Luận văn đường trắc địa trên mặt trong e3

Trong khóa luận này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơbản, chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ về độ cong trắc địa, đ-ờng trắc địa trên các mặt

Mở đầu

Độ cong trắc địa và đờng trắc địa có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý vàtrong thực tiễn cuộc sống Chẳng hạn sử dụng nó để đo đạc và xử lý số liệu nhằmxác định hình dạng kích thớc của các đối tợng đo, của các nghiên cứu khoa học Do

đó vấn đề này đợc trình bày nhiều trong giáo trình hình học vi phân Vì vậy đây làmột đề tài tuy không còn mới nhng bổ ích cho tác giả trong việc học tập và bớc đầulàm quen với việc nghiên cứu

Trong khóa luận này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơbản, chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ về độ cong trắc địa, đ-ờng trắc địa trên các mặt trong không gian ơclit E3

Khóa luận đợc trình bày trong bốn mục sau:

Đ1 Mặt trong E3

Đ2 Công thức Darboux

Đ3 Độ cong trắc địa

Đ4 Phơng trình đờng trắc địa

ở Đ1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của mặt trong

E3 Đó là mảnh hình học, các tham số hóa tơng đơng, ánh xạ Weigarten trên mặttrong E3 và các tính chất của chúng

Trong Đ2, chúng tôi trình bày các tính chất của trờng mục tiêu Darboux vàcông thức Darboux

ở Đ3, chúng tôi trình bày độ cong trắc địa của Γ, đờng trắc địa của Γ và mộtvài tính chất của nó

Trong Đ4, từ phơng trình đờng trắc địa, chúng tôi tìm một vài đờng trắc địa trêncác mặt quen biết Chẳng hạn mặt cầu, mặt trụ

Khóa luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - trờng Đại học Vinh.

Nhân dịp hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn của thầy trong suốtquá trình chúng tôi làm khóa luận Đồng thời chúng tôi cũng chân thành cảm ơncác thầy, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè, ngời thân đã giúp đỡ chúng tôi trongquá trình học tập và hoàn thành khóa luận này

Vinh tháng 4-2005

Tác giả

r(u, v0) (trong đó u thuộc một khoảng J ⊂ R nào đó) thì Γv0 gọi là đờng tọa độ u

qua (u0, v0) và ta cũng có đờng Γu0 đợc xác định bởi tham số v  r(u0, v) gọi là đờng

tọa độ v qua điểm (u0, v0)

• Điểm (u0, v0) gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu tại điểm đó rdìm (tức là {r' u(u0,v0), r'v(u0,v0)} độc lập tuyến tính) Trong đó r'u(u0, v0), r'v(u0, v0)thuộc T r(u0,v0)E3.

• Điểm (u0, v 0) đợc gọi là điểm kỳ dị nếu {r' u(u0, v 0), r'v(u0, v 0)} phụ thuộc tuyếntính

• Mảnh tham số r đợc gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểmchính quy

Đờng thẳng qua r(u0, v0) thẳng góc T r(u0,v0)E3 gọi là pháp tuyến của r tại(u0, v0)

Trong E3 giả sử r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), trong đó x(u, v), y(u, v) và

z(u, v) là những hàm số trên U thì phơng trình T r(u0,v0)E3 tại điểm chính quy (u0,

v0)

) , ( )

, ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0

v u z v

u y v

u x

v u z v

u y v

u x

v u z Z v u y Y v u x X

v v

v

u u

,

(

) , ( )

,

(

) , (

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0

v u z v

u

y

v u z v

u

y

v u

x

X

v v

u u

) , ( ) , (

) , (

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0

v u x v u z

v u x v u z

v u y Y

v v

u u

) , ( ) , (

) , (

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0

v u y v u x

v u y v u x

v u z Z

v v

u u

u u

p v p u

r r

r r

/ /

/ /

Chú ý • Nếu λ là một vi phôi bảo toán hớng thì r gọi là mảnh định hớng

• Một mảnh định hớng khi và chỉ khi pháp tuyến khác vectơ không tại mọi điểm

• Một mảnh song chính quy luôn định hớng đợc

Ví dụ: r : R2→ E3

(u, v)  r(u, v) = (2u + v, u - v, uv) là mảnh tham số

Thật vậy, mỗi hàm tọa độ x = 2u + v, y = u - v, z = uv có các đạo hàm riêngtheo u và v tồn tại và liên tục Nên các hàm số x, y, z khả vi Do đó r khả vi, vậy r làmột mảnh tham số trong E3

Trong hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz Chứng minh rằng ánh xạ sau là tham

số hóa của mảnh hình học trong E3

r : U = {(u, v) ∈ R2| u > 0, v > 0}→ E3

(u, v)  r(u, v) = (u2, uv, v2)

Thật vậy, ánh xạ r đã cho ở trên có thể biểu thị dới dạng

Ta suy ra {r' u, r'v} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) nên r là một dìm.

