Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung hệ thức lượng trong tam giác hình học 10 luận văn thạc sỹ

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO Trờng đại học vinhđặng thị thùy dung Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung Hệ thức lợng trong tam giác -

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO Trờng đại học vinh

đặng thị thùy dung

Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung

Hệ thức lợng trong tam giác - hình học 10

CHUYÊN Ngành: lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.10

Luận văN THạC Sỹ GIáO DụC HọC

Ngời hớng dẫn khoa học: TS Nguyễn đinh hùng

1.2 Nghị quyết Hội nghị lần thứ V Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng

sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS"

Luật Giáo dục nớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy định:

“Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn"

1.3 ở nớc ta hiện nay phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

đã đợc vận dụng rộng rãi trong các nhà trờng phổ thông nhng nói chung còn đơn

điệu, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động ngồi nghe Mộttrong những nguyên nhân dẫn tới điều đó có thể là do giáo viên cha nắm vữngphần lý luận, giảng dạy mang tính tự phát, dựa vào kinh nghiệm, không xuấtphát từ mục tiêu đào tạo… làm cho quá trình dạy học trở nên nghèo nàn, làmgiảm ý nghĩa giáo dục cũng nh hiệu quả bài giảng

1.4 Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề nhng cha kết hợp với việc quán triệt quan điểm hoạt động thể hiện trên một số

nội dung cụ thể Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: "Thực hiện dạy

học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn Toán thể hiện qua nội dung Hệ thức lợng trong tam giác - Hình học 10".

2 mục đích nghiên cứu

Góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về Quántriệt quan điểm hoạt động trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thôngqua nội dung Hệ thức lợng trong tam giác nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các xu hớng dạy học hiện đại, đặc biệt là PPDH Phát hiện

và giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu về định hớng đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay

- Nghiên cứu việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy học mônToán

- Nghiên cứu về thực trạng dạy học Toán ở trờng THPT

- Xây dung các quan điểm chủ đạo trong việc tổ choc thực hiện DH pháthiện và giải quyết vấn đề

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học Toán nói chung và dạy học Hệ thức lợng trong tam giác nóiriêng nếu quan tâm đúng mức đến việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy

học phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần đổi mới phơng pháp dạy học

và nâng cao chất lợng dạy học môn Toán

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn 5.2 Quan sát:

Dự giờ, quan sát biểu hiện của GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi)trong hoạt động dạy và học Toán (trớc và trong khi thực nghiệm)

5.3 Điều tra thực tiễn:

- Thực trạng tình hình dạy học Toán ở trờng Phổ thông

- Nhận thức của GV và HS về quan điểm hoạt động trong dạy học pháthiện và giải quyết vấn đề

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học.

1.1.1 Khái niệm hoạt động

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học toán

1.1.3 Các t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

1.2 Phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

1.2.1 Khái niệm về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.2 Cơ sở khoa học của phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.3 Hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.4 Gợi động cơ và hớng đích cho các hoạt động

1.2.5 Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

1.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo tinh thần quán triệt quan điểm hoạt động

1.3.1 Dạy học khái niệm

1.3.2 Dạy học định lý

1.3.3 Dạy học quy tắc, phơng pháp

1.3.4 Dạy học giải bài tập

1.4 Thực trạng của việc đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông hiện nay.

Chơng 2: Thực hiện Dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề phần hệ thức lợng trong tam giác

2.1.định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay

2.2 Một số quan điểm chủ đạo trong việc tổ chức thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phần Hệ thức lợng trong tam giác.

2.2.1 Quan điểm 1: Trong quá trình dạy học cần tạo động cơ, nhu cầu vàhứng thú cho HS phát hiện tri thức mới

2.2.2 Quan điểm 2: Xây dựng hệ thống câu hỏi để chuẩn bị dạy học mỗimột nội dung trong đó mỗi câu hỏi là một tình huống gợi vấn đề

2.2.3 Quan điểm 3: Tăng cờng hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt độngngôn ngữ nhằm hình thành và củng cố tri thức mới

2.2.4 Quan điểm 4: Tạo tình huống để HS rèn luyện kỹ năng phát hiện vàgiải quyết vấn đề

2.2.5 Quan điểm 5: Hình thành cho học sinh năng lực dự đoán tính chất,

lời giải bài toán thông qua các hoạt động: Quy lạ về quen, xét bài toán tơng tự,khái quát hoá, nhìn nhận bài toán dới nhiều cách giải

Chơng 3 : thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

1.1.1 Khái niệm hoạt động

- Dới góc độ triết học, HĐ là quan hệ biện chứng của chủ thể và kháchthể Trong quan hệ đó, chủ thể là con ngời, khách thể là hiện thực khách quan

ở góc độ này, HĐ đợc xem là quá trình mà trong đó có sự chuyển hóa lẫnnhau giữa hai cực “chủ thể - khách thể”

- Dới góc độ sinh học, HĐ là sự tiêu hao năng lợng thần kinh và bắp thịtcủa con ngời khi tác động vào hiện thực khách quan nhằm thỏa mãn nhu cầu vậtchất và tinh thần của con ngời

- Dới góc độ tâm lý học, xuất phát từ quan điểm: Cuộc sống của con ngời

là chuỗi các HĐ, giao tiếp kế tiếp nhau, đan xen vào nhau

HĐ là mối quan hệ tác động qua lại giữa con ngời và thế giới (khách thể)

để tạo ra sản phẩm về phía thế giới và cả về phía con ngời (chủ thể) [37, tr55]

HĐ là quy luật chung nhất của tâm lý học con ngời Nó là phơng thức tồntại của cuộc sống chủ thể HĐ sinh ra từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh bởimục tiêu mà chủ thể nhận thức đợc

Theo L.S Vgôtsky, HĐ có hai chiều:

- Chiều thứ nhất là “gửi vào” trong sản phẩm (lời giải một bài toán chẳnghạn) những phẩm chất và năng lực của mình, kể cả năng lực thẩm mỹ…

- Chiều ngợc lại là con ngời có thể “lấy ra” những gì đã “gửi vào” sảnphẩm và trở thành tri thức, vốn liếng riêng của chính mình (ví dụ những phơngpháp vận dụng sáng tạo để giải bài toán) để tiếp tục sử dụng nó Theo đó ta cóthể biểu diễn cơ chế phát sinh HĐ bằng sơ đồ sau:

Theo trên, hoạt động là một hệ toàn vẹn gồm có hai thành tố cơ bản là chủthể và đối tợng Chúng tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ranhau tạo ra sự phát triển của HĐ

Nhu cầu đ ợc chủ thể nhận thức và biến thành lòng mong muốn thoả mãn nhu cầu =

Tính chủ thể đó là con ngời HS, có nhu cầu hiểu biết, khám phá, giảiquyết một đối tợng khách quan (Ví dụ: định nghĩa một khái niệm, chứng minhmột định lí ) Đây chính là tính có đối tợng của HĐ, là mục tiêu của chủ thể,nhằm thỏa mãn nhu cầu (vật chất hay tinh thần) của chủ thể Do đó nó mang tínhcuốn hút, hấp dẫn đồng thời chịu sự chi phối, làm biến đổi của chủ thể trong cảquá trình HĐ cho đến khi kết thúc.

