Phát hiện về sai lầm và chướng ngại của học sinh THPT trong dạy học đại số và giải tích luận văn thạc sỹ giáo dục học

2.2 Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích……….... Quan đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cán bộ hớng dẫn TS NguyễnVăn Thuận đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoànthành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáotrong Ban Giám hiệu, khoa sau đại học, khoa Toán, bộ môn phơng pháp giảngdạy Toán của trờng Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ trong suốt thờigian học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các thầy, cô giáo bộ môn Toán của trờngTHPT Hồng Lĩnh – Thị xã Hồng Lĩnh- Hà Tĩnh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡtôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm s phạm của Luận văn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè

đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn này

Vì điều kiện thời gian có hạn cũng nh năng lực bản thân còn nhiều hạnchế nên luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết Tác giả rất mong nhận

đợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô giáo cùng bạn bè đồngnghiệp

Chơng 1 Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học phổ

thông khi giải toán Đại số và giải tích………

8

1.1 Cơ sở lí luận……… 81.2 Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

1.2.2.1 Chớng ngại liên quan đến các khái niệm Toán học; các

quan hệ của các khái niệm giữa các chơng mục khác

1.2.2.3 Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác các ứng dụng

toán ………

25

1.3 Một số kiểu sai lầm và các nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung

học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích ………

1.3.1 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài

toán ………

1.3.2 Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng…………

1.3.3 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn

1.3.7 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng ứng … ………… .

1.3.8 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình“chủ nghĩa hình

thức ”………

1.3.9 Sai lầm liên do suy diễn những mệnh đề không đúng

1.3.10 Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic

1.3.11 Sai lầm liên quan đến suy luận quy

3535

424849515256

58606264

65

66 67

Chơng 2 Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa

các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số

2.1 Một số định hớng s phạm của việc đề ra các quan điểm khắc phục

chớng ngại , phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh………

2.2 Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại,

phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông

khi giải toán Đại số và Giải tích………

2.1.1 Quan điểm 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và

huy động tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong quá trình giải

toán ………

2.1.2 Quan điểm 2: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện

kĩ năng toán học, cần quan tâm tập luyện cho học sinh những hoạt động

và hoạt động thành phần - mà khi giải Toán - học sinh thờng gặp những

chớng ngại, khó khăn, vớng mắc hoặc sai lầm trong việc thực hiện các

hoạt động này

2.1.3 Quan điểm 3: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời,

tính chính xác trong quá trình khắc phục chớng ngại, phát hiện và sửa

chữa sai lầm cho học sinh

75

90

2.1.4 Quan điểm 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới chớng

ngại và sai lầm để học sinh đợc thử thách với những tình huống

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm ……… 97

3.1 Mục đích thực nghiệm ……… 97

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm ……… 97

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm ……… 97

3.2.2 Nội dung thực nghiệm……… 97

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm……… 99

3.3.1 Đánh giá định tính……… 99

3.3.2 Đánh giá định lợng……… 100

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm……… 102

Kết luận……… 103

Tài liệu tham khảo 104

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng

Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạophải hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có nănglực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện

mục tiêu lớn của đất nớc” (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005,

và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”

Điều 24, Luật Giáo dục đã quy định: “chủ nghĩa hìnhPhơng pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, …;bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 ở trờng phổ thông, theo A A Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động

Toán học Đối với học sinh, có thêm xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán

ở trờng phổ thông Các bài toán là phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế

đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩnăng và kĩ xảo Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục

đích khác của dạy học Toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán cóvai trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán

Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông

có lúc, có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua năng lực giải toán của học sinh còn

hạn chế do học sinh còn gặp phải chớng ngại và mắc nhiều sai lầm T duy

sáng tạo và khả năng lĩnh hội tri thức mới của học sinh còn hạn chế biểu hiện

qua việc học sinh không vợt qua đợc các chớng ngại trong giải toán Mộttrong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên cha chú ý một cách đúngmức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trongcác giờ học toán, giáo viên cũng cha chú trọng nhiều đến việc phát hiện racác nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục các chớng ngại của họcsinh

1.3 Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề

sai lầm trong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học Khổng Tử đã

nói: “chủ nghĩa hìnhSai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trớc đó của mình”.Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “chủ nghĩa hìnhNếu tôi mắc sailầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi” Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vaitrò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy toán,chẳng hạn, G.Polia đã phát biểu: “chủ nghĩa hìnhCon ngời phải biết học ở những sai lầm vànhững thiếu sót của mình” [40, tr 204], còn A A Stôliar thì nhấn mạnh rằng:

“chủ nghĩa hìnhKhông đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của họcsinh”.Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “chủ nghĩa hìnhNăng lực bình thờng của học sinhtrung học đủ để các em nắm đợc Toán học trong nhà trờng phổ thông nếu có

sự hớng dẫn tốt của thầy giáo” Nh vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm

của học sinh trong giải toán là cần và có thể khắc phục đợc.

1.4 Một trong những biểu hiện năng lực giải toán của học sinh là khả

năng chuyển đổi bài toán Hoạt động chuyển đổi bài toán có vai trò “chủ nghĩa hìnhthen chốt” cho lời giải bài toán đó Chúng ta hiểu hoạt động chuyển đổi bài toán

hay nói rộng hơn là hoạt động biến đổi đối tợng là quá trình chủ thể dùnghành động trí tuệ, các thao tác t duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có đểxâm nhập vào đối tợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tợng,bao gồm các mối liên hệ, quan hệ trong đối tợng và kể cả hình thức của đối t-ợng Trong quá trình dạy học toán do sự phát triển tâm lý của học sinh hoặc

do sự phát triển lịch sử của khái niệm học sinh có thể gặp những chớng ngạikhông tránh đợc Tuy nhiên cũng có những chớng ngại nảy sinh do nhữngbiện pháp sai lầm về mặt s phạm Khắc phục những chớng ngại của học sinh

là một nhiệm vụ quan trong của giáo viên trong quá trình dạy học, khi vợt qua

đợc chớng ngại tức là học sinh đã lĩnh hội thêm đợc tri thức mới

1.5 Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm và chớng ngại của

học sinh trong giải toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới

Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán" (1996) Các nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng

Đức trong Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn toán (1992); Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) Tất cả các công trình nêu trên đều sắp xếp

sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức, sự hạn chế của nó lại là ởchỗ: số lợng chủ đề kiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại đểthành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể Luận

án Thạc sĩ của Nguyễn Hữu Hậu, 2006 chỉ đề cập đến các dạng sai lầm màcha có những phát hiện về các chớng ngại của học sinh khi giải toán Đại số

2 Mục đích nghiên cứu

Phân chia các dạng sai lầm phổ biến của học sinh, xác định các nguyênnhân dẫn đến sai lầm, góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm đó Làmsáng tỏ khái niệm chớng ngại và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán

Từ đó đề xuất các biện pháp khắc phục sai lầm và chớng ngại góp phần rènluyện năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Nếu phân chia và làm sáng tỏ đợc các dạng sai lầm và chớng ngại củahọc sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số & Giải tích, thì có thể đềxuất đợc các quan điểm để phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm v chà ch -ớng ngại nhằm nâng cao nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợngdạy học toán ở trờng phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

4.1 Trong giải toán Đại số và Giải tích, học sinh thờng mắc phải một số

kiểu sai lầm và chớng ngại phổ biến nào?