Với (u, v) ≠ (u1, v 1) của U thì ta luôn có (u 2, uv, v2) ≠ ( 2

Kết luận: r là một dìm, đồng phôi lên ảnh tức r là mảnh tham số của mảnh hình

học r(U) trong E3 (Ngoài ra, ta còn có mảnh hình học này là một bộ phận của mặtnón bậc hai xác định bởi điều kiện y2 = xz, với x > 0, y > 0, z > 0)

Chú ý: Nếu S là mảnh hình học với tham số hóa r : U → E2 thì mọi tập mở U∗

⊂ U, r(U∗) là mảnh hình học với tham số hóa r~ = r U∗

1.4 Mệnh đề

Hai tham số hóa của mảnh hình học luôn tơng đơng.

Chứng minh Ta giả sử r : U → E3 và r∗: U∗→ E3 là hai tham số hóa của mảnhhình học S, trong đó r(U) = r∗(U∗) = S Khi đó λ = r∗-1 o r : U → U∗ là một đồngphôi

Bây giờ ta chứng minh λ và λ-1 khả vi

Ta chứng minh λ khả vi (λ-1 ta chứng minh tơng tự) vì tính chất khả vi có mộttính chất địa phơng tại từng điểm nên ta có thể xem r∗ là một tham số hóa kiểu đồthị.

(y, z)  (± R2 −y2 −z2 ,y,z)

1.7 Mệnh đề

S ⊂ E3, S ≠φ là mặt trong E3 khi và chỉ khi với mỗi điểm p thuộc S có tập mở

W (mở trong S) chứa p và có hàm số ϕ : W → R khả vi, ϕ có hạng bằng 1 và

F y

F x

, ∀p ∈ S là pháp tuyến của S tại p

Chứng minh Giả sử α ∈ Tp S Khi đó α = ρ'(t 0) với ρ : J → S, p = ρ(t0)

t  ρ(t)

và J = (a, b), t0∈ J

Vì ρ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ S, nên F(x(t), y(t), z(t)) = 0, ∀t ∈ J

Ta có dF dt p = 0

F x

F

,

VËy F cã h¹ng b»ng 1, víi ∀x,y,z ∈ S

vµ ph¸p tuyÕn cña S t¹i p lµ np(x, y, z), ∀p ∈ S

Ta tiếp tục chứng minh tính đối xứng của hp.

Thật vậy, ta xét tham số hóa địa phơng

2 1 1

) (

) (

ed ec e h

e b e a e h

b e e h

p

p

1 2

2 1

b a

Nên phơng trình trên luôn có hai nghiệm đối với k

Ta chú ý rằng khi biết đợc K(p) và H(p) tại p thì ta tính đợc các độ cong chính

K1(p), K2(p) bằng cách tìm nghiệm của phơng trình

X2 - 2H(p)X + K(p) = 0

1.16 Ví dụ Giả sử mặt trụ trong E3 đợc xác định bởi tham số

r : R2 → E3

(u, v)  (acosu, asinu, bv); a, b > 0

v u

R R

R R

01

K p

2 1

) ( 0

Nh ta đã biết, mỗi vectơ riêng ứng với các giá trị riêng K1, K2 tại p đợc gọi là

phơng chính của S tại p.

vuông góc với nhau.

Chứng minh Giả sử hai phơng chính là α1, α2, ta có

h p(α1).α2 = hp(α2).α1

Cũng trong mục này, ta luôn giả thiết S là một mặt định hớng bởi trờng vectơpháp tuyến đơn vị n trong E3 và Γ là một đờng cong song chính quy, định hớng, đ-

ợc xác định bởi tham số hóa

ρ : J → S (ở đây J là khoảng mở (a, b) trong R)

t  ρ(t)

Ta ký hiệu: T là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc Γ, n là trờng pháp tuyến đơn vịcủa S, Z = n°ρ và Y = Z ∧ T

2.1 Định nghĩa Hệ các trờng vectơ {T, Y, Z} đợc gọi là trờng mục tiêu

Darboux dọc đờng cong Γ

Bây giờ ta xét mối liên hệ giữa trờng

mục tiêu Frenet và trờng mục tiêu

= ϕ2.N ∧ T + ϕ3.B ∧ T

T' = - ϕ2.B + ϕ3.N (1) Theo Frenet th×

T'.Y = p.Y.Z + q.Z.Y ⇒ T'.Z = q.

