xem hình

nào nội tiếp được, không được?

- Hoạt động phức hợp: Để chứng minh

một tứ giác ABCD là nội tiếp được trong một đường tròn có cần phải cóđiều kiện A + C = 1800 và B + D = 1800 không? Tại sao? Với các điều kiệntrong hình bên, ta có thể kết luận tứ giác MNPQ nội tiếp trong một đườngtròn được không? Cho biết ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, hãy

vẽ đường tròn đó!

- Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phân biệt: Đường tròn (O) ngoại tiếp tứgiác ABCD và tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)!

b Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuấthiện như một thành phần của một hoạt động khác Phân tích được một hoạtđộng thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạtđộng toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạtđộng toàn bộ vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thànhphần khó hoặc quan trọng khi cần thiết [8-tr140]

Để chọn được các hoạt động tương thích ta phải phân tích hoạt độngthành những hoạt động thành phần

Ví dụ: Khi cho học sinh chứng minh một định lí, giải một bài tập(hoạt động phức hợp) mà gặp khó khăn ta phải tách ra thành những hoạtđộng nhỏ hơn:

Hình 1

- Từ giả thiết ta có thể suy ra điều gì?

- Muốn có kết luận ta cần có những điều kiện gì?

- Hãy xét một trường hợp đặc biệt, một trường hợp tương tự

Những hoạt động thành phần này không những giúp học sinh tìm rađường lối giải được bài toán (hoạt động mang tính chất điều kiện) mà cònhiểu sâu hơn (mang tính chất kết quả)

Ví dụ 2: Định lý (Công thức hình chiếu)

"Với hai vectơ a và b bất kì ta có a.b a.b'  

, trong đó b' là hìnhchiếu của vectơ b trên đường thẳng chứa vectơ a"

Để dẫn dắt học sinh phát hiện và chứng minh được định lý trên, giáoviên có thể tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động thành phần sau:

Cho hai vectơ a, b chung gốc O; 'b

là hình chiếu của b lên đường

HĐ2: Hãy nhận xét hai góc (a;b)  và (b';b)  ?

Kết quả mong đợi:

(a;b)  = (b';b)  khi (a;b)  < 900

(a;b)  = 180 0 (b';b)  khi (a;b)  > 90 0

HĐ3: Hãy so sánh a.b  và a.b' trong hai trường hợp trên?

Kết quả mong đợi: a.b  = a.b' Thật vậy:

b

aB'

Khi (a;b)  < 900:a.b' a b' cos0                 0              a b

a b cos(b';b) = a b cos(a;b) = a.b        

Khi (a;b)  > 900: a.b' a b' cos180                 0               a b'

 a b cos(b';b) = a b cos(a;b) = a.b        

Vậy ta có kết quả a.b a.b'  

cho mọi trường hợp

c Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Nói chung, mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động Tuynhiên, nếu khuyến khích tất cả các hoạt động như thế thì có thể sa vào tìnhtrạng làm cho học sinh rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọcnhững hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhấtđịnh Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọngcủa mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại [7-tr140]

d Tập trung vào những hoạt động toán học

Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạtđộng đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng mục đích vàchức năng phương tiện của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năngnày Trong môn toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện

để đạt được những yêu cầu toán học [8-tr141]: Kiến tạo tri thức, rèn luyện

kỹ năng toán học Một số trong những hoạt động như thế nổi bật lên do tầm

Hình 2

quan trọng của chúng trong toán học, trong các môn học khác cũng nhưtrong thực tế và việc thực hiện thành thạo những hoạt động này trở thànhmột trong những mục đích dạy học Đối với những hoạt động này ta cầnphối hợp chức năng mục đích và chức năng phương tiện theo công thức củaFaust:

"Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong quá trình thựchiện chức năng phương tiện"

Ví dụ: Để dạy một định lí, giải một bài toán ta xét các trường hợp cụthể, hình vẽ, mô hình, rồi quan sát, nhận xét, (chức năng phương tiện)nhưng ta cần đặc biệt lưu ý đến chức năng mục đích của toán học nhưchứng minh, phương pháp giải toán, nhận dạng, thể hiện,

1.1.2.2 Gợi động cơ và hướng đích cho các hoạt động

Dạy học là tác động lên đối tượng học sinh nên để việc thực hiện cáchoạt động có kết quả, họ cần phải hoạt động tích cực, tự giác Do đó cầnchỉ cho học sinh biết/hiểu mục đích phải đến và tạo cho học sinh sự say mê,hứng thú, tự thấy mình có nhu cầu phải khám phá và giải quyết một mâuthuẫn nào đó nảy sinh

Để đạt được mục đích dạy học, điều cần thiết là học sinh phải họctập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Muốn vậy đòi hỏi học sinh phải

có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúcđẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó Điều này được thựchiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quantrọng hơn còn do gợi động cơ và hướng đích

Gợi động cơ là tạo cho học sinh một nhu cầu, một ham muốn tìm racon đường đi tới đích Từ đó khêu gợi trí tò mò khoa học, sự hứng thúkhám phá cái mới Đây chính là một biện pháp quan trọng để phát huy tính

tự giác, chủ động trong học tập của học sinh [9]

Hướng đích cho các hoạt động là đặt mục đích cuối cùng hay từngbước cho học sinh thấy để chủ động hướng hoạt động của mình vào đó

Muốn vậy người giáo viên cần nắm chắc nội dung, các văn bản hướng dẫn

và giải thích chương trình, sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo, đểxác định được mục đích cần đạt mà không sa và các chi tiết "kĩ thuật" trongkhi chứng minh hay giải bài toán Từ đó làm cho học sinh ý thức được conđường mình phải đi tới đích, đi theo những bước cụ thể nào, với "công cụ"

gì, tránh được việc làm cầu may được chăng hay chớ, mà phải tìm ra conđường đi thích hợp

Ví dụ 3: Chứng minh định lí: "Nếu hai mặt phẳng cùng vuông gócvới mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ vuông góc vớimặt phẳng ấy" (Hình học 11)

