Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp luận văn thạc sỹ toán học

Kháiniệm ánh xạ mũ và đường trắc địa là một trong những khái niệm quan trọngtrong hình học Riemann.. Luận văn được trình bày gồm hai chương: Chương I: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN DUY BÌNH

VINH - 2011

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu……… 3

ChươngI: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp Riemann. §1 Đa tạp khả vi ……… .5

§2 Đa tạp Riemann……… 8

§3 Cung trắc địa trên đa tạp Riemann……… 11

§4 Ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann……… 8

ChươngII: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie. §1 Nhóm Lie và nhóm con một tham số……… 26

§2 Trường vectơ bất biến trái……… 28

§3 Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie……… 31

Kết luận ……… 36

Tài liệu tham khảo……… 37

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỷ 19 và nó đã có nhiều ứngdụng trong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kỹ thuật Kháiniệm ánh xạ mũ và đường trắc địa là một trong những khái niệm quan trọngtrong hình học Riemann Trong một chừng mực nào đấy không gian tiếpxúc với đa tạp đã phản ánh cấu trúc của đa tạp một cách địa phương nhờánh xạ mũ Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về ánh xạ mũ và đườngtrắc địa trên đa tạp Trên cơ sở kết quả của nhiều nhà toán học cùng với sựhướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu là :

“Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp”.

Luận văn được trình bày gồm hai chương:

Chương I: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp Riemann

Chương II: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie

Nội dung cơ bản của chương I là nêu được những khái niệm về đa tạpkhả vi, đa tạp Riemann, các khái niệm về vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúcvới các đa tạp, nêu được khái niệm cơ bản của liên thông tuyến tính, liênthông Levi-Civita và mục đích cuối cùng là đưa ra được khái niệm đường trắcđịa và ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann, nêu được mối quan hệ giữa đường trắcđịa và ánh xạ mũ, nêu được các tính chất của đường trắc địa và các tính chấtcủa ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann

Nội dung cơ bản của chương II là trình bày khái niệm nhóm Lie, đại

số Lie trường vectơ bất biến trái Nhóm con một tham số sinh bởi trườngvectơ bất biến trái để đưa ra khái niệm ánh xạ mũ trên và đường trắc địa trênnhóm Lie, nêu được mối quan hệ của ánh xạ mũ và đường trắc địa với nhómcon một tham số, nêu được các tính chất của ánh xạ mũ và đường trắc địa trên

nhóm Lie, và ở đây chúng tôi đã chứng minh được ánh xạ mũ trên nhóm Lie

là trường hợp đặc biệt của ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Sau Đại học

Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS.Nguyễn

Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy

và cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn

đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu và trong quá trình học tập của mình

Qua đây tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, côgiáo làm việc tại Khoa Toán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, cácđồng nghiệp, bạn bè, và từ tận đáy lòng mình tác giả muốn gửi lời cảm ơnchân thành và sâu sắc nhất tới gia đình và các thầy cô, bạn bè đang công táctại trường THPT Đặng Thai Mai đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành luận văn này và hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học

Vinh, tháng 12 năm 2011

CHƯƠNG I ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA

TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

§ 1 ĐA TẠP KHẢ VI

1.1.1 Đa tạp khả vi.

Định nghĩa Giả sử M là T2-không gian

i Nếu U mở trong M và U* là tập mở trong n

 và :U U* đồng phôi thì(U,) được gọi là một bản đồ của M

ii Với p U thì ( ) n

p

  ¡ , nên ( ) ( , , , )p  x x1 2 x n Khi đó (x1,x2, ,xn) đượcgọi là toạ độ của p đối với (U,) và (U,) được gọi là hệ toạ độ địa phương iii Giả sử (U1, 1) và (U2, 2) là 2 bản đồ của M sao cho W=U1 U2   Khi

đó (U1, 1) và(U 2 , ) 2 được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 1

 o   là vi phôi (songánh và khả vi hai chiều )

iv A={(U , )i i i I là họ các bản đồ trên M} Nếu thoả mãn:

n-1.1.2 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi Ánh xạ f M:  N được gọi là ánh xạ khả

vi nếu f liên tục và với mọi bản đồ(U,) và ( , )V  của N sao cho:

1 ( ) W

   đều có  o of   1 khả vi

Trong đó  o of   1: W 1   (W)  W 2   ( (W)).f

1.1.3.Vectơ tiếp xúc trên đa tạp.