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

Con ngời sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ Vận dụng điều đó

trong dạy học môn Toán gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ.

Jean Piaget (1896 - 1980) - Nhà tâm lý học, nhà sinh học, ngời Thụy Sỹ đãnghiên cứu và đi đến kết luận: Tri thức không phải truyền thụ từ ngời biết tới ngờikhông biết, mà tri thức được chính cá thể xây dựng, thông qua HĐ

Những năm 1925 - 1940, L.S Vgôtsky (1896 1934) - Nhà tâm lý học XôViết, đã đề ra những luận điểm cơ bản để xây dựng nền tâm lý học kiểu mới

- Tâm lý học Macxit, phủ nhận tâm lý học duy tâm thần bí Xuất phát từnhững luận điểm của L.S Vgôtsk , A.N Leonchiev (1893 - 1979) - Nhà tâm lýhọc Macxit kiệt xuất, cùng các cộng sự, đã nghiên cứu, đi đến kết luận quan trọng

là “HĐ là bản thể của tâm lý”, nghĩa là HĐ có đối tợng của con ngời chính là nơisản sinh ra tâm lý con ngời Bằng HĐ và thông qua HĐ, mỗi ngời tự sinh thành ramình, tạo dựng và phát triển ý thức của mình

Cống hiến to lớn của Leonchiev là chỉ ra bản chất của tâm lý, với các luậnđiểm sau:

nghĩ tức là hành động” (Jean Piaget), “Cách tốt nhất để hiểu là làm” (Kant),

“Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh)

Theo Nguyễn Bá Kim, có thể nói vắn tắt về quan điểm HĐ trong dạy họclà: Tổ chức cho HS học tập trong HĐ và Bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo Cácthành tố cơ sở của PPDH là động cơ HĐ, các HĐ và HĐ thành phần, tri thứctrong HĐ, phân bậc hoạt động

Định hớng hoạt động hóa ngời học thực chất là làm tốt mối quan hệ giữa 3

thành phần: Mục đích, nội dung, và phương pháp dạy học Bởi vì:

- HĐ của HS vừa thể hiện mục đích dạy học, vừa thể hiện con đường đạtmục đích và cách thức kiểm tra việc đạt mục đích

- HĐ của HS thể hiện sự thống nhất của những mục đích thành phần (4phương diện: tri thức bộ môn, kỹ năng bộ môn, năng lực trí tuệ chung và phẩmchất, tư tưởng, đạo đức, thẩm mỹ theo 3 mặt: tri thức, kỹ năng, thái độ)

Định hớng HĐ hóa ngời học bao hàm một số loạt những ý tưởng lớn đặctrưng cho các phương pháp dạy học hiện đại

- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học

- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo

- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của ngời học

Trong dạy học, mỗi HĐ có thể có một hay nhiều chức năng, có thể là tạotiền đề xuất phát, có thể là làm việc với nội dung mới, có thể là củng cố

Những HĐ như: Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS, vận dụng toán họcvào thực tiễn là những HĐ rất đáng lưu ý

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định, đó là các HĐđược thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó

Nội dung dạy học môn toán thờng liên quan đến các dạng HĐ sau:

- Nhận dạng và thể hiện một khái niệm; một phương pháp, một quy tắc,một định lý

- Những HĐ toán học phức hợp: chứng minh, định nghĩa, giải toán Bằngcách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích

- Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học: lật ngược vấn đề, xét tính giảiđược (có nghiệm, nghiệm duy nhất, ), phân chia trờng hợp

- Những HĐ trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự, trừu ợng hóa, khái quát hóa

t Những HĐ ngôn ngữ: khi yêu cầu HS phát biểu, giải thích một địnhnghĩa, trình bày lời giải một bài toán

1.1.3 Các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, quan điểm HĐ trong PPDH được thể hiện ởnhững tư tưởng chủ đạo sau đây:

a Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung.

Một HĐ là tơng thích với một nội dung nếu nó gúp phần đem lại kết quảgiúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Từ “kết quả” ở đây đượchiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ởmôi trờng bên ngoài

Chẳng hạn, để tìm định lý côsin trong tam giác (a2 = b2 + c2 - 2bcosA), GV

có thể đặt ra HĐ cho HS: “từ đẳng thức vectơ BC                            AC AB              

, hãy bình phương 2

vế để được kết quả mới” hoặc yêu cầu HĐ là “độ dài a cần tìm và các độ dài b, cđã cho là độ dài của các vectơ, từ mối quan hệ giữa các vectơ đó hãy chuyểnthành đẳng thức độ dài vectơ để tìm ra cách chứng minh” hoặc “hãy chuyển hóa

từ đẳng thức thức độ dài thành đẳng thức vectơ để tìm ra cách chứng minh”

Việc phát hiện những HĐ tơng thích với nội dung căn cứ một phần quantrọng vào sự hiểu biết về những HĐ nhằm lĩnh hội những dạng nội dung khácnhau

Khái niệm, định lý hay phương pháp, về những con đường khác nhau đểlĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn: con đường quy nạp hay suy diễn để xâydựng khái niệm, con đường thuần túy suy diễn hay có pha suy đoán để học tậpđịnh lý…

Trong việc phát hiện những HĐ tơng thích với nội dung, ta cần chú ý xemxét những dạng HĐ khác nhau trên những bình diện khác nhau, những dạng HĐsau đây cần được đặc biệt chú ý:

*) Hoạt động ngôn ngữ.

Sau khi học định lý côsin, HS đã viết đợc công thức tính cosA, cosB, cosCtheo a, b, c, chúng ta yêu cầu HS phát biểu công thức đó bằng lời của mình

(*) Những hoạt động trí tuệ chung.

Những HĐ trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự,trừu tợng hóa, khái quát hóa, cũng được tiến hành thờng xuyên khi HS học tậpmôn toán

Ví dụ:

Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:

MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2 (1)

b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một số chotrước.

Đây là bài toán trong SGK Hình học 10, phần lớn HS dễ dàng giải đượcbài toán này nhờ kiến thức vectơ Bằng các HĐ, GV hớng dẫn HS đặc biệt hóabài toán trong các trờng hợp sau ta sẽ có được bài toán mới:

Hoạt động 1: Đặc biệt hóa điểm M đối với công thức (1).

GV: Cho điểm M trùng với tâm O đờng tròn ngoại tiếp ABC ta có kết quả nh thế nào?