Xác định hướng đi: Căn cứ vào giả thiết ta chọn hướng ii/

Bước 2: Phân tích giả thiết, tìm sự liên quan theo hướng ii/

( ) ( )      a ( ) : a ( )

( ) ( )      b ( ) : b ( ) 

Hãy dựa vào các định lí đã học tìm mối liên tương quan giữa bađường thẳng a, b và 

Gợi động cơ và hướng đích cho hoạt động không phải là việc làmngắn ngủi trước khi thực hiện các hoạt động đó, phải xuyên suốt quá trìnhdạy học Vì vậy, chúng ta phân biệt thành ba hình thức gợi động cơ: Gợiđộng cơ và hướng đích mở đầu hoạt động, gợi động cơ và hướng đích trongquá trình tiến hành hoạt động, gợi động cơ sau khi tiến hành hoạt động

a Gợi động cơ mở đầu:

Để phát hiện kiến thức, phát hiện quy tắc, định lý, mệnh đề nhằmphát hiện vấn đề Có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tếhoặc từ nội bộ môn toán

Gợi động cơ xuất phát từ thực tế cần đảm bảo những điều kiện:

- Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực;

- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung;

- Con đường từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càngtốt [8-tr143]

Việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi động cơ màcòn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng Nhờ đó họcsinh nhận rõ việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải đòi hỏi vàgiải quyết những vấn đề toán học như thế nào, tức là nhận rõ toán học bắtnguồn từ những nhu cầu của đời sống thực tế Vì vậy, cần khai thác triệt đểmọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực tế

Tuy nhiên, toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ nhiều tầng,

do đó, không phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể gợi động

cơ xuất phát từ thực tế Vì vậy, ta còn cần tận dụng cả những khả năng gợiđộng cơ xuất phát từ nội bộ toán học

Gợi động cơ từ nội bộ toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát

từ nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phươngthức tư duy và hoạt động toán học Gợi động cơ theo cách này là cần thiếtvì:

- Việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiệnđược;

- Nhờ gợi động cơ từ nội bộ toán học, học sinh hình dung được đúng

sự hình thành và phát triển của toán học cùng với đặc điểm của nó và cóthể dần dần tiến tới hoạt động toán học một cách độc lập

Thông thường, khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một chươngmới, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế Còn đối với từng bàihay từng phần của bài thì cần tính tới những khả năng gợi động cơ từ nội

bộ toán học

b Gợi động cơ trung gian:

là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những hoạt độngtiến hành trong những bước đó để đạt được mục tiêu Gợi động cơ trunggian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn

đề Bằng hệ thống các câu hỏi, các chỉ dẫn, các định hướng giúp học sinhphát hiện hướng huy động kiến thức, hoạt động tích cực để giải quyết vấn

đề [9-tr148]

b Gợi động cơ kết thúc:

Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta chưa thểlàm rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia.Những câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới được giải đáp hoặc giải đáptrọn vẹn Như vậy người ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quảcủa nội dung hoặc hoạt động đó với việc giải quyết vấn đề đặt ra [7-tr151]

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác tronghoạt động học tập như các cách gợi động cơ khác Mặc dù nó không có tácdụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện,nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động nói chung và nhiều khiviệc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ

mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này Gợi động cơ kết thúcthường dùng để mở rộng một vấn đề nào đó, phát triển tiềm năng SGK,

tổng quát hoá một vấn đề nào đó; giúp học sinh ý thức được vai trò kiếnthức vừa được học trong hệ thống các kiến thức của chương trình và đốivới khoa học khác, đối với thực tiễn.

Sau đây là một số biện pháp thực hiện việc gợi động cơ:

+) Giải quyết mâu thuẫn

Đáp ứng nhu cầu muốn giải quyết một mâu thuẫn, xóa bỏ một hạnchế nảy sinh từ thực tế hay từ nội bộ toán học

Ví dụ: Mở rộng tập số tự nhiên thành tập số nguyên để phéptrừ luôn thực hiện được (từ nội bộ toán học)

+) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống

Ví dụ: Trong tam giác vuông tại A ta có a2 = b2 + c2, còn khi A ≠ 90°thì lúc đó a2 =?

+) Khái quát hóa

Ví dụ: Ta đã biết tổng các góc trong của một tam giác là 180° còn tứgiác lồi, đa giác lồi? Ví dụ: Với 2 điểm A, B cho trước ta biết tập hợp các

điểm M sao cho MA = MB (hay MA 1

MB  ) là đường trung trực của đoạn

AB Còn tập hợp các điểm M sao cho MA k

MB  (k > 0, k ≠ 1) là gì?

+) Quy lạ về quen

Ví dụ: Tìm cách giải phương trình asin x + bcos x = c nhờ đưa vềphương trình sin x = a, tan x = a,

+) Tìm mối liên hệ, phụ thuộc giữa các đại lượng, các yếu tố

Ví dụ: Vị trí giữa hai đường tròn phụ thuộc vào những yếu tố nào?Trên đây chúng ta đã trình bày nội dung gợi động cơ cho hoạt động,việc sử dụng tất cả các hình thức gợi động cơ cho một hoạt động là điềukhông thể thực hiện được vì mỗi một hoạt động chỉ thích hợp với một sốhình thức gợi động cơ

1.2 Mâu thuẫn và sự biểu hiện của nó trong dạy học Toán.

1.2.1 Quan niệm về mâu thuẫn.

Mâu thuẫn được cho là một khái niệm cơ bản trong triết học phươngTây Triết học phương tây cho rằng: mâu thuẫn là động lực của sự pháttriển bởi vì trong mỗi một sự vật đều có ít nhất hai mặt, hai lập trường, haithế lực đối kháng, và các thế lực đó sẽ tìm cách triệt tiêu nhau, quá trình đóđẩy mâu thuẫn phát triển đến đỉnh điểm và khi mâu thuẫn phát triển đếnđỉnh điểm thì khách thể sẽ biến đổi cả về lượng và chất sang một hình tháimới