4.2 Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm và chớng ngại đó?

4.3 Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm và chớng ngại đã chỉ ra, cần

thực hiện những quan điểm nào?

4.4 Kết quả của Thực nghiệm s phạm là nh thế nào?

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phơng

pháp giảng dạy môn toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm

điểm tựa đề xuất các quan điểm hạn chế, sửa chữa sai lầm và chớng ngại củahọc sinh

5.2 Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, qua các tài liệu

để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm và chớng ngại của học sinh Trung họcphổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích

6 Những đóng góp của Luận văn

6.1 Luận văn đã làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm và chớng ngại của

học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích mà các tài liệukhác hoặc cha có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ Đặc biệt, khi đề

cập đến các sai lầm và chớng ngại, Luận văn đã chú trọng đến phơng diện hoạt động toán học

6.2 Luận văn đã phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến những sai lầm và

các chớng ngại đó

6.3 Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đa ra một

bức tranh toàn cảnh và tơng đối đầy đủ về những kiểu sai lầm và chớng ngạicủa học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

6.4 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán

Trung học phổ thông

7 Cấu trúc của luận văn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phơng pháp nghiên cứu

1.2.1 Khái niệm chớng ngại.

1.2.2 Chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại

số và Giải tích

1.2.2.1 Chớng ngại liên quan đến các khái niệm toán học; các quan

hệ của các khái niệm giữa các chơng mục khác nhau.

1.2.2.2 Chớng ngại do hiểu không tờng minh kiến thức toán học 1.2.2.3 Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác các ứng dụng khác nhau của kiến thức toán.

1.3 Một số kiểu sai lầm và nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung họcphổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích

1.3.1 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

1.3.2 Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng

1.3.3 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.3.4 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan

1.3.5 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm

1.3.6 Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện và phạm vi áp dụng định lí 1.3.7 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng ứng

1.3.8 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức“chủ nghĩa hình ”

1.3.9 Sai lầm liên quan đến suy diễn những mệnh đề không đúng 1.3.10 Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic

1.3.11 Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp

1.3.12 Sai lầm liên quan đến luận đề

1.3.13 Sai lầm liên quan đến trực giác trong giải bài tập về Đại số tổ hợp và xác suất

1.3.14 Sai lầm liên quan đến không hiểu bản chất của đối tợng.

Kết luận chơng 1

Chơng 2 Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích

2.1 Một số định hớng s phạm của việc đề ra các quan điểm khắc phụcchớng ngại, phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh

2.2 Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại,phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giảitoán Đại số và Giải tích

Kết luận Chơng 2

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức thực nghiệm

3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Đánh giá các kết quả thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chơng 1 Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học

phổ thông khi giải toán Đại số và giải tích

1.1 Cơ sở lí luận

Chúng ta biết rằng “chủ nghĩa hìnhDạy học Toán là dạy hoạt động Toán học” là mộtluận điểm cơ bản đã đợc mọi ngời thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu củahọc sinh là hoạt động giải bài tập toán Trong môn toán ở trờng phổ thông cónhiều tình huống điển hình, nhng có thể xem giải toán là hoạt động toán họcchủ yếu Đây là một luận điểm đúng đắn đã đợc mọi ngời thừa nhận

Theo Nguyễn Bá Kim: “chủ nghĩa hìnhPhơng pháp dạy học cần hớng vào tổ chức chongời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động

và sáng tạo” Định hớng này còn gọi là học tập trong hoạt động và bằng hoạt

động, hay còn gọi là: hoạt động hóa ngời học

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định Pháthiện những hoạt động trong một nội dung là vạch đợc một con đờng để ngờihọc chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục tiêu dạy học khác, cũng

đồng thời là cụ thể hóa đợc mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra một cáchkiểm tra xem mục tiêu dạy học có đạt đợc hay không và đạt đến mức độ nào.Cho nên điều căn bản của phơng pháp dạy học là khai thác những hoạt độngtiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt đợc mục tiêu dạy học Quan điểm này thểhiện rõ nét mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phơng pháp dạy học Nó

hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của Giáo dục học cho rằng con ngời phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động.

Trong Từ điển thì chớng ngại và khó khăn là hai từ đồng nghĩa Khi một

vấn đề mới đợc đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chứclại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học cóliên quan

Ta nói rằng có một khó khăn, nếu vấn đề đợc giải quyết mà không đòi

hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang xét hay của những quan niệmhiện hành

Ta nói có một chớng ngại nếu vấn đề chỉ đợc giải quyết sau khi ta cấu

trúc lại những quan niệm hay thay đổi lại quan niệm lí thuyết

Có ba kiểu chớng ngại tùy theo nguồn gốc Một số chớng ngại có thểtránh đợc, một số khác thì không:

- Chớng ngại về mặt phát triển cá thể liên hệ với phát triển tâm lí của đốitợng;

- Chớng ngại s phạm liên hệ với sự chuyển hóa s phạm của tri thức Đó làchớng ngại có thể tránh đợc bằng cách hành động trên những tình huống dạyhọc;

- Chớng ngại khoa học luận liên hệ với sự phát triển lịch sử của kháiniệm ở cấp độ ngời học, một chớng ngại loại này “chủ nghĩa hìnhlà thành tố” của kiến thứchiểu theo nghĩa ngời nào đã gặp nó và đã vợt qua thì có một kiến thức khác vớingời cha hề gặp nó [24, tr 139]

Xác định các chớng ngại, và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán

là việc làm hết sức cần thiết Vì nhờ đó, giáo viên có thể tìm các biện pháp sphạm thích hợp Để xác định chớng ngại, ta có các cách sau đây:

- Nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện chớng ngại màcác nhà Toán học đã gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó, chớngngại này thờng trở thành chớng ngại về nhận thức của học sinh khi học tập kháiniệm đó

- Nghiên cứu những sai lầm có cùng bản chất của đa số học sinh xungquanh khái niệm nào đó [4, tr 86]

Trong dạy học giáo viên cần làm nảy sinh những chớng ngại s phạm vàcần biết dự kiến, biết xây dựng những tình huống xóa bỏ những chớng ngạikhông tránh đợc

Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, chẳng hạn G Poliacho rằng: "Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [40,tr.204], A A Stoliar phát biểu: "Không đợc tiếc thời gian để phân tích trêngiờ học các sai lầm của học sinh" còn theo J A Komenxki thì: "Bất kì một sailầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ýngay đến sai lầm đó, và hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sailầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003)

Có nhiều quan điểm khác nhau đối với việc chỉ ra các sai lầm của họcsinh, chẳng hạn, R A Axanop cho rằng: “chủ nghĩa hìnhviệc tiếp thu tri thức một cách có ý

thức đợc kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội

dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của của các

sai lầm này và t duy, lí luận về bản chất của các sai lầm” (dẫn theo Lê ThốngNhất 1996), còn A A Stôliar khẳng định rằng: “chủ nghĩa hìnhCần có biện pháp nhằm dạyhọc môn toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện” Sai lầm và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán đợc nhìn từ nhiềugóc độ của các phơng pháp dạy học, chẳng hạn, nhìn từ góc độ các lí thuyết vềhọc:

• Thuyết Hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của học sinh là một hiện tợng

tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thìcần khắc phục Trong dạy học theo một số nhà giáo dục ngời Đức mà tiêu biểu

là Aphơgut Lai cho rằng: "việc chú ý tới các sai lầm của học sinh trong giờ học

có ảnh hởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng" Đặc biệt quan điểm này đề nghị không viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý

thức của học sinh (dẫn theo Lê Thống Nhất 1996) Còn nguyên nhân sai lầm ờng đợc cho là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học, do thiếuhụt kiến thức, do vô ý không cẩn trọng, Đôi khi lại quy cho giáo viên trìnhbày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ ràng

Xu hớng dạy học tơng thích với quan niệm này về sai lầm thờng đợc gọi

là “chủ nghĩa hìnhs phạm từng bớc nhỏ” Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức đợc phânthành các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến lợt nó lại đợc phân thànhcác mục tiêu con, để làm sao để cho học sinh có thể lĩnh hội kiến thức cầngiảng dạy bằng cách đi dần dần, lần lợt từ đơn giản đến phức tạp mà khôngphạm sai lầm nào Ngời ta tìm mọi cách để tránh sai lầm Còn nếu lỡ sai lầmxuất hiện, thì cách giải quyết thông thờng là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấpcác kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có đợc lời giải hay, câu trả lời đúng(phản xạ đáp lại nh mong đợi) Chẳng hạn, theo Lê Thống Nhất, nguyên nhânsai lầm của học sinh là do: không nắm vững các khái niệm, định lí, thiếu các

kiến thức về lôgíc Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lí; dự đoán và phòng tránh sai lầm, biết sử dụng các quy tắc suy luận,

• Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng: Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu

hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của kiến thức trớc đãtừng có hữu ích và đem lại thành công, nhng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản làkhông còn thích hợp nữa Trong hoạt động của giáo viên cũng nh của học sinh,

sai lầm bao giờ cũng cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnhhội đợc “chủ nghĩa hìnhSai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trớc đó)của học sinh, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để thay thế nóbằng kiến thức thích ứng hơn” (dẫn theo Lê Văn Tiến 2006)

Nh vậy, ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản khác của sai lầm (ThuyếtKiến tạo cũng xét đến một số nguồn gốc quan trọng khác nh do hạn chế củachủ thể (về tâm lí, về nhận thức, ) hay hậu quả của hợp đồng didactique, ),Thuyết Kiến tạo còn có một cái nhìn tích cực về nó Sai lầm thực sự đóng mộtvai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả củanhững chớng ngại hình thành từ kiến thức cũ Do đó, vấn đề không phải làphòng tránh sai lầm, mà là chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm và sửa

chữa nó nh thế nào Nh G Bachelard nhấn mạnh: cần phải tổ chức dạy học“chủ nghĩa hình

thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm” (dẫn theo Lê Văn

- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào

đợc học sinh vận dụng đã góp phần tạo ra sai lầm này?

- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trìnhhay quan niệm đó?

Một điểm khác biệt căn bản giữa Thuyết Hành vi và Thuyết Kiến tạo làcách thức sữa chữa sai lầm Trong khi Thuyết Hành vi nhấn mạnh vào việc

dạy lại và gia tăng luyện tập củng cố, do đó cần nhấn mạnh vai trò chủ đạo của giáo viên, thì Thuyết Kiến tạo chủ trơng sửa chữa sai lầm bằng cách đặt

học sinh vào những tình huống học tập gắn liền với sai lầm đó Tình huốngnhắm tới tạo ra ở học sinh những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận rakhông chỉ sai lầm mà chủ yếu là nhận ra các quy trình hay quan niệm mà họ

đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí Các tình huốngcũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm

cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn Nh vậy, Thuyết Kiến

tạo đặc biệt nhấn mạnh đến vai trò chủ động của chủ thể (ngời học) trong việc

sửa chữa sai lầm

Sai lầm và sửa chữa sai lầm nhìn từ phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề:

Phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đềtrong dạy học Khi học sinh mắc sai lầm là xuất hiện tình huống có vấn đề, cóthể do giáo viên tạo ra hoặc tự nó nảy sinh từ lôgíc bên trong của việc giải toán.Sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc

đẩy quá trình nhận thức của học sinh Sai lầm của học sinh làm nảy sinh nhucầu cho t duy mà theo X L Rubinstêin: “chủ nghĩa hìnhT duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng mộttình huống gợi vấn đề” [24, tr 151] Theo Nguyễn Anh Tuấn, thuộc nhóm nănglực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học toán có “chủ nghĩa hìnhNăng lực phát hiện và sửachữa sai lầm, nhợc điểm trong cách giải bài toán, trong quá trình tìm hiểu giớihạn cách giải quyết vấn đề và năng lực sửa chữa sai lầm” [53, tr 14]

Sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi đợc hoạt động học tập màhọc sinh sẽ đợc hớng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng.Tìm ra cái sai của mình đều là sự khám phá Từ sự khám phá này học sinhchiếm lĩnh đợc kiến thức một cách trọn vẹn hơn

Sai lầm nhìn từ góc độ Lý thuyết Tình huống: Sai lầm ở đây có thể hiểu

theo các chớng ngại của Lí thuyết Tình huống, ở đây chủ yếu chúng ta quantâm tới những chớng ngại mà học sinh có thể tránh đợc trong quá trình tìmkiếm tri thức Toán học nói chung và giải toán nói riêng

