đường chính khúc và đường tiệm cận trên mặt trong e3 luận văn tốt nghiệp đại học

Đường chính khúc Mục này trình bày khái niệm đường chính khúc trên mặt trong E và xây dựng phương trình vi phân của đường chính khúc.. Đường tiệm cận Mục này trình bày định nghĩa, một

KHOA TOAN

TONG THI TU

DUONG CHINH KHUC VA DUONG TIEM CAN

TREN MAT TRONG E°

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGANH CU NHAN KHOA HOC TOAN

VINH - 2009

TRUONG DAI HOC VINH

KHOA TOAN

DUONG CHINH KHUC VA DUONG TIEM CAN

TREN MAT TRONG E°

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGANH CU NHAN KHOA HOC TOAN CHUYEN NGANH: HINH HOC

Cán bộ hướng dân khóa luận:

TS NGUYỄN DUY BÌNH

Sinh viên thực hiện:

TỐNG THỊ TÚ Lớp: 46B; - Toán

VINH - 2009

Trang

LỜI MỞ ĐẦU -2222222EEvvvccrrrtttEEEEEEEkririrrrrirrrrrrrrrrree 2

§1 Ánh xạ Weingarten và các độ COng - ¿+ 2+ ++z+k+txz+xzrerrxsreee 4

Š2 Đường chính khúc .- ¿+2 2+ ++S£+E+E+E+EeEx+xerexerxexerererrree 13 Š3 Đường tiệm cận - -5:c+ St rét H221 ke 24

'sunn 0 .) 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2-2-5255 SE+E£EEeEEvEeEEvrerrrrxrrervee 36

2

LOI M6 DAU

Lý thuyết về đường trên mặt là một nội dung quan trọng của hình hoc vi phân được trình bày trong nhiều tài liệu như: “Hình học vi phân” của Đoàn Quỳnh,

“Các dạng vi phân” của H.Cartan Lý thuyết này liên quan đến rất nhiều các kiến

thức của hình học tôpô Có 3 loại đường thường gặp trên mặt, đó là:

Mục này trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của

ánh xạ Weingarten (Mệnh đề 1.4,1.6 ) Từ đó đi đến các khái niệm độ cong Gauss,

độ cong trung bình, các dang co ban I, II, công thức Meusnier, Euler và chứng minh một số tính chất liên quan (Mệnh đề 1.7,1.8.1,1.8.2) để sử dụng cho các chứng minh sau này

§2 Đường chính khúc

Mục này trình bày khái niệm đường chính khúc trên mặt trong E và xây

dựng phương trình vi phân của đường chính khúc Từ đó áp dụng để tìm đường

chính khúc trên một số mặt thường gặp Ngoài ra còn trình bày các tính chất của đường chính khúc (Mệnh đề 2.5.1, ,2.5.7)

§3 Đường tiệm cận

Mục này trình bày định nghĩa, một số ví dụ và phương trình vi phân của đường tiệm cận trong tham số hoá địa phương Thông qua phương trình vi phân để viết phương trình đường tiệm cận của một số mặt thường gặp trong EỶ Ngoài ra còn trình bày và chứng minh một số tính chất quan trọng của đường tiệm cận trong

E (Mệnh đề 3.5.1, ,3.5.9)

Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo -

TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh,

cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khoá luận

không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Vinh, thang 04 năm 2000

Tac gia

œt>-D„n (D là đạo hàm của trường vectơ pháp tuyến don vi trong E*)

được gọi là ánh xa Weingarten tai p

Khi p thay đổi, kí hiệu chung các h, d6 là h và gọi là ánh xạ Weingarten trên S

1.2 Nhận xét

Định nghĩa ánh xạ h„ như trên là hợp lý vì với mọi pc $: n(p).n(p)= 1

Lấy đạo hàm hai vé ta c6: 2D,n.n =0,Va €TpS

du Dngr)

Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng z„ suy ra rằng ?„ luôn

có hai giá trị phân biệt thực hoặc có đúng một giá trị riêng thực

Chứng minh:

Chọn cơ sở trực chuẩn đơn vị fe,,e,} trong 7pS

h, (e, )= ae, + be,

- Nếu A >0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là ?„

có hai giá trị riêng phân biệt, khi đó hai phương chính tại p hoàn toàn xác định

Gọi hai giá trị riêng đó là #,.£, th: — ”„(e&)=K,«e„h,(ø;)=K,£;

Độ cong Gauss tại p của S 1a K(p)=K,.K,.

