Độ cong trung bình của mặt trong e3

Độ cong trung bình có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý vào việc tìm kiếm các mặt cực tiểu trong E3.. Trong luận văn này chúng tôi đã tập hợp và chứng minh chi tiết các tính chất v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

-

***** -HỒ TRỌNG TÚ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN

Vinh,05 – 2009

*******

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

-

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN

Giáo viên hướng dẫn : PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Sinh viên thực hiện : Hồ Trọng Tú

Lớp : 46B1- TOÁN

Vinh,05 – 2009

*******

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

§1 Ánh xạ weigarten 2

§2 Độ cong trung bình mặt trong E 3 8

§3 Mặt cực tiểu trong E 3 20

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28

Lời nói đầu

Lý thuyết về độ cong trung bình của mặt trong E3 đã được trình bày

trong nhiều tài liệu hình học vi phân, chẳng hạn như :[ ]1 , [ ]2 , [ ]5 , [ ]6

Độ cong trung bình có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý vào việc tìm

kiếm các mặt cực tiểu trong E3

Trong luận văn này chúng tôi đã tập hợp và chứng minh chi tiết các

tính chất về độ cong trung bình của mặt trong E3 và các tính chất của mặt

Ở mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất của độ cong trung

bình của mặt và một số quan hệ của độ cong trung bình với các độ cong

khác của mặt trong E3

§3 : Mặt cực tiểu trong E3

Trong mục này chúng tôi xét một số mặt cực tiểu cụ thể và chỉ ra một

số tính chất đối với mặt cực tiểu

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS – TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy ,đồng thời cảm ơn các Thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh , ngày tháng 4 năm 2009

Tác giả

r : U  →E3 được gọi là mảnh tham số trong E3 và

ánh xạ : v→ r(u v o, ) được gọi là đường toạ độ u =uo ( hay đường toạ độ v),ánh xạ : u→r u v( , o) được gọi là đường toạ độ v =vo ( hay đường toạ độ u)

Với ( u ,v )=( 1,2 ) ∈R2 thì các đường toạ độ qua (1,2 là )

Đường toạ độ u = 1 ( hay đường toạ độ v) : v  →r( )1,v = + (1 v v, ,1)

Đưòng toạ độ v=2 ( hay đường toạ độ u ) : u  →r( ) (u, 2 = +u 2, 2 ,u u)

vậy { }r r u, , v, độc lập tuyến tính ⇒r là mảnh tham số chính quy

• Giả sử S ≠ 0,S ⊂E3 ,S được gọi là mảnh hình học khi và chỉ khi

, ,

u v

u v

u v

ϕ

Giả sử S ⊂E S3 , đựơc gọi là mặt trong E3 khi và chỉ khi với mỗi p S∈ ∃ , lân

cận U P của p thoả mãn điều kiện U P là mảnh hình học

Bây giờ ta xét r rα, β là 2 mảnh hình học Ta kí hiệu J r r1

Trong luận văn này, ta luôn giả thiết mặt S trong E3 liên thông định hướng

c, Các phương trình cơ bản của mặt trong E3

* Giả sử trong R3 với toạ độ (x y z, , ) cho Umở ⊂ E3 và hàm

* Giả sử S là một mặt định hưóng trong E3 bởi trường véc tơ pháp tuyến đơn vị n; {U U1 , 2} là trường mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trên tập mở V

trong S; {θ θ 1 , 2} là trường đổi mục tiêu của{U U1 , 2}

Ta gọi {U U U1 , 2 , 3} là trường mục tiêu trực chuẩn dọc V tương thích với S

(nghĩa là U3 =n V/ ) ;và {θ θ θ 1 , , 2 3} là trường mục tiêu của {U U U1 , 2 , 3} Các dạng vi phân bậc một l( , 1, 2,3)

k k l

liên kết của S trong {U U U1 , 2 , 3}

II Ánh xạ Weigarten trong E3

Cho S là mặt định hướng trong E3 , hướng của S xác định bởi trường véc

tơ pháp tuyến đơn vị n

Do h p là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh với

Vì eur1.euur2= 0 ,eur1.eur1= 1 ,euur2.euur2= 1

⇒ b = c

⇒ A P=a c c d

  là ma trận đối xứng W

§ 2 : Độ cong trung bình của mặt trong E3

I Độ cong trung bình của mặt

2.1 Định nghĩa

Các giá trị riêng k k1 , 2 của h p được gọi là các độ cong chính của S tại p

K p = k k1. 2 = A p được gọi là độ cong Gauss của S tại p

2

r p p

Với mỗi p S∈ có 2 phương chính ứng với 2 độ cong chính k k1, 2

Nếu k1/p =k2 /p thì p được gọi là điểm rốn

Nếu k1/p =k2 /p = 0 thì p được gọi là điểm rốn dẹt

Nếu k1/p =k2 /p ≠0 thi p là điểm rốn cầu

Nhận xét b được chứng minh tương tự

4 4

1

4 4

1

( 2)