Các quan điểm nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm đã phân tích trên đềudựa trên quan điểm hoạt động của Nguyễn Bá Kim Do đó các nguyên tắc sửachữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơ học tập sửachữa các sai lầm Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cầnphải tham gia nh một chủ thể một cách tự nguyện, say mê hào hứng Tạo chohọc sinh có động cơ hoàn thiện tri thức Cần lấy hoạt động học tập của học sinh

để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức Hơn nữa các nguyên tắc phải tậptrung vào phát triển hoạt động, rèn luyện các kĩ năng học tập của học sinh

1.2 Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích

Từ việc phân tích các hoạt động nhận thức thể hiện trong lý thuyết dạyhọc; tiếp cận các hoạt động phát hiện; hoạt động để thích nghi trong tâm líhọc trí tuệ, các hoạt động tâm lí học liên tởng… Chúng tôi xác định nguồngốc chủ yếu của hoạt động nhận thức là các mâu thuẫn và các loại chớng ngạitrong dạy học toán Phát hiện các chớng ngại là động lực của hoạt động nhậnthức trong dạy học toán

1.2.1 Khái niệm chớng ngại

Khái niệm chớng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đa vàotrong cuốn “chủ nghĩa hìnhSự hình thành trí tuệ khoa học” Khi một vấn đề mới đợc đặt ra,việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự

điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có liên quan Ta nói cómột chớng ngại nếu vấn đề chỉ đợc giải quyết sau khi ta đã cấu trúc lại nhữngquan niệm hay thay đổi quan niệm lí thuyết Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thìkhái niệm chớng ngại đợc chia thành hai dạng đó là chớng ngại s phạm và ch-ớng ngại không tránh đợc

- Chớng ngại không tránh đợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của

đối tợng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm

Mức độ kiến thức giảng dạy cho học sinh ở mỗi lớp, mỗi cấp họcphải phù hợp với tâm lí của ngời học Do sự phát triển của tâm lí có thể tạonên các chớng ngại khi ngời học tiếp cận tri thức mới Giáo viên phải tạo nênnhững hoạt động phù hợp với mức độ nhận thức của học sinh để từng bớc xoá

bỏ các chớng ngại mà học sinh gặp phải

Tri thức phổ thông đợc xây dựng theo đờng xoáy ốc tức là tri thứcngày càng đợc nâng cao Mặt khác việc truyền thụ tri thức cũng phải phù hợpvới sự phát triển tâm lí của ngời học nên ở mỗi lớp học, mỗi cấp học thì cáckhái niệm đợc đa vào chơng trình giảng dạy theo từng mức độ Do đó sẽ có sựphát triển của lịch sử khái niệm điều này sẽ tạo ra các chớng ngại không thểtránh đợc Vì vậy giáo viên phải xây dựng đợc một hệ thống các tình huống,kết hợp với việc lựa chọn thời điểm thích hợp để tổ chức cho ngời học tiếnhành các hoạt động nhằm xoá bỏ những chớng ngại mà họ gặp phải

Ví dụ 1 Chúng ta xem xét sự phát triển của khái niệm tập hợp số Cấp

Tiểu học và Trung học cơ sở học sinh học về tập số tự nhiên, tập số nguyên,tập số hữu tỷ và tập số thực Đối với học sinh tập số thực là tập số lớn nhất

cho đến cuối chơng trình giải tích lớp 12 học sinh đợc giới thiệu và bớc đầunghiên cứu về tập số phức.

Xét trên tập số thực thì các phơng trình bậc hai có   0 đều vônghiệm Khi học đến tập số phức thì kiến thức trên có thể trở thành chớng ngạicho học sinh Làm thế nào để học sinh chấp nhận tri thức i 2 1 Chúng tôixây dựng một tình hống nhằm xoá bỏ chớng ngại này cho học sinh khi bắt đầutiếp cận với số phức

Hoạt động 1 Giới thiệu cách giải phơng trình bậc 3 của nhà toán học

0 27

cậy là rất lớn Vậy tình huống vô lí“chủ nghĩa hình ” trên nguyên nhân do đâu? Phải chăng

chúng ta hãy thử chấp nhận xem phơng trình (2) có nghiệm, tức là “chủ nghĩa hìnhtạm chấp nhận” tồn tại căn bậc hai của các số âm, khi đó (2) có nghiệm t  1 Ta

suy ra

3

3

1 1

u v

u v

Hoạt động 3 Chúng ta chấp nhận sự có mặt số“chủ nghĩa hình ”  1, tức là chấp

nhận sự tồn tại số“chủ nghĩa hình ” i sao cho 2

1

i  Vì tính chất “chủ nghĩa hìnhbí hiểm” của số i nên i

đ-ợc gọi là đơn vị ảo Các số có dạng a + bi a b R;   gọi là các số phức

Ví dụ 2 ở lớp 9 học sinh hiểu tiếp tuyến của của một đờng tròn là

một đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn đó Kiến thức này có thểtrở thành một chớng ngại khi học sinh học về tiếp tuyến của một đờng congnói chung

Hoạt động 1 Trớc khi đa ra định nghĩa về tiếp tuyến của một đờng

cong bất kì yêu cầu học sinh vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị các hàm số

 C :yf x( ) x x 3 4 ,  d y1 :  1,d2 :y 1 Nêu nhận xét về số giao điểm củacác đờng thẳng d d1, 2 với đồ thì (C)

Trong suy nghĩ của học sinh thì tiếp tuyến của đờng cong cũng “chủ nghĩa

hìnht-ơng tự” nh tiếp tuyến của đờng tròn, nghĩa là giữa đờng thẳng d và đờng cong(C) chỉ có một điểm chung Nhng sau khi quan sát hình vẽ trên học sinh sẽthấy xuất hiện mâu thuẫn giữa khái niệm tiếp tuyến của đờng tròn với kháiniệm tiếp tuyến của đờng cong bất kì

Hoạt động 2 Bây giờ chúng ta hãy viết phơng trình tiếp tuyến của

đ-ờng tròn x2 y2  25 tại điểm M0(3 ; 4)

Học sinh tiến hành hoạt động và nêu kết quả Tiếp tuyến của đờng tròn

32

Hoạt động 3 Ta có: x2 y2  25  y 25  x2 , ta xem nửa đờng

tròn phía trên trục Ox là đồ thị hàm số yf x   25  x2 (C) Với mỗi điểm

M

f x f y

y x Thật bất ngờ đây chính là phơng trình tiếp

tuyến của đờng tròn x2 y2  25 tại điểm M0(3 ; 4) Đờng thẳng M0T gọi là vị“chủ nghĩa hình

trí giới hạn”của cát tuyến M0M khi điểm M chạy dọc theo đờng cong (C) dần

đến điểm M0

Hoạt động 4 Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đờng cong bất kì.