Mong đợi ở HS:

Kết quả: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 - OG2)

GV: Từ đó hãy phát biểu bài toán mới.

Bài toán: “Gọi G và O lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp 

Ta có MG2 = OM2 + OG2 - 2OM.OG.cos ( là góc giữa OM và OG, G

 O) Suy ra:

+ MG lớn nhất khi và chỉ khi cos = -1   = 1800  M là giao điểmcủa tia GO với đường tròn (O)

+ MG bé nhất khi và chỉ khi cos = 1   = 00  M là giao điểm củatia OG với đường tròn (O)

-Tìm M trên một cạnh của tam giác ABC (chẳng hạn trên cạnh BC) để T

bé nhất?

M là hình chiếu của G lên BC

- Tìm M trên đờng thẳng D bất kỳ để T bé nhất?

M là hình chiếu của G trên d

Hoạt động 3: Đặc biệt hóa tam giác ABC.

GV: Cho ABC đều cạnh a, G là trọng tâm, khi đó với mọi điểm M công thức (1) viết lại nh thế nào?

Hoạt động 4: Khái quát hóa bài toán, giả thiết tam giác thành tứ giác

ABCD ta sẽ có các kết quả như thế nào?

- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có kết quả

nh thế nào?

- Hãy khái quát bài toán cho n điểm A 1 , A 2 , A 3 , , A n ?

Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3, , An:

a CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn:        

Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n điểm

b CMR với mọi điểm M ta luôn có:

m IA m IA m IA 0 I gọi là tâm tỉ cựcủa hệ n điểm A1, A2, , An Khi đó với mọi điểm M ta có:

Như vậy xuất phát từ một bài toán đơn giản, bằng cách tổ chức các HĐđặc biệt hóa, khái quát hoá đã thu được một kết quả khá thú vị

(*) Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học rất quan trọng trong môn toán,nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lật ngược vấn đề, xéttính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trờnghợp,

Ví dụ: Hình thành định lý đảo của định lý Pitago

Đặt vấn đề: “Trong tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bẳng tổngbình phơng của hai cạnh góc vuông’’

Vậy, ngợc lại “Nếu một tam giác có bình phơng một cạnh bằng tổng bìnhphơng của hai cạnh còn lại thì tam giác đó có phải là tam giác vuông không?’’

b Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần:

Trong quá trình HĐ, nhiều khi một HĐ này có thể xuất hiện như mộtthành phần của một HĐ khác Phân tích được một HĐ thành những HĐ thànhphần là biết được cách tiến hành HĐ toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rènluyện cho HS HĐ toàn bộ, vừa chú ý cho học tập luyện tách riêng những HĐthành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Ví dụ: Dạy học Định lý về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn

Định lý về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn đợc phát biểu

nh sau: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm M cố định Một đờng thẳng thay đổi

đi qua M và cắt đờng tròn tại hai điểm A và B, khi đó tích vô hớng MA MB là một số không đổi

Để dẫn dắt HS phát hiện và chứng minh định lý này, GV có thể tổ chứccho HS thực hiện các HĐ thành phần sau:

- Khi cát tuyến MAB đi qua O thì tích MA MB = ?

Mong đợi ở HS:

) )(

( MB MO OA MO OB

c Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích:

Nói chung, mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều HĐ Tuy nhiên, nếukhuyến khích tất cả các HĐ nh thế thì có thể sa làm cho HS thêm rối ren Đểkhắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những HĐ đã phát hiện đợc để tập trungvào một số mục đích nhất định Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn

cứ vào tầm quan trọng của mục đích này đối với việc thực hiện những mục đíchcòn lại

d Tập trung vào những hoạt động toán học:

Trong khi lựa chọn HĐ, để đảm bảo sự tơng thích của HĐ đối với mục

đích dạy học, ta cần nắm đợc chức năng mục đích và chức năng phơng tiện củaHĐ và mối liên hệ giữa hai chức năng này Trong môn toán, nhiều HĐ xuất hiện

trớc hết nh phơng tiện để đạt đợc những yêu cầu toán học: Kiến tạo tri thức, rèn

luyện kỹ năng toán học Một số trong những HĐ nh thế nổi bật lên do tầm quantrọng của chúng trong toán học, trong các môn học khác cũng nh trong thực tế

và việc thực hiện thành thạo những HĐ này trở thành một trong những mục đích

dạy học Đối với những HĐ này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chứcnăng phơng tiện theo công thức của Faust:

O

A M

“Thực hiện chức năng mục đích của HĐ trong quá trình thực hiện chức năng phơng tiện” [21, tr29]

e Động cơ hoạt động:

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi HS phải có ýthức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩy bản thân họHĐ để đạt các mục đích đó Điều này được thực hiện trong dạy học không chỉ đơngiản Bằng việc nêu ra mục đích mà quan trọng hơn là do gợi động cơ

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những HĐ và của đốitợng HĐ Gợi động cơ nhằm làm cho những mục đích s phạm biến thành nhữngmục đích của cá nhân HS, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cáchhình thức

Ở những lớp dới, thầy giáo thờng dùng những cách như cho điểm, khenchê, thông báo kết quả học tập cho gia đình để gợi động cơ Càng lên lớp caocùng với sự trởng thành của HS, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trịngày càng được nâng cao, có những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung, h-ớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xãhội ngày càng trở nên quan trọng

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một trithức nào đó (thờng là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vìvậy, có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơkết thúc

i Gợi động cơ mở đầu:

Theo Pietzsch - 1980 (tr 5 - 7)

Gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học Khi gợiđộng cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:

- Thực tế gần gũi xung quanh HS

- Thực tế xây dựng rộng lớn (kinh tế, kỹ thuật, quốc phòng )

- Thực tế ở những môn học và khoa học khác

Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:

 Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể đơn giảnhóa vì lý do s phạm trong trờng hợp cần thiết

 Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung

 Con đường từ lúc nêu đến lúc GQVĐ càng ngắn càng tốt

Việc xuất phát từ thực tế không những chỉ có tác dụng gợi động cơ mà còngiúp phần hoàn thành thế giới quan duy vật biện chứng Nhờ đó HS nhận ra việcnhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề

về toán học như thế nào, tức là nhận ra toán học bắt nguồn từ những nhu cầu củađời sống thực tế Vì vậy, cần khai thác triệt để mọi khả năng để gợi động cơ xuấtphát từ thực tế, đương nhiên phải chú ý các điều kiện đã nêu ở trên

Tuy nhiên, toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do

đó không phải bất cứ nội dung nào, HĐ nào cũng có thể được gợi động cơ xuấtphát từ thực tế Vì vậy, ta còn cần tận dụng cả những khả năng gợi động cơ xuấtphát từ nội bộ toán học

Gợi động cơ từ nội bộ toán học là nêu lên một vấn đề toán học xuất phát

từ nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phương thức

tư duy và HĐ toán học Gợi động cơ theo cách này là cần thiết vì hai lẽ:

Thứ nhất, như đã nêu ở trên, việc gợi động cơ từ thực tế không phải baogiờ cũng thực hiện được

Thứ hai, nhờ gợi động cơ từ nội bộ toán học, HS hình dung được đúng sựhình thành và phát triển của toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dầndần tiến tới HĐ toán học một cách độc lập

Thông thờng khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn haymột chương, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế Còn đối với từngbài hay từng phần của bài thì cần tính tới những khả năng gợi động cơ từ nội bộtoán học mà những cách thông thờng là:

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế

Ví dụ:

Trong hình học phẳng ta có bài toán: Cho hai điểm A, B Quỹ tích nhữngđiểm M sao cho MA 2  MB 2  k 2 là đường tròn tâm O, trung điểm của AB, và bánkính là OM = 1 2 2

2k a

2 

Trong không gian kết quả bài toán trên sẽ như thế nào?