2 2

TH1: h p có 2 giá trị riêng thực phân biệt k k1 , 2

gọi e eur uur1 , 2 là 2 véc tơ riêng đơn vị ứng với k k1 , 2 thì { }e eur uur1 , 2 là cơ sở trực chuẩn của T S P

ta có α α = 1 1eur+ α2 2euur

β β = 1 1eur+ β2 2euur

thì h p( )α = α 1 1 1k eur+ α 2 2 2k euur

h p( )β = β 1 1 1k eur+ β 2 2 2k euur

khi α λα = (λ là số thực khác 0) Nó được gọi là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định α

2.12 Mệnh đề

Độ cong trung bình của mặt S trong E 3 là

Lấy cơ sở trực chuẩn { }e eur uur1 , 2 của T S P gồm những véc tơ riêng của h p thì

π

Mặt đinh ốc, mặt Enneper, mặt catênoid là những mặt cực tiểu

Trong E3 với toạ độ đề các vuông góc (x y z, , ) xét tập hợp điểm S xác định bởi phương trình e c z osx-cosy=0

Ta thấy tập S trên là mặt tối tiểu ( ĐK : cosx.cosy 〉0)

G r r= y y, , = + 1 tan 2 y

, , , ,

r u vuurtv,( ) (, = −costshusinv-sintshucosv;costshucosv-sintshusinv;cost)

ruurtuu,, ( ) (u v, = costshucosv-sintchusinv;costshusinv+sintchucosv;0)

ruurtuv,, ( ) (u v, = −costchusinv-sintshucosv;costchucosv-sintshusinv;0)

ruurtvv,, ( ) (u v, = −costshucosv+sintchusinv;-costshusinv-sintchucosv;0)

⇒

( ) ( )

ch u sin ch u cos ch u ch u

điều kiện đủ : Nếu S là mặt tròn xoay có H = 0 ta cần chứng minh S là mặt phẳng catênôid

ruuruu,, =(ϕuu,, ( )u cosv; ϕuu,, ( )u sin ;0v )

ruurvu, = −( ϕ ,( )u sin ;vϕ ,( )u cosv;0)

M u v( ), = 0

u u u

f

du du

c e e

pa f p( ) sao cho 0 f puuuuuuur r( ) =n p( )

Trong đó 0 là tâm mặt cầu đơn vị S2

n là trường véc tơ pháp tuyến đơn vị trên mặt liên thông cung S1

Khi đó f là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi S1 nằm trên một mặt cầu hay một mặt cực tiểu

⇔ h p luôn luôn có 2 giá trị riêng bằng nhau hoặc đối nhau

⇔ hai độ cong chính của S1 luôn luôn bằng nhau hoặc đối nhau tại ∀p (do

KẾT LUẬN

Độ cong trung bình là một trong nhữnh kiến thức cơ bản của hình học vi phân Như đã đặt ra mục đích ban dầu, khoá luận này bứoc đầu giới thiệu và tìm hiểu độ cong trung bình của mặt trong E3

Trong khoá luận này, chúng tôi đã làm được những việc sau :

1 Chứng minh một số tính chất của ánh xạ weigarten ( mệnh đề 1.4; hệ quả 1.5 )

2 Chứng minh các công thức tính độ cong trung bình (mệnh đề 2.6 và mệnh đề 2.8 )

3 Chỉ ra mối quan hệ của độ cong trung bình với các độ cong khác trong E3 ( mệnh đề 2.12; mệnh đề 2.13 và mệnh đề 2.14)

4 Chứng minh chi tiết độ cong trung bình của mặt cực tiểu và cách xác định mặt cực tiểu ( mệnh đề 3.3 và mệnh đề 3.4 )

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về độ cong trung bình của một siêu mặt trong Rn

Tài liệu tham khảo

[ ]1 Nguyễn Thúc Hào , Hình Học vi phân , NXBGD 1996.

[ ]2 Trần Trọng Huệ , Đại số tuyến tính và hình học giải tích (tập 2 ) ,

NXBĐHQGHN 2002

[ ]3 Tạ Thị Thuỳ Linh, Các độ cong của mặt trong R3: Luận văn tốt nghiệp Đại học : Đại Học Vinh, 2004

[ ]4 Định Thị Thuý Nhung,khoá luận cuối khoá năm 2001

[ ]5 Đoàn Quỳnh, Hình Học Vi Phân, NXBGD 2001

[ ]6 Đoàn Quỳnh , Trần Đình Viện , Trương Đức Hinh , Nguyễn Hữu

Quang , Bài tập hình học vi phân , NXBGD 1993

[ ]7 Trần Thị Thanh Thuỷ , Trường véc tơ độ cong trung bình và đa tạp con cực tiểu.Luận án thạc sỹ toán học Đại Học Vinh, 2006.

[ ]8 Bùi Diệu Thuỷ, Độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn: Luận văn tốt nghiệp Đại Học: Đại Học Vinh, 2007