Khai thác tiềm năng của một số kiến thức hình học cao cấp vận dụng vào việc dạy học hình học ở trường phổ thông

Nếu trong quá trình học HHCC ở trờng ĐHSP và nghiên cứu HHPTthờng xuyên quan tâm mối liên hệ tơng hỗ thì sẽ góp phần giúpsinh viên, giáo viên ngành toán nhìn nhận các vấn đề của HHPTsâu

mở đầu I- Lí do chọn đề tài:

Luật giáo dục của nớc ta ( thông qua ngày 2 tháng 12 năm

1998 ) nêu rõ: “ … Phơng pháp giáo dục đại học phải coi trọngviệc bồi dỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện chongời học phát triển t duy sáng tạo, rèn luyện kĩ năng thực hành,

…” Chính vì vậy cần phải đổi mới và hiện đại hoá giáo dục

Điều này đợc thể hiện trong Chiến lợc phát triển giáo dục 2010: “ Chuyển từ việc truyền đạt tri thức thụ động, thầy giảng,trò ghi sang hớng dẫn ngời học chủ động t duy trong quá trìnhtiếp cận tri thức; dạy cho ngời học phơng pháp tự học, tự thunhận thông tin một cách hệ thống và có t duy phân tích tổnghợp; phát triển đợc năng lực của mỗi cá nhân; tăng cờng tính chủ

2001-động, tính tự chủ của học sinh, sinh viên trong quá trình họctập…” Giáo s Trần Bá Hoành (trong Nghiên cứu giáo dục, số9/1999) đã viết: “ Giáo viên giỏi là ngời biết giúp đỡ học sinh củamình tiến bộ nhanh trên con đờng phát triển năng lực tự học,phát huy nội lực làm cho kết quả học tập đợc nâng lên gấp bội ”

Việc đổi mới PPDH hiện nay xác định thầy giáo có vai trò

là ngời tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức của học sinh.Vấn đề quan trọng trong quá trình điều khiển là giúp học sinh

định hớng tìm tòi kiến thức mới, giúp học sinh đánh giá và thểchế hoá kiến thức, nghĩa là những kiến thức học sinh phát hiện

ra đúng hay sai Để giải quyết đợc vấn đề đó thầy giáo phải

đứng trên tầm cao để nhìn nhận vấn đề PT, chẳng nhữngkhai thác triệt để SGK mà còn phải biết chuyển tải tri thức THCCsang tri thức THPT

Việc chuyển tải tri thức THCC sang tri thức THPT đóng vaitrò quan trọng trong việc rèn luyện nghiệp vụ s phạm cho sinhviên.Thực tiễn dạy học toán ở trờng PT và thực tiễn thực tập sphạm của sinh viên ngành toán còn bộc lộ nhiều nhợc điểm trongviệc bắc cầu nối từ tri thức THCC sang tri thức THPT, tức là cha

đủ sức chuyển tải trong dây chuyền:

Bộc lộ thiếu sót chủ yếu của sinh viên trong mạch trên, mộtphần thể hiện ở chỗ: Cha chú trọng đúng mức, thờng xuyên việcchuyển đổi ngôn ngữ từ tri thức khoa học sang ngôn ngữ phổthông của các tri thức tơng ứng, để từ đó giúp tạo cơ sở định h-

ớng giải quyết các vấn đề, các bài toán đặt ra ở trờng phổthông.

Do các kiến thức của THCC rất trừu tợng nên sinh viên chathấy đợc mối liên hệ hữu cơ giữa các kiến thức đó với các kiếnthức trong THPT Vì thế họ cha nhìn đợc tri thức THPT trên cơ

sở nền tảng của tri thức THCC, sử dụng THCC để khám phá mộtcách có hệ thống các cơ sở khoa học này đa vào THPT, nhìn cácvấn đề riêng lẻ của giáo trình toán PT theo quan điểm thốngnhất và đầy đủ hơn Cũng chính vì thế nên sinh viên khôngbiết những kiến thức của THCC mà họ đợc học sẽ giúp ích gìcho bản thân trong quá trình giảng dạy toán ở trờng PT sau này,

họ không thực sự hứng thú khi học các kiến thức đó

Tuy rằng trong khi giảng dạy các kiến thức của THCC , giáo viêncũng đề cập đến những tri thức THPT nh là trờng hợp riêng củatri thức THCC nhng tất cả cũng chỉ dừng lại đó mà cha có sự khaithác một cách hệ thống và sâu rộng hơn

Mối quan hệ giữa THCC và THPT là một vấn đề rất lớn, nộidung phong phú và đầy khó khăn Vì thế, luận văn này chỉ giớihạn trong bộ môn hình học, là môn đặc biệt thuận lợi cho việcthiết lập mối liên hệ giữa THCC với THPT

Từ những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài:

“Khai thác tiềm năng của một số kiến thức hình học cao cấp vận dụng vào việc dạy học hình học ở trờng phổ

thông”.

II- Đối tợng nghiên cứu:

Đối tợng nghiên cứu của đề tài là kiến thức HHCC đợc trang bịcho sinh viên ngành toán, chơng trình HHPT và mối liên hệ giữachúng

III- Mục đích nghiên cứu:

Thiết lập mối liên hệ giữa HHCC và HHPT nhằm nhìn nhận sâusắc hơn HHPT

IV- Nhiệm vụ nghiên cứu:

a Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hình học cao cấp và hình họcphổ thông

b Xây dựng hệ thống bài tập HHPT giải trên cơ sở chuyển tải ýtởng HHCC

c.Kiểm nghiệm ý nghĩa của đề tài từ thực tiễn dạy học toán ở ờng PT và thực tiễn nghiên cứu toán của sinh viên s phạm

tr-V- Giả thuyết khoa học:

Nếu trong quá trình học HHCC ở trờng ĐHSP và nghiên cứu HHPTthờng xuyên quan tâm mối liên hệ tơng hỗ thì sẽ góp phần giúpsinh viên, giáo viên ngành toán nhìn nhận các vấn đề của HHPTsâu sắc hơn, hệ thống hơn và từ đó góp phần nâng cao hiệuquả dạy học môn hình học ở trờng PT.

VI- Phơng pháp nghiên cứu:

a Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm làm sáng tỏvai trò của mối quan hệ giữa HHCC và HHPT

b Nghiên cứu các cơ sở HHCC của HHPT theo định hớng xác lậpmối liên hệ trên

c Nghiên cứu con đờng chuyển tải từ tri thức khoa học toán họcsang tri thức chơng trình và tri thức dạy học

VII- Cấu trúc của luận văn:

Mở đầu

Chơng 1- Cơ sở lí luận của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT

1.1 Các quan điểm khác nhau về sự cần thiết liên hệ giữa HHCC

và HHPT

1.2 Một số cơ sở HHCC của HHPT

1.3 Kết luận chơng 1

Chơng 2-Tiềm năng của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT

2.1 Nhìn nhận các khái niệm, tính chất của Hình học phổ

thông theo quan điểm của Hình học cao cấp

2.2 Sử dụng HHCC để định hớng tìm tòi lời giải cho một số loạitoán của HHPT

2.3 Sử dụng HHCC để sáng tạo các bài toán HHPT

2.4 Tìm hiểu mối liên hệ giữa HHCC và HHPT giúp sinh viên,giáo viên giải thích một số kiến thức khó của HHPT

Chơng I Cơ sở lí luận của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT

1.1 Các quan điểm khác nhau về sự cần thiết liên hệ giữa HHCC và HHPT.

1.1.1 Về phơng diện lịch sử hình học:

Trong sự phát triển của hình học có thể chỉ ra bốn giai

đoạn cơ bản; bớc chuyển tiếp giữa các giai đoạn đánh dấu sựbiến đổi về chất của hình học

Giai đoạn thứ nhất là sự ra đời của hình học nh là một khoa họctoán học Giai đoạn này diễn ra ở Ai cập , Babilon và Hi lạp cổ xa,khoảng 5 thế kỉ trớc công nguyên

Những kiến thức hình học thời đó hãy còn ít ỏi và thờng quy vềviệc tính toán một số diện tích và thể tích Chúng đợc trìnhbày dới dạng quy tắc mà phần lớn là rút ra từ kinh nghiệm, việcchứng minh logic hãy còn rất sơ sài Hình học, theo chứng cứ củacác nhà sử học Hi lạp, đã chuyển từ Ai cập đến Hi lạp vào thế kỉthứ VII trớc Công nguyên ở đây, sau vài ba thế hệ, hình học đãtrở thành một hệ thống đẹp đẽ Quá trình đó diễn ra bằng con

đờng tích luỹ những kiến thức mới về hình học, làm sáng tỏ cácmối liên hệ giữa các sự kiện khác nhau của hình học, vạch ranhững biện pháp chứng minh và cuối cùng, hình thành các kháiniệm về hình, về mệnh đề hình học và về chứng minh Có lẽPythagore là ngời mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hìnhhọc, ông là ngời đầu tiên xây dựng hình học nh là một khoa họcsuy diễn

Giai đoạn thứ hai của sự phát triển hình học bắt đầu từkhi hình học trở thành một khoa học toán học độc lập, đợctrình bày có hệ thống, trong đó các mệnh đề lần lợt đợc chứngminh Giai đoạn này gắn với tên tuổi của Hippocrate, Euclide,Archimède và Apollonius Suy luận toán học của Hippocrate ( thế

kỉ V trớc Công nguyên ) đã đạt đến trình độ cao, trong đó đã

áp dụng triệt để các quy tắc suy diễn chặt chẽ để từ kết quảnày suy ra kết quả khác Vào thế kỉ thứ III trớc Công nguyên, nổilên ba nhà toán học vĩ đại: Euclide, Archimède và Apollonius màtác phẩm của họ có ảnh hởng hết sức to lớn đối với sự phát triểnsau này của hình học Bộ sách “ Các nguyên lí ” của Euclide làtác phẩm đầu tiên của thời cổ còn giữ đợc nguyên vẹn đếnngày nay Tất cả các nhà toán học trên thế giới đều phải họctrong cuốn sách này, nh là bớc cần thiết để nắm đợc hình học.Phần lớn chơng trình hình học ở trờng phổ thông trên thế giớihiện nay đợc trình bày cơ bản giống nh tập sách đó Tập “ Cácnguyên lí ” hệ thống những kiến thức hình học đã biết thànhmột lí thuyết toán học hoàn chỉnh, dựa trên một số tiên đề, và

các định lí đều đợc chứng minh bằng suy diễn một cách chặtchẽ Đó là khoa học về những hình dạng và quan hệ không gian

