Hệ thống bài tập về các đường đáng chú ý trên mặt trong e3

Em khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt trong Ε ” không có sự trùng lặp với các 3 kết quả của các đề tài khác... Nhưng vì thời gian có

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm – người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khoá luận của mình Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong tổ hình học và các thầy cô trong khoa Toán – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa hoc nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của thầy cô và các ban

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó, em được sự quan tâm của các thầy, cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt trong Ε ” không có sự trùng lặp với các 3

kết quả của các đề tài khác

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1: Kiến thức về các đường đặc biệt trên mặt 4

1.1 Đường chính khúc 4

1.2 Đường tiệm cận 5

1.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 8

1.4 Đường trắc địa 9

Chương 2: Hệ thống bài tập 11

2.1 Đường chính khúc 11

2.2 Đường tiệm cận 18

2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa 24

2.4 Đường trắc địa 28

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ

và phương pháp của phép tính vi phân, tích phân, cũng như đại số tuyến tính và đại số đa tuyến để nghiên cứu các vấn đề về hinh học

Hình học vi phân được phát triển từ đầu thế kỉ XIX Gauss là một trong những nhà tiên phong trong lĩnh vực hinh học vi phân Cuối thế kỉ XIX, tất cả những nhà nghiên cứu được tập hợp và hệ thống hoá lại bởi các nhà toán học jeangaston darboux và luigi bianchi

Việc xây dựng hệ thống bài tập của môn hình học vi phân sẽ giúp tôi hiểu rõ hơn bản chất nghiên cứu của các hình hình học Nhưng vì thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc “ xây đựng hệ thống bài tập về các

đường đặc biệt trên mặt trong E ” 3

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Giới hạn nội dung: Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt

Giới hạn đối tượng: Bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt

Giới hạn thời gian: 6 tháng

5 Giả thiết khoa học

Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt sẽ giúp tôi hiểu rõ hơn các tính chất của các đối tượng đặc biệt trên mặt, đồng thời có thể là tài liệu cho các bạn sinh viên khoá sau

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số kiến thức liên quan đến các đường đặc biệt trên mặt

Nghiên cứu các dạng bài tập từ dễ đến khó về các đường đặc biệt trên măt

7 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, đọc sách

8 Dự kiến nội dung công trình

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn được trình bày ở hai chương

Chương 1: Lý thuyết về các đường đặc biệt trên mặt

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tâp về các đường đặc biệt trên mặt

kí hiệu

Trong khoá luận này, em đã sử dụng các kí hiệu sau:

1 r u' : ( , )u v a r u v u'( , ), r v' : ( , )u v a r u v v'( , ) là các trường vectơ tiếp xúc dọc theo r

5 K là độ cong Gauss của mặt định hướng trong p E 3

6 k là độ cong của cung chính quy

7 k% là độ cong pháp dạng của mặt định hướng trong E theo một 3

phương nào đó

8 h là ánh xạ Weingarten hay ánh xạ dạng của mặt định hướng S p

trong E 3

Chương 1 kiến thức về những đường đáng chú ý

trên mặt trong E 3

Trong chương này em trình bày những kiến thức cơ bản về các

đường đáng chú ý trên mặt: đường chính khúc; đường tệm cận; độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa; đường trắc địa

1.1 Đường chính khúc

Định nghĩa 1.1: Cho mặt định hướng S trong E Một đường 3 r trên S

có phương tiếp tuyến tại mọi điểm của r đều là phương chính của S gọi

k p% = k p% nên tại p mọi phương đều là phương chính Do đó phương

tiếp xúc tại p là phương chính Do p bất kì nên mọi đường trên S đều là

Gọi k t % là một độ cong chính của S tại ( )( ) r t

r là đường chính khúc khi và chỉ khi r'( )t chỉ phương chính của S , tức

( ( )) ( ) ( )

p

h r t = %k t r t (1)

Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ Vaigacten ta có:

S tại p , và đường r trên S có tham số hoá : r J đ S t, a r( )t Khi đó,

r là đường chính khúc ở gần p khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.2: Cho S è E định hướng, 3 pẻ S , vẻ T S , ạp v 0 gọi là

vectơ chỉ phương tiệm cận nếu độ cong pháp dạng %k(v) = 0

Ta gọi v là phương tiệm cận của S tại p

Đường r trên S là đường tiệm cận của S nếu tiếp tuyến tại mọi

điểm của nó đều có phương là phương tiệm cận, hay nếu mọi pẻ S ta

có r'( )t là phương tiệm cận

Tính chất 1.4: Cho S è E định hướng xác định bởi trường pháp vectơ 3

đơn vị n Đường r trên S có tham số hoá địa phương n là đường tiệm

cận của S khi và chỉ khi (n o )r '^ r'