Các nhà triết học phương đông cũng đã khái quát khái niệm nàytrong thuyết âm dương ngũ hành, triết học phương đông cho rằng: các nhân

tố âm dương trong một đối tượng luôn vận động và biến đổi luân hồi, âmthịnh thì dương suy, bĩ cực thái lai, triết học phương Đông chỉ khai tháckhía cạnh thời gian của việc phát sinh và giải quyết mâu thuẫn chứ khôngnhìn vào khía cạnh biến đổi của chủ thể khi giải quyết mâu thuẫn

Như vậy tất cả các sự vật, hiện tượng đều chứa đựng những mặt tráingược nhau, tức những mặt đối lập trong sự tồn tại của nó Các mặt đối lậpcủa sự vật vừa thống nhất vừa đấu tranh với nhau tạo thành nguồn gốc,động lực của sự vận động, phát triển của sự vật Phép biện chứng duy vật

đã đưa ra và sử dụng các khái niệm: mặt đối lập, mâu thuẫn biện chứng, sựthống nhất của các mặt đối lập, đấu tranh của các mặt đối lập để diễn đạtmối quan hệ giữa thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập trong bảnthân sự vật – tạo thành nguồn gốc, động lực của sự vận động và phát triểncủa sự vật.

Mối quan hệ giữa sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập+ Sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập là hai xu hướng tác độngkhác nhau của các mặt đối lập tạo thành mâu thuẫn Vậy mâu thuẫn biệnchứng bao hàm cả “sự thống nhất” lẫn “đấu tranh” của các mặt đối lập Sựthống nhất gắn liền với sự đứng im, với sự ổn định tạm thời của sự vật Sựđấu tranh gắn liền với tính tuyệt đối của sự vận động và phát triển.+ Sự phát triển của sự vật, hiện tượng gắn liền với quá trình hình thành,phát triển và giải quyết mâu thuẫn Trong sự tác động qua lại của các mặtđối lập thì đấu tranh của các mặt đối lập quy định sự thay đổi của các mặtđang tác động và làm cho mâu thuẫn phát triển Khi hai mặt đối lập xungđột gay gắt đã đủ điều kiện, chúng sẽ chuyển hóa lẫn nhau, mâu thuẫn đượcgiải quyết Nhờ đó mà thể thống nhất cũ được thay thế bằng thể thống nhấtmới; sự vật cũ mất đi sự vật mới ra đời thay thế

1.2.2 Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học.

Có thể phân tích quan điểm mâu thuẫn là động lực của sự phát triểntoán học qua các phương diện sau:

1.2.2.1 Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển

của toán học.

Trong nghiên cứu phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch

sử, Mac và Ăng-ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có toán học,không những phát sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó

là thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoahọc khác

Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợpngười lao động và công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảysinh số đếm Hình học được hình thành và phát triển từ nhu cầu đo đạcruộng đất ở sông Nil sau mỗi trận lụt… Nhu cầu nghiên cứu vận động,trước hết là vận động cơ học, làm nảy sinh phép tính vi phân rồi tích phân.

Tóm lại, toán học xuất hiện và phát triển không phải do nhu cầunào khác, mà là nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và đòi hỏicác công cụ từ toán học

1.2.2.2 Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và

hoàn thiện toán học.

Đơn cử là việc ra đời số phức Ví dụ khi giải phương trình bậc ba 1)(x2+x+1) = 0 thì ta có ngay nghiệm là 1 Và phương trình bậc hai có hệ

(x-số âm thì vô nghiệm Tới đây thì ta chưa thấy mâu thuẫn gì Nhưng ta hãyxét phương trình sau:

Rõ ràng phương trình cuối này vô nghiệm nên phương trình (*) là

vô nghiệm (mâu thuẫn)

Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc haicủa số âm và làm nảy sinh số phức

1.2.2.3 Mâu thuẫn nảy sinh trong quá trình giải quyết mâu thuẫn.

Theo lịch sử toán học, do nhu cầu nhằm chia sự vật làm xuất hiện

số hữu tỷ, đến đây thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưngmâu thuẫn mới lại xuất hiện làm nảy sinh số phức [30-tr28]…

Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toánhọc Khi mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là toán học đã làm hếtcông việc của mình, mà vấn đề mới luôn đặt ra, mâu thuẫn mới luôn xuấthiện, đòi hỏi và thúc đẩy toán học ngày càng phát triển, ngày càng hoànthiện và mở rộng không ngừng

Như vậy mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hìnhthành làm cho toán học phát triển không ngừng

1.2.3 Mâu thuẫn trong nghiên cứu và giảng dạy toán học.

1.2.3.1 Trong nghiên cứu toán học.

Những vấn đề nghiên cứu trong toán học phải bắt nguồn từ mâuthuẫn- đó là những bài toán mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra cũng nhưnhững vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc

Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộtoán học cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó Cần có cái nhìn biện chứng, tựthân phủ định và tạo mâu thuẫn trong toán học

Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu.Khi bài toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không chophép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu Khi đó có thể trảlời những câu hỏi sau :

1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?

2) Có thể mở rộng hay không?

3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có nhữnghướng phát triển nào khác?