đơn giản nhất phát triển theo trình tự logic, xuất phát từ nhữngluận điểm cơ bản đợc phát biểu rõ ràng Hình học phát triểntrên các cơ sở đó với đối tợng và phơng pháp nghiên cứu đợcchính xác hoá và làm cho phong phú thêm đợc gọi là hình họcEuclide Ngay tại Hi lạp, hình học Euclide đợc bổ sung những kếtquả mới, phát sinh những phơng pháp mới xác định diện tích vàthể tích ( phơng pháp tổng trên, tổng dới của Archimède - thựcchất là phơng pháp tích phân ) cùng với việc nghiên cứu các thiếtdiện cônic ( của Apollonius ) Giai đoạn này, Menelaus ( thế kỉ I )

đã trình bày hệ thống hình học trên mặt cầu và đó là hệthống hình học đầu tiên khác với hình học Euclide

Sự suy sụp của xã hội cổ đại dẫn đến tình trạng đình trệ

đáng kể trong sự phát triển của hình học Tuy nhiên nó vẫn pháttriển ở ấn độ, ở Trung á và ở các nớc ả rập phơng đông

Giai đoạn thứ ba của sự phát triển hình học đợc đánh dấubằng sự ra đời của hình học giải tích vào nửa đầu thế kỉ XVII

Có thể nói việc phát minh ra hình học giải tích là một khâuquan trọng trong việc chuyển đối tợng toán học từ đại lợng không

đổi sang đại lợng biến thiên Hai nhà toán học lớn ngời Pháp làR.Descartes và P.Fermat đồng thời cùng nêu ra cơ sở cho mônhọc này Hình học đã chuyển lên một trình độ mới về chất sovới hình học thời cổ đại: nó nghiên cứu những hình tổng quáthơn nhiều và sử dụng những phơng pháp thực sự mới Hình họcgiải tích nghiên cứu những hình và những phép biến đổi; đợccho bởi những phơng trình đại số trong hệ toạ độ vuông góc,bằng cách sử dụng những phơng pháp đại số Hình học vi phân( xuất hiện vào thế kỉ XVIII với các công trình của L.Euler,G.Monge và của các nhà bác học khác ) nghiên cứu mọi đờngcong và mặt đủ trơn, họ của chúng ( tức là những tập hợp liêntục của chúng ) và các phép biến đổi Vào nửa đầu thế kỉ XVII,hình học xạ ảnh ra đời với các công trình của G.Désargues vàB.Pascal Nó phát sinh từ bài toán biểu diễn một vật thể trên mặtphẳng; đối tợng đầu tiên của nó là những tính chất của cáchình phẳng đợc bảo toàn trong phép chiếu xuyên tâm, từ mặtphẳng này sang mặt phẳng khác Những hớng phát triển mới đócủa hình học đã đợc bố cục lại và trình bày có hệ thống vào thế

kỉ XVIII đầu thế kỉ XIX Công lao đó thuộc về L.Euler đối vớihình học giải tích, G.Monge đối với hình học vi phân, J.Poncelet

đối với hình học xạ ảnh Ngoài ra, lí thuyết biểu diễn hình học (

có quan hệ trực tiếp với bài toán hoạ hình ) đã đợc G.Monge pháttriển hệ thống hoá trớc đó trong môn hình học hoạ hình Trongtất cả các bộ môn mới ấy, nền tảng hình học đợc giữ nguyên

không thay đổi, chỉ phạm vi các hình đợc nghiên cứu và tínhchất của chúng, cũng nh các phơng pháp áp dụng là đợc mở rộng.Năm 1872, P Klein trình bày bài giảng, bây giờ đợc gọi là “ Ch-

ơng trình Erlanghen ” theo đó hình học đợc định nghĩa nh là

lí thuyết về các bất biến của một nhóm biến đổi nào đó Bằngcách mở rộng hay thu hẹp ta có thể chuyển từ một dạng hìnhhọc này sang một dạng hình học khác Hình học Euclide nghiêncứu các bất biến của nhóm dời, hình học xạ ảnh nghiên cứunhững bất biến của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh Sự phânloại các nhóm biến đổi sẽ cho ta một sự phân loại hình học, và

lí thuyết về các bất biến đại số và vi phân của mỗi một nhóm sẽcho ta cấu trúc giải tích của hình học tơng ứng

Giai đoạn thứ t của sự phát triển hình học bắt đầu từ khiN.I.Lobachevski xây dựng thành công vào năm 1826 một hìnhhọc mới, phi Euclide, ngày nay gọi là hình học Lobachevski Độclập với N.I Lobachevski, J.Bolyai cũng xây dựng môn hình học

nh vậy vào năm 1832 ( K.Gauss cũng đã phát triển những ý tởng

đó, nhng không công bố ) Đặc điểm chủ yếu của giai đoạn mớitrong lịch sử hình học, bắt đầu từ N.I Lobachevski , là sự pháttriển những lí thuyết “hình học” mới, những môn hình học mới,cùng sự mở rộng tơng ứng đối tợng hình học Xuất hiện kháiniệm về không gian các loại khác nhau ( thuật ngữ “không gian”trong khoa học có hai nghĩa:không gian hiện thực thông thờng

và “không gian toán học” trừu tợng ) Thời kì này cũng đã nảysinh tôpô học-là học thuyết về tính chất các hình, những tínhchất chỉ phụ thuộc vào sự tiếp xúc lẫn nhau giữa các bộ phậncủa các hình, và bằng cách đó, chúng đợc bảo toàn qua mọiphép biến đổi không

phá huỷ mà cũng không đa thêm vào những sự tiếp xúc mới

Song song với sự phát triển những lí thuyết hình học mới, ngời tatiến hành nghiên cứu những lĩnh vực đã có của hình họcEuclide: hình học sơ cấp, hình học giải tích và hình học viphân Trong hình học, hình bắt đầu đợc định nghĩa là mộttập hợp điểm Sự phát triển của hình học gắn chặt với việcphân tích sâu sắc những tính chất của không gian, nằm sâutrong nền tảng của hình học Euclide Nói cách khác, sự phát triển

đó gắn liền với sự chính xác hoá cơ sở của bản thân hình họcEuclide nhờ công trình của D.Hilbert và những ngời khác đã dẫn

đến phát biểu chính xác các tiên đề của hình học Euclide, vàcủa những hình học khác vào cuối thế kỉ XIX

Quá trình lịch sử trên đây cho chúng ta thấy mối liên hệchặt chẽ của các giai đoạn phát triển hình học và sự kế tục khoahọc đã diễn ra; những lí thuyết, kết quả của giai đoạn sau th-ờng có “ mầm mống ” từ những giai đoạn trớc

Việc phân chia các giai đoạn nh trên chỉ là tơng đối, ranhgiới giữa các thời kì khó tách bạch đợc Các kiến thức hình học ởhai giai đoạn hai là nội dung chủ yếu trong các giáo trình hìnhhọc ở trờng phổ thông, ngoài ra một số kiến thức hình học giảitích ở giai đoạn ba đợc đa xuống đầu lớp 10 và lớp 12 Với tínhchất quy ớc ( theo [21]), hình học dạy và học ở bậc trung học gọi

là hình học sơ cấp Nh vậy, có thể xem hình học sơ cấp ra

đời từ thế kỉ III trớc Công nguyên nhờ tác phẩm “ Các nguyên lí ”của Euclide và kết thúc vào năm 1899 bởi tác phẩm “ Cơ sở hìnhhọc ” của D.Hilbert Đặc trng của hình học sơ cấp là khôngnghiên cứu những hình bất kì nói chung mà chỉ nghiên cứunhững hình khá xác định Đối tợng của hình học sơ cấp baogồm:

a) Những hình xác định bởi một số hữu hạn những hình đơngiản nhất ( chẳng hạn, một đa giác đợc xác định bởi một số hữuhạn những đoạn thẳng; một đa diện đợc xác định bởi một sốhữu hạn đa giác, tức cũng là bởi một số hữu hạn những đoạnthẳng)

b) Những hình xác định bởi những tính chất phát biểu bằngnhững khái niệm ban đầu ( chẳng hạn, Elip với các tiêu điểm F1,

F2 là tập hợp những điểm M sao cho tổng các đoạn thẳng MF1

và MF2 bằng một độ dài cho trớc )

c) Những hình xác định đợc bằng phép dựng ( chẳng hạn,mặt nón đợc dựng bởi những đờng thẳng kẻ từ một điểm O chotrớc đến tất cả những điểm của một đờng tròn cho trớc, khôngnằm trong một mặt phẳng với O Còn thiết diện cônic thì đợcxác định bởi sự tơng giao của mặt nón với một mặt phẳng).Một hình dù phức tạp đến đâu, nhng đợc xác định bằng cáchtrên đây, cũng có thể trở thành đối tợng nghiên cứu trong khuônkhổ của hình học sơ cấp Đối với các tính chất của các hình đóthì hình học sơ cấp chỉ nghiên cứu những tính chất nào đợcxác định dựa trên những khái niệm đơn giản nhất đã nêu Cáctính chất đó, trớc hết, là vị trí tơng đối và sự bằng nhau củacác yếu tố của hình, độ dài, diện tích, thể tích Trong hìnhhọc sơ cấp có nghiên cứu các tính chất của tiếp tuyến với đờngtròn, cũng có thể nghiên cứu các tính chất của tiếp tuyến với Elip,Hypebol, Parabol, nhng khái niệm tổng quát về tiếp tuyến thì lạinằm ngoài phạm vi của hình học sơ cấp Các phép dựng hình

và các phép biến hình, nghiên cứu trong hình học sơ cấp, đợcxác định bởi những quy định hình học cụ thể trớc đó trên cơ

sở những khái niệm sơ khai của hình học Phơng pháp cơ bảncủa hình học sơ cấp là rút ra định lí bằng cách lập luận trựcquan, dựa trên các tiên đề hoặc các định lí đã biết của hìnhhọc sơ cấp, có sử dụng phép xây dựng bổ trợ ( chẳng hạn, “kéo

dài đoạn thẳng AB”, “ chia đôi góc A”, …) Những phơng tiệntính toán của

đại số và lợng giác, đợc sử dụng trong hình học, thực ra là đểcung cấp số liệu

cho những phép xây dựng đó Khái niệm giới hạn không bị loạitrừ khỏi hình học sơ cấp, nhng trong mỗi trờng hợp cũng chỉ nói