“chủ nghĩa hìnhNếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) vàdần đến điểm M0 thì đờng thẳng M0T đợc gọi là tiếp tuyến của đờng cong (C)tại M0” Nh vậy đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm

M0M

4y

 

0 0 ; 0

M x y khi và chỉ khi hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 Chớng ngạitrên đã đợc xoá bỏ đồng thời đã hình thành cho học sinh khái niệm tiếp tuyếncủa đờng cong tại một điểm không dựa vào số điểm chung của hai đờng màphụ thuộc vào việc đạo hàm của hàm số có tồn tại hay không tại hoành độ củatiếp điểm

- Chớng ngại s phạm liên hệ với sự chuyển hoá s phạm của tri thức.

Đây là một kiểu chớng ngại cần đợc đặc biệt chú ý, bởi vì nó nảy sinh

do những biện pháp sai lầm về mặt s phạm Nó có thể tránh đợc nếu ta thựchiện những biện pháp s phạm hợp lí Kiểu chớng ngại này còn đợc gọi là ch-ớng ngại tránh đợc

Ví dụ 3 Khi dạy khái niệm đẳng thức, nếu thầy giáo chỉ đa ra những ví

dụ về đẳng thức đúng và nếu trong quá trình làm việc về sau, thầy cũng chỉdùng thuật ngữ “chủ nghĩa hìnhđẳng thức” khi gặp những đẳng thức đúng thì sẽ gây nên mộtquan niệm phiếm diện về đẳng thức; quan niệm này sẽ trở thành một chớngngại khiến học sinh cho rằng 3 = 5 + 2 hoặc x + 2 = x + 3 không phải lànhững đẳng thức

Ví dụ 4 Khi dạy về khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến nếu thầy

giáo chỉ quan tâm đến các bài toán xét chiều biến thiên của hàm số hay là bàitoán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng ; mà không quan tâmkhai thác các ứng dụng của hàm số đơn điệu thì sẽ gây nên các chớng ngạicho học sinh khi giải phơng trình, bất phơng trình hoặc chứng minh bất đẳngthức…

1.2.2 Chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

Đại số và Giải tích

Chúng tôi quan niệm rằng Ch“chủ nghĩa hình ớng ngại khi giải bài tập toán là những khó khăn rào cản về phơng diện nhận thức của học sinh bộc lộ khả năng chuyển đổi và cấu trúc lại bài toán trong tiến trình tìm tòi phát hiện lời giải”.

Chớng ngại mà học sinh thờng gặp khi giải bài tập toán thuộc dạng chớngngại s phạm Do tác động s phạm của giáo viên trong quá trình dạy học dẫn

đến những chớng ngại của học sinh khi giải bài tập toán nh sau:

1.2.2.1 Chớng ngại liên quan đến các khái niệm toán học; các quan

hệ của các khái niệm giữa các chơng mục khác nhau

Học sinh nắm không vững các khái niệm toán học các mối quan hệ giữacác khái niệm và đặc biệt là khả năng vận dụng các khái niệm một cách linhhoạt vào các tình huống không thuộc phạm vi bài học, chơng mục và giữa cácnghành học khác nhau Dẫn đến việc học sinh gặp phải chớng ngại khi tìm tòilời giải bài tập toán

Ví dụ 1 Tìm số hạng lớn nhất trong dãy số  un với

đạo hàm trên một miền nào đó Chính vì không hiểu rõ khái niệm dãy số nênhọc sinh không nhận thấy đợc mối liên hệ khái niệm dãy số và khái niệm hàm

số Giáo viên cần phân tích rõ để học sinh nhận thức đợc chúng ta có thể sửdụng khái niệm hàm số để giải bài toán trên

Xét hàm số      

1 x

y f x x , x R, x 0 Hàm số xác định, liên tục trênkhoảng 0; và y > 0 nên

y f x x trên 0;

Từ bảng biến thiên ta thấy u1 u2 u3 u4  un  Do đó số

hạng lớn nhất trong dãy số  un là 3

3

Giáo viên cần nhấn mạnh để hình thành tri thức phơng pháp cho học

sinh Chúng ta có thể sử dụng “chủ nghĩa hìnhPhơng pháp liên tục hoá” để giải các bài toán

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức có biến rời rạc

Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đơng nhiên không cần

sử dụng hết mọi kiến thức mà ngời giải đã thu thập, tích luỹ đợc từ trớc Cần

sử dụng đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào vànhững kiến thức, mối liên hệ đó giúp chủ thể giải quyết đợc bài toán đặt rakhông, điều này còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của ngời giải toán.Những tri thức đã tích luỹ đợc trong trí nhớ của ngời giải toán, giờ đây rút ra

và vận dụng một cách thích hợp Việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nh vậygọi là sự huy động tri thức

Để giải một bài toán thì cần phải huy động nhiều kiến thức liên quan,những kiến thức này có thể thuộc bài học nhng cũng có thể vợt ra khỏi phạm

vi của bài học Khả năng liên tởng và vận dụng các kiến thức toán học liênquan đến bài toán của học sinh còn nhiều hạn chế Nhiều khi học sinh chỉ biếtvận dụng những kiến thức thuộc bài học mà không hề biết khai thác các kiếnthức thuộc bài học khác, thuộc chơng khác thậm chí là bộ môn khác

Chớng ngại này là do giáo viên cha quan tâm đúng mức đến việc khaithác mối liên hệ của các khái niệm giữa các môn học Học sinh chỉ nhìn thấy

điều kiện để hai đờng cắt nhau là phơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm

mà quên đi điều kiện về hệ số góc của hai đờng thẳng Học sinh không biếtrằng chỉ cần chuyển bài toán thành tìm k sao cho phơng trình f’(x) = k vô

nghiệm là đợc Dễ thấy

Để khắc phục chớng ngại trên chúng ta có thể điều khiển định hớng chohọc sinh nhận thấy phơng trình trên là một phơng trình bậc hai của hàm số

y = sinx Do đó nếu ta đặt ẩn phụ t = sinx với t 1 thì phơng trình trở thànhmột phơng trình đại số bậc hai ẩn t: 2   2

t   y t y y 

Ta có   1 siny2 4 sin 2 y siny 1 3 sin y 12 0. Phơng trình có

nghiệm khi 0 sin 1 0

2

ta tìm đợc sinx = 1.Vậy nghiệm của phơng trình là: ,

2

x y  k k Z

1.2.2.2 Chớng ngại do hiểu không tờng minh kiến thức toán học

Toán học là một môn khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rấtcao Mọi kiến thức toán học đều đợc xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõràng Tri thức trớc chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trớc,tất cả nh những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ Một kiến thứctoán học mới hay một bài tập toán đợc đa ra thì nó luôn nằm trong hệ thốngtoán học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra một cách độc lập mà cónhững cơ sở nhất định liên quan đến những kiến thức đã có trớc đó Để giảiquyết đợc vấn đề đặt ra chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ,những cái đã biết trớc đó Học sinh có thể nhầm lẫn giữa khái niệm này vớikhái niệm khác, cũng có thể học sinh không hiểu yêu cầu của bài toán do họkhông nhớ các khái niệm liên quan Một thiếu sót phổ biến của học sinh khivận dụng các định lý, các quy tắc là họ không nhớ hết các điều kiện vàphạm vi áp dụng định lý