Nếu ta nhân hai vế của đẳng thức (1") với Z, thì ta đợc

T'.Z = p.Y.Z + q.Z.Z ⇒ T'.Z = q

Nếu ta nhân hai vế của đẳng thức (3") với Y, thì ta đợc

Z'.Y = - q.T.Y - r.Y.Y ⇒ Z'.Y = - r

và đờng cong Γ đợc xác định bởi tham số hóa

ρ : I → S

t  ρ(t) = (acost, asint, bt)

Khi đó ta có

b T b a

a Z

Z b a

b Y

Z b a

a T

.

'

'

'

2 2 2 2

2 2

2 2

Chøng minh Ta xÐt s = ∫t a +b

0

2 2

bs b

a

s a

b a

s a

Ta suy ra

T = − 2 + 2 sin 2 + 2 , 2 + 2 cos 2 + 2 , 2 + 2 

b a

b b

a

s b

a

a b

a

s b

a a

− +

+

) (

, cos

) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a2 b2

s b

a

a b

a

s b

a a

v u

r r

r r

⇒ Z = n°ρ = cos 2 + 2 ,sin a2 +b2 ,0

s b

a s

⇒ Z' = − + + + cos + ,0

1 , sin

1

2 2 2

2 2 2 2

s b

a b a

s b

a

⇒ Y = Z ∧ T

− +

b a

a b

a

s b

a

b b

a

s b

a

b

⇒ p = T'.Y

− +

+

2 2 2

2 2 2 2

2

b a

s b

a

a b

a

s b

b a

a b

a

s b

a

b b

a

s b

a b

= 0

Ta có q = T'.Z

− +

+

2 2 2

2 2 2 2

2

b a

s b

a

a b

a

s b

s b

a s

1

2 2 2

2 2 2 2

2

b a

s b

a b a

s b

− +

b a

a b

a

s b

a

b b

a

s b

a b

= 2 2

b a

− +

=

+ + +

=

+

− + +

=

Z Y

b a

b T

b a

a Z

Z b a

b Y

T Y

Z b a

a Y

T T

0

'

0

0 '

0

0 '

2 2 2

2

2 2

2 2

2.6 Ví dụ Giả sử trong không gian Oxyz mặt cầu S đợc cho bởi tham số

r : U → E3

(u, v)  (acosucosv, asinucosv, asinv)

Chứng minh Từ r(u, v) = (acosucosv, asinucosv, asinv) ta có

v u a v

a v u

a

sv u

a

sin sin sin

cos

sin sin cos

cos ,

sin cos cos

cos sin 0

, cos sin

cos

0 cos

cos

= (a2cosucos2v, a2sinucos2v, a2sinvcosv)

⇒|r' u∧ r'v) = a4 cos 2ucos 4v+a4 sin 2ucos 4v+a4 cos 2vsin 2v = a2cosv

Ta có n =

v u

v u

r r

r r

⇒ Z = n°ρ = (cosbtcosct, sinbtcosct, sinct)

⇒ Z' = (-bsinbtcosct - csinctcosbt, bcosbtcosct - csinbtsinct, ccosct)

T' = (2abcsinbtsinct - a(b2 + c2)cosbtcosct,

-abcosbtsinct - a(b2 + c2)sinbtcosct, abcos2ct)

Y = Z ∧ T =

= (acsinbt - abcosbtcosctsinct, -acsinbtsinctcosct, abcos2ct)

Do đó

p = T'.Y

=(2abcsinbtsinct- a(b2+c2)cosbtcosct, -2abcosbtsinct - a(b2+c2)sinbtcosct, abcos2ct)

(acsinbt - abcosbtsinct, -accosbt - absinbtsinctcosct, abcos2ct)

T' = (2abcsinbtsinct - a(b2 + c2)cosbtcosct,

-2abcosbtsinct - a(b2 + c2)sinbtcosct, abcos2ct)

Z = (cosbtcosct, sinbtcosct, sinct)

⇒ q = -a(c2 + b2cos2ct)

Ta tính: r = - Z'.Y

Trong đó Z' = (-bsinbtcosct - ccosbtsinct, bcosbtcosct - csinbtsinct, ccosct)

Y = (acsinbt - abcosbtcosctsinct, -accosbt - absinbtsinctcosct, abcos2ct)