(ii) Hớng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc.

Ví dụ:

Lập quy trình các bước tính khoảng cách cho hai đường thẳng chéo nhau.Sau đó cho một hệ toạ độ nào đó trong không gian rồi tiến tới chuyển giao quytrình này cho máy tính

(iii) Chính xác hoá một khái niệm.

Có những khái niệm mà HS đó biết nhưng trước kia chưa thể có địnhnghĩa chính xác; đến một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lạivấn đề và giúp HS chính xác hoá khái niệm đó

Ví dụ:

Trong Vật lý, những đại lợng như vận tốc, gia tốc, lực, được gọi là đại ợng có hớng Để xác định các đại lợng đó, ngoài cường độ của chúng, ta cònphải biết hớng của chúng nữa Các đại lợng có hớng đó là gì? Chúng có tính chấtnhư thế nào? HS cũng mới chỉ hiểu một cách trực quan thông qua các hình vẽvật lí

l-(iv) Hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống

Ở cấp 2 ta chỉ xét các hệ thức lợng trong tam giác vuông Vấn đề đặt ra làtrong tam giác bất kì ta có những hệ thức lợng nào? Từ đó dẫn tới hai định lí cơbản trong tam giác là định lí côsin và định lí sin

(v) Lật ngợc vấn đề.

Sau khi chứng minh được một định lý, ta thờng đặt câu hỏi là liệu mệnh

đề đảo của định lý đó có đúng không?

Ví dụ: Sau khi học định lí Ta-let: “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn

ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ” Một câu hỏi tự nhiênđặt ra cho HS là hãy phát biểu mệnh đề đảo của định lí? Liệu nó có đúng không?

Từ đú dẫn đến định lí Ta-let đảo

(vi) Xét tơng tự

Chẳng hạn, để gợi động cơ cho việc phát hiện và chứng minh định lý “Nếu

G là trọng tâm ABC của thì với mọi điểm O bất kỳ ta có: 3 OG  OA  OB  OC “,

thầy giáo có thể dẫn dắt:

“Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O bất kỳ ta

đều có: 2OMOAOB Bây giờ nếu G là trọng tâm của ABC, ta hãy phát hiệnxem có đẳng thức véctơ nào tơng tự hay không?”

(vii) Khái quát hoá

Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đếnviệc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu [21, tr 21]

ii Gợi động cơ trung gian:

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặccho những HĐ tiến hành trong những bước đó để đi đến mục đích Gợi động cơtrung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn

Ví dụ:

Chứng minh rằng nếu G và G' lần lợt là trọng tâm tam giác ABC và A'B'C'thì 3GG'AA'BB'CC'

GV có thể gợi động cơ và hớng đích cho HS nh sau:

- Hãy chuyển giả thiết của bài toán sang ngôn ngữ véctơ và ghi giả thiết,kết luận của bài toán:

Giả sử HS đã giải bài toán: “Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng

minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: ( )

3

1

C O B O A O G

O    ”

Bằng cách phân tích vectơ nh sau:

.

G A A O G

.

G B B O G

.

G C C O G

Khi HS giải bài toán tơng tự đối với trọng tâm G của tứ giác ABCD, có thể

đặt vấn đề để họ phân tích vectơ tơng tự nh đối với trờng hợp tam giác

.

G A A O G

.

G B B O G

.

G C C O G

.

G D D O G

(iv)Khái quát hoá

Ví dụ:

Phát triển ví dụ ở mục (ii), khi HS giải bài toán tổng quát đối với trọng

tâm G của một hệ n điểm A1; A2; ;An trong mặt phẳng, có thể đặt vấn đề để họkhái quát hoá cách làm trong trờng hợp tam giác, tứ giác, phân tích vectơ O G

theo n cách nh sau:

.

1

1 A G A

O G

O    

.

2

2 A G A

O G

O   

3

3 A G A

O G

.

G A A O G

iii Gợi động cơ kết thúc:

Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi GQVĐ ta chưa thể làm rõ hoặc làmcho HS hoàn toàn rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện nội dungkia Những câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới được giải đáp hoặc giải đáp trọnvẹn Như vậy là ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội dunghoặc HĐ đó đối với việc GQVĐ đặt ra

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong HĐ họctập nh các cách gợi động cơ khác Mặc dầu nó có tác dụng kích thích đối với nộidung đã qua hoặc hoạt động đó thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúcđẩy hoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trờnghợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trờng hợp tơng tự saunày

Ví dụ: Thông qua gợi động cơ ban đầu HS nắm đợc cách tự hình thành

khái niệm, cách hớng đích, hình thành phát hiện định lý, định hớng giải các bàitoán Cách gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc nhằm dạy cách tự suynghĩ giải quyết vấn đề và phát triển các kiến thức Toán học Chẳng hạn, để dạycho HS hình thành định lí sin trong tam giác, trớc hết GV hớng cho HS từ ABCvuông ở A, BC = a, CA = b, AB = c và cho HS biểu diễn sinA, sinB, sinC theo

a,b,c Rồi cho BC = a = 2R để HS đi đến a = b = c = 2R

sinA sinB sinC Tiếp theo,

GV cho HS giải tơng tự đối với ABC đều Cuối cùng dự đoán phát biểu cho ờng hợp ABC bất kỳ và hớng dẫn HS chứng minh bằng cách gợi động cơ tạomối liên hệ giữa tam giác đã cho và một tam giác vuông ràng buộc 2 tam giáccùng nội tiếp trong một đờng tròn bán kính R

1.2.1.2 Cơ sở tâm lý học:

Theo các nhà tâm lý học, con ngời chỉ bắt đầu t duy tích cực khi nảy sinhnhu cầu, tư duy tức là khi đứng trớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắcphục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như X.L Rubin Stein: “Tư duy sáng

tạo luôn luôn bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề”

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học:

Dạy học PH và GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tích cực tự giác và tích cựcvì nó khơi gợi cho hoạt động, học tập mà chủ thể đợc hớng đích, gợi động cơtrong quá trình PH và GQVĐ

Dạy học PH và GQVĐ cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức,phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất Những trí tuệ mới (đối vớiHS) được kiến tạo nhờ quá trình PH và GQVĐ Tác dụng phát triển năng lực trítuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ HS học được cách khám phá tức là rèn luyện

cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và GQVĐ một cách khoa học Đồng thời,dạy học PH và GQVĐ cũng góp phần bồi dỡng cho ngời học những đức tính cầnthiết của ngời lao động sáng tạo nh tính chủ động, tích cực, tính kiên trì vượtkhó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.1.2 Những khái niệm cơ bản của dạy học PH và GQVĐ

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn cha biết ít nhất một phần tử của

khách thể thì tình huống này đợc gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể

Trong một tình huống bài toán, nếu trớc chủ thể đặt ra mục đích tìm phần

tử cha biết nào đó dựa vào những phần tử cho trớc trong khách thể thì ta có một

bài toán.

Một bài toán đợc gọi là vấn đề nếu chủ thể cha biết một thuật giải nào có

thể áp dụng để tìm ra phần tử cha biết của bài toán

b Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề còn gọi tình huống vấn đề, là một tình huống gợi racho HS những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khảnăng vượt qua, nhng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chấtthuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biếnđối tợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn vớitrình độ nhận thức, chủ thể phải nhận thức đợc một khó khăn trong t duy hoặchành động mà vốn hiểu biết sẵn có cha đủ để vượt qua

- Nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề nhng HS thấy nó xa lạkhông muốn tìm hiểu thì đây cha phải là một tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề phải phản ánh đợc tâm trạng ngạc nhiên của HS khinhận ra mâu thuẫn nhận thức, khi động chạm tới vấn đề, HS phải cảm thấy cầnthiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

- Gây niềm tin ở khả năng:

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng HS cảmthấy xa lạ không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống có vấn

đề Trong tình huống có vấn đề, HS phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giảiquyết vấn đề đó

1.2.3 Dạy học PH và GQVĐ

Trong DH GQVĐ, GV tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HSphát hiện vấn đề, HĐ tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó màlĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt đợc những mục đích học tập khác

Có thể sơ đồ hoá quá trình dạy học giải quyết vấn đề nh sau:

x

t h

là một sự mách bảo bất ngờ, không nhận thức đợc Quá trình rèn luyện HS độclập vợt qua trở ngại sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sángtạo

Trong dạy học PH và GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn

đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sángtạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng

và đạt được những mục đích học tập khác

Dạy học PH và GQVĐ có những đặc điểm sau đây:

- HS được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là đượcthông báo tri thức dới dạng có sẵn

- HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, cật lực huy động trithức và khả năng của mình để PH và GQVĐ chứ không phải chỉ nghe thầy giảngmột cách thụ động

- Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội được kết quảcủa quá trình PH và GQVĐ mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiếnhành những quá trình nh vậy Nói cách khác, HS được học bản thân việc học

- Tự nghiên cứu vấn đề

Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của ngời học đợc phát huy cao

độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, HS tự PH và GQVĐ đó Thầygiáo giúp HS cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề Nh vậy, trong hình thức này,ngời học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quátrình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho HS năng lực giải quyết các vấn đềmột cách trọn vẹn

- Vấn đáp PH và GQVĐ

Trong vấn đáp PH và GQVĐ, HS làm việc không hoàn toàn độc lập mà có

sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này

là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

Nh vậy có sự đan kết, thay đổi HĐ của thầy và trò dới hình thức vấn đáp

Với hình thức này ta thấy dạy học PH và GQVĐ có phần giống vớiphương pháp vấn đáp Tuy nhiên hai cách dạy học này không đồng nhất vớinhau Nét quan trọng của dạy học PH và GQVĐ không phải là những câu hỏi mà

là những tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặtnhiều câu hỏi, nhng những câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ

học đó vẫn không phải là dạy học GQVĐ Ngược lại trong một số trờng hợp,việc PH và GQVĐ của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn

đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra

- Thuyết trình PH và GQVĐ

Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thứctrên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy pháthiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơnthuần nêu lời giải) Trong quá trình đó có việc tìm tòi, dự đoán, có lúc thànhcông, có khi thất bại, phải điều chỉnh phương hớng mới đi đến kết quả Như vậytri thức được trình bày không phải dới dạng có sẵn mà là trong quá trình ngời takhám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khámphá thực sự Cấp độ này được dùng nhiều hơn ở những lớp trên: trung học phổthông, đại học

1.2.5 Hoạt động PH và GQVĐ

Hoạt động PH và GQVĐ là hoạt động nhận thức vừa bao gồm HĐ pháthiện và hoạt động GQVĐ (GQVĐ là HĐ nhận thức phức tạp, để GQVĐ chủ thểtrớc hết phải có lòng ham muốn GQVĐ, có mục tiêu và niềm tin thực hiện đượcmục tiêu đó, đồng thời biết huy động các năng lực trí tuệ: trí nhớ, tri giác, kháiniệm, suy luận, tham gia tích cực và HĐ GQVĐ GQVĐ vừa là quá trình, vừa làquy trình, vừa là phơng tiện để cá nhân sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinhnghiệm đó có để giải quyết một tình huống có vấn đề mà cá nhân có nhu cầu

Thực hiện PH và GQVĐ bao gồm các bước sau:

+ Bớc 1: Phát hiện vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề

- Giải thích và chính xác hóa tình huống để hiểu đúng vấn đề đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục đích GQVĐ đó

+ Bớc 2: Tìm giải pháp

Thờng đợc thực hiện theo sơ đồ sau:

+ Bước 3: Trình bày giải pháp

+ Bước 4: Nghiên cứu sau giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng của giải pháp

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và GQVĐ nếu có thể

1.2.6 Những cách thông dụng để gợi vấn đề

Để thực hiện dạy học PH và GQVĐ, điểm xuất phát là tạo ra tình huốnggợi vấn đề Một số GV nghĩ rằng dạy học PH và GQVĐ tuy hay nhng có vẻ ít cơhội thực hiện do khó tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề Để xóa bỏ ấn tợngkhông đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến Chẳnghạn, có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng nhưsau:

(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc, )

Ví dụ: Từ định nghĩa hình bình hành, HS mới chỉ biết đợc rằng các cạnh

đối của hình bình hành song song với nhau, nhìn vào hình vẽ hình bình hànhbằng mắt thờng và có thể bằng đo đạc, kiểm chứng, họ còn thấy rằng các cạnh

Bắt đầu

PT vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

đối của hình bình hành cũng bằng nhau Từ đó, gợi ra vấn đề: Phải chăng trongmột hình bình hành, các cạnh đối luôn luôn bằng nhau

(ii) Lật ngược vấn đề

Ví dụ: Sau khi HS đã học định lý Pitago: Trong một tam giác vuông, bìnhphơng cạnh huyền bằng tổng bình phơng hai cạnh góc vuông, có thể lật ngợc vấnđề: Nếu trong một tam giác mà bình phơng một cạnh bằng tổng các bình phơngcủa hai cạnh kia thì tam giác đó có phải là một tam giác vuông hay không?