Học sinh suy ra điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 là f’(0+) =f’(0)  1 ab b Đến đây học sinh gặp khó khăn trong việc giải tìm a và b.Giáo viên cần phân tích cho học sinh nhận thấy rằng điều kiện để hàm số có

đạo hàm tại điểm x = 0 khi và chỉ khi  

điểm đó

Với yêu cầu trên học sinh rất khó khăn vì không biết chuyển đổi bàitoán nh thế nào, không lập đợc mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.Trong bài toán trên có nhiều khái niệm mà học sinh không hiểu hoặc hiểukhông tờng minh Khái niệm họ đồ thị của họ hàm số; khái niệm đồ thị đi quamột điểm; học sinh có thể nhầm lẫn giữa kiến thức về điểm cố định mà họ đồthị luôn đi qua với kiến thức có duy nhất một đồ thị đi qua một điểm

Thầy giáo cần định hớng cho học sinh hiểu rằng thực chất thì bài toán đợcchuyển về tìm điểm M(x0; y0) sao cho phơng trình theo ẩn m sau đây có duy

0 0

d : y1   ; x 2 d : y2  x 6

1.2.2.3 Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác các ứng dụng khác nhau của kiến thức toán

Trong nội bộ môn Toán các kiến thức Toán học, các chơng mục, cácmôn học đều có mối liên hệ chằng chịt với nhau Trong khi đó giáo viên chỉkhai thác trang bị một phần nào đó kiến thức về các mối liên hệ nói trên, khigặp những tình huống vận dụng kiến thức hoặc tìm tòi các kiến thức mới nảysinh chớng ngại nhận thức ở học sinh thể hiện qua những khó khăn huy độngkiến thức để giải quyết vấn đề.

Ví dụ 6 Khi dạy về định lí về dấu của tam thức bậc hai giáo viên mới

chỉ quan tâm khai thác ứng dụng của định lí vào bài toán xét dấu tam thức bậchai mà cha xây dựng các tình huống vận dụng định lí vào các dạng toán khác

Điều này dẫn tới những bế tắc, những chớng ngại cho học sinh khi tìm tòi lờigiải các bài tập Toán Chúng ta xét bài toán chứng minh bất đẳng thứcBunhiacopsky (Bất đẳng thức Côsi – Svacxơ)

Với hai bộ n số a a1 , , , 2 a n , b b1 , , , 2 b n ta luôn có

- Bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng nếu hoặc a12a22 a n2  0 hoặc

nh thi học sinh giỏi các cấp

Ví dụ 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

f x  x2  3x  3 x2  3x 3 ; x > 0

Khi giải bài toán này học sinh gặp các chớng ngại chủ yếu sau:

- Kĩ thuật tính toán bằng đạo hàm f’(x), giải phơng trình f’(x) = 0; xét dấu củaf’(x) trên miền 0; 

- Học sinh không đợc rèn luyện những kiến thức phơng pháp để giải bài toánnày trong những chơng mục khác của môn Toán

Để khác phục những chớng ngại trên có thể hớng dẫn học sinh biến đổicấu trúc lại biểu thức f(x) về dạng:

≥ AB, mà AB = 6 Nên f x   6 dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn AB

Vậy minf(x) = 6 khi 



2 3x

Chúng ta thấy rằng nếu khi học hình học giải tích trong mặt phẳng

ch-ơng trình lớp 10 học sinh đợc giáo viên trang bị tri thức phch-ơng pháp về cácứng dụng khác nhau của vectơ và toạ độ thì họ có thể tránh đợc những chớngngại nêu trên Khi chúng ta xoá bỏ đợc chớng ngại này cho học sinh nghĩa là

đã giúp học sinh lĩnh hội đợc một tri thức phơng pháp mới mà trớc đó học sinh

có thể không nhận thức đợc Đó là “chủ nghĩa hìnhVận dụng phơng pháp véctơ và toạ độ vào giải toán”

Ví dụ 8 Khi dạy học khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến giáo

viên cần định hớng cho học sinh khai thác các ứng dụng tính chất đơn điệucủa hàm số vào giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và chứngminh bất đẳng thức…Điều này giúp học sinh tích luỹ đợc thêm tri thức phơngpháp để vận dụng vào giải toán Chúng ta xét bài toán sau:

Giải phơng trình: 2 x 1 ln x 1      x2 2x

Khi gặp bài toán này không ít học sinh bế tắc bởi trong phơng trìnhxuất hiện hai loại hàm số khác nhau nên rất khó thực hiện biến đổi tơng đơng.Phần lớn học sinh thờng chỉ vận dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng để giảiphơng trình, bất phơng trình mà không linh hoạt trong việc lựa chọn cách giải Giáo viên có thể định hớng cho học sinh vận dụng tính chất hàm số đơn

điệu: “chủ nghĩa hìnhNếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a ; b) , x0a;b và

đại tại x = 0 cũng là giá trị lớn nhất Bởi vậy ta có

f ' x  2 ln x 1    x f ' 0     0 x  1;

Từ đó suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên 1; Do đó x = 0 lànghiệm duy nhất của phơng trình

Giáo viên cần phải nhấn mạnh để hình thành cho học sinh tri thức

ph-ơng pháp “chủ nghĩa hìnhVận dụng tính chất đơn điệu của hàm số vào giải toán” Nh vậy khi

học sinh vợt qua đợc chớng ngại thì họ sẽ lĩnh hội đợc tri thức mới mà trớc đó

họ cha hề biết đến

T duy thiếu linh hoạt thể hiện trong việc thực hiện chuyển đổi bài toán

một cách rập khuôn máy móc theo một số cách giải mà học sinh đã biết; điềunày có thể sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn ở trờng phổ thông, khôngphải lúc nào ta cũng tìm đợc các phơng pháp có tính chất thuật toán để giảiquyết các vấn đề Chẳng hạn, ta không thể có đợc thuật toán giải các phơngtrình lợng giác phức tạp (không thuộc các loại phơng trình cơ bản đã học) Khi

đó cần nắm đợc một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên "có lý" để có thể chophép tìm đợc lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tởng và lời khuyên này có thểgợi ra những ý tởng, những định hớng hợp lý cho việc tìm kiếm lời giải