Ta có điều phải chứng minh

Tính chất 1.5: Đường song chính quy trên mặt định hướng S è E là 3

đường tiệm cận khi và chỉ khi mặt phẳng mặt tiếp của r tại mỗi điểm của nó là tiếp diện của S tại điểm đó

Chứng minh:

Giả sử r có tham số hoá ở gần pẻ S là: :r sđ r( )s theo tham số

hoá tự nhiên s

Theo công thức Meeusnier ta có:k%( )r' = k s N s( ) ( ).(nor)( )s , trong đó, N là véctơ pháp tuyến chính của r , n là pháp véctơ định hứơng của S

Mà, theo định nghĩa đường tiệm cận, r là đường tiệm cận khi và chỉ khi k%( )r' = 0Û k s N s( ) ( ).(nor)( )s = 0 Dor là song chính quy nên ( ) 0

Hơn nữa, Q và P có điểm chungr ( ) s nên Q= P

Tính chất 1.6: Dọc theo đường tiệm cận thì độ cong Gauss của mặt 0

Do s là tham số hoá tự nhiên của r nên K = k k%%1 2 Ê 0

Tính chất 1.7: S è E định hướng với pháp vectơ đơn vị 3 n,pẻ S tham

số hoá địa phương tại p là : r U đ S u v,( , )a r u v( , ),tương thích với

hướng của S ở gần p Khi đó, ' '

u v

v= a r +b r là chỉ phương tiệm cận khi

và chỉ khi a L2 + 2 .a b M +b N2 = 0

Đường r trên S là đường tiệm cận khi và chỉ khi với tham số hoá

1.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa

Định nghĩa 1.3: Cho S è E định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị 3

khả vi n, cung định hướng chính quy r :J đ S t, a r( )t Chọn một hướng cố định của E và xét tích có hướng trên đó Với t3 ẻ J , ta gọi số:

' "

3 '

Ù

là độ cong trắc địa của r tại r ( ) t

Một cung ( đường) trên S gọi là cung (đường) tiền trắc địa của S

nếu k t g( )= 0," ẻt J

Tính chất 1.8: Nếu đổi hướng cung (mặt, không gian) thì cung trắc địa

Định nghĩa 1.4: Cho S è E định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị 3

khả vi n, cung định hướng chính quy r :J đ S t, a r( )t được gọi là

cung trắc địa nếu r"( ) (t P nor)( )t

Tính chất 1.10: Mỗi tham số hoá của cung thẳng trên mặt S è E đều là 3

cung trắc địa

Chứng minh:

Mọi cung thẳng r trên mặt S đều có độ cong bằng 0 nên r =" 0

Do đó, r P " n

Tính chất 1.11: Mọi cung trắc địa r trên mặt S è E đều là tiền trắc 3

địa và r =" const

Chứng minh:

Vì r là cung trắc địa nên r"P(nor) Do đó, k = g 0 Suy ra r là

cung tiền trắc địa

Vì r"Pn, r ^' n nên r' ^ r" hay r r =' " 0 Do đó (r'2 ') = 0 Suy

ra r ='2 const, hay r =' const

Tính chất 1.12: Mọi tham số hoá tự nhiên của cung tiền trắc địa song chính quy đều là cung trắc địa

Chương 2

hệ thống bài tập

Trong chương này, em đưa ra hệ thống bài tập về các đường đặc biệt trên mặt, đồng thời sử dụng các kiến thức ở chương 1 để giải các bài tập đó

2.1 Đường chính khúc

Bài 2.1: Giả sử S là mặt định hướng trong E có tham số hoá địa 3

phương :r U đ S, ( , )u v a r u v( , ) tương thích với hướng của S sao cho

tại mỗi điểm S hai cung toạ độ trực giao với nhau Chứng minh rằng mỗi

cung toạ độ là chính khúc khi và chỉ khi M = 0

Giải

Ta có ', '

u v

r r là hai vectơ tiếp xúc của hai cung toạ độ v= v u0, = u0

Do hai cung toạ độ trực giao với nhau nên F = r r u v' ' = 0 Do đó, v= v0

( )u ( ( ), 0, ( ))x u z u

Khi đó phương trình tham số của S là:

Do F = r r u v' ' = 0 nên vĩ tuyến và kinh tuyến trực giao với nhau

Lại có, r uv' = -( x u'( ) sin , ( ) cos , 0)v x u' v nên M = (n r ro ).uv' = 0 Theo bài 2.1, vĩ tuyến và kinh tuyến trên mặt tròn xoay là những đường chính khúc