4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…

1.2.3.2 Trong dạy học toán

Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết trong dạyhọc toán được nhiều người quan tâm Trong dạy học toán giáo viên cần tạo

ra được mâu thuẫn đó là mâu thuẫn trong nội bộ nhận thức của học sinh Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh lại kiến thức đã có,dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua đótạo động cơ giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu cầu

tự tìm kiếm kiến thức

1.2.4 Một số dạng mâu thuẫn nổi bật trong dạy học toán.

" Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển", mâu thuẫn xuất hiệndưới nhiều dạng khác nhau; dưới nhiều hình thức khác nhau, nếu không rènluyện, nghiên cứu để có một tư duy linh hoạt, tư duy sáng tạo, một sự nhạybén cần thiết khi đứng trước một vấn đề nói chung hay là đứng trước mộtbài toán nói riêng thì không thể phát hiện ra được các mâu thuẫn ẩn chứabên trong nên dễ dàng cho qua [29-tr52] Ví dụ ta nói đường trung bình vàđường trung tuyến của tam giác là hai đường không có gì liên quan nhau,nhưng với một số người khác thì lại thấy lời nói trên có mâu thuẫn vì khi tacoi tam giác là trường hợp riêng của tứ giác có hai đỉnh trùng nhau thì haiđường trên thực chất lại là một đường đó là đường trung bình của tứ giác

Tuy mâu thuẫn xuất hiện và thể hiện dưới muôn hình vạn trạngkhác nhau như vậy nhung người ta sắp xếp mâu thuẫn thành các dạng khácnhau Sau đây là một số dạng mâu thuẫn nội bật trong dạy học toán

1.2.4.1 Mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức

và kinh nghiệm đã có của học sinh.

Mâu thuẫn này nảy sinh do kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm cũkhông phù hợp với tình huống mới, không giải thích được kiến thức trongtrường hợp mới [26-tr15]

Ví dụ 1: Trong dạy học định lý hàm số sin trong tam giác ta cho

học sinh khảo sát các tình huống sau

Tình huống 1: Trong tam giác vuông ABC, vuông tại A ta có:

ngoại tiếp tam giác ABC).

Tình huống 2: Trong tam giác ABC đều ta có thể kiểm tra trực tiếp hệ thức:

ngoại tiếp tam giác ABC)

Tình huống 3: Đối với tam giác ABC bất kỳ thì việc kiểm tra trựctiếp như trên sẽ gặp phải mâu thuẫn ( khó khăn) là: không thể kiểm tra trựctiếp hệ thức trên mà phải thay đổi lại nhận thức bằng cách vẽ thêm đườngphụ đi qua tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SBC và ABC là nhữngtam giác đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng đó là 0

60 Tính khoảng cách

từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Khi học sinh đứng trước bài toán yêu cầu tính khoảng cách thì phầnlớn các em suy nghĩ theo chiều hướng là đi tìm chân đường vuông góc Cụthể dối với bài trên là cần xác định được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh

B xuống mặt phẳng (ASC), nhưng các em gặp phải mâu thuẫn là khôngthể dựa vào tri thức đã có để xác định chân đường vuông góc nói trên Đểgiải quyết bài toán trên buộc học sinh phải xem lại về các phương pháp tínhkhoảng cách

Do việc xác định chân đường vuông góc hạ từ đỉnh B xuống mặtphẳng (SAC) là khó khăn, nên chúng ta hướng dẫn cho học sinh đi tìmphương pháp tính khoảng cách khác mà không cần phải xác định chânđường vuông góc Phương pháp đó là phương pháp vận dụng thể tích củahình chóp Vẫn đề đặt ra trong trường hợp này là chúng ta cần phải tính thểtích của hình chóp và tính diện tích tam giác SAC

Qua sự phân tích trên cho ta lời giải bài toán như sau:

Gọi M là trung điểm của

BC Vì các tam giác SBC, ABC là

Gọi H là trung điểm cạnh

nên SH

là đường cao của khối chóp, nhưng SH cũng là đường cao của tam

giác đều SAM nên SHa 3. 3 3a.

H

1.2.4.2 Mâu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng.

Toán học càng phát triển càng trừu tượng, từ những hình ảnh cụ thểnhư hạt bụi, sợi dây mỏng căng thẳng, mặt nước đứng yên tiến lên các kháiniệm là điểm, đường, mặt phẳng rồi đến các khái niệm như đi qua, nằmtrên, ở giữa, bằng nhau Từ chỗ các khái niệm nói trên được vẽ ra trên giấyhoặc làm mô hình bằng các vật liệu nào đó trong không gian với các lậpluận logic còn dựa không ít vào trực giác để nghiên cứu, tiến lên đưa toa độvào để dùng đại số và giải tích để nghiên cứu hình học [29-tr129]

Giữa trực giác hình học và tư duy hình học có mối quan hệ biệnchứng: Trực giác hình học là điểm tựa, điểm xuất phát cho tư duy hình học;Ngược lại tư duy hình học là cơ sở kiểm nghiệm đúng đắn cho trực giáchình học Các trực giác phán đoán kết quả và dự đoán kết quả bằng conđường lý thuyết là hoạt động cần thiết cho việc nghiên cứu toán học

Từ chỗ toán học phát triển nên đã tồn tại mâu thuẫn nảy sinh giữamột bên là mô hình dạy học hoặc là các hình vẽ trên giấy và một bên làtrực giác của học sinh

Ví dụ 1: Khi học sinh chuyển từ hình học phẳng sang hình học không

gian thì học sinh đã gặp mâu thuẫn khi biểu diễn hai đường thẳng chéonhau trong không gian

Ví dụ 2: Khi chuyển đổi giữa hình học tổng hợp sang hình học giải

tích học sinh gặp phải mâu thuẫn như:

Cho hai đường thẳng d: ax + by +c = 0 và d': a'x + b'y + c' = 0khi đó hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi

Từ một nội dung có thể diễn tả dưới nhiều hình thức khác nhau, nhưvậy khi đi tìm một hình thức diễn tả cho một nội dung, tư duy con ngườiluôn luôn bị nội dung chi phối, coi nội dung là kim chỉ nam cho việc tìmtòi [29-tr84]

Nhưng hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung Mỗi hình thức mang lạicho việc nghiên cứu nội dung những thuận lợi, khó khăn khác nhau