Ví dụ 9 CMR PT ( x  a )( x  b )  ( x  b )( x  c )  ( x  c )( x  a )  0 luôn cónghiệm với a, b, c là các số thực phân biệt

Nếu học sinh tính biệt thức  thì rất khó mà chứng minh   0 Giáoviên cần phân tích để học sinh nhận thức đợc một số điều kiện để phơng trìnhbậc hai có nghiệm, chẳng hạn:   ; 0 ac  0 ; af    0

Đặt f(x) là vế trái của phơng trình, thì f(x) là tam thức bậc hai có hệ sốbậc hai là 3 Ta cần xác định số  sao cho 3.f  0 ; việc xác định số thích hợp chúng ta có thể thay một số giá trị x đặc biệt để dự đoán:

x = 0  f(0) = ab + bc + ca, x = a  f(a) = (a  b)(a  c),

x = b  f(b) = (b  a)(b  c), x = c  f(c) = (c  a)(c  b)

Vai trò của các số a, b, c nh nhau và chúng phân biệt nên ta có thể giả

sử có sự sắp xếp a < b < c Khi đó ta có f(b) = (b  c)(b  a) < 0  3.f(b) < 0.Vậy số  cần chọn là  = b và bài toán đợc chứng minh

Trong trờng hợp trên ta nói rằng đã vận dụng phơng pháp có tính chấttìm đoán Ngay cả trong trờng hợp một dạng toán có thuật giải nhng cha đợckhám phá thì việc tìm kiếm này cũng thờng phải vận dụng phơng pháp tìm

đoán Dự đoán là "đoán trớc tình hình, sự việc nào có thể xảy ra" (Từ điển

Tiếng Việt)

Trong quá trình hình thành và phát triển của Toán học, rất nhiều các trithức đã đợc tìm ra theo con đờng dự đoán, lập giả thuyết rồi sau đó mới đợcchứng minh Nhà s phạm G Pôlya đã phát biểu: "Toán học đợc coi nh là mônkhoa học chứng minh Tuy nhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó Toánhọc hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứngminh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh Nhng Toán học trong quá trìnhhình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hìnhthành Bạn phải dự đoán một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó.Bạn phải dự đoán về cách giải một bài toán trớc khi bạn tiến hành giải chúng.

Thực tế dạy học hiện nay cho thấy rằng, không ít các giáo viên đã tiếnhành giảng dạy mà không đặt ra những tình huống để học sinh dự đoán Lý dophần nhiều đợc cho là nếu để cho học sinh dự đoán sẽ tốn nhiều thời gian củatiết học, ảnh hởng đến khối lợng tri thức cần truyền thụ Thực ra, cho học sinh

dự đoán, tự tìm tòi, mò mẫm khám phá tri thức có thể mất nhiều thời gian nh

-ng sẽ rất có ích cho việc phát triển t duy độc lập của học sinh cũ-ng nh bản lĩnhcủa học sinh trong những tình huống cha biết cách giải trong Toán học cũng

nh trong cuộc sống

Ví dụ 10 Học sinh thờng đợc biết thuật toán để giải hệ phơng trình hai

ẩn đối xứng loại 1 là đặt ẩn phụ S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P), nhng khi gặp bàitoán giải hệ phơng trình

5 xy 1 1 y x

2 2 2

thì việc dùng thuật toán trên không thể thực hiện đợc Trong trờng hợp này,giáo viên có thể hớng dẫn học sinh tìm con đờng khác để giải quyết bài toán.Nếu khai triển các biểu thức, hệ đợc viết dới dạng

5 y 1 y x 1 x

2 2 2

Đặt

x

1x

a   ,

y

1 y

b   đa về hệ đơn giản hơn rất nhiều Giải hệ này

tìm a, b sau đó tính đợc x, y Qua đây cũng hình thành cho học sinh “chủ nghĩa hìnhPhơng pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phơng trình”

Ví dụ 11 Tìm a để phơng trình

4  3 2      2 

x 10x 2x (a 11) 2(5a 6)x 2a a 0 có nghiệm

Học sinh khó khăn không giải đợc dạng toán này vì phơng trình bậcbốn tổng quát đối với họ là không có thuật giải mà chỉ phơng trình bậc bốntrùng phơng mới giải đợc Khi đợc giáo viên gợi ý nhận xét về tham số có bậc

2 và có thể xem phơng trình trên là phơng trình bậc hai đối với ẩn a và tạmxem x là tham số thì ta đợc phơng trình:

a  2a x  5x 1 (x  10x 22x 12x)0

2 2

Cách giải trên có đợc chính là nhờ cách nhìn linh hoạt, không hình thức, nhìn

rõ đúng bản chất từng vai trò của mỗi kí hiệu trong phơng trình

Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, việc lựa chọn cách giải phù hợp

đối với mỗi bài toán là hết sức quan trọng Nếu lựa chọn sai phơng pháp giảihọc sinh sẽ rơi vào bế tắc và gặp khó khăn trong quá trình giải bài toán đó Cóthể ví von rằng nếu lựa chọn sai cách giải cũng giống nh đi lạc giữa rừng rậm,

đi mãi mà không biết có tìm đợc lối ra hay không Giáo viên hình thành tri

thức phơng pháp: “chủ nghĩa hình Vận dụng phơng pháp tráo đổi vai trò ẩn và tham số” cho

học sinh

Ví dụ 12 Giải phơng trình: 4x3 3x 1 x2

Đây là một dạng phơng trình chứa căn thức khá quen thuộc, tuy nhiênhọc sinh lại có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn cách giải phù hợp với bàitoán trên Học sinh có thể gặp các chớng ngại sau:

- Nếu bình phơng hai vế thì sẽ thu đợc phơng trình bậc 6 không có dạng đặcbiệt nên việc giải phơng trình bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng sẽ gặp khókhăn

- Có thể đánh giá VP 1 x2 1 nhng lại không đánh giá đợc vế trái

Ph-ơng pháp đánh giá cũng khó vận dụng trong trờng hợp này

- Nếu xét các hàm số y4x3 3x và y  1 x2 chúng ta nhận thấy rằng

các hàm số này không đơn điệu trên khoảng xác định của phơng trình Hơnnữa chúng ta cũng không nhẩm đợc nghiệm của phơng trình, do đó phơngpháp hàm số cũng không áp dụng đợc cho bài toán này

Chúng ta nhận thấy rằng học sinh có thể gặp phải những khó khăn khi tìmkiếm cách giải cho bài toán Tìm phơng pháp giải cho phơng trình này là mộtchớng ngại của học sinh Chúng ta có thể định hớng cho học sinh nhận thấy đ-