Bài 2.3: Cho mặt định hướng S è E có tham số hoá địa phương ( , )3 r u v

và hướng xác định bởi

' ' ' '

u v

u v

r r n

r r

Ù

=Ù

r r Chứng minh rằng: nếu F = r r u v'. ' = 0tại mọi điểm của S thì các đường toạ độ của S là đường chính khúc khi

và chỉ khi M = h r( ).u' r v' = 0 tại mọi điểm của S

Giải

Điều kiện cần: Giả sử các đường toạ độ của S là: v= v u0, = u0 là các đường chính khúc, các vectơ chỉ phương tiếp tuyến của các đường đó lần lượt là ', '

r r là hai phương chính của S tại p

Suy ra, v= v u0, = u0 là các đường chính khúc

Bài 2.4: Trong E với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số 3

hoá r :Ă ´ Ă đ E3 xác định bởi ( , )r u v = (5cos , 5sin , )v v u Hãy tìm các

đường chính khúc

Giải Giả sử r trên ( , )r u v = (5cos , 5sin , )v v u là dường chính khúc Khi

'

0

0 .5 0

0

u u u

u v

v v v

Giả sử :r J đ S u v,( , )a r u v( , ) là đường chính khúc Khi đó ta có:

-=

'

0 ' '

u v R

v v v

Bài 2.6: Cho tham số hoá của mặt Enneper

Theo bài 2.3, suy ra các đường toạ độ là các đường chính khúc

Bài 2.7: Xác định các đường chính khúc của mặt z = xy

Giải Phương trình tham số của măt z= xy có dạng ( , )r u v = ( , ,u v uv)

Giả sử r là đường chinh khúc của mặt đã cho Theo tính chất 1.3, r là

đường chính khúc khi và chỉ khi

2 '2

1 1

ùù ớ ùù ùù

0

00

u u u

v v v

Vậy các đường chính khúc của mặt là: v= v u0, = u0

Bài 2.8: Xác định các đường chính khúc của mặt Catenoid xác định bởi tham số hoá ( , )r u v = (cos cos , cos sin , )v u v u v

Giải

Ta có: r u' = -( cos sin , cos cos , 0)v u v u

' ( sin cos , sin sin , 1)

1 sin 1 sin 1 sin

' '

n P Do đó r là đường chính khúc r

Bài 2.10: Cho mặt định hướng S và S trong 1 E cắt nhau theo một 3

đường r dưới một góc không đổi Chứng minh rằng nếu r là đường chính khúc của S thì nó cũng là đường chính khúc của S 1

Giải

Gọi n n là các trường pháp vectơ đơn vị của S và , 1 S Xét tham 1

số hoá tự nhiên của r là : r sđ r( )s

Do góc giữa S và S không đổi nên góc 1 ( ,n n không đổi dọc 1)theo r Khi đó n n 1= const, đạo hàm hai vế theo s ta được:

n s = ± n s Pr s Như vậy r là đường chính khúc của S 1

Trường hợp 2: n s không song song với ( ) n s Khi đó, 1( )

' '

(n r r =o ) 0 hay (n ro )' ^ r' Vậy r là đường tiệm cận

Bài 2.12: Cho mặt đinh hướng S è E Cung toạ độ 3 v= v0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi L = 0, cung toạ độ u= u0là đường tiệm cận khi và chỉ khi N = 0

Giải

Cung v= v0 có v t ='( ) 0, thay vào phương trình vi phân của đường tiệm cận ( ( )) u t' 2L+ 2 ( ) ( ).u t v t M' ' +( ( )) v t' 2N = 0 ta được ( ( )) u t' 2L = 0khi và chỉ khi L = 0 Vậy v= v0 là đường tiệm cận khi và chỉ khi L = 0 Tương tự, u= u0là đường tiệm cận khi và chỉ khi N = 0

Bài 2.13: Trong E với hệ toạ độ trực chuẩn oxyz cho mặt S có tham số 3

hoá r: Ă ´ Ă đ E3 xác định bởi ( , )r u v = (cos , sin , )v v u Hãy tìm các

đường tiệm cận của S

Vậy họ đường tiệm cận là v= c

Bài 2.14: Cho tham số hoá của mặt Enneper

Giải

Ta có:r u' = (1- u2+ v2, 2 , 2 )uv u

=

-1 2

u v c

u v c

ộ ờ ờ ờ ờ ờở

Û

Như vậy các đường u± v= const là các đường tiệm cận

Bài 2.15: Xác định các đường chính khúc của mặt Helicoid xác định bởi tham số hoá ( , )r u v = (cos sin , sin sin ,u v u v cu c) ạ 0