Ta ký hiệu : Fp= { f M : ¡ / f khả vi trong lân cận Up chứa p}

Ta ký hiệu T p M ={ v v: tiếp xúc với M tại p}

T p M là không gian vectơ với dimT p M=dimM=n với hệ vectơ cơ sở là {

Giả sử: -M là đa tạp m- chiều với cấu trúc khả vi {( , )}U  i i i I

-N là đa tạp n- chiều với cấu trúc khả vi {( ,V  j j)}j J

-Ánh xạ f M:  N

pa f p( ) p' khả vi

-TpM là không gian vectơ tiếp xúc với M tại p

-Tp’N là không gian vectơ tiếp xúc với N tại p’

Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là:

f* p:T M p  T N p'

va f* p( )v v' và được xác định như sau: nếu v T M p tiếpxúc với đường cong  ( )t tại p thì f* p( )v v'tiếp xúc với đường cong (f o  )( )t

tại p’ Khi đó ta chứng minh được f * plà ánh xạ tuyến tính

1.1.5.Trường vectơ trên đa tạp.

Trường vectơ X trên đa tạp là ánh xạ:

1.1.6 Đường cong tích phân trên đa tạp.

Định nghĩa Giả sử X là trường vectơ khả vi trên đa tạp M Xét đường

cong  cho bởi tham số hoá : J  M , ta  ( )t được gọi là đường cong

tích phân của trường vectơ X nếu mỗi điểm p  thoả mãn

 (hay Xp là vectơ tiếp xúc với  tại p)

1.1.7 Liên thông tuyến tính trên đa tạp

 được gọi là thành phần liên

thông của, hoàn toàn xác định khi biết { } ijk

 ,i j k, ,  1, m Với M=¡ n,{E1,E2, ,En } là trường vectơ tự nhiên của n

Một cấu trúc Riemann g trên M, đó là một ánh xạ pa gp; p M Trong

đó gp là tích vô hướng trong TpM và gp phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là:g(X,Y)(p)= gp(Xp,Yp) và g là hàm khả vi theo p)

Khi đó (M,g) được gọi là một đa tạp Riemann.

Ví dụ: Giả sử  là hàm số khả vi và luôn dương trên n

với J là một khoảng mở trong  ( J=(a;b)) Độ dài cung của  được ký hiệu

là l ( ) và được xác định bởi công thức:

( ) ( ', ')

b

a

1.2.3 Ánh xạ đẳng cự.

Cho ánh xạ khả vi f : ( , )M g  ( , )N g% được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu và chỉnếu: p M ta đều có g%f p( ) (f X*p p,f Y*p p) g X Y p( p, );p X Y, B(M) ( f đẳng cựnếu và chỉ nếu f * pbảo toàn tích vô hướng  p M )

Liên thông tuyến tính  được gọi là liên thông Levi-Civita nếu và chỉ nếu

 thoả mãn hai tiên đề sau:

Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann n-chiều khả song vớilà liên thông Civita trên M và { }n1

Levi-i Levi-i

U  là trường mục tiêu trực chuẩn trên M

i Đường cong  M được cho bởi tham số hoá: J M với ta  ( )t

ii Một trường vectơ X dọc là việc đặt tương ứng mỗi t J với một vectơtiếp xúcX t( ) T M( )t Ta nói X khả vi nếu và chỉ nếu X( )t   khả vi theo t;với mọi hàm  khả vi dọc 

Ta luôn có sự biểu diễn X(t)= X1(t).U1(t)+ +Xn(t).Un(t); tJ và X khả vidọc khi và chỉ khi Xi(t) khả vi ; với mọi i=1,2,3, ,n

1.2.5.1.Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số.

Định nghĩa Đạo hàm của trường vectơ X dọc  là một trường vectơ dọc ,

tại điểm t0 ta ký hiệu X 0

1 '( )

n X

1.2.5.2 Chuyển dịch song song dọc một cung.

Cho đa tạp M với liên thông tuyến tính  trên M; là một cung cho bởitham số hoá  :J  M t, a  ( )t Trường vectơ X dọc  được gọi là trường

vectơ song song dọc  nếu và chỉ nếu X t0 0; t0 J

dt



  

1.2.6.Độ dài cung và mêtric nội tại.

Với cung nhẵn từng khúc:  :[ , ]a b  M t;   ( )t , trên đa tạpRiemann

(M,g), định nghĩa độ dài cung là: ( ) ' ', ' 12

d M M

  



 là cung nhẵn từng khúc trên M nối p với q

Với hàm khoảng cách đó M trở thành một không gian mêtric (M,d) (mêtric d

thường được gọi là mêtric nội tại của đa tạp Riemann M) và tôpô xác định bởi

mêtric đó trùng với tôpô của đa tạp M

§ 3 CUNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.3.1 Cung trắc địa.

1.3.1.1.Định nghĩa Cho M là một đa tạp với liên thông tuyến tính  Cungtham số nhẵn  :J  M t,   ( )t (J là một khoảng mở trong R) gọi là một cung

trắc địa của (M,) nếu trường vectơ  ' song song dọc  tức là ' 0

Chứng minh.