(iii) Xem xét tơng tự

Ví dụ: Từ điều đã biết là “Tổng các góc trong một tam giác bằng 1800 hay2v có thể suy ra điều gì về tổng các góc trong của một tứ giác? Tổng các góctrong của một tam giác luôn bằng một hằng số, vậy tổng các góc trong của một

tứ giác (lồi) có phải là một hằng số hay không?

(iv) Khái quát hóa

Ví dụ: Khái quát các trờng hợp tam giác và tứ giác, có thể gợi ra vấn đề

“Tổng các góc trong của một đa giác (lồi) có phải là một hằng số hay không?”

(v) Giải bài tập mà ngời học cha biết thuật giải

) 375

Điều đó có nghĩa là nếu ta xây dựng đợc công thức biểu diễn cos150 quagiá trị của các góc 600; 450; 300 thì bài toán đợc giải quyết

Từ đó GV khái quát hoá:

Biết giá trị lợng giác của các cung a và b Dùng công thức gì để tính cácgiá trị lợng giác của các cung a + b và a - b?

(vi) Tìm sai lầm trong lời giải

GV đưa ra một lời giải (có thật hay h cấu) để HS phát hiện sai lầm cũngtạo ra một tình huống gợi vấn đề

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi thấy được một sai lầm khi giải toán, HS cũng được đặt vào mộttình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sửa chữasai lầm

13Theo định lý hàm số côsin ta có AB2 = 2AC2 - 2AC2 cosC

S = AC sinC = 5

2

1.3 Dạy học PH và GQVĐ theo tinh thần quán triệt quan điểm hoạt động

1.3.1 Dạy học khái niệm

a/ Vị trí và yêu cầu của dạy học khái niệm Toán học

Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quantrọng hàng đầu Việc hình thành một hệ thống các khái niệm Toán học là nềntảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệuquả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trítuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho HS Thực tiễn dạy học cho thấy, HSkhông giải đợc bài tập phần lớn là do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩntrong câu hỏi của đề toán

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trờng THPT nhằm giúp HS dầndần đạt đợc các yêu cầu sau:

- Hiểu đợc các tính chất đặc trng của khái niệm đó

- Biết nhận dạng khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm

- Biết vận dụng khái niểm trong những tình huống cụ thể trong HĐ giảitoán cũng nh HĐ thực tiễn

- Hiểu đợc mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong mộtthống khái niệm

b/ Các con đờng hình thành khái niệm

*) Con đờng quy nạp.

Theo con đờng này, xuất phát từ một số trờng hợp cụ thể (chẳng hạn nhm” hình, hình vẽ, ví dụ cụ thể ), bằng cách trừu tợng hoá và khái quát hoá, phântích, so sánh GV dẫn dắt HS tìm ra dấu hiệu đặc trng của khái niệm

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đờng này thờng diễn ra nh sau:

- GV đa ra một khái niệm cụ thể để HS thấy sự tồn tại của một loạt đối ợng nào đó

t GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung củacác đối tợng đang đợc xem xét.(Có thể có cả những đối tợng không có những đặc

*) Con đờng suy diễn

Trong đó, việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa từ kháiniệm cũ mà HS đã biết

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đờng này thờng diễn ra nh sau:

- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đómột số đặc điểm mà ta quan tâm.

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nónhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những cùng với những khái niệm hạnchế một số bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

- Đa ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa đợc định nghĩa

Về hình thành khái niệm mới bằng con đờng suy diễn (có minh họa sự tồntại của khái niệm thông qua ví dụ) tiềm tàng khả năng phát huy tính chủ động vàsáng tạo của HS trong học tập môn Toán, tiết kiệm thời gian Tuy nhiên, con đ-ờng này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, sosánh

*) Dạy học khái niệm theo con đường kiến thiết

Trong khi con đờng quy nạp và con đờng suy diễn đợc trình bày nhiềutrong cách sách báo, tài liệu về tâm lý học và giáo dục học thì con đờng kiếnthiết mới chỉ đợc đề cập trong những bài giảing của Pietzsch Nội dung mục này

đợc trình bày dựa theo tài liệu của ông (xem Pietzsch 1980, tr 14 - 15)

Con đờng tiếp cận một khái niệm theo con đờng kiến thiết thờng diễn ra

nh sau:

(i) Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần đượchình thành hớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toánhọc hay từ thực tiễn;

(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc

điểm đặc trng cho khái niệm cần hình thành

(iii) Phát triển định nghĩa đợc gợi ý do kết quả bớc (ii)

Con đờng này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suydiễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát về xây dựng một haynhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ởchỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện riêng lẻ đi đến đặc

điểm tổng quát đặc trng cho khái niệm cần định nghĩa

c/ Các hoạt động dạy học khái niệm

- HĐ định nghĩa khái niệm

bài toán, đặc biệt là những bài toán tổng hợp Điều đó vừa có tác dụng củng cốkhái niệm, đồng thời phát triển năng lực vận dụng Toán học.

d/ Trình tự dạy học khái niệm

- HĐ1: là HĐ dẫn vào khái niệm, giúp HS tiếp cận khái niệm, có thể thựchiện đợc bằng cách thông qua một ví dụ, hoặc một hiện tợng có trong thựctiễn,

- HĐ2: là HĐ hình thành khái niệm, giúp HS có đợc khái niệm, có thểthực hiện đợc bằng cách khái quát hoá

- HĐ3: là HĐ củng cố khái niệm thông qua các HĐ nhận dạng và thể hiệnkhái niệm; khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

- HĐ4: Bớc đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

- HĐ5: Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

Thông qua các HĐ này, chú ý thể hiện đợc các yêu cầu của dạy học kháiniệm đã nêu ở trên

Ví dụ 1: Dạy học khái niệm véctơ

Khi dạy học khái niệm véctơ, điều đầu tiên chúng ta phải cho HS thấy đợc

đại lợng “có hớng” là rất cần thiết, nói một cách khác, thầy cần hình thành biểutợng về khái niệm véctơ để gợi cho HS nhu cầu nhận thức khái niệm mới này Cóthể liên hệ đến vật lý để nói đến các đại lợng vô hớng và đại lợng có hớng

Chẳng hạn, có thể gợi động cơ xuất phát từ thực tế sau:

“Nếu chỉ biết một tàu thuỷ chạy thẳng đều với vận tốc 25 hải lý một giờ(đại lợng vô hớng) mà không nói rõ nó chạy theo hớng nào thì ta không thể biếtsau 3 giờ nữa nó sẽ ở vị trí nào trên mặt biển Do đó ta phải biểu thị vận tốc củatàu thuỷ bằng một mũi tên để chỉ hớng của chuyển động Nh vậy, các đại lợng cóhớng thờng đợc biểu thị bằng những mũi tên “" và gọi là những véctơ Vậyvéctơ là gì ?”