Ví dụ: Để nghiên cứu hình học Ơclit ta có thể dùng phương pháptổng hợp hoặc phương pháp giải tích Phương pháp tổng hợp có cái hay làhuy động được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính cái trí tưởngtượng đó giúp ta tìm được các mắt xích logic nối giả thiết và kết luận, đưađến nhứng lời giải hay, gọn đẹp [29-tr85] Nhưng phương pháp tổng hợp cócái dở là mối bài toán lại đòi hỏi một sự sáng tạo riêng nhờ vào trực giác

mà tìm ra Bên cạnh đó phương pháp giải tích lại cho ta lời giải tổng quátcủa nhiều trường hợp, nhưng trái lại thì phương pháp giải tích lại có cáinhược là lời giải thường dài dòng Phương pháp giải tích còn cho phépchuyển từ không gian hai chiều lên không gian ba chiều một cách dễ dàngbằng cách thêm vào biểu thức một toạ độ thứ ba là cao độ, trong lúc đó vớiphương pháp tổng hợp thì việc chuyển từ không gian hai chiều lên khônggian ba chiều là một điều rất khó khăn đối với học sinh

Hình thức có thể che lấp nội dung; khi đó có mâu thuẫn giữa hìnhthức và nội dung: chính mâu thuẫn này kích thích việc tìm tòi tri thức mới.[29-tr91]

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC thì đường trung bình và đường trung

tuyến nếu nhìn sơ qua thì không có gì liên quan nhau, nhưng nếu ta nhìntam giác ABC dưới góc độ là một tứ giác có hai đỉnh trùng nhau thì haiđường này thực chất là một

Ví dụ 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

Phân tích: Quy trình để giải bài toán trên là

Quy trình 1: Tìm hình chiếu của hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng



Quy trình 2: Lập phường trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng  vàvuông góc với mặt phẳng (P) Khi đó đường thẳng cần dựng chính là giaotuyến của hai mặt phẳng nói trên

Sau khi đã nêu hai quy trình như trên chúng ta cho hai em học sinhgiải bài toán trên theo hai quy trình trên

Cách 1: Xác định hình chiếu của hai điểm thuộc  trên (P). Đườngthẳng cần tìm đi qua hai điểm đó

+) Tọa độ A là giao điểm của  và (P) thỏa mãn hệ

Hình chiếu của A trên (P) chính là điểm A(3; 1; 1). 

+) Xét điểm B(1;  3;0)  và gọi B là hình chiếu của B trên (P)

Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với

(P) Hình chiếu  cần tìm là giao tuyến của (Q) và (P)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng  và (Q)(P) Ta có

Qua hai cách giải trên ta thấy cùng một phương trình đường thẳng 

nhưng được thể hiện qua hai hình thức phương trình khác nhau, thoạt nhìnnhiều em học sinh thấy tồn tại mâu thuẫn trong cách giải Để giải thích chohọc sinh thấy ró điều trên thì GV cần chỉ rõ cho học sinh thấy rằng haiđường thẳng trên thực chất là một bằng cách

Ta thấy đường thẳng ' đi qua điểm M'(-17;-17;0) và điểm này cũngthuôc đường thẳng , đường thẳng ' có véc tơ chỉ phương là

u '( 340; 272; 17)    17u(2;2; 1) 

1.2.4.4 Mâu thuẫn giữa cú pháp và nghữ nghĩa

Trong dạy học toán nếu chỉ coi trọng mặy cú pháp: các biểu thứchình thức mô tả các đối tượng, các quan hệ, các quy luật thì học sinh bị hạnchế phát triển năng lực vận dụng toán học; nếu coi trọng nghữ nghĩa: cấutrúc nội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật thì học sinh thiếu các kỹnăng giải toán trên các biểu thức hình thức

Ví dụ 1: Xét bài toán “Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

cho điểm A( 2; 5; 3) và đường thẳng (d):

2

2 1

Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa (d) sao cho khoảng cách từ Ađến mặt phẳng ( ) lớn nhất” ( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2008 )

Khi giải bài toán này, hầu hết học sinh chỉ nhớ các biểu thức hìnhthức của hình học giải tích sẽ dẫn đến cách giải máy móc rất khó khăn để điđến kết quả như sau:

Định hướng 1:Gọi n(A;B;C)là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )

Do mặt phẳng ( ) chứa (d) nên mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 0; 2) và

) 2

; 1

; 2 ( )

C B A

B C A d

B C A d









 với điều kiện: 2A + B + 2C = 0”

Đây là một bài toán rất khó để học sinh có thể tìm ra được kết quả.Điều này gây ra cho học sinh nhiều khó khăn; gặp phải mâu thuẫn là đã tìm

ra được phương hướng để giải quyết nhưng lại không giải quyết được theophương hướng đó

Trong khi đó nếu học sinh huy động được các kiến thức về hình họctổng hợp để nắm được ý nghĩa hình học của bài toán thì lời giải bài toánkhá nhẹ nhàng:

Gọi H là hình chiếu của A lên

Gọi K là hình chiếu của A lên

Ví dụ 2: Trong hệ trục toạ độ trực chuẩn (Oxyz) cho hai đường

Khi gặp bài toán này thì học sinh giải ngay theo quy trình là:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d và điểm M0(1;0;-1)

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d' và điểm M0(1;0;-1).Khi đó đường thẳng vần dựng chính là giao tuyến của hai mặt phẳngtrên Tuy vậy đối với bài toán này thì đáp số là không tồn tại đường thẳngcần dựng Ta có thể kiểm tra điều mâu thuẫn trên bằng cách cho học sinhgiải bài toán trên như sau:

Có thể kiểm tra hai đường thẳng trên chéo nhau khi giải bài toán nàyhọc sinh thực hiện theo cách giải hình thức (cú pháp) với quy trình sau:

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua M0(1;0; 1) và d; đó là phươngtrình: x + z = 0

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua M0(1;0; 1) và d'; đó là phươngtrình: 2x + y - z - 3 = 0

D

C B

1.2.5 Một số phương thức phát hiện mâu thuẫn.

1.2.5.1 Phương thức 1: Phát hiện mâu thuẫn giữa tri thức phương

pháp đã có của học sinh không tương thích với phương pháp vận dungtrong trường hợp khái quát [26-tr15]

Mâu thuẫn này nảy sinh do các tri thức phương pháp vận dụng chocác trường hợp riêng không thuộc phạm vi của cái được tổng quát