đến một luận cứ cụ thể, cho bởi phép dựng hình sơ cấp, vàviệc cho qua giới hạn đợc thức hiện một cách trực tiếp, không đả

động gì đến lí thuyết tổng quát về giới hạn, chẳng hạn việcxác định độ dài về đờng tròn bằng cách xét một dãy các đagiác đều nội tiếp và ngoại tiếp đờng tròn đó

Cũng với tính chất quy ớc (theo [21] ), HHCC thờng đợc hiểu

là hình học dạy và học ở bậc đại học, bao gồm: “ Hình học giảitích ”, “ Cơ sở hình học ”, “ Hình học xạ ảnh ”, “ Hình học viphân ”, … Tuy nhiên thuật ngữ “ Hình học cao cấp ” mà chúngtôi sử dụng ở đây chỉ bao gồm hình học Afin, hình học Euclide

và hình học xạ ảnh Cách hiểu cũng phù hợp với các quyển sách lấytên “ Hình học cao cấp ” đợc viết cho sinh viên đại học của cáctác giả nh Nguyễn Cảnh Toàn, Văn Nh Cơng - Kiều Huy Luân,Nguyễn Mộng Hy, …

Qua những điều đã trình bày ở trên, chúng ta có cơ sởkhoa học để thiết lập mối liên hệ giữa hình học cao cấp vàhình học sơ cấp

1.1.2 Về phơng diện yêu cầu đổi mới PPDH Toán với việc nâng cao tay nghề cho giáo viên:

Trong thời đại ngày nay, tri thức khoa học nói chung, tri thứctoán học nói riêng phát triển nh vũ bão Nhiều ngành mới, nhiềukhái niệm mới ra đời đòi hỏi cần phải cập nhật cho học sinh tránh

sự lạc hậu, trong khi đó thời lợng ở trờng phổ thông có hạn dẫn

đến yêu cầu đổi mới PPDH T tởng chính của công cuộc đổi mớinày là “ lấy học sinh làm trung tâm ”, phải dạy cho học sinh ph-

ơng pháp t duy tự nghiên cứu, tự học độc lập trong việc chiếmlĩnh tri thức, đào tạo ngời học sinh có đủ phẩm chất, năng lứctiếp cận và giải quyết mọi vấn đề trong cuộc sống, trong học

tập Định hớng của sự đổi mới có thể gọi tắt là hoạt động hoá ngời học Từ đó, xác định vai trò mới của ngời thầy giáo với t cách

là ngời thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá

Vai trò thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về

mặt mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức

tổ chức;

Vai trò uỷ thác: Biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập

tự nguyện, tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phảinhững tri thức dới dạng có sẵn mà là những tình huống để tròhoạt động và thích nghi;

Vai trò điều khiển: (kể cả điều khiển về mặt tâm lí ) bao gồm

sự động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá;

Vai trò thể chế hoá: Xác nhận những kiến thức mới phát hiện,

đồng nhất hoá những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể,phụ thuộc hoàn cảnh và thời gian của từng học sinh thành tri thứckhoa học của xã hội, tuân thủ chơng trình về mức độ yêu cầu,cách thức diễn đạt và định vị tri thức mới trong hệ thống tri thức

đã có, hớng dẫn vận dụng và ghi nhớ hoặc giải phóng khỏi trí nhớnếu không cần thiết

Việc xác định vai trò mới của ngời thầy giáo ở trên là khá rõràng Song một vấn đề đặt ra là: làm thế nào để nâng caochất lợng đào tạo giáo viên ? Để giải quyết vấn đề này, theoPGS.TS Nguyễn Phụ Hy, đã có nhiều giải pháp đợc thực hiện :Giải pháp thứ nhất đã đợc thực hiện trong nhiều năm: tăng cờngkiến tập s

phạm và tăng thời gian thực tập Tuy nhiên, chất lợng đào tạo giáoviên không

nâng đợc bao nhiêu

Giải pháp thứ hai cũng đã đợc thực hiện trong nhiều năm: tăng ờng các môn khoa học giáo dục và giải toán sơ cấp Giải pháp này

c-đã có tác dụng tơng đối tốt, kết quả thức tập s phạm cao hơn

tr-ớc Tuy nhiên, nói chung, sinh viên mới chỉ đạt đợc mức độ thựchiện tốt hoặc đầy đủ yêu cầu giảng dạy trên cơ sở những vấn

đề đã đợc gợi ý khá chi tiết hoặc có tài liệu hớng dẫn Nhữngvấn đề nảy sinh phải tự giải quyết thì cha đáp ứng đợc

Do vậy, nhiều ngời đã đề xuất giải pháp: liên hệ giữa THCC,THHĐ dạy ở các trờng s phạm và môn toán dạy ở trờng PT, từ đógiúp cho sinh viên thấy đợc mối liên quan hữu cơ giữa hai chơngtrình toán nói trên

Đi theo hớng này, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy cùng nhóm nghiên cứucủa mình đã đạt đợc một số kết quả sau:

- ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp

- Giảng dạy tích phân trong chơng trình toán 12

- ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp

- Dạy học phép đo đại lợng ở bậc tiểu học

Các kết quả này đã đợc công bố trong sáu công trình

Cũng theo hớng nghiên cứu cơ sở của THPT, PGS.TS Đào Tam đãthu đợc một số kết quả thông báo trong các giáo trình và bàibáo:

- Các cơ sở THCC của THPT ( Đào Tam, Nguyễn Huỳnh Phán, Giáotrình cao học, ĐHSP Vinh)

- Một số cơ sở phơng pháp luận của toán học và ứng dụng củachúng trong việc dạy học toán ở trờng phổ thông (Tạp chí Giáodục số 9/1998)

Trong các sách viết về HHCC của các tác giả nh NguyễnCảnh Toàn, Nguyễn Mộng Hy, Văn Nh Cơng, …, đều có đề cập

đến một số ứng dụng của HHCC trong HHPT, tuy nhiên chúngchỉ đóng một vai trò minh hoạ cho các vấn đề đợc đa ra chứcha thực sự đợc khai thác một cách đầy đủ, hệ thống

Sau khi tiến hành điều tra 256 giáo viên toán trung học cơ

sở ( ở Sơn La và Hà Nội ), TS Nguyễn Hữu Châu và Th.s ĐặngQuang Việt đã rút ra những khó khăn của giáo viên khi áp dụngcác kiến thức của Đại số đại cơng vào dạy Số học và Đại số ở trunghọc cơ sở và từ đó đề xuất giải pháp s phạm sau đây: Tăng c-ờng tính định hớng s phạm trong dạy học các bộ môn ở trờng sphạm, cần thiết và có xây thể xây dựng một số chuyên đề chosinh viên làm cầu nối giữa các kiến thức cơ bản đợc trang bị ở tr-ờng s phạm với các kiến thức sẽ dạy ở trờng PT Các chuyên đề nàycần đợc thiết kế theo cách tiếp cận modul (modular approach) -

là một kiểu tài liệu dạy học nhằm chuyển tải một số đơn vị

ch-ơng trình dạy học tch-ơng đối độc lập, đợc cấu trúc một cách đặcbiệt, chứa đựng cả mục tiêu, nội dung, PPDH và hệ thống công

cụ đánh giá kết quả lĩnh hội; chúng gắn bó với nhau nh mộtchỉnh thể - dành cho sinh viên tự chọn và đợc thực hiện chủ yếubằng tự học

Tiếp bớc những nghiên cứu trên, trong luận văn tốt nghiệp

đại học chúng tôi cũng đã xác lập đợc một số mối liên hệ giữaTHCC với THPT đối với các môn toán bậc đại học nh đại số, hìnhhọc, giải tích, số học Tuy nhiên những kết quả thu đợc cha thật

sự sâu sắc và còn chung chung Lần này, chúng tôi tập trungnghiên cứu sâu mối liên hệ giữa HHCC và HHPT, đó là một bộphận của mối liên hệ giữa THCC và THPT

1.2 Một số cơ sở HHCC của HHPT.

Trong giáo trình HHPT có chứa đựng nhiều yếu tố có thểnhìn nhận bằng HHCC Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một sốyếu tố đó:

1.2.1 KG Afin:

1.2.1.1 Một số định nghĩa và tính chất:

1.2.1.1.1 KG afin:

Cho KGVT V trên trờng K, tập A mà các phần tử của nó gọi là

điểm và ánh xạ :A A V Kí hiệu (M,N) = với mọi điểm M, N

A Bộ ba (A, , V) gọi là KG afin nếu hai tiên đề sau đây đợc

thoả mãn:

i) Với mọi điểm M A và mọi véctơ V có duy nhất một

điểm N A sao cho =

ii) Với ba điểm bất kì M, N, P A ta có + =

KG afin (A, ,V) còn gọi là KG afin A trên trờng K KGVT V gọi liên kết ( nền ) của KG A và kí hiệu là

KG afin A gọi là n-chiều ( kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n Khi

độc lập

Nếu A là KG afin n-chiều thì mọi hệ điểm nhiều hơn n+1

điểm đều là không độc lập

1.2.1.1.3 Toạ độ afin:

Cho KG afin n-chiều An liên kết với KGVT Giả sử = { , ,

…, } là một cơ sở của và O là một điểm thuộc A Khi đó, tập

hợp {O; } hay {O; , , …, } gọi là mục tiêu afin của An O

gọi là điểm gốc của mục tiêu, gọi là véctơ thứ i của mục tiêu

Với mỗi điểm M An có duy nhất n phần tử x1, x2, …, xn của trờng

Cho KG afin A liên kết với KGVT Gọi O là một điểm của A

và là một KGVT con của Khi đó, tập hợp = {M A : }

đợc gọi là phẳng qua O và có phơng là

Nếu dim = m thì gọi là cái phẳng m-chiều hay m-phẳng Nh

vậy, 0-phẳng là một điểm, n-phẳng của KG afin n-chiều An

chính là An, 1-phẳng gọi là đờng thẳng, 2- phẳng gọi là mặt phẳng, (n-1)-phẳng gọi là siêu phẳng của KG afin n-chiều

An

Qua m+1 điểm độc lập của KG afin A có một và chỉ một

m-Trong KG affin An cho p-phẳng và q-phẳng ( p q ) lần

l-ợt có phơng là và

và gọi là cắt nhau nếu có điểm chung.

và gọi là song song nếu

và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không

song song với nhau

Giao hiểu theo nghĩa thông thờng của lí thuyết tập hợp và

gọi là giao của hai cái phẳng và Giao này hoặc là rỗng hoặc

là phẳng có phơng

Các quan hệ trên giữa hai cái phẳng có những tính chất sau:

- Hai đờng thẳng phân biệt thì không giao nhau hoặc giaonhau tại một điểm

- Hai siêu phẳng phân biệt thì song song và không giao nhauhoặc có giao là một (n-2)-phẳng

- Một m-phẳng mà không thuộc một siêu phẳng thì song songvới siêu phẳng hoặc giao với siêu phẳng theo một (m-1)-phẳng

- Nếu hai cái phẳng và cùng song song với cái phẳng và cắt thì cái phẳng song song với

- Nếu hai siêu phẳng và cắt nhau, siêu phẳng song song với

; các giao và đều khác rỗng thì và song songvới nhau

- Nếu cho trớc một điểm M và một m- phẳng không đi qua Mthì có một và chỉ một ( m+1)-phẳng chứa M và

1.2.1.1.5 Tâm tỉ cự:

Cho m+1 điểm P0, P1, P2, …, Pm của KG afin A và m+1 số 0,

1, …, m thuộc trờng K sao cho 0 Khi đó, có điểm G duynhất thoả mãn

= 0

Điểm G đó gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Pi gắn với họ hệ số i .Trong trờng hợp các i bằng nhau thì điểm G đợc gọi là trọng tâm của hệ điểm

P0, P1, P2, …, Pm

Khi m = 1 thì trọng tâm G của hai điểm P0 và P1 gọi là trung

điểm của cặp điểm (P0, P1)

Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, P2, …, Pk (với các

họ hệ số khác nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy.Ngợc lại, m- phẳng đi qua m+1 điểm độc lập P0, P1, P2, …, Pm

chính là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm đó (gắn với các họ

hệ số khác nhau) Do đó, cần và đủ để một điểm M là =

, với O nào đó, trong đó, = 1 Họ số { }, i=0, 1, …, m,

gọi là toạ độ tỉ cự hay toạ độ trọng tâm của M đối với hệ điểm

P0, P1, P2, …, Pm

1.2.1.1.6 Đơn hình:

Cho m+1 điểm độc lập P0, P1, P2, …, Pm Xét tập hợp gồmnhững điểm M sao cho = , với O nào đó Trong đó,

1.2.1.1.8 ánh xạ afin và biến đổi afin:

a Định nghĩa:

Cho hai KG afin A và A’ trên trờng K lần lợt liên kết với hai

KGVT và ’ ánh xạ f: A A’ đợc gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ

tuyến tính : ’ sao cho với mọi cặp điểm M, N A

và ảnh M’ = f(M), N’ = f(N) ta có = ( ) ánh xạ tuyến tính: ’ gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với f.

Nếu ánh xạ afin f: A A’ là song ánh thì f gọi là đẳng cấu afin.

Phép đẳng cấu afin f: A A từ KG afin A lên chính nó gọi là một

biến đổi afin hay phép afin Tập hợp các phép afin của KG afin A với phép toán hợp thành ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm afin của

A và kí hiệu là Af(A)

Cho n+1 điểm độc lập M0, M1, …, Mn trong KG afin n-chiều

An và cho n+1 điểm tuỳ ý M’0, M’1, …, M’n trong KG afin A’ Khi

đó, có một và chỉ một ánh xạ afin f: An A’ sao cho f(Mi) = M’i, i =

0, 1, …, n Trong trờng hợp A’ cũng là KG afin n-chiều và hệ M’i

độc lập thì f là phép afin

b Tỉ số đơn:

Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, G là

số thuộc trờng K sao cho = , và kí hiệu là [A, B, G]

Đơn ánh f: A A’ của hai KG afin A và A’ là một ánh xạ afin khi vàchỉ khi f bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo tồn

tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng

c Phép chiếu song song:

Cho KG afin n-chiều An, cho m-phẳng với phơng và choKGVT con của sao cho = Ta xác định ánh xạ f: An

nh sau:

Với mỗi điểm M An gọi M là cái phẳng đi qua M có phơng Khi đó, giao M là một điểm duy nhất M’ Đặt f(M) = M’ ánh xạ

nh thế gọi là phép chiếu song song lên m-phẳng theo phơng

f chính là một ánh xạ afin và là toàn ánh

d Phép tịnh tiến và phép vị tự:

Cho KG afin A trên trờng K liên kết với KGVT Cho véctơ

cố định trong và xét ánh xạ f: A A sao cho với mọi điểm M

An, M’ = f(M) thì = ánh xạ f nh thế gọi là phép tịnh tiến

theo véctơ và kí hiệu là Phép tinh tiến là một phép afinvới ánh xạ tuyến tính liên kết là phép đồng nhất của KGVT Tập hợp các phép tịnh tiến của KG afin A, kí hiệu t(A), là mộtnhóm abel với phép toán hợp thành ánh xạ

Cho điểm O A và số k K\{0} ánh xạ g: A A biến mỗi

điểm M thành điểm M’ sao cho = k ’ gọi là phép vị tự

tâm O tỉ số k, kí hiệu Vk

O Phép vị tự tâm O tỉ số k là mộtphép afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là k Tập hợp các phép

vị tự không lập thành một nhóm vì tích của hai phép vị tự cóthể là một phép tịnh tiến Còn tập hợp các phép vị tự và phéptịnh tiến làm thành một nhóm với phép toán hợp thành các ánh xạ

Tập tất cả các phép vị tự cùng tâm của An lập thành mộtnhóm đối với phép toán lấy hợp các ánh xạ

e Phép thấu xạ afin:

Trong KG afin An cho m-phẳng ( 0 m < n ) có phơng là

và KG véctơ con của sao cho = ; cho số K\{0}.Xét ánh xạ f: An An đợc xác định nh sau:

Với M An , gọi M1 là giao điểm của với

cái phẳng M đi qua M và có phơng và M’

là điểm mà = Khi đó, ánh xạ

f đặt tơng ứng mỗi điểm M An với điểm

M’ An nói trên gọi là phép thấu xạ afin với

cơ sở , với phơng và với hệ số

Phép thấu xạ đó là một phép biến đổi afin

của An Tập hợp tất cả các phép thấu xạ afin cùng cơ sở và cùngphơng thấu xạ của An lập thành một nhóm giao hoán với phéptoán lấy hợp các ánh xạ

Nếu = -1 thì f gọi là phép đối xứng xiên

trợt afin cơ sở , với phơng Tập hợp tất cả các phép thấu xạ trợt

afin cùng cơ sở và cùng phơng thấu xạ của An lập thành một nhómgiao hoán với phép toán lấy hợp các ánh xạ

Trong KG afin An cho siêu phẳng có phơng là và hai

điểm M, M’ không phụ thuộc nhng Khi đó, có một vàchỉ một thấu xạ trợt afin với cơ sở , với phơng < > biến Mthành M’

1.2.1.1.9 Siêu mặt bậc hai:

Trong KG afin An chọn mục tiêu afin {O; , , …, } Cho

ph-ơng trình bậc hai: + 2 + a0 = 0 (1)trong đó các hệ số aij, ai, a0 đều là số thực, các aij không đồngthời bằng 0 và aij = aji

Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho toạ độ ( x1, x2, …,

xn ) của nó thoả mãn (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi

với 1 r n, 0 k r

-x12 - x22 - … - xk2 + xk+12 + … + xr2 = 0(II)

Toạ độ tâm ( nếu có ) của siêu mặt bậc hai (S) là nghiệm của

hệ phơng trình tuyến

tính tổng quát: Ax + a = 0

Nếu detA 0 thì (S) có tâm duy nhất

Nếu detA=0 thì (S) không có tâm hoặc vô số tâm Nếu hạngcủa A bằng r thì tập hợp tất cả tâm của (S) ( nếu có ) là một (n-r)-phẳng

Véctơ = ( c1, c2, …, cn ) gọi là phơng tiệm cận của (S) nếu

và ctAc = 0 Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đờng

thẳng đi qua tâm gọi là đờng tiệm cận của siêu mặt bậc hai

đó nếu phơng của nó là phơng tiệm cận và nó không cắt siêumặt bậc hai

Định lí: Cho hai điểm M1 và M2 thay đổi của một siêu mặt bậchai (S) sao cho đờng thẳng M1M2 có phơng cố định ( màkhông phải là phơng tiệm cận ) Khi đó, tập hợp trung điểm của

đoạn thẳng M1M2 nằm trên một siêu phẳng đi qua tâm ( nếu có) của (S)

Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S), liên hợp với phơng

Siêu phẳng đó có phơng trình: xtAc + atc = 0

Đờng thẳng d gọi là một tiếp tuyến của (S) nếu:

- Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của (S) và dcắt (S) tại đúng một điểm ( điểm này gọi là tiếp điểm, còn dgọi là tiếp xúc với (S) tại điểm ấy)

- Hoặc d nằm trên (S)

Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình: xt A x + 2 at x+ a0 = 0

và cho điểm B( b1, b2, …, bn ) nằm trên (S) thì đờng thẳng điqua B và có phơng = ( c1, c2, …, cn ) sẽ là tiếp tuyến khi và chỉkhi btAc + atc = 0

Nếu B là một điểm kì dị của (S) thì mọi đờng thẳng đi qua B

đều là tiếp tuyến của (S)

1.2.1.2 Một số thể hiện của KG Afin trong giáo trình toán PT:

Mặt phẳng thông thờng là một KG afin 2-chiều trên trờng sốthực R liên kết với KGVT 2-chiều thông thờng (bao gồm tất cả cácvéctơ trong mặt phẳng với hai phép toán cộng véctơ và nhânvô hớng với một số thực thông thờng) Nh vậy, trên mặt phẳngthông thờng vừa có cấu trúc afin vừa có cấu trúc KGVT Song haicấu trúc này hoàn toàn khác nhau vì KGVT có phép toán cộng vànhân vô hớng còn KG afin thì không có Tuy nhiên tập hợp điểm

A trong mặt phẳng có thể trở thành một KGVT đẳng cấu vớiKGVT 2-chiều thông thờng bằng cách lấy một điểm O cố địnhtrong mặt phẳng và đồng nhất điểm M với véctơ rồi

Cũng có nhận xét tơng tự đối với KG thông thờng.