Độ cong trung bình tại p của % là #{p)= 2IẾ + &)

Nếu A=0 phương trình(*) có nghiệm kép thực tức là »„ có đúng một giá trị riêng thực Ế,=Ế, Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn Í@,Ẳ@&} của 7p§ có h,(e,)= Kye; h,(e,)= Kye); Ấ, =K, và K(p)=K?; H(p) = K, Điểm p như thế gọi

là điểm rốn của S

Khi Ế,=Ấ, =0 p còn gọi điểm đẹt

K, =K, #0 pcon goi diém cau

Goi n 1a trudng vecto phdp tuyến đơn vị của mặt S Vi moi điểm của S 1a

diém r6n nén céc do cong chinh cia S 1a K, = K, = K Ta c6 dé cong Gauss cia S

1.8 Các dạng cơ bản / va // cua mat S (mat có hướng trong E`)

Với mỗi PeS, I„: TpSxTpS->R

(z.8)—> ø.8 H„: - TpSxTpS>R

(z.8)t> ñ„(œ).8

Là những dạng song song tuyến tính đối xứng trên 7›S chúng được gọi theo

thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại Người ta cũng kí hiệu:

I,(a,a)=1,(a); 1I,(œ.z)= 1I,(œ).và khi p thay đổi ký hiệu 7 và 77

Trong tham số hoá địa phương z: U->S, (w,y)->r(w,v)

E,F,G gọi là các hệ số của dạng cơ bản 7 L,M,N gọi là các hệ số của dạng cở bản // 1.8.1 Mệnh đề

Ta có công thức:

L= (mr Mr Ty M= (nự ar; Ty» N=(nr)r, Chứng minh:

10

(; ^=}'6.v)= (; ^ )( ^ ze.v)

—|n(v)y(wv) - ry}y@,v Suvi) s@.v)z6„v)

“lrs) oes) |

= (eG _ F?\u,v)

Hay: In, Ar =VEG- F?

(ngr)r„„ = See Tin (u, v)

h9)

(uv)

Vay L(u,v)= (Garr) ris)

VEG - F°*

Tương tự ta chứng minh được:

M (u, v)= Sintra) ứu v)

N(u, v)= đan bác v)

EG -

1.9 Độ cong pháp dạng - Công thức Meusnier - Công thức Euler

Xét S là một mặt phẳng có hướng trong £°

1.9.1 Độ cong pháp dạng - Công thức Meusnier

Cho ø là một cung chính quy nằm trong $ có tham số hoá tự nhiên

- Nếu OF (s,)=0 thì /7(s,))=0

iS

- Nếu _ 0 ( Tức ứng với s„ là điểm song chính quy của z), thì từ

IS

PE (55)=K(s)}N() td 66: K(5}.M(s5)n(o(s,))=2 Ímu2Js,} trong đó

K(s,)la dO cong cua p tai s,

N(s,) 1& vecto phdp tuyén chinh don vi cua p tai s,

Từ đó ta duge: K(s, N(s, )n( p(s, )) = Z(T(s, ))

Công thức này dẫn đến định nghĩa:

Định nghĩa:

œ là vectơ khác 0 của 7ps thì đặt #(œ)= Ta) số đó không déi khi thay a

bằng 2z, 2 là số thực khác 0 tuỳ ý, được gọi là độ cong pháp dang của % theo phương xác định bởi z

Khi đó công thức trên trở thành:

K(s,)N(s,)s(ø(s,))= Ẽ(7É,,)

và được gọi là công thức Meusnier

1.9.2 Công thức Euler

Với mỗi vectơ riêng e của h„,h„(e)= K.e ( K gọi là giá trị riêng của ø„)

Thì: R(e)- Ue) _h,(e)e _ Ree = =K

1 (e) ee ee

Từ đó nếu lấy một cơ sở trực chuẩn {e,,e,} của 7p gồm những vectơ riêng của h, thì K(e,)= #,.#(e,)= Ấ, là các độ cong chính của S tai p