Ví dụ Học sinh đã nắm được quy trình tính thể tích của hình chóp là:1

3

 (trong đó S là diện tích đáy, h là độ dài đường cao tương ứng).Khi học sinh nắm vững quy trình trên thì việc tính thể tích của tứ diện đềuABCD có cạnh là a trở nên đơn giản:

Ta có gọi H là chân đường cao

hạ từ đỉnh A của tứ diện, khi đó H là

tâm của tam giác đáy BCD Theo tính

chất của trọng tâm tam giác ta có

Bây giờ chúng ta mở rộng bài toán trên như sau:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết

Khi học sinh gặp bài toán trên thì các em không thể áp dụng trực tiếpquy trình tính thể tích của hình chóp đều để tính thể tích, khi đứng trước bàitoán này thì học sinh gặp phải mâu thuẫn trong nhận thức của học sinh vớiquy trình tính thể tích là: cần tính diện tích đáy và độ dài chiều cao Để giảiquyết mâu thuẫn này ta cần phân tích để áp dụng bài toán trên

Ta thấy tứ diện trên có ba góc ở đỉnh A bằng nhau và bằng 600 nên

ta nghĩ ngay tới việc tạo ra một tứ diện đề

Từ phân tích trên ta có cách giải bài toán trên như sau:

cạnh a Gọi I là trung điểm MN, H là

hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

B

M

N

I H A

C

D

1.2.5.2 Phương thức 2: Phát hiện mâu thuẫn từ nguyên nhân học

sinh không chú trọng đúng mức nắm vững cân đối giữa hai mặt cú pháp vàngữ nghĩa của các đối tượng trong quan hệ toán học [26-tr17]

Trong dạy học toán nếu chỉ coi trọng mặt cú pháp: các biểu thức hìnhthức mô tả các đối tượng, các quan hệ, các quy luật thì học sinh bị hạn chếphát triển năng lực vận dụng toán học; nếu coi trọng nghữ nghĩa: cấu trúcnội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật thì học sinh thiếu các kỹ nănggiải toán trên các biểu thức hình thức [26-tr17]

Ví dụ: Trong hệ trục toạ độ trực chuẩn (Oxyz) cho hai đường thẳng

Có thể kiểm tra hai đường thẳng trên chéo nhau khi giải bài toán nàyhọc sinh thực hiện theo cách giải hình thức (cú pháp) với quy trình sau:

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua M (1;0; 1)0  và d; đó là phươngtrình: x + z = 0

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua M0(1;0; 1) và d'; đó là phươngtrình: 2x + y - z - 3 = 0

được ngữ nghĩa nên không xác định được đường thẳng này không cắtđường thẳng d'.

Và học sinh gặp mâu thuẫn về nhận thức ngữ nghĩa của bài toán Cóthể khắc phục mâu thuẫn này dựa vào định hướng để học sinh làm sáng tỏđiểm M (1;0; 1)0  thuộc mặt phẳng (P) đi qua M (1;0; 1)0  và đường thẳng d

và (P)//d' Từ đó đường thẳng  không thể cắt đường thẳng d' Từ đó họcsinh kết luận bài toán trên vô nghiệm

Từ việc giải quyết mâu thuẫn trên có thể chính xác quy trình giảidạng toán trên như sau:

Bước 1: Kiểm tra điểm M có thuộc một trong hai mặt phẳng (P) và0(Q) lần lượt chứa d và d' đồng thời (P)//(Q) Nếu thuộc thì bài toán vônghiệm; nêu không thuộc thì xét tiếp:

Bước 2: - Lập phương trình mặt phẳng đi qua M và d0

- Lập phương trình mặt phẳng đi qua M và d'.0

Bước 3: Hệ hai phương trình xét trong bước 2 là nghiệm của bài

toán

1.2.5.3 Phương thức 3: Phát hiện các mâu thuẫn thông qua khảo sát

học sinh tương tác với các tình huống hình thành tri thức phương pháp mới

Ví dụ: Hình thành phương pháp tính khoảng cách từ một điểm tớimặt phẳng như sau

Sau khi học xong bài khoảng cách và thể tích thì có thể tạo tìnhhuống cho học sinh hoạt động, tìm toài lời giải ba bài toán sau:

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC Tam giác ABC đều có cạnh là a, cạnh

SA vuông góc với đáy ABC, mặt bên (SBC) nghiêng trên đáy một góc là

0

60 Hãy tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)

Bài 2 Cho hình chóp đều tam giác S.ABC, có cạnh đáy là a, cạnhbên nghiêng đều trên đáy một góc là 600 Háy tính khoảng cách từ S tớimặt phẳng (ABC)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

ASC 90 ,SA lập với đáy góc (00   90 )0 và mặt phẳng (SAC)

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Thông qua hoạt động tìm tòi phát hiện vấn đề của học sinh chothấy: Học sinh dễ dàng vận dụng tri thức đã có để tính khoảng cách từ S tớimặt phẳng (ABC) trong bàì toán 1 Trong bài này học sinh nhận ra ngay là

SA chính là khoảng cách cần tìm Khi học sinh hoạt động để tìm khoảngcách trong bài toán 2 thì học sinh đã gặp phải một mâu thuẫn giữa tri thức

đã có và tình huống mới; khi này SA không phải là khoảng cách cần tìm,khi này mâu thuẫn được giải quyết thông qua phân tích đầu đề bài toán làhình chóp đều nên SO ( với O là tâm của tam giác ABC) vuông góc với(ABC), từ đó học sinh thấy được khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳngSO

Khi bước vào bài toán 3 thì mâu thuẫn giống bài trên lại xuất hiện,nhưng việc phân tính đầu đề bài toán không giúp ta giải quyết được mâuthuẫn tạm thời là việc dựng đường thẳng qua A và vuông góc với mặtphẳng (SBC) là rất khó, khi này lại nảy sinh mâu thuẫn mới là liệu bài toánnày có tính khoảng cách trên một cách trực tiếp được hay không

Phân tích bài toán:

Khi đứng trước bài toán này đòi hỏi học sinh phải tập trung tư duy đểtìm ra hướng giải quyết vấn đề là tìm ra con đường tính khoảng cách từ mộtđiểm đến mặt phẳng thông qua công cụ khác

Việc dựng đường thẳng vuông góc từ A tới mặt phẳng (SBC) là rấtkhó khăn nên chúng ta hướng cho học sinh đi tìm công cụ khác để tínhkhoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)

Ta có thể hỏi học sinh như sau: Ngoài cách dựng đường thẳng vuônggóc như trên ta có cách nào để tính khoảng cách từ điểm A tới mặt (SBC)không?