Hình bình hành trong mặt phẳng là một 2-hộp

Ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng là một hệ điểm

độc lập, giả sử ba điểm đó là A, B, C Khi đó, {A; , } làmột mục tiêu afin của KG afin 2-chiều

Hình hộp trong KG thông thờng là một hộp trong KG afin chiều

3-Bốn điểm không đồng phẳng trong KG là một hệ điểm độclập, giả sử bốn điểm đó là A, B, C, D Khi đó, {A; , , } làmột mục tiêu afin của KG afin 3-chiều

Một bộ bốn điểm là độc lập khi và chỉ khi chúng là bốn đỉnhcủa một tứ diện Ba

Trong KG thông thờng, mặt phẳng là 2-phẳng Vì trong KG afintổng quát A thì qua ba điểm độc lập có duy nhất một 2-phẳngnên qua ba điểm không thẳng hàng trong KG thông thờng códuy nhất một mặt phẳng

Nh vậy, “ điểm ”, “ đờng thẳng ” và “mặt phẳng ” là cáckhái niệm cơ bản của hình học KG ở trờng phổ thông nhng cũng

có thể nhìn nhận chúng là các phẳng trong KG afin 2-chiều(mặt phẳng thông thờng) và KG afin 3-chiều ( không gian thôngthờng) nên chúng cũng có phơng trình đối với mục tiêu đã chọn Trong mặt phẳng afin A2, xét họ hai điểm phân biệt A, B Ta

có hệ hai điểm độc lập A, B Khi đó tâm tỉ cự G của hệ A, Bgắn với họ hệ số 1, 2 đợc xác định bởi:

1 + 2 = (1)

= , suy ra tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm

A, B ( ứng với mọi họ hệ số khác nhau ) là đờng thẳng AB Đóchính là cái phẳng bé nhất chứa A, B

Trong trờng hợp A trùng với B thì (1) ( 1+ 2) = G trùng A,hay tập các tâm tỉ cự của hệ một điểm A chỉ là điểm A Đó là0-phẳng, cái phẳng bé nhất chứa A

Tơng tự: Tập hợp các tâm tỉ cự của hệ ba điểm không thẳnghàng A, B, C trong

không gian là mặt phẳng xác định bởi ba điểm đó Đó chính

là 2-phẳng, cái phẳng bé nhất chứa A, B, C

Đặc biệt, tập các tâm tỉ cự của hệ ba điểm không thẳng hàng

A, B, C trong mặt phẳng afin A2 chính là cả không gian A2 Tậpcác tâm tỉ cự của hệ bốn điểm không đồng phẳng trong KGthông thờng A3 chính là cả KG đó

Tỉ số đơn: M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi(A,B,M) = -1

Ta có thể diễn tả khái niệm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trớcnhờ khái niệm tỉ số đơn nh sau:

Cho hai điểm phân biệt A, B Ta nói rằng điểm M chia

đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1) nếu = k Khi đó, nếu k

0 thì k chính là tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng A, B, M,tức là k = [A, B, M]

Phép tịnh tiến và phép vị tự đợc xây dựng trong SGKHH 10chính là khái niệm tơng ứng trong KG afin tuỳ ý

Khái niệm phép chiếu song song xây dựng trong SGKHH11cũng chính là phép chiếu song song xây dựng trong KG afintổng quát An, trong đó m-phẳng đóng vai trò là mặt phẳngchiếu, cái phẳng M chính là đờng thẳng song song với phơngchiếu

Trong mặt phẳng afin A2 tam giác ABC là một 2-đơn hình vớicác đỉnh A, B, C Tức là, tam giác ABC trùng với S(A,B,C)

Trong KG afin A3 tứ diện ABCD là một 3-đơn hình với các đỉnh

A, B, C, D Tức là, tứ diện ABCD trùng với S(A,B,C,D)

Phép thấu xạ trong A2:

Nếu lấy cơ sở là 0-phẳng, tức là một điểm O nào đó thìphơng chính là KGVT 2-chiều thông thờng ( phơng của mặtphẳng thông thờng ) Khi đó, phép thấu xạ afin với cơ sở , vớiphơng và với hệ số K\{0} chính là phép vị tự tâm O, tỉ số Nếu = -1 thì phép thấu xạ afin đó chính là phép đối xứngtâm O

Nếu lấy cơ sở là 1-phẳng, tức là một đờng thẳng a nào đóthì phơng chính là KGVT 1-chiều, là phơng của đờng thẳng

b không song song với a Khi đó, ta có phép thấu xạ afin với cơ sở

a, với phơng của b và với hệ số K\{0} Nếu a b và = -1 thìphép thấu xạ afin đó chính là phép đối xứng trục Đa

(P) không song song với a Khi đó, ta có phép thấu xạ afin với cơ

sở a, với phơng của (P) và với hệ số K\{0}

Nếu lấy cơ sở là 2-phẳng, tức là một mặt phẳng (Q) nào đóthì phơng chính là KGVT 1-chiều, là phơng của đờng thẳng

b không song song với (Q) Khi đó, ta có phép thấu xạ afin với cơ

sở (Q), với phơng của b và với hệ số K\{0} Nếu (Q) b và = -1 thì phép thấu xạ afin đó chính là phép đối xứng quamặt phẳng (Q)

Thấu xạ trợt afin trong A2:

Siêu phẳng trong A2 là một đờng thẳng a nào đó Phơng của

a chính là KGVT 1-chiều gồm tất cả các véctơ song song với a.KGVT 1-chiều cũng chính là , tức là =

Khi đó, các thấu xạ trợt afin cơ sở ,với phơng là phép đồngnhất idA, phép tịnh tiến với véctơ tịnh tiến thuộc Các phépkhông phải thấu xạ trợt afin là phép đối xứng tâm, phép đốixứng trục, phép quay, phép đối xứng trợt, phép vị tự ( vì cácphép này vi phạm điều kiện thứ hai trong định nghĩa thấu xạtrợt afin )

Thấu xạ trợt afin trong A3:

Siêu phẳng trong A3 là một mặt phẳng (Q) nào đó Phơng của(Q) chính là KGVT 2-chiều gồm tất cả các véctơ song song với(Q) Gọi là KGVT con 1-chiều của Khi đó, các thấu xạ trợtafin cơ sở (Q), với phơng là phép đồng nhất idA, phép tịnh tiếnvới véctơ tịnh tiến thuộc Phép đối xứng qua một mặt phẳngkhông phải là phép thấu xạ trợt afin ( vì phép này vi phạm điềukiện thứ hai trong định nghĩa thấu xạ trợt afin )

Biến đổi afin đối hợp:

Các phép biến đổi afin đối hợp trong mặt phẳng afin A2 baogồm: phép đồng nhất idA,phép đối xứng tâm, phép đối xứngtrục, phép quay góc Các phép biến đổi afin không đối hợplà: phép tịnh tiến với véctơ tịnh tiến khác , phép quay góc khác 2k , phép đối xứng trợt với véctơ trợt khác , phép vị tự tỉ

số k khác 0, 1

Các phép biến đổi afin đối hợp trong mặt phẳng afin A3 baogồm: phép đồng nhất idA, phép đối xứng qua một mặt phẳng Trong A2, cho tam giác ABC Khi đó, do hệ điểm A, B, C độclập nên với mọi điểm M A2 đều tồn tại bộ ba số 1, 2, 3 duynhất sao cho

1 + 2 + 3 = Do đó, bộ { , , } là toạ độ trọngtâm của điểm M đối với tam giác ABC, trong đó = 1 + 2 + 3.Trong A3, cho tứ diện ABCD Khi đó, do hệ điểm A, B, C, D độclập nên với mọi điểm M A3 đều tồn tại bộ bốn số , , , duy

nhất sao cho 1 + 2 + 3 + 4 = Do đó,

bộ { , , , , } là toạ độ trọng tâm của điểm M đối với tứdiện ABCD, trong đó = 1 + 2 + 3 + 4

Các định lí, hệ quả của chơng Quan hệ song song đợc trìnhbày trong SGKHH11 là các trờng hợp riêng của các kết quả tơngứng của mối quan hệ giữa hai cái phẳng trong KG afin An, với chú

ý siêu phẳng trong A3 là mặt phẳng, 1-phẳng là đờngthẳng, 0-phẳng là một điểm

Chẳng hạn, xuất phát từ định lí trong An: “Hai siêu phẳng phânbiệt thì song song và không giao nhau hoặc có giao là một (n-2)-phẳng” Với n=3 thì định lí trên trở thành: “ Hai mặt phẳngphân biệt thì song song hoặc có giao là một đờng thẳng” Tơng tự ta có các kết quả sau:

- Xuất phát từ định lí của An: “ Một m-phẳng mà không thuộcmột siêu phẳng thì song song với siêu phẳng hoặc giao với siêuphẳng theo một (m-1)-phẳng” Với m=1, n = 3 thì định lí trêntrở thành: “Một đờng thẳng mà không thuộc một mặt phẳngthì song song với mặt phẳng đó hoặc giao với mặt phẳng đótại một điểm” Với m = 2, n =3 thì định lí trên trở thành: “Mộtmặt phẳng mà không trùng với một mặt phẳng khác thì songsong với mặt phẳng đó hoặc giao với mặt phẳng đó theo một

đờng thẳng”

- Xuất phát từ định lí của An: “ Nếu hai cái phẳng và cùngsong song với cái phẳng và cắt thì cái phẳng songsong với ” Chọn và là hai mặt phẳng còn là đờng thẳngtrong KG thông thờng A3 thì định lí trên trở thành: “ Nếu haimặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đờng thẳngthì giao tuyến của chúng song song với đờng thẳng đó ”

- Xuất phát từ định lí của An: “ Nếu hai siêu phẳng và cắtnhau, siêu phẳng song song với ; các giao và đềukhác rỗng thì và song song với nhau” Với n=3 thì định

lí trên trở thành: “ Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giaotuyến phân biệt không đồng quy thì ba giao tuyến đó songsong với nhau ” ( Đây là nội dung của định lí giao tuyến)

- Xuất phát từ định lí của An: “ Nếu cho trớc một điểm M và mộtm- phẳng không đi qua M thì có một và chỉ một ( m+1)-phẳng chứa M và ” Với m =1, n=3 thì định lí trên trở thành: “Qua một điểm và một đờng thẳng không đi qua nó có

Cho V là KGVT trên trờng số thực Hàm số f: V2 R gọi là

tích vô hớng nếu thoả mãn các điều kiện:

Tích vô hớng thờng đợc kí hiệu là hoặc .