Nếu @ =cosge, +singe, thi I(a@)=a.a=1

=h, (ala

=h (cosge, +sin ge, \(cosge, +sin ge, )

=K,.cos’ 9+ K,.sin’ g

P

12

Vay ta c6é cong thttc: K(a)= K, cos’ y+ K, sin? g va dugc goi là công thức Euler

Nhan xét:

Từ công thức Euler ta thay:

- Nếu các độ cong chính K,,K, cing dấu thì £(øz) cũng có dấu đó với mọi

aeTpS — {o}

-_ Nếu các độ cong chính K,,Ã, khác dấu thì có ze7ps- {0} để K(a)=0.

§2 DUONG CHINH KHUC

2.1 Dinh nghia

Đường trén mat Strong E* mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương

chính của $ tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của s Cụ thể: p:J —S,t p(t) xác định một đường chính khúc khi và chỉ khi P62) song song

it

véip

2.2 Nhan xét

a) Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn tham số của đường Thật vật, giả

SỬ p:J >S,t p(t) xdc dinh mot đường chính khúc và zr:7 —> S,z+> r{z) cũng là

một tham số của đường Khi đó có một vi phôi 2:7 ->J,ut> 2(w)=¿ sao cho

14 (*)© K?~(a+4)K—b? +ad =0

E(u,v) F(u,v) G(u,v) =0

L(u,v) M(u,v) N(uv

Trong đó E,F,Gvà L,M,N theo thứ tự là các hệ số của dạng cơ bản 7 và dang co ban JJ cla S trong tham số hoá r

Thật vậy aR,(u,v)+bR,(u,v) là một phương chính khi và chỉ khi tồn tai K sao

cho:

h,(aR, +bR,)=—K[aR, +bR,)

Tức là khi và chỉ khi hệ hai phương trình sau ( có được do nhân vô hướng lần

lượt với Ÿ„ và R,) có nghiệm K

h, (aR, +bR )R, =—K(ak, +bR)R,

h, (aR, +bR )R, =-K(aR, +bR )R, tai (u,v)

Tham số hoá của mặt có dạng:

(u,v) b ru, v) = (a cosu,bsin u,v)

S y=u (uy,v) 1a cdc hang s6)

Vậy trên mặt trụ Eliptic các đường toạ độ là các đường chính khúc 2.4.2 Mặt trụ Hyperbolic

Tham số hoá của mặt có dạng:

(u,v) r(u,v) = (achu, bshu,v)

Tham số hoá của mặt có dạng:

(u,v) r(u,v) =(2pu.2pu?,v) (p#0)

M= (nor), =0

N =(r}r„ =0

18 Phương trình vi phân của đường chính khúc là:

Tham số hoá của mặt có dạng:

(u,v) ru, v) =(veosu,vsinu, hu)

Phương trình vi phân của đường chính khúc là:

Mọi đường trên mặtS là đường chính khúc nếu Hˆ(p)= KÍp), VpeS, trong đó H,K

theo thứ tự là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S

Do đó mọi điểm của S đều là điểm rốn

Vậy theo nhận xét 2.2.b) ta có điều phải chứng minh

2.5.2 Mệnh đề

Các đường toạ độ của mặt ŠS là đường chính khúc khi và chỉ khi F = M =0

Chứng minh:

Ta có:

Khi đó các đường toạ độ của mặt S là đường chính khúc

2

{ew + 2uv? +2u) +(-2v° + 2u?v+ 2v) NI +y? y -9)

>Ferr= (3+3v? ~3u?).6uy + 6uv.(3 +3” ~3v?)~36wy =0

(2u° + 2uv? + 2u).6v + (-2v° + 2uv? + 2v).6u +0

Chứng minh:

Giả sử S,,S, lần lợt có tham số hoá dạng:

(u, v) Bw ru, v) va

(u, v)> F(u,v)

Ta ky hiéu n(s),7(r) lan luot 1a phdp tuyén don vi cua S,,S, doc T

Ta có T là đường chính khúc của s, nên ø(/)//n ()

Mặt khác: 0()7{?)=a

22

=n(0)ñ()+ n()ñ (t)=0 () Hơn nữa: ø(?)L(?) nên ø () L 7) (2)