Đ3 Độ cong trắc địa và đờng trắc địa

Trong mục này, ta giả thiết rằng S ⊂ E3 là một mặt đợc định hớng bởi trờngvectơ pháp tuyến n và đợc cho bởi tham số hóa

r: U → E3 (u, v)  r(u, v)

) ( ) ( ) (

t

t n t t

ρ

ρ ρ

đợc gọi là độ cong trắc địa của Γ

3.2 Ví dụ Ta xét E3 = Oxyz và S là mặt phẳng Oxy

Γ đợc cho bởi t → (2t, 3t +1, t) Xác định độ cong trắc địa của Γ

Giải

Ta có ρ(t) = (2t, 3t +1, t)

⇒ ρ'(t) = (2, 3, 1)

) ( )

(

"

) ( '

t

t n

t t

=

0

Vậy độ cong trắc địa của Γ bằng không

3.3 Mệnh đề Hàm số k g không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa của đờng cong Γ

Chứng minh Ta xét tham số hóa khác tơng đơng với tham số hóa ρ

ρ

ρλρλρ

λ

′

′′

′+

ρ

ρλρλρλρ

ρρ

1) Tại những điểm không song chính quy của Γ, độ cong trắc địa triệt tiêu.

2) Nếu Γ là cung phẳng thì k g trùng với độ cong của Γ

Chứng minh 1) Giả sử ρ(t0) là điểm không song chính quy của Γ Suy ra {ρ'(t0),

ρ"(t0)} phụ thuộc tuyến tính

Suy ra

3

) (

) ( ) ( ) (

0

0 0 0 0

t

t n t t

ρ

ρ ρ

) ( ) ( ) (

t

t n t t

ρ

ρ ρ

=

)(' ).("

Điều kiện đủ: Không mất tính tổng quát, ta giả thiết là mặt phẳng Oxy, khi đó

n(0, 0, 1) và đờng cong Γ đợc cho bởi

J → S

t  (t, at + b, 0)

Khi đó ρ"(t) = 0

Suy ra kg(t) = 0

Vậy Γ là đờng trắc địa

Bây giờ ta chú ý tới các hệ số trong Mệnh đề 2.3, ta có các kết quả sau:

r

k q

k p

Z T

k ds DY

Z k Y k ds DT

g n

g g

n g

ττ

(1)

(2)

(3)

3.9 Định nghĩa ρ là tham số hóa trắc địa của Γ khi và chỉ khi ρ"// n.

3.10 Định lý ρ là tham số hóa trắc địa của đờng cong Γ khi và chỉ khi Γ là ờng trắc địa và |ρ'| = const

đ-Chứng minh Điều kiện cần:

ρ là tham số hóa trắc địa ⇒ ρ"(t)//n(t) (n = ϕ(t).ρ"(t), ϕ khả vi theo t)

ρ

ρ ρ





Từ (1) và (2), ta có n // ρ" ⇒ ρ là tham số hóa trắc địa

3.11 Hệ quả Nếu Γ là đờng trắc địa thì tham số hóa tự nhiên của Γ là tham

số hóa trắc địa.

3.12 Mệnh đề Nếu ρ(t), ρ ~(t) là hai tham số hóa trắc địa của đờng trắc địa

song chính quy Γ.ρ ~ = ρ°λ(t) ithì λ(t) = at + b (trong đó a, b là các hằng số)

Chứng minh Ta có ρ~′ = λ' ρ' ⇒ ρ~′′= λ".ρ' + λ' 2.ρ"

Do ρ~′′//n và ρ"//n nên λ".ρ' = 0

Do ρ' ≠ 0 ⇒ λ" = 0 ⇒ λ' = a ⇒ λ = at + b

3.13 Mệnh đề Giả sử Γ là cung song chính quy trên S Khi đó Γ là đờng trắc

địa trên S khi và chỉ khi trờng vectơ N vuông góc với T p S, ∀p ∈ S

Chứng minh Ta có Γ là đờng trắc địa với tham số hóa

ρ : t →ρ(t) (với t ∈ J)

Khi đó kg(t) = 0, ∀t ∈ J

Mặt khác

k g(t) = k(t)(N.Y) = k(t).||N|| ||Y||.cosθ

(θ là góc tạo bởi trờng vectơ N(t) và Y(t) của cung Γ)

3.14 Ví dụ Mặt S đợc cho bởi r : R2 → E3

(u, v)  (Rcosu, Rsinu, v) R > 0

với tham số hóa ρ : R → S

t  (Rcos3t, Rsin3t, 4t)