KGVT V cùng với một tích vô hớng trên nó đợc gọi là KGVT Euclide,

kí hiệu là VE

còn đợc gọi là bình phơng vô hớng của và kí hiệu là 2

Giá trị gọi là môđun hay độ dài của và kí hiệu là

Nếu V là KGVT chiều thì KGVT Euclide tơng ứng cũng gọi là chiều, kí hiệu là VnE

và vuông góc khi và chỉ khi 2 = 2 + 2

Hệ véctơ { 1, 2, …, n} của VnE gọi là hệ trực giao nếu i ,i=1, 2, …, n, và i j = 0, với i, j =1, 2, …, n, và i j

Véctơ có = 1 gọi là véctơ đơn vị Một hệ trực giao gồm

toàn các véctơ đơn vị gọi là hệ trực chuẩn

Cơ sở = { , , …, } của VnE gọi là cơ sở trực giao nếu là hệ trực giao, và gọi là cơ sở trực chuẩn nếu là hệ trực chuẩn.

Mọi KG VnE , với n 1, đều có cơ sở trực chuẩn

Toạ độ của một véctơ đối với cơ sở trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn.

1.2.2.1.3 Góc giữa hai véctơ:

Số đo góc giữa hai véctơ và khác của VnE là một sốthực, kí hiệu là ( , ), đợc xác định bởi công thức:

Cho hai KG con P và Q của VnE P và Q gọi là trực giao với

nhau nếu với mọi véctơ P đều vuông góc với mọi véctơ Q

và kí hiệu là P Q

Nếu P và Q trực giao với nhau và VnE =P Q thì ta nói P là phần

bù trực giao của Q hay là P và Q bù trực giao với nhau Nếu P bù trực

giao với Q thì dimP+ dimQ = dimVnE = n

Giả sử P, Q, R là các KG con của VnE Khi đó, nếu P Q và P là phần

bù trực giao của R thì Q R

1.2.2.1.5 Phép biến đổi trực giao của V n E :

Phép biến đổi trực giao của KGVT Euclide n - chiều

VnE là một phép biến đổi tuyến tính của VnE mà không là thay

đổi tích vô hớng của hai véctơ bất kì, nghĩa là ( ) ( ) = ,với mọi , VnE

Nh vậy, ánh xạ : VnE VnE là phép biến đổi trực giao của VnE

nếu và chỉ nếu là ánh xạ tuyến tính và giữ nguyên môđuncủa các véctơ, tứclà = , với mọi VnE

Tập hợp tất cả các phép biến đổi trực giao của VnE với phépnhân ánh xạ là một nhóm

Nếu là một phép biến đổi trực giao của VnE thì VnE là tổngtrực tiếp của các KG con một hoặc hai chiều bất biến đối với

và đôi một trực giao với nhau

1.2.2.1.6 Ma trận trực giao:

Cho ma trận vuông A cấp n là A = (aij)n.n A gọi là ma trận trực

giao nếu AAt = I, trong đó, At là ma trận chuyển vị của A còn I

là ma trận đơn vị cấp n

Nếu A là ma trận trực giao thì AtA = I và At = A-1, trong đó, A-1 là

ma trận nghịch

đảo của A

Một phép biến đổi tuyến tính : VnE VnE là một phép biến

đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của đối với cơ sở trựcchuẩn của VnE là một ma trận trực giao

Kí hiệu tập hợp các ma trận trực giao là O(n, R)

1.2.2.2 KG Euclide:

1.2.2.2.1 KG Euclide:

KG Euclide là KG afin mà KGVT nền là KGVT Euclide Kí hiệu KG

Euclide là E còn KGVT nền là

KG Euclide gọi là n-chiều, và kí hiệu là En, nếu KGVT Euclide liênkết với nó có chiều bằng n, kí hiệu là n

1.2.2.2.2 Mục tiêu trực chuẩn:

Mục tiêu afin {O; , , …, } của KG Euclide n-chiều En gọi là

mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở { , , …, }của n là cơ sơ trực

chuẩn Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ

độ trực chuẩn.

1.2.2.2.3 Khoảng cách giữa hai điểm:

Cho hai điểm M và N của KG Euclide En Khoảng cách giữahai điểm đó, kí hiệu d(M, N), đợc định nghĩa là số: d(M, N) =

=

Trong En cho mục tiêu trực chuẩn và toạ độ trực chuẩn M = ( x1,

x2, …, xn ), N = ( y1, y2, …, yn ) thì d(M, N) = Trong KG Euclide En, m- đơn hình S(P0, P1, P2, …, Pm) gọi là m-

đơn hình đều nếu khoảng cách giữa hai đỉnh Pi và Pj bất kì

đều bằng nhau

Trong KG Euclide En, m- đơn hình S(P0, P1, P2, …, Pm) gọi là

m-đơn hình vuông tại đỉnh P0 nếu = 0, với mọi i, j = 1,2,

Hai phẳng và gọi là trực giao, kí hiệu , nếu hai KGVT và

trực giao Hai phẳng và gọi là bù trực giao nếu và bù trực

giao trong KGVT Euclide n

Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung Hai phẳng

bù trực giao có một điểm chung duy nhất

Nếu trực giao với và bù trực giao với thì và là hai cáiphẳng song

song

Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ ba thì song song vớinhau Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực giao

Nếu là siêu phẳng và là một véctơ khác trực giao với mọivéctơ của phơng thì ta gọi là một pháp véctơ của Mỗi đ-ờng thẳng đợc chỉ phơng bởi gọi là một pháp tuyến của Trong En cho ba đờng thẳng d, d’, d’’ Khi đó:

- Nếu d d’ và d’ song song với d’’ thì d d’’

- Qua mỗi điểm A En có duy nhất một siêu phẳng (P) bù trựcgiao với d

- Qua mỗi điểm A En có duy nhất một đờng thẳng bù trực giaovới siêu phẳng (P) đã cho

- Nếu d (P), d (Q) thì (P) song với (Q)

- Nếu d (P), d’ (P) thì d song với d’

Trong En cho đờng thẳng d vuông góc với siêu phẳng và cắtsiêu phẳng đó tại điểm Q; điểm A là điểm tuỳ ý trên d và

điểm B là điểm tuỳ ý trên Khi đó ta có định lí Pythagore:

b Đờng vuông góc chung:

Đờng thẳng gọi là đờng vuông góc chung của hai cái phẳng

và nếu trực giao với cả và và cắt cả d( , )

Nếu là đờng vuông góc chung của hai cái phẳng và và giao

điểm của với và là I và J thì d( , ) = d(I,J)

Nếu điểm I không thuộc phẳng thì qua I có đờng thẳng duynhất vuông góc và cắt ; giao điểm J của đờng thẳng đó vớiphẳng gọi là hình chiếu vuông góc của I trên Khi đó, d(I, )

= d(I,J)

Nếu phẳng song song với phẳng và phơng của là KGVTcon của phơng của thì với điểm I bất kì thuộc , đờngthẳng đi qua I và trực giao với là đờng vuông góc chung của

d Khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng:

Cho một điểm I và một m-phẳng qua S và có phơng là

= < 1, 2 , …, m >

Khi đó, d(I, ) =

Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng:

Giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn của KG Euclide En siêu phẳng

có phơng trình + a0 = 0 và điểm I có toạ độ I( x10, x20, …,

xn0 )

Khi đó, d(I, ) =

e Khoảng cách giữa hai cái phẳng:

Trong KG Euclide n-chiều En cho hai phẳng và có phơng tơngứng là và Hai điểm R và S lần lợt thuộc và

Gọi { 1, 2 , …, m } là cơ sở của +

Khi đó, ta có: d( , ) =

1.2.2.2.6 Góc trong E n :

a Góc giữa hai đờng thẳng:

Cho hai đờng thẳng a và b trong En với phơng lần lợt là < > và <

> Góc giữa hai đờng thẳng đó là số [0; ] sao cho cos

=

b.Góc giữa hai siêu phẳng:

Cho hai siêu phẳng và , lấy hai đờng thẳng a và b lần lợt trực

giao với và Khi đó, góc giữa hai siêu phẳng và đợc định

nghĩa là góc giữa hai đờng thẳng a và b

c Góc giữa đờng thẳng và siêu phẳng:

Cho đờng thẳng a và siêu phẳng

Nếu a trực giao với thì góc giữa a và góc là góc vuông.

Nếu a không trực giao với thì ta lấy đờng thẳng a’ trực giaovới và xác định đợc góc ’ giữa hai đờng thẳng a và a’ Khi

đó, góc giữa a và đợc xác định là góc mà 0 và = - ’.Trong mục tiêu trực chuẩn cho phơng của a là < > và phápvéctơ của là thì ta có:

sin = nên cos =

a Định nghĩa:

ánh xạ f: E E’ của các KG Euclide E và E’ gọi là ánh xạ đẳng cự

nếu f là một ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết : ’ làmột ánh xạ tuyến tính trực giao

Mọi ánh xạ f: E E’ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì làmột ánh xạ đẳng cự

ánh xạ đẳng cự f: En En từ KG Euclide En vào chính nó gọi là

một phép biến đổi đẳng cự của KG Euclide n-chiều En ánh xạ liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của n

Tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của En, kí hiệu là Isom(En),làm thành một nhóm con của nhóm Af(En)

b Phép dời hình và phép phản chiếu:

Cho phép biến đổi đẳng cự f: En En của KG Euclide En cóbiểu thức toạ độ đối

với một mục tiêu trực chuẩn {O; , , …, } là x’ = Ax + b

Khi đó, A là ma trận trực giao nên detA = 1 hoặc detA = -1

Nếu detA = 1 thì f gọi là phép dời hình ( hoặc phép dời).

Nếu detA = -1 thì f gọi là phép phản chiếu ( hoặc phản dời hình).