Tiếp theo, thầy giáo có thể dẫn dắt HS nh sau:

Giả sử ta có đoạn thẳng AB

Nếu thêm dấu “  ” vào điểm B thì ta có

véctơ mà điểm đầu là A và điểm cuối là B, gọi là “véctơ AB”

Ngợc lại, nếu thêm dấu “  ” vào điểm A thì ta đợc véctơ mà điểm đầu là

B và điểm cuối là A, gọi là “véctơ BA”

Để giúp HS tiến hành các HĐ phân tích, so

sánh, đối chiếu lựa chọn những đối tợng có dấu

hiệu bản chất của khái niệm véctơ thầy dẫn dắt HS:

- Vậy véctơ là gì ?

- Hãy cho biết điểm khác nhau giữa véctơ và đoạn thẳng ? (Qua đó GVnhấn mạnh điểm khác nhau cơ bản giữa véctơ và đoạn thẳng, đó là một đại lợngvô hớng và đại lợng có hớng)

- Với 2 điểm A và B phân biệt thì ta có đoạn thẳng nào ? Véctơ nào?

- Hãy phát biểu định nghĩa véctơ

Khi HS đã đa ra định nghĩa véctơ, thầy giáo cũng nên nhận xét câu trả lờicủa HS và “chốt” lại:

Nh vậy: “Véctơ là một đoạn thẳng có hớng, nghĩa là trong hai điểm mútcủa đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối; Với 2

điểm A và B phân biệt thì ta có hai véctơ khác nhau là AB và BA Đặc biệt, nếu

A và B trùng nhau thì ta có véctơ AA hoặc BB gọi là véctơ không”

Nhìn một cách khái quát ta thấy tình huống nêu trên là sự thể hiện củamột tình huống điển hình khi dạy học véctơ, đó là khám phá định nghĩa véctơ.Các thành phần của tình huống này có thể chỉ ra là:

- Tình huống đợc xây dựng để dạy khái niệm véctơ

- Tình huống đợc đa ra từ việc gợi động cơ từ thực tế (Liên hệ với môn vậtlý)

- Tình huống nhằm giúp HS thấy đợc sự tất yếu phải có định nghĩa véctơ,giúp HS nắm vững định nghĩa khái niệm véctơ, đây là một trong những mục đíchchủ yếu khi dạy chủ đề véctơ

- HĐ toán học của HS trong tình huống là HĐ phân tích, tìm tòi các dấuhiệu bản chất đi đến định nghĩa khái niệm véctơ

Ví dụ 2: Dạy học định nghĩa hai véctơ bằng nhau

Sau khi HS đã hiểu thế nào là hai véctơ cùng phơng, cùng hớng, thế nào là

độ dài của véctơ, để đi đến định nghĩa hai véctơ bằng nhau chúng ta có thể đitheo cách sau:

Xuất phát từ hình bình hành ABCD,

thầy giáo có thể gợi động cơ hình thành khái

niệm nh sau:

- Hai véctơ AB và CD có cùng độ

dài nhng liệu chúng ta có thể nói rằng hai

véctơ này bằng nhau và viết AB = CD đợc

- Hai véctơ AB và DC có cùng độ dài, cùng hớng

Sau đó, thầy ’‘chốt’‘ lại:

“Hai véctơ AB và DC có cùng hớng và cùng độ dài, khi đó ta viết AB =

DC” Và nêu câu hỏi:

- Vậy thế nào là hai véctơ bằng nhau ?

Khi HS đã thực hiện xong HĐ ngôn ngữ (phát biểu chính xác định nghĩahai véctơ bằng nhau), thầy giáo có thể tổ chức cho HS HĐ nhận dạng và thể hiệnkhái niệm đó nh sau:

HĐ 1: (HĐ nhận dạng)

Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng, AB = CD = 2cm

- Hãy chỉ ra các véctơ bằng nhau mà có điểm đầu là các điểm A, B, C, D Từcâu trả lời của HS, thầy lu ý HS, cấu trúc “hội” của định nghĩa hai véctơ bằng nhau(Hai véctơ phải thoả mãn đồng thời 2 điều kiện: Cùng hớng, cùng độ dài)

HĐ 2: (HĐ thể hiện khái niệm)

- Cho véctơ a và một điểm O bất kỳ không nằm trên đờng thẳng chứa a.Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho OA = a Có bao nhiêu điểm A nh vậy?

Thầy giáo có thể phân bậc HĐ thông qua những gợi ý sau:

Ví dụ 3: Lũy thừa với số mũ nguyên âm (đã quy ớc a0 = 1 với a  0) (i) Xây dựng một đối tợng đại diện

Ta muốn định nghĩa chẳng hạn 3-4 Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừamới này cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, chẳnghạn am.an = am+n, ta cần có:

Một cách tổng quát, để đảm bảo lũy thừa với số mũ âm cũng có các tính

chất cơ bản của lũy thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa: m 1

m

a a



 ,trong đó a là một số thực, còn m là một số tự nhiên

(iii) Phát biểu một định nghĩa đợc gợi ý do kết quả bớc (ii)

1

m m

a a





Trong đó a là một số thực, còn m là một số tự nhiên

1.3.2 Dạy học định lý.

a/ Vị trí và yêu cầu của dạy học định lý toán học,

Việc dạy học các định lý toán học nhằm cấp cho HS một hệ thống kiếnthức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suyluận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ

Việc dạy các định lý toán học cần đạt các yêu cầu:

- Nắm được nội dung các định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng các định lý vào HĐ giải toán, cũng như vào các HĐ ứngdụng khác

- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luậnchính xác (tuy nhiên phù hợp với nhận thức của HS THPT)

- Phát triển năng lực chứng minh toán học

b/ Các con đường dạy học định lý

Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học định lý toán học (trong đó có định lýhình học) đợc thực hiện theo một trong hai con đường sau:

- Con đường suy diễn

- Con đường có khâu suy đoán

Việc lựa chọn con đường nào không phải là tuỳ tiện, mà phụ thuộc vàonội dung định lý và điều kiện cụ thể về HS

1.3.2.1 Dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán

Theo con đường này, để dạy học một định lý chúng ta thờng đi theo cácbước sau:

1/ Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trongthực tiễn hoặc trong nội bộ toán học

2/ Dự đo¸n hoÆc ph¸t biểu mét định lý.