ρ là tham số hóa trắc địa

Thật vậy, mặt S đợc cho bởi r : R2 → E3

(u, v)  (Rcosu, Rsinu, v) với R > 0

Ta có

n =

v u

v u

R R

R R

Vậy ρ là tham số hóa trắc địa của Γ trên mặt S

Trong mục này, ta giả thiết S là mặt trong E3 đợc định hớng bởi trờng pháp tuyến

đơn vị n và {U1, U2} là một trờng mục tiêu trực chuẩn trên S

Ta đặt n = U3 , thì ta có {U1, U 3, U 3} là trờng mục tiêu trực chuẩn trong E3 dọctheo S.

Giả sử

(DαU i)p =

3 1

1 là một dạng vi phân trên S và đợc gọi là dạng liên kết của S

đối với trờng mục tiêu {U1, U2, n}

Bây giờ ta xét đờng cong Γ⊂ S, đợc cho bởi tham số hóa

ρ : J → S ; ở đây J = (a, b) ⊂ R

t  ρ(t)

Giả sử X là trờng vectơ tiếp xúc với S dọc Γ, khi đó X có sự biểu diễn:

X(t) = ϕ1(t).U1(t) + ϕ2(t).U2(t); ở đây U1(t) = U1 oρ(t) và U2(t) = U2oρ(t); ∀t ∈ J

4.1 Định nghĩa Đạo hàm của X dọc Γ là một trờng vectơ dọc Γ, đợc ký hiệu là

Giả sử Γ là một đờng cong nằm trên S và Γ đợc cho bởi tham số hóa t 

ρ(t) với t ∈ (a, b) = J Khi đó Γ là đờng trắc địa nếu và chỉ nếu ∇dtρ'

= 0

Bây giờ ta xét đờng cong Γ⊂ S Ta có sự biểu diễn

ρ'(t) = u'(t).r' u(u(t), v(t)) + v'(t)r'v(u(t), v(t))

Vậy ρ' = u' E(U1oρ) + v' G(U2oρ),

′

+′

0 )) ( (

0 )) ( (

2112

1221

t w

t w

ρ ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ

E v u G G

v

v

G E

G v u E E

u

v u

u v

4.3.1 Bài toán 1 Giả sử S2 là mặt cầu đợc cho bởi

(u, v)   →r (cosvcosu, sinvcosu, sinu)

ta tìm các đờng trắc địa trên S2 với 0 < u < 2π , - π 2 < v <

r' u = (- cosvsinu, - sinvsinu, cosu)

E = r' u.r'u = cos2vsin2u + sin2vsin2u + cos2u = 1

F = r' u.r'v = cosucosvsinusinv - cosucosvsinusinv + 0 = 0

G = r' v.r'v = sin2vcos2u + cos2ucos2v + 0 = cos2u.

Vậy Γ đợc cho bởi tham số hóa

t →ρ(t) = (cos(at + b)cosu0, sin(at + b)cosu0, sinu0)

Do đó đờng trắc địa trên S2 là đờng tròn lớn

4.3.2 Bài toán 2 Ta xét mặt trụ S đợc cho bởi

r : R2 → E3

(u, v)  (Rcosu, Rsinu, v)

Giả sử Γ là một đờng cong trên S với tham số hóa ρ : t → ρ(t)

với u = u0, Γ có là đờng trắc địa không?

Kết luận

Nhìn lại một cách tổng thể, khóa luận chúng tôi đã trình bày đợc những kết quảchính sau đây:

- Trình bày và chứng minh chi tiết các mệnh đề và ví dụ ở Đ1

- Trình bày cách xây dựng công thức Darboux đối với mặt cầu, mặt trụ (Ví dụ2.5, 2.6)

- Trình bày định nghĩa và tính chất về độ cong trắc địa (Mệnh đề 3.3, Hệ quả 3.4

Tài liệu tham khảo

[1] Văn Nh Cơng - Tạ Mẫn, Hình học afin và ơclit, Nxb Đại học Quốc gia,

Hà Nội, 1998

[2] Nguyễn Thúc Hào, Tập I, Hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1968

Tập II, Hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1968

[3] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1970

[4] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, Nxb Đại học S phạm, 2003

[5] Đoàn Quỳnh - Trần Đình Viện - Trơng Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang,

Bài tập hình học vi phân, Nxb Giáo dục, 1993.

[6] Spivak, Giải tích trên đa tạp (Bản dịch tiếng Việt), Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1985