Tập hợp các phép dời hình của KG Euclide En làm thành mộtnhóm

1.2.2.2.8.Thể tích trong E n :

Xét m-hộp H xác định bởi m+1 điểm độc lập P0, P1, P2, …, Pm

Đặt = , i=1, 2, …, m Khi đó, thể tích của H đợc kí hiệu là

V(H) và đợc định nghĩa : V(H) = Cho m đơn hình S với các đỉnh P0, P1, P2, …, Pm Gọi H là m-hộp xác định bởi P0, P1, P2, …, Pm Khi đó, thể tích của m -

đơn hình S, kí hiệu là V(H) và đợc định nghĩa :

V(S) = V(H)

1.2.2.2.9.Siêu mặt bậc hai trong E n :

Trong KG Euclide En cho mục tiêu trực chuẩn {O; , , …, } Chosiêu mặt bậc hai có phơng trình: xt A x + 2 at x+ a0 =0

Véctơ = ( c1, c2, …, cn ) gọi là phơng chính của (S) nếu Ac=

Nếu trong một hệ toạ độ trực chuẩn {O; , , …, } phơngtrình của siêu mặt bậc hai có dạng: + 2 + a0 = 0

thì các véctơ , , …, đều là những phơng chính của (S)

1.2.2.2.10 Siêu cầu:

Cho điểm I trong KG Euclide En và số thực r > 0

Tập hợp S(I,r) = {M En : d(I,M) = r} gọi là siêu cầu (thực) tâm I,

bán kính r

Trong En với mục tiêu trực chuẩn, một siêu mặt bậc hai (S) gọi là

siêu cầu tổng quát nếu nó xác định bởi dạng: + 2 +

là hình chiếu của tâm của siêu cầu (S) trên

Với mỗi điểm M( x10, x20, …, xn0 ) En , giá trị:

f( x10, x20, …, xn0 ) = + 2 + a0

gọi là phơng tích của điểm M đối với siêu cầu (S), kí hiệu là

PM/(S)

Trong trờng hợp (S) là siêu cầu S(I,r) và nếu đờng thẳng đi qua

điểm M cắt S(I,r) tại hai điểm A và B thì PM/(S) =

Cho hai siêu cầu tổng quát (S) và (S’) (có tâm khác nhau) lần lợt

có phơng trình là: f( x1, x2, …, xn ) = + 2 + a0 = 0

gọi là góc giữa hai siêu cầu.

Khi góc giữa hai siêu cầu là góc vuông thì ta nói rằng hai siêu

cầu đó trực giao, điều đó xảy ra khi và chỉ khi II’2 = r2 + r’2.Khi góc giữa hai siêu cầu bằng 0 ( hoặc bằng ) ta nói siêu cầu

tiếp xúc trong (ngoài) tại điểm M duy nhất.

Cho siêu cầu thực S(I,r) và siêu phẳng (P) giao nhau Lấy điểm

M tuỳ ý trên giao đó thì góc giữa đờng thẳng IM và đờngthẳng vuông góc với (P) không đổi và vì thế góc đó không phụ

thuộc vào M, nó đợc gọi là góc giữa siêu cầu S(I,r) và siêu phẳng

(P)

Khi góc giữa siêu cầu S(I,r) và siêu phẳng (P) là góc vuông thì ta

nói rằng chúng trực giao với nhau, điều đó xảy ra khi và chỉ khi

siêu phẳng (P) đi qua tâm I của siêu cầu S(I,r)

Còn góc giữa siêu cầu S(I,r) và siêu phẳng (P) bằng 0 khi và chỉkhi (P) là siêu tiếp diện của siêu cầu S(I,r) tại điểm M duy nhất

1.2.2.3 Một số thể hiện của KG Euclide trong HHPT:

Có thể nói toàn bộ các sự kiện hình học Euclide trong giáotrình toán PT đều diễn ra trong mặt phẳng Euclide E2 hoặc KGEuclide E3, mà KGVT nền tơng ứng là KGVT Euclide 2- chiều 2

và 3- chiều 3

Sau đây là một số ví dụ:

Mục tiêu trực chuẩn trong E2 là {O; , }, trong đó, O xy là hệtoạ độ Đề các trong mặt phẳng, = (1,0), = (0,1)

Đối với mục tiêu trực chuẩn {O; , }, điểm M = (x1, y1) và N = (x2,

y2) thì MN = =

Trong E2, đờng thẳng là siêu phẳng và nó có phơng trình tổngquát là:

Ax+ By +C = 0 (A2 +B2 0)Phơng trình tham số của đờng thẳng là: (a2 +b2

0)

trong đó = (a, b) là véctơ chỉ phơng của đờng thẳng, M0(x0,

y0) là điểm thuộc đờng thẳng

cos = = Trong KG 2 ( 3) các véctơ tự do, tích vô hớng của hai véctơ đ-

ợc định nghĩa là = cos( , )

Do đó, KG các véctơ tự do với tích vô hớng trên là một KGVTEuclide 2-chiều ( 3-chiều )

Trong mặt phẳng thông thờng với hệ toạ độ Descartes vuônggóc Oxy cho hai véctơ bất kì =(x1, x2) và = (y1, y2) Tích vô h-ớng của chúng đợc định nghĩa là

= x1 y1 +x2 y2 (*)

Tập hợp các véctơ trong mặt phẳng toạ độ cùng với tích vô hớng

đó là một KGVT Euclide 2-chiều

Xét ánh xạ d: 2 2 R

(x,y) d(x,y) = nghĩa là với mọi x = (x1, y1) và y = (x2, y2) 2 thì

d(x,y) = nên d là một mêtric trên 2 Ta nói d là mêtric sinh bởi tích vô hớngxác định ở (*)

Trong KG thông thờng với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyzcho hai véctơ bất kì =(x1, x2, z2) và = (y1, y2, z2) Tích vô hớngcủa chúng đợc định nghĩa là

= x1 y1 +x2 y2 +x3y3 (**)

Tập hợp các véctơ trong KG cùng với tích vô hớng đó là một KGVTEuclide

3- chiều

Xét ánh xạ d: 3 3 R

(x,y) d(x,y) = nghĩa là với mọi x = (x1, y1,z1) và y = (x2, y2,z2) 2 thì

Trong mặt phẳng Euclide cũng nh trong KG Euclide thông ờng, hai đờng thẳng vuông góc với nhau chính là hai KG con trựcgiao với nhau, chúng có không quá một điểm chung ( vì hai đ-ờng thẳng vuông góc với nhau thì hoặc là cắt nhau

th-tại một điểm hoặc là chéo nhau)

Một điểm luôn vuông góc với bất kì đờng thẳng hay mặtphẳng nào

Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chính là khái niệm haiphẳng bù trực giao Chúng có một điểm chung duy nhất Nóiriêng, trục Oz và mặt phẳng Oxy của hệ toạ độ Descartes vuônggóc Oxyz trong KG là hai KG con bù trực giao và O là điểm chungduy nhất của chúng Trục Oz có cơ sở trực chuẩn là hệ chỉ gồmvéctơ = (0,0,1) còn mặt phẳng Oxy có cơ sở trựcchuẩn là hệ gồm hai véctơ = (1,0,0), = (0,1,0)

Tuy nhiên, khái niệm hai mặt phẳng vuông góc không phải là hai

KG con trực giao với nhau theo nghĩa HHCC bởi trong hai mặtphẳng đó có những véctơ không vuông góc với nhau Mặc dùvậy, khái niệm đó có thể đợc mô tả bởi các ứng dụng trong thựctiễn nh tờng nhà vuông góc với nền…

Ngoài ra, các tính chất của sự trực giao của các phẳng trong KGEuclide En còn cho tơng ứng các tính chất trong KG thông thờng

nh sau:

Nếu hai đờng thẳng 1 và 2 vuông góc với nhau, đờng thẳng

1 vuông góc với mặt phẳng thì 2 và song song với nhau Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳngthì song song với nhau

Qua một điểm đã cho có duy nhất một đờng thẳng ( mặtphẳng ) bù trực giao với mặt phẳng ( đờng thẳng ) cho trớc

Khái niệm đờng vuông góc chung trong KG Euclide En tơng ứngvới một trong các đờng thẳng sau trong giáo trình HHPT:

- Đờng thẳng đi qua một điểm và vuông góc, cắt một đờngthẳng khác.

- Đờng thẳng vuông góc và cắt hai đờng thẳng song song khác

- Đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt

- Đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau

- Đờng thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt

phẳng

Mục tiêu trực chuẩn trong E3 là {O; , , }, trong đó, Oxyz là hệtoạ độ Descartes trong mặt phẳng, = (1,0,0), = (0,1,0), =(0,0,1)

Đối với mục tiêu trực chuẩn {O; , , }, điểm M = (x1, y1, z1) và N =(x2, y2, z2) thì MN = =

Trong E3, mặt phẳng là siêu phẳng và nó có phơng trình tổngquát là

Ax+ By +Cz+D = 0 (A2 +B2 +C2 0)

Xuất phát từ phơng trình tổng quát của m-phẳng trong En, do

đờng thẳng là 1-phẳng trong E3 nên số phờng trình là 1=2, ta xây dựng đợc phơng trình tổng quát của đờng thẳngtrong E3 là:

3-trong đó, A2 +B2 +C2 0, A’2 +B’2 +C’2 0 và A:B:C A’:B’:C’

Phơng trình tham số của đờng thẳng là: (a2 +b2 +c2 0)

trong đó = (a, b,c) là véctơ chỉ phơng của đờng thẳng, M0(x0,

y0,z0) là điểm thuộc đờng thẳng

Phơng trình chính tắc của đờng thẳng là: = = Khoảng cách từ một điểm I(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P) có ph-

ơng trình:

Ax + By + Cz + D = 0 là d(I,(P)) =

Góc giữa đờng thẳng có phơng trình = = và mặt phẳng có phơng trình Ax+ By +Cz+D = 0 là đợc xác

định bởi:

trong đó, = (a, b, c) là véctơ chỉ phơng của ,

= (A, B, C) là véctơ pháp tuyến của

Góc giữa hai mặt phẳng và lần lợt có phơng trình Ax+ By+Cz+D = 0 và A1x+ B1y +C1z+D = 0 là đợc xác định bởi:Gọi = (a, b, c) và = (A, B, C) lần lợt là véctơ pháp tuyến của

và Giả sử

và 1 là hai đờng thẳng lần lợt vuông góc với và thì và lần lợt là

Bằng quy nạp ta cũng có Minkowski tổng quát cho hai bộ n số (x1,

x2, …, xn) và (y1, y2, …, yn): +

Trong mặt phẳng có thể tạo ra những cơ sở trực chuẩn sau:Nếu có một góc vuông xOy thì trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm

A, B sao cho = = 1, suy ra cơ sở trực chuẩn{ , } vàmục tiêu trực chuẩn tơng ứng {O; , }

Nếu có hình vuông ABCD ( không cho độ dài các cạnh cụ thể )thì có thể xem độ dài các cạnh bằng 1 và ta có cơ sở trựcchuẩn{ , }và mục tiêu trực chuẩn tơng ứng{A; , }

Nếu có tam giác vuông cân đỉnh A thì có cơ sở trực chuẩn{ , } ( xem AB = AC =1) và mục tiêu trực chuẩn tơng ứng{A;, }

Tơng tự: Trong KG có thể tạo ra những cơ sở trực chuẩn từ góc tam diện vuông, tứ diện vuông, hình lập phơng

Đối với hình vuông đã biết độ dài các cạnh, hình chữ nhật hay hình hộp chữ nhật

- Nếu d d’ và d’ song song với d’’ thì d d’’