' v' ( sin cos , cos cos , sin cos )

' '

00

v u v

ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ở

=

=

0 0

u u

v v

ộ ờ ờ ở

=

Vậy các đường tiệm cận của mặt Helicoid là v= v u0, = u0

Bài 2.16: Xác định các đường tiệm cận của mặt Catenoid xác định bởi tham số hoá ( , )r u v = (cos cos , cos sin , )v u v u v

Giải

Ta có: r u' = -( cos sin , cos cos , 0)v u v u

' ( sin cos , sin sin , 1)

2 2 2

1 sin 1 sin 1 sin

v

=

+0

v

-=

+Thay vào phương trình vi phân của đường tiệm cận ta được:

=

-=

1 2

,2

u v c

u v c

v p k p k

ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờở

Bài 2.17: Cho một đường song chính quy r trong E với mục tiêu 3

Frene ( ,T N B dọc theo r Giả sử r là đường tiệm cận của một mặt , )

3

S è E đinh hướng được bởi một trường pháp vectơ đơn vị nr của S Gọi

t là độ xoắn của r Chứng minh rằng:

a) ( )h T = ±t.N

b) K p( )= - t2( ),p " ẻp r

Giải a) Lấy một tham số hoá tự nhiên địa phương của r là sđ r( )s

Do r là đường tiêm cận của S nên theo công thức Meusnier ta có:

'

0= k s N s( ) ( ).(nor)( )s = %k( ( )), ( )r s k s là độ cong của r tại p= r( )s Vì r là song chính quy nên ( ) k s ạ 0 nên từ ( ) ( ).(k s N s nor)( )s = 0, suy ra N s( ).(nor)( )s = 0, hay (nor)( )s ^ N s( )

Mặt khác: (nor)( )s ^ T s( ) Do đó, (nor)( ) ( ( )s PT s ÙN s( ))= B s( )

Do n B là hai vectơ đơn vị, cùng phương nên , (nor)( )s = ±B s( ) Khi

A 0

b

t t

Bài 2.18: Trong E cho mặt S định hướng bởi một trường pháp vectơ 3

đơn vị nr dọc theo S và một đường song chính quy r trên S Chứng minh rằng r vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận khi và chỉ khi r nằm trên tiếp diện của S dọc theo r

Giải Giả sử :r sđ r( )s là một tham số hoá tự nhiên địa phương của r

Điều kiện cần: Giả sử r vừa là đường chính khúc vừa là đường

tiệm cận Khi đó, h( ( ))r' s Pr'( )s và k%( ( ))r' s = 0 Do đó h( ( ))r' s Pr'( )s và

( ( )) ( ( )) ( ) 0

k%r s = h r s r s = Suy ra h( ( ))r' s Pr'( )s và h( ( ))r' s ^ r'( )s Vậy h( ( ))r' s = 0, suy ra (n or) ( )' s = 0 Do vậy (nor)( )s = const tại lân cận p= r( )s

Mặt khác: (nor)( )s ^ T s( ) Do đó, (nor)( ) ( ( )s PT s ÙN s( ))= B s( )

Do n B là hai vectơ đơn vị, cùng phương nên , (nor)( )s = ±B s( ), suy ra ( )

B s = const (tại lân cận của p= r( )s ) Khi đó, ( )B s = - t( ) ( )s N s = 0, suy ra t( )s = 0 Vậy r là cung phẳng tại lân cận của p= r( )s và thuộc

vào tiếp diện của S dọc theo r tại lân cận của p= r( )s

Điều kiện đủ: Giả sử r nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với S dọc theo r thì ( nor)( )s = const nên (nor) ( )' s = 0, suy ra h( ( ))r' s = 0 Khi

đó, h( ( ))r' s Pr'( )s và k%( ( ))r' s = 0 Vậy r vừa là đường chính khúc vừa

là đường tiệm cận

Bài 2.19: Trong E cho đường cong chính quy của g Gọi S là mặt kẻ 3

tạo bởi các pháp tuyến chính của g Chứng minh rằng g là một đường

u v

r Ùr = - k v +v t

Lấy hướng của S xác định bởi trường pháp vectơ đơn vị là :

' ' ' '

(1 ) (1 )

2.3 Độ cong trắc địa, đường tiền trắc địa

Bài 2.20: Mọi cung thẳng trên mặt S è E đều là cung tiền trắc địa 3

Thật vậy, cung thẳng có độ cong ( )k t = 0 Do đó ( )k t g = 0, " ẻt J