Hi vọng trả lời: Chúng ta có thể áp dụng thể tích của hình chópS.ABC.

Để áp dụng phương pháp trên thì chúng ta cần làm gì? Chúng ta cầntính được thể tích của S.ABC và diện tích tam giác SBC Từ sự phân tíchnhư trên chúng ta có thêm được một phương pháp tính khoảng cách mới làthông qua thể tích, ta có lời giải như sau:

Vì (SAC)(ABC) nên gọi H là

hình chiếu của S trên cạnh AC thì



SH (ABC), hình chiếu của SA

trên mặt phẳng (ABCD)là AH nên

2Vậy khoảng cách cần tìm là.;

O H S

K

1.2.6 Mâu thuẫn biểu hiện trong dạy học giải quyết vẫn đề

Đặc trưng của dạy học giải quyết vấn đề là học tập thông qua cáctình huống học tập có vẫn đề Tình huống có vấn đề là tình huống:

a Tình huống có vấn đề là tình huống mà khi có mâu thuẫn khách quan của bài toán nhận thức được học sinh chấp nhận như một vấn đề học tập mà họ cần có thể giải quyết được, kết quả là họ nắm được tri thức mới Trong đó, vấn đề học tập là những tình huống về lí thuyết hay thực tiễn có chứa đựng mâu thuẫn biện chứng giữa cái (kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo) đã biết với cái phải tìm và mâu thuẫn này đòi hỏi phải được giải quyết

b Tình huống có vấn đề, đó là trở ngại về trí tuệ của con người, xuất hiện khi anh ta chưa biết cách giải thích hiện tượng sự kiện, quá trình của thực tế, khi chưa thể đạt tới mục đích bằng cách thức hành động quen thuộc Tình huống này kích thích con người tìm tòi cách giải thích hay hành động mới Tình huống có vấn đề là quy luật của hoạt động nhận thức sáng tạo, có hiệu quả Nó qui định sự khởi đầu của tư duy, hành động tư duy tích cực sẽ diễn ra trong quá trình nêu ra và giải quyết các vấn đề

c Tình huống có vấn đề là trạng thái tâm lí độc đáo của người gặp chướng ngại nhận thức, xuất hiện mâu thuẫn nội tâm, có nhu cầu giải quyếtmâu thuẫn đó, không phải bằng tái hiện hay bắt chước mà bằng tìm tòi sángtạo tích cực đầy hưng phấn, và khi tới đích thì lĩnh hội được kiến thức, phương pháp giành kiến thức và cả niềm vui sướng của phát hiện

d Như vậy có thể coi tình huống có vấn đề trong dạy học là trạng thái tâm lí đặc biệt của học sinh khi họ gặp mâu thuẫn khách quan của bài toán nhận thức giữa cái đã biết và cái phải tìm, tự họ chấp nhận và có nhu cầu, có khả năng giải quyết mâu thuẫn đó bằng tìm tòi, tích cực, sáng tạo, kết quả là họ nắm được cả kiến thức và phương pháp giành kiến thức

Những nghiên cứu về dạy học có vấn đề chỉ ra rằng: “Những hoàncảnh của sự tìm tòi tích cực, của sự tìm thấy và của sự suy nghĩ kĩ, những

tình trạng của sự nỗ lực trí tuệ, của sự đấu tranh với những mâu thuẫn màtrong đó người ta phải tự chọn lấy con đường, phải quyết định và phải đạidiện một quan điểm nhất định là mảnh đất cho sự phát triển những lựclượng nhận thức và những khả năng của học sinh” Dạy học phát hiện vàgiải quyết vấn đề dựa trên cơ sở mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trithức cũ và kinh nghiệm cũ, đòi hỏi học sinh phải tích cực tư duy để tìm tòitri thức mới, phương thức mới Học sinh phải tìm tòi để tự tìm cách giảiquyết những mâu thuẫn nảy sinh trong quá trình tìm lấy những con đường

và những phương pháp để giải quyết Những mâu thuẫn giữa biết và khôngbiết, giữa những tri thức lí thuyết và những kinh nghiệm riêng v v kíchthích hoạt động trí tuệ của học sinh đối với sự tìm tòi và chế biến các thôngtin

1.2.7 Mâu thuẫn biểu hiện trọng dạy học kiến tạo

Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh,

đó chính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của các em.Quá trình nhận thức của học sinh về cơ bản cũng giống như quá trình nhận

thức chung, tức là cũng diễn ra theo quy luật: “từ trực quan sinh động đến

tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” Tuy nhiên, nó

còn có những nét độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhà khoa họcbởi vì nó được tiến hành trong những điều kiện sư phạm và mục đích củaquá trình này là nhận thức cái mới cho bản thân từ hiểu biết chung của loàingười

Theo những nghiên cứu của J Piaget về cấu trúc của quá trình nhậnthức thì trí tuệ của học sinh không bao giờ trống rỗng và nhận thức của conngười ở bất cứ cấp độ nào cũng đều thực hiện các thao tác trí tuệ thông quahai hoạt động là đồng hoá và điều ứng các kiến thức và kỹ năng đã có đểphù hợp với môi trường học tập mới (môi trường chứa đựng những mâuthuẫn nhận thức) Đây chính là nền tảng của lý thuyết kiến tạo trong dạyhọc

Theo Mebrien và Brandt (1997) thì: “Kiến tạo là một cách tiếp cận

“Dạy” dựa trên nghiên cứu về việc “Học” với niềm tin rằng: tri thức được kiến tạo nên bởi mỗi cá nhân người học sẽ trở nên vững chắc hơn rất nhiều

so với việc nó được nhận từ người khác”

Theo Brooks (1993) thì: “Quan điểm về kiến tạo trong dạy học

khẳng định rằng học sinh cần phải tạo nên những hiểu biết về thế giới bằng cách tổng hợp những kinh nghiệm mới vào trong những cái mà họ đã

có trước đó Học sinh thiết lập nên những quy luật thông qua sự phản hồi trong mối quan hệ tương tác với những chủ thể và ý tưởng …”.