- Nếu d (P), d’ (P) thì d song với d’

Siêu cầu trong E2, E3:

Trong E2, siêu cầu chính là đờng tròn

Trong E3, siêu cầu chính là mặt cầu

Trong E2, đờng thẳng là siêu phẳng nên siêu tiếp diện của đờngtròn chính là tiếp tuyến của đờng tròn đó

Trong E3, mặt phẳng là siêu phẳng nên siêu tiếp diện của mặtcầu chính là tiếp diện của mặt cầu đó

Giao của đờng thẳng d và đờng tròn (S) trong E2 là tập hai

điểm và tâm của hai điểm đó chính là trung điểm của đoạnthẳng nối hai điểm đó Tâm này là hình chiếu của tâm của

đờng tròn (S) xuống đờng thẳng d

Giao của đờng thẳng d và mặt cầu (S) trong E3 cũng chỉ là tậphai điểm và tâm của hai điểm đó chính là trung điểm của

đoạn thẳng nối hai điểm đó Tâm này là hình chiếu của tâmcủa mặt cầu (S) xuống đờng thẳng d

Giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) trong E3 là một đờngtròn (C) chính là siêu cầu trong (P) Tâm của đờng tròn (C) làhình chiếu của tâm của mặt cầu (S) xuống mặt phẳng (P) Góc giữa hai siêu cầu trong E2 và E3:

Trong E2, cho hai đờng tròn (O1, R1)

và (O2, R2), trong đó O1 khác O2, giao nhau

tại hai điểm A và B

Khi đó, góc giữa (O1) và (O2) là O1AO2 hay

O1BO2

B A

Nếu O1AO2 = O1BO2 = thì hai đờng tròn (O1) và (O2) trựcgiao với nhau và khi đó O1O22 = R12 + R22.

Nếu O1AO2 = O1BO2 = thì đờng tròn (O1) tiếp xúc trong với

đờng tròn (O2) tại điểm M duy nhất ( M trùng A trùng B)

Nếu O1AO2 = O1BO2 = thì đờng tròn (O1) tiếp xúc ngoàivới đờng tròn (O2) tại điểm M duy nhất ( M trùng A trùng B)

Trong E3, cho hai mặt cầu (O1, R1) và (O2, R2), trong đó O1 khác

O2, giao nhau theo

một đờng tròn (C,r) Khi đó, lấy điểm M tuỳ ý trên (C) thì gócgiữa (O1) và (O2) là

Góc giữa siêu cầu và siêu phẳng trong E2 và E3:

Trong E2, cho đờng tròn (O, R) và đờng thẳng d giao nhau tại hai

điểm A và B

Dựng tia Ax d và khác phía với O đối với d thì OAx là góc giữa

đờng tròn (O) và đờng thẳng d Nếu dựng tia By d và khácphía với O đối với d thì OBy cũng là góc giữa đờng tròn (O) và

đờng thẳng d

Nếu OAx = OBy = thì đờng tròn

(O) trực giao với đờng thẳng d và khi đó

d đi qua O

Nếu OAx = OBy = thì đờng tròn

(O) tiếp xúc với đờng thẳng d tại điểm A

( trùng với điểm B )

Trong E3, cho mặt cầu (O, R) và mặt phẳng

giao nhau theo đờng tròn (C,r)

Dựng tia Mx và khác phía với O đối

với thì OMx là góc giữa mặt cầu (O)

và mặt phẳng

Nếu OMx = thì mặt cầu (O) trực giao với mặt phẳng vàkhi đó đi qua O

Nếu OMx = thì mặt cầu (O) tiếp xúc với mặt phẳng tại

điểm M duy nhất

Phơng tích của một điểm đối với siêu cầu trong E2:

Cho đờng tròn (S) có phơng trình tổng quát là:

f( x, y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Với mỗi điểm M( x0, y0 ) E2 , giá trị:

f( x0, y0) = x02 + y02 + 2Ax0 + 2By0 + C

d

y x

B A

O

gọi là phơng tích của điểm M đối với đờng tròn (S), kí hiệu là

PM/(S)

Trong trờng hợp (S) là đờng tròn S(I,r) và nếu đờng thẳng điqua điểm M cắt S(I,r) tại hai điểm A và B thì PM/(S) = Cho hai đờng tròn (S) và (S’) (có tâm khác nhau) lần lợt có ph-

ơng trình tổng quát là:

f( x, y ) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0f’( x, y ) = x2 + y2 + 2A’x + 2B’y + C’ = 0Tập hợp những điểm M( x, y) thoả mãn:

f( x, y ) = f’( x, y ) hay2(A-A’)x + 2(B-B’)y + (C - C’ )= 0

là một đờng thẳng và gọi là trục đẳng phơng của hai đờngtròn (S) và (S’)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho elip (E) có phơng trình: + = 1 x2 +

- c = 0, d bất kì, = suy ra (E) có phơng chính là = ( 0, 1)

- d = 0, c bất kì, = suy ra (E) có phơng chính là = ( 1, 0)

Đây không phải là các phơng tiệm cận vì các giá trị riêng tơng ứng 0

Siêu phẳng kính liên hợp với phơng chính tơng ứng là hai trục toạ độ Ox và Oy, suy ra (E) có hai siêu phẳng kính chính là Ox

và Oy

Nếu véctơ = ( c, d) là phơng tiệm cận của (E) thì và

(c d) =0 ( ) =0 + = 0 c=d=0 =(0,0), mâu

thuẫn với nên (E) không có phơng tiệm cận suy ra (E) cũng không có đờng tiệm cận

Cho hai điểm M1 và M2 thay đổi của (E) sao cho đờng thẳng

M1M2 có phơng cố định = (c,d) Khi đó, tập hợp trung điểmcủa đoạn thẳng M1M2 nằm trên một đờng thẳng đi qua tâm Ocủa (E) Đờng thẳng đó gọi là đờng thẳng kính của (E), liên hợpvới phơng Đờng thẳng đó có phơng trình:

B2 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi C2 = A2a2 + B2b2

Vì đờng tròn là một trờng hợp đặc biệt của elip nên đờng tròn cũng có các kết quả tơng tự nh elip ở trên

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, chohypebol (H) có phơng trình:

- = 1 x2 - y2 - 1 = 0

Hay viết ở dạng ma trận: xtAx - 1 = 0 (4)

trong đó, A = có detA = - 0 nên (H) là cônic không

Cho hai điểm M1 và M2 thay đổi của (H) sao cho đờng thẳng

M1M2 có phơng cố

định = (c,d) Khi đó, tập hợp trung điểm của đoạn thẳng

M1M2 nằm trên một đờng thẳng đi qua tâm O của (H) Đờngthẳng đó gọi là đờng thẳng kính của (H), liên hợp với phơng

Đờng thẳng đó có phơng trình:

(x y) = 0 ( - ) = 0 x - y = 0

B2 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi C2 = A2a2 - B2b2.

Hoàn toàn tơng tự ta có thể khảo sát cho hypebol có phơngtrình dạng:

=

Xét hệ Ax + a = 0 + = 0 + = 0

: hệ này vô nghiệm vì p > 0 nên (P) không có tâm Do đó, (P)cũng không có đờng tiệm cận và không có điểm kì dị

Đây là phơng tiệm cận vì giá trị riêng tơng ứng =0

Siêu phẳng kính liên hợp với phơng chính tơng ứng là hai trụctoạ độ Ox và Oy, suy ra (P) có hai siêu phẳng kính chính là Ox

B2 0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi pB2 = 2AC

Hoàn toàn tơng tự ta có thể khảo sát cho các parabol có phơngtrình dạng:

ảnh n- chiều trên trờng K, liên kết với K - KGVT Vn+1 bởi song ánh

h

Nếu không sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu KG xạ ảnh đó là P và đểchỉ nó có số chiều n ta kí hiệu là Pn

Nếu K là trờng số thực (phức) thì Pn gọi là KG xạ ảnh thực

(t-ơng ứng,

phức ) và kí hiệu là Pn(R) ( tơng ứng, Pn(C) )

Mỗi phần tử của Pn gọi là một điểm Gọi là véctơ khác

của Vn+1 và < > là KGVT con 1- chiều sinh bởi thì h(< >) = M

là một điểm nào đó của Pn Khi đó, ta nói rằng véctơ là đại

diện của điểm M Hai véctơ và ’ khác là đại diện của M khi

và chỉ khi chúng phụ thuộc tuyến tính

Nếu Vm+1 là KGVT con m+1 chiều của Vn+1 thì tập conh([Vm+1]) của Pn gọi là cái phẳng m- chiều ( hay m- phẳng) của

Pn

Nh vậy, mỗi điểm của Pn là một 0-phẳng, 1-phẳng gọi là

đờng thẳng, 2-phẳng gọi là mặt phẳng và (n-1)-phẳnggọi là siêu phẳng của Pn

1.2.3.1.2 Hệ điểm độc lập:

Hệ r điểm ( r 1) của KG xạ ảnh Pn gọi là hệ điểm độc lập nếu

hệ véctơ đại diện cho chúng là hệ véctơ độc lập tuyến tínhtrong KGVT Vn+1

Hệ điểm không độc lập gọi là hệ điểm phụ thuộc.

Hệ r điểm ( r 2) của KG xạ ảnh Pn là hệ điểm độc lập khi vàchỉ khi chúng không cùng thuộc một (r-2)-phẳng

Có duy nhất một (r-1)-phẳng đi qua hệ r điểm độc lập cho trớc

1.2.3.1.3 Định lí Desargues:

Trong KG xạ ảnh cho sáu điểm A, B, C, A’, B’, C’, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau

đây là tơng đơng:

a Ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy ( có điểm chung ).

b Giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và A’B’; BC và B’C’;

CA và C’A’ là ba điểm thẳng hàng.

1.2.3.1.4 Mô hình afin của KG xạ ảnh:

Cho KG afin (n+1)- chiều An+1 liên kết với K - KGVT chiều Vn+1 Gọi An là một siêu phẳng của An+1 có phơng là KGVTcon n - chiều Vn của Vn+1

(n+1)-Xét tập hợp P = An [ Vn ] mà mỗi phần tử của nó đều gọi là một

điểm Chọn một điểm O của An+1 không nằm trên An và địnhnghĩa song ánh h: [Vn+1] P nh sau:

Giả sử V1 là KGVT con 1-chiều của Vn+1 Nếu V1 Vn thì trên An cómột điểm M duy nhất sao cho V1, trong trờng hợp này ta