Giả sử ( , )U x là một bản đồ trên M sao cho p U và đặt i

i

X x

Thật vậy, do là đường trắc địa nên ij

, 1 '' ' ' 0

1.3.1.5.Định nghĩa Một đường trắc địa : J M trong đa tạp Riemann

(M,g) được gọi là cực đại nếu nó không thể mở rộng thành một đường trắc

địa trên khoảng I J

Đa tạp Riemann M được gọi là đầy đủ nếu  v T M p tồn tại một đườngtrắc địa : R M sao cho  0 p và  ' 0    v p M;

1.3.1.6 Mệnh đề (xem[5]) Nếu trên đa tạp Riemann M có hai cung trắc

địa  :J  M; :   J M t, 0  J J, ( )  t0    ( ), '( )t0  t0    '( )t0 thì  J J   J J .

1.3.1.7 Mệnh đề Giả sử v T M p là vectơ tiếp xúc tại p M và giả sử c  

là một hằng số bất kỳ Đường trắc địa cv là xác định tại t nếu đường trắc địa v xác định tại ct Khi đó cv t  v ct

' 0

1.3.2 Cung trắc địa tối đại.

1.3.2.1 Định nghĩa Chop M ,  T M p , có khoảng tối đại chứa 0 là J( )  R

mà  : ( )J   M t,   ( )t là cung trắc địa với (0) p, '(0)    Cung đó kýhiệu là   và gọi là cung trắc địa tối đại.

b Nếu  : ( )J   M t,   ( )t xác định cung trắc địa tối đại   tiếp xúc với 

thì với  t0 J ( ), ta cũng có J( '( ))  t0 J( )   t0 là khoảng tối đại của một

cung trắc địa   tiếp xúc với  '( )t0

1.3.3 Công thức biến phân thứ nhất.

1.3.3.1 Công thức biến phân thứ nhất đối với hàm độ dài.

Xét liên thông Levi-Civita  của đa tạp Riemann (M,g) và xét hàm hai biến

Đặt f t u( , )  u( )t thì với mỗi u I , u: ,a b  M là một cung trên M , f

được gọi là một biến phân của cung  0   Giả sử   ' 1

( Có thể mở rộng, xét biến phân nhẵn từng khúc)

Ta có:  

1 2

u a

0 0

Như vậy ta có công thức biến phân thứ nhất đối với hàm độ dài là:

( )

b b u

a

a

gọi là hàm tác dụng của đường cong trên đoạn a b,  .

1.3.3.4 Công thức biến phân thứ nhất đối với hàm tác dụng

Trên đa tạp Riemann M, : J  Mlà một đường cong khả vi và ánh xạ

: ,

f     J M là một biến phân của  Khi đó ta có công thức biến phânthứ nhất như sau:

0

0

' 0

1.3.3.5 Mệnh đề Giả sử (M,g) là một đa tạp Riemann Một đường cong khả

vi : J M là đường trắc địa nếu và chỉ nếu:

X a

d

g X X ds dt

§4 ÁNH XẠ MŨ TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

1.4.1.Định nghĩa Cho đa tạp Riemann (M,g) với liên thông Lêvi-Civita đặt: W={   TM J  0,1 } , ta xét ánh xạ :

p S , với vectơ đơn vị e sao cho e p,  0; ,e e   1 xét đườngtròn lớn như sau:

Vậy ' t  là trường vectơ song song dọc đường tròn lớn  t nên  t làđường trắc địa.

Khi đó ánh xạ mũ trên mặt cầu 2

S là exp :p T S p 2  S2

- Do đường trắc địa là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường, và từ

sự phụ thuộc khả vi của nghiệm vào điều kiện đầu của hệ phương trình viphân nên exp là một ánh xạ nhẵn

- Với mỗi p M , Wp  W T M p là một tập mở sao(đối với 0) trong TpM

(tức là tập mở trong TpM mà nếu  Wpthì  t 0,1 , tWp) và exp thu hẹptrên W p kí hiệu là: exp p: Wp  M cũng là một ánh xạ nhẵn

- Với   W ,p t J ( )   e p tx ( )p   t(1)  ( )t là cung trắc địa tối đại ,

có nghĩa ánh xạ mũ biến một đường thẳng đi qua vectơ 0 trong TpM thànhmột đường trắc địa đi qua điểm p trong M Cụ thể là nếu t: ,a b  T M p

với t t thì expp   t t  expp t   exppt  t

-Khi W=TM thì M được gọi là đầy trắc địa

1.4.3.Mệnh đề Đối với mỗi điểm pM, luôn tồn tại lân cận V trong T p M để trên đó ánh xạ mũ exp p là vi phôi lên lân cận U của p trong M.

Chứng minh

dexpp  v dexpp  ' 0   expp ' 0  v' 0  v.