Vào năm 1999, M Briner đã viết: “Người học tạo nên kiến thức của

bản thân bằng cách điều khiển những ý tưởng và cách tiếp cận dựa trên những kiến thức và kinh nghiệm đã có, áp dụng chúng vào những tình huống mới, hợp thành tổng thể thống nhất giữa những kiến thức mới thu nhận được với những kiến thức đang tồn tại trong trí óc”.

Mặc dù có những cách diễn đạt khác nhau về kiến tạo trong dạy học,nhưng tất cả các cách nói trên đều nhấn mạnh đến vai trò chủ động củangười học trong quá trình học tập và cách thức người học thu nhận nhữngtri thức cho bản thân Theo những quan điểm này, học sinh không học bằngcách thu nhận một cách thụ động những tri thức do người khác truyền chomột cách áp đặt, mà bằng cách đặt mình vào trong một môi trường tích cực,phát hiện ra các mâu thuẫn giữa kiến thức, kinh nghiệm cũ không giảiquyết được trong trường hợp mới ( sơ đồ nhận thức đã có và tình huốngmới không tương hợp), phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề bằng nhữngkinh nghiệm đã có sao cho thích ứng với những tình huống mới, từ đó xâydựng nên những hiểu biết mới cho bản thân Do vậy, hoạt động học tậpphải lặp lại một phần đặc điểm cấu thành các hoạt động nghiên cứu khoahọc, điều này sẽ đảm bảo cho những kiến thức mà học sinh tạo nên cho bảnthân có ý nghĩa và hiệu quả hơn

1.3.Chướng ngại và sự biểu hiện của nó trong dạy học Toán.

1.3.1 Khái niệm chướng ngại.

Khái niệm về chướng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đềxuất trong cuốn " Sự hình thành trí tuệ khoa học"

Ta biết rằng mỗi khi có một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết

có thể cần hay không cần tổ chức lại của một lý thuyết hay những quanniệm về khái nịêm toán học có liên quan Từ đó nảy sinh ra hai khái niệm

đó là khó khăn và chướng ngại

Có khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xétlại những quan điểm lý thuyết hay những quan niệm hiện hành

Có chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã cấu trúclại những quan niệm hay thay đổi quan niệm lý thuyết.[9-tr326]

Trong dạy học toán cả hai khái niệm trên đều có mặt: liên quan đếnchuyển từ học toán bằng thực nghiệm, quy nạp không hoàn toàn sang suydiễn hình thức, từ hành động vật chất, vật chất hoá sang hành động ngônnghữ hình thức Từ đối tượng tĩnh lại sang đối tượng biến thiên, từ mặtphẳng lại sang không gian Chướng ngại thể hiện khá rõ nét trong quá trìnhphát triển hệ thống số, trong việc chuyển suy luận diễn dich với số học, đại

số, giải tích, lượng giác hình học sang suy luận hợp lý của xác suất thốngkê

Ta có thể phân biệt ba loại chướng ngại chính, khác nhau bởi nguồngốc

1 Chướng ngại tâm lý: Về mặt phát triển tâm lý không đồng đều,liên quan đến những giới hạn nhận thức của học sinh trong các thời kỳ của

sự phát triển Từ đó có sự phân biệt về tư duy toán học

2 Chướng ngại sư phạm: Liên quan đến sự chuyển hoá sư phạm củatri thức, phụ thuộc vào sự lựa chon dự án của trường học trong hệ thồnggiáo dục nhất định

Chướng ngại sự phạm là chướng ngại có thể tránh được, chướngngại này cần được quan tâm chú ý khi dạy học, bởi vì nó nảy sinh do nhữngbiện pháp sai lầm về mặt sư phạm nó có thể tránh được nếu ta thực hiệncác biện pháp sư phạm hợp lí.[33]

Ví dụ 1: Khi dạy học đẳng thức nếu thầy giáo chỉ đưa ra ví dụ về

đẳng thức đúng và nếu trong quá trình làm việc về sau, thầy cũng chỉ sửdụng thuật ngữ "đẳng thức " khi gặp đẳng thức đúng thì sẽ gây nên mộtquan niệm phiến diện về đẳng thức; quan niệm này sẽ trở thành mộtchướng ngại khiến học sinh cho rằng 3 = 5 + 2 hoặc x + 2 = x + 3 khôngphải là những đẳng thức

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

f x( ) 3x2  3x  3x2  3 ;x x0

Khi giải bài toán này theo phương pháp thông thường là tính đạohàm thì học sinh sẽ gặp các chướng ngại sau:

- Kỹ thuật tính toán đạo hàm f'(x) khá phức tạp

- Việc giải phương trình f'(x) = 0 khá khó

- Việc xét đấu của f'(x) trên miền (0;) quá phức tạp

3 Chướng ngại khoa học luận: Liên quan đến lịch sử phát triển củatri thức và sự phản hồi tích hợp tường minh trong tri thức truyền thụ

Chướng ngại khoa học luận còn được gọi là chướng ngại không thểtránh được Tuy không tránh được nhưng chúng có thể được xoá bỏ ởnhững thời điểm thích hợp bằng cách tổ chức cho người học hoạt độngtrong những tình huống thích hợp

Ví dụ: Do nhiều năm làm việc với hình học phẳng, học sinh đã khắc

sâu kiến thức: Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song vớinhau kiến thức này có thể trở thành chướng ngại khi học sinh bước vàohọc hình học không gian