ợc biểu thức 4x3 3x “chủ nghĩa hìnhtơng tự” nh biểu thức 4cos3 x 3cosx và điều kiện

xác định của phơng trình là x   1;1 Do đó chúng ta nên vận dụng phơngpháp lợng giác hoá bằng phép đặt ẩn phụ: xcost với t0; Khi đó ph-

hoá một bài toán đại số gọi là phơng pháp “chủ nghĩa hìnhLợng giác hoá”, có thể cho ta bài

toán mới đơn giản hơn do có thể sử dụng đợc các biến đổi, đánh giá lợng giácvốn rất phong phú

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tởng có nghĩa là : “chủ nghĩa hìnhNhân sự vật, hiện

t-ợng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tt-ợng khác liên quan”

Vai trò của liên tởng trong quá trình t duy là rất quan trọng Một ngời

có t duy tốt là ngời đó có t duy đúng đắn và có hiệu quả, biết thực hiện nhữngliên tởng khái quát, những liên tởng phù hợp với các vấn đề cần giải quyết.K.K.Plantônôv xem t duy nh là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếpnhau, mà hai trong các giai đoạn đó là: xuất hiện các liên tởng, sàng lọc cácliên tởng và hình thành giả thuyết Trong dạy học, đặc biệt trong hoạt động tduy khi giải toán, liên tởng có vai trò rất quan trọng Đứng trớc một bài toán

cụ thể, nếu liên tởng đợc nhiều những kiến thức từ các định nghĩa, định lý, cácbài toán cùng dạng đã biết cách giải… thì việc giải quyết đó sẽ dễ dàng hơn

Trong quá trình giải một bài toán , lẽ đơng nhiên là không cần huy động

đến mọi kiến thức mà ngời giải đã thu thập, tích luỹ đợc từ trớc Sức liên tởng

và huy động phụ thuộc vào khả năng tích luỹ kiến thức và phụ thuộc vào sựnhảy cảm trong khâu phát hiện vấn đề

Ví dụ 13 Chứng minh rằng: Với 0 < a < b thì b a lnb  b a

Với bài toán này, nếu để nguyên không biến đổi gì thì khó mà nghĩ tới

đợc sử dụng kiến thức gì Tuy nhiên, giả sử ta yêu cầu học sinh hãy biến đổi

ăn khớp với bài toán, đó là f(x) = lnx trên đoạn a;b (đây chính là sự thiết

lập tơng quan hàm) Trên đoạn này hàm số liên tục và có đạo hàm Khi đó

1.3.1 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

Một trong những biểu hiện năng lực giải Toán của học sinh là khả

năng chuyển đổi bài toán Hoạt động chuyển đổi bài toán có vai trò “chủ nghĩa hìnhthen chốt” cho lời giải bài Toán đó Chúng ta hiểu hoạt động chuyển đổi bài toán

hay nói rộng hơn là hoạt động biến đổi đối tợng là quá trình chủ thể dùnghành động trí tuệ, các thao tác t duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có đểxâm nhập vào đối tợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tợng,bao gồm các mối liên hệ, quan hệ trong đối tợng và kể cả hình thức của đối t-ợng Tuy nhiên thực tế cho thấy học sinh thờng mắc sai lầm ngay khi thựchiện hoạt động chuyển đổi bài toán Có nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầmnh: do đặt điều kiện của ẩn phụ, do không nắm vững các phép biến đổi tơng đ-

ơng, do chuyển đổi sai đối tợng toán học

1.3.1.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ

Khi đặt ẩn phụ thờng lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng,phơng trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình g(t) = 0 có nghiệm,trong đó g(t) là biểu thức thu đợc từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ

t(x) nào đó Nói cách khác, nếu phơng trình xuất phát có dạng f[g(x)] = 0thì học sinh thờng đặt t = g(x) để đa về phơng trình f(t) = 0, và quan niệmrằng, phơng trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = 0 có nghiệm Học sinh cũng có thể đặt sai điều kiện của ẩn phụ dẫn đến việc chuyển

đổi sai bài toán Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhng điều kiện quáhẹp hoặc quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = (x) để đa phơng trình về ẩn t,tuy nhiên học sinh chỉ đa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là

(!): Nếu (1) có nghiệm đối với ẩn x thì đơng nhiên (2) phải có nghiệm



t 0 Tuy nhiên với điều kiện t ≥ 0 cha đảm bảo sẽ tồn tại x để

 4  

t x 4x 5 Học sinh đã chuyển đổi sai bài toán do xác định sai điều

kiện của ẩn phụ Đối với bài toán này chúng ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ

từ việc tìm tập giá trị của hàm số y  f(x)  x4  4x  5 Ta thấy rằng

Từ bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của ẩn phụ là: t  2

Với điều kiện t  2 phơng trình  

2 5 2

1

t

m t



 Do đó phơng trình (1) cónghiệm khi và chỉ khi đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

2 5 ( )

x

f’

f

-10

+-

++

2

phụ dẫn tới chuyển đổi sai bài toán Chẳng hạn nh bài toán trên học sinh cóthể mắc sai lầm nh sau:

3 2

5

f '(t) t , f '(t) 0 t 5

tBảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên học sinh nhận xét hàm số không có giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất bằng  3

f 5 (!): Lời giải trên hoàn toàn sai lầm mà nguyên nhân là do hoạt động xác

định điều kiện của ẩn phụ Học sinh đã cha thiết lập hết các mối liên hệ giữabiến t với giả thiết của bài toán Chúng ta có hai mối liên hệ, gồm:

x y z2 3 x 2 y2 z2  9 t2 9 (1)

x y z2 x2 y2 z22 xy yzzx  3 2 xy yzzx 3 t2 3(2)

Dấu “chủ nghĩa hình=” ở (1) xảy ra khi x = y = z = 1; dấu “chủ nghĩa hình=” ở (2) xảy ra khi x = y = z = 0(Điều này không xảy ra vì 2  2  2 

Bảng biến thiên của hàm số y f(t)1t2  35

2 2 t , với 3 t 3 ,

Từ bảng biến thiên ta thấy P14

3 , dấu “chủ nghĩa hình=” xảy ra khi x = y = z = 1

ẩn phụ Khi đặt t (x) thì ta xem đây là một hàm số ẩn x và điều kiện của ẩnphụ chính là tập giá trị của hàm số đó Hay nói cách khác tìm điều kiện của ẩnphụ tức là tìm điều kiện của tham số t để phơng trình t(x) có nghiệm

1.3.1.2 Do không nắm vững các phép biến đổi tơng đơng

Với chủ đề giải phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình thì

ph-ơng pháp biến đổi tph-ơng đph-ơng đợc sử dụng khá phổ biến Tuy nhiên học sinhrất có thể mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phépbiến đổi tơng đơng

Ví dụ 3 Giải bất phơng trình 2

14 3

3