3/ Chøng minh định lý

4/ Vận dụng định lý vừa t×m được để gi¶i quyÕt, khÐp kÝn vÊn đề đặt ra khigîi động cơ

5/ Cñng cố định lý

1.3.2.2 D¹y học định lý theo con đường suy diễn.

Theo con đường nµy, để d¹y học mét định lý chóng ta thêng đi theo c¸cbước sau:

1/ Gîi động cơ häc tËp như ở con đường thø nhÊt

2/ XuÊt ph¸t tõ nh÷ng tri thøc to¸n học đã biÕt, dïng suy diễn logic dẫnđến định lý

c/ C¸c HĐ d¹y học định lý

i/ HĐ chøng minh định lý

Dựa vµo c¸c quan điểm chñ đạo cña quan điểm HĐ, cÇn chó ý gi¶i quyÕtc¸c vÊn đề sau:

- Gîi động cơ chøng minh

- RÌn luyện cho HS nh÷ng HĐ thµnh phÇn trong chøng minh

- Truyền thụ nh÷ng tri thøc phương ph¸p vÒ chøng minh

- Ph©n bậc HĐ chøng minh

ii/ HĐ củng cố định lý

Gồm cã:

- HĐ nhËn dạng vµ thÓ hiÖn định lý

- HĐ ngôn ngữ: chú trọng phân tích cấu trúc cấu trúc logic, cũng nhưphân tích nội dung định lý, khuyến khích HS thay đổi hình thức phát biểu định lýnhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập ý nghĩ của mình.

- Các HĐ khác nh: khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá và kỹ thuậtvận dụng định lý trong khi giải bài tập

Có thể gợi động cơ hớng đích và mở đầu như sau:

Một ngời đứng ở vị trớ C muốn đo khoảng cách từ A đến B nhng khôngthể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Có cách nào xác định đượckhoảng cách AB không? nếu từ C ngời đó nhìn được A và B, độ dài AC, BC biếttrước

Nội dung định lý giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó

HĐ1: Cho tam giác ABC vuông ở C, AB = c, AC = b, BC = a

Hãy phát biểu hệ thức liên hệ giữa 3 cạnh a, b, c ?

HĐ2: Khi góc C tù, hãy dự đoán hệ thức liên hệ giữa 3 cạnh a, b, c?

HĐ3: (Dẫn dắt HS suy đoán định lý)

GV: Yêu cầu HS thực hiện các thao tác sau:

Hãy kẻ đường cao AH của tam giác ABC.H

C

BA

bac

Hãy tính AB theo HA, HB.

GV: Hãy tính CH theo AC, b và cosC

Từ đó hãy viết biểu thức liên hệ giữa 3 cạnh trong tam giác

Định lý hàm số côsin cho phép ta:

+ Tính độ dài một cạnh khi biết 2 cạnh còn lại và góc xen giữa

A bc c b







Ab

a = 2R

+ Tính góc khi biết độ dài 3 cạnh của tam giác

bc

a c b A

2 cos

2 2 2

ACB Hãy tính AB

2/ Xét xem mệnh đề sau đúng hay sai?

Thông qua HĐ này, HS sẽ đợc tập duyệt HĐ vận dụng định lý để giảitoán, từ đó thấy đợc ứng dụng thực tế của định lý

Ví dụ 2: Dạy học định lý hàm số sin

HĐ1: Gợi động cơ nhằm để HS phát hiện định lý

- Hãy quan sát mối quan hệ giữa cạnh và góc trong ABC vuông tại A

- Các em đó biết các hàm số lợng giác của các

c B

b a

2 sin sin

Ca

Cho đường tròn bán kính R, ta dựng đợc ABC đều có cạnh R 3 nộitiếp đường tròn

R R

a

2 2 3

3 sinA  

- Hãy phát biểu mệnh đề đối với tam giác bất kỳ

HĐ2: Phát hiện định lý

R C

c B

b a

2 sin sin

HĐ5: Vận dụng định lý để giải quyết bài toán thực tiễn

Bài toán: Một ngời ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B Khi tàu đỗ ở ga

A, qua ống nhòm ngời đó nhìn thấy một toà tháp C, hớng nhìn từ ngời đó đếntháp tạo với hớng đi của tàu một góc khoảng 600 Khi tàu đỗ ở ga B tiếp theo, ng-

ời đó nhìn lại vẫn thấy toà tháp C, hớng nhìn của ngời đó đến tháp tạo với hớng

đi của tàu một góc khoảng 450 Biết rằng đường tàu nối 2 ga dài 8 km Hỏikhoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?

Ví dụ 3: Dạy học định lý về các công thức tính diện tích tam giác

HS: Ký hiệu S là diện tích ABC, a = BC, b = CA, c = AB, ha,hb, hc là độdài ba đường cao xuất phát từ A,B,C.

- Tính ha trong AHC theo b và góc C (xét hai trờng hợp góc B tự và góc

B nhọn), sau đó thay vào công thức S =21 a ha

- Thực hiện HĐ này HS sẽ đi đến công thức S = 12ab sin C

Tơng tự sẽ có: S = 21absinC21bcsinA21 ac sinB (2)

2/ - Từ định lý hàm số sin Suy ra sinC ?

S = SOBC + SOAC + SOAB

= r a r b r.c

2

1 2

1 2

GV tổng kết lại các công thức tính diện tích tam giác, đồng thời chỉ ra cho

HS thấy khi nào thì nên sử dụng công thức nào

Chẳng hạn: Tính diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tamgiác ABC có 3 cạnh a = 13; b = 14; c = 15

Ta biết rằng có nhiều cách để tính được S, r và R Điều quan trọng là mìnhphải biết lựa chọn cách nào cho phù hợp, ít thao tác, tính toán đơn giản hơn mà

áp dụng

Tóm lại trong ví dụ trên chúng tôi đã tổ chức cho HS các HĐ để tìm rađịnh lý theo con đường suy diễn Xuất phát từ một công thức tính diện tích tamgiác quen thuộc GV tổ chức cho HS các HĐ suy diễn để dẫn dắt họ đi đến cáccông thức mới

1.3.3 Dạy học quy tắc, phơng pháp.

Thực ra, những quy tắc, phơng pháp không hoàn toàn đối lập với địnhnghĩa và định lý Có những quy tắc, phơng pháp dựa vào một định nghĩa hay

định lý, có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định

lý Tuy nhiên, việc dạy học loại hình tri thức này có những nét riêng, vì vậy nó

đ-ợc trình bày tách biệt trong mục này

ở đây, chúng tôi trình bày việc dạy học quy tắc, phơng pháp đợc phân biệtdựa trên khái niệm thuật giải

1.3.3.1 Những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải

a Khái niệm về thuật giải và quy tắc tựa thuật giải