Đẳng thức đạt được bởi vì: expp tv  tv 1  v t . Như vậy vi phân của ánh

xạ expp tại 0 T M p là ánh xạ đồng nhất từ T0(TpM) lên TpM Theo định lýhàm ngược tồn tại lân cận mở V của 0 trong TpM và lân cận U chứa p trong

M sao cho exp :p V U là một vi phôi

1.4.4.Mệnh đề (xem [8]) Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann, p M và

 Với mỗi n 1

Như vậy, từ mệnh đề 4.3 có tồn tại một số r p R

 sao cho nếu  0

U g,  qua vectơ 0   1 p

 là đường thẳng v t:  tv trong T M p Với mỗi w n   0 \ 0

  là đường cong bất kỳ sao cho  0  0 và  1  w Do

 ta xác định hai trường vectơ sau:

, ,

' ,

.

t t

t t

t

t t

Bây giờ lấy q   w  qp và lấy  r ta có q   0,  .

Do  :U g,   V g,  là vi phôi đẳng cự nên  là đường ngắn nhất nối p

2 Nếu  T M p trực giao với  trong T p M thì ( exp )( )T p  trực giao với

Texp ( )p  trong Texp ( )p  M

Chứng minh.

1 Thật vậy, expp u  1 u nên Texpp    ' 1 ,  mà ' t   

với mọi t (do d ', ' 2 ', ' 0

 và ' 0   ), nên ta có:

Texp ( )p   

2 Nếu  trực giao với  , có thể coi    và xét ánh xạ

Rõ ràng với mỗi điểm p của đa tạp Riemann (M,g) thì ánh xạ expp:Wp  M

là khả vi nên tồn tại V  p Wpđể expp là vi phôi từ Vp lên expp(Vp)

1.4.7.1.Định nghĩa

Ta nói expp(Vp) là lân cận chuẩn tắc của p M như vậy với mỗi điểm

p M    0 : ( )S   T M p    đều có U( ) exp ( ( ))   p S  là một lân cậnchuẩn tắc của p (nghĩa là S  ( ) Wp và expp là vi phôi từ S ( )lên U ( )

1.4.7.2 Mệnh đề.

a.Với mỗi p U  ( ) có cung trắc địa của M nối p với q và có độ dài là d(p,q) ( d(p,q)< ) và ảnh nằm trong U ( ) Mọi cung trắc địa trong M nối p,q có độ

dài bằng d(p,q) sau khi đổi tham số hoá thích hợp phải trùng với cung trắc địa đó.

b Giả sử M liên thông thì U ( ) là hình cầu mở tâm p, bán kính  trong không gian mêtric (M,d).

Chứng minh.

Thật vậy,  : 0,1  M là cung trong M nối p   0 với q  1 U  gọi b

là cận trên của thành phần liên thông chứa 0 của   1U  

Xét hình chiếu vuông góc  s của ' s  lên phương tiếp xúc của cung trắcđịa t   s  t tại t = 1 (trong T M t ) thì theo bổ đề Gauss,

  và bằng độ dài cung trắc địa t  b  t nối p với

q, có độ dài bằng d(p,q) , sau khi đổi tham số hoá thích hợp, phải trùng vớicung trắc địa đó

Rõ ràng d p q ,    và với q U   ,d p q ,  .

1.4.7.3 Hệ quả (xem[5]).

Mọi cung trong M nối p với q có độ dài d(p,q) phải là cung trắc địa Nó

được gọi là cung trắc địa cực tiểu

Còn có thể chứng minh rằng mọi điểm của đa tạp Riemann (M,g) có lân cận

U trong M sao cho với mọi điểm p, q thuộc U có cung trắc địa cực tiểu duynhất nối p với q mà ảnh của cung trắc địa đó nằm trong U (U gọi là một lâncận lồi trắc địa của điểm đã cho)

CHƯƠNG II ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA

L có ánh xạ ngược x  a x-1 cũng khả vi, do đó L a là vi phôi

Tương tự ta cũng có R alà vi phôi với mỗi a cố định trong G

2.1.2 Nhóm con một tham số.

2.1.2.1 Định nghĩa Nhóm con một tham số các phép biến đổi khả vi trên đa

( là tập các số thực) thoả mãn hai điều kiện sau:

1) Mỗi t   ,t:M  M p,  t( )p là phép biến đổi khả vi

2) t s,   ;p M ; t s ( )p   t s( )p

2.1.2.2 Định nghĩa I   là khoảng mở tâm 0 bán kính  , I   ,  U là

tập mở của M Nhóm một tham số địa phương các phép biến đổi địa phương

khả vi trên I U là ánh xạ :

: ,

Đường cong x(t) gọi là quỹ đạo của điểm p dưới tác động của nhóm mộttham số t

4) Nhóm một tham số địa phương : I U M cũng cảm sinh trên Umột trường vectơ X được xác định tương tự như nhận xét 3)