1) C là một đường chính khúc khi và chỉ khi N'(¿) và a (t) càng phương

2) Nếu C là một đường chính khúc thi dé cong chinh ting voi a(t) la

2.5.7 Ménh dé

Cho đường chính quy C là giao của mặt chính quy S với mặt phẳng p a la tham số hoá nào đó của C Nếu góc giữa S và p là hằng dọc theo œ thi a la đường chính khúc

Chứng minh:

* Trường hợp 1: Góc giữa § và p lớn hơn 0° và bé hơn 180°

Giả sử X và V tương ứng là các trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S$ va p

24

§3 DUONG TIEM CAN

3.1 Dinh nghia

Phương xác định bởi @ € TpS—{0} goi 1a mot phuong tiém can claS tai p

néu do cong phap dang cia S theo phuong dé 14 0, K(a)=0

Đường trên $ mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương tiệm cận của

% tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của $

3.2 Ví dụ

Š là mặt phẳng thì mọi đường trên s là đường tiệm cận của S

Thật vậy vì $ là mặt phẳng nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị n của § là trường

vectơ song song Do đó với mọi ø e 7»$~ {0} ta có D„n= 0

= II{œ)=0, Vø eTpS — {0}

> K(a)=0, Vae TpS — {0}

Vậy đường có phương xác định bởi @ 1a dudng tiém can cla S

Do đó mọi đường trên Š là đường tiệm cận cua S

3.3 Phương trình vỉ phân của họ các đường tiệm cận trong tham số hoá địa phương

r:U->S

(wv) r(uv)

là một tham số hoá địa phương của mặt S trong ZE` thì phương của

a=aR,(p)+bR,(p) Ía=uj, b=, |a|+|b|z 0) xác định một phương tiệm cận của S

tại {u,v)= p khi và chỉ khi K(a)=0

= II(a)=0

=h,(a)a=0

° Km) + b(ny} )k + br )=0 tai(u,v)

© a (ar) 7 + abln,7'), Fit ab(nyr} z; +0? (7) # =0 tại (w,v)

© La? +2Mab+ Nb? =0 — tại (u,v)

ii som at ® yf & =0

dt dt dt dt

Vay phuong trinh vi phan can tim 1a: Ldu? +2Mdudv+ Ndv> =0

3.4 Các ví du

Vi du 1:Tim phương trình đường tiệm cận của mặt nón trong £`

Phương trình biểu diễn của mặt nón trong không gian #` là:

r, =(-vsin u,v cos u,0)

r= (cos u,sin u,1)

r= (- sin w, cos u,0)

ro= (- vcos u,—vsin u,0) uu

=y=0 hoặc u=c, C=consl,

Vậy đường tiệm cận của mặt nón là các đường toạ độ v=0 hoac u=c, c=const

Ví dụ 2:Tìm phương trình đường tiệm cận của mặt S trong có phương trình:

1 z=—>-

x oy 2 trong E°

Mat S đã cho xác định bởi tham số hoá

mm

7 l-z

2 x=——

l+z Vậy đường tiệm cận của S có phương trình dạng:

2 X=——

Ví dụ 3:Tìm phương trình đường tiệm cận của mặt trụ trong Z`

Xét mặt trụ trong £” có phương trình biểu diễn là:

Phương trình vi phân của họ đường tiệm cận của mặt trụ có dạng:

Lam? +2Mdudv+ Nâ? =0

= -|aldu? =0

©adu„=0

©du=0

eu=C, C =const, aeR

Vậy đường tiệm cận của mặt trụ là các đường toạ độ:

u=C, C=const aeR

3.5 Cac tinh chat

3.5.1 Ménh dé

Trong tham số hoá (u.v)L>r{u, v) của S

L=0 khi và chỉ khi các đường toạ độ u là các đường tiệm cận của S

N=0 khi và chỉ khi các đường toạ độ v là các đường tiệm cận của S

Chứng minh:

Trong tham số hoá (u,v) L>ruv) của %, các hệ số , W được xác định:

tyr =n)

Nạr= HỆ )

Ta có:

L=0œ1I')=0

= R(F)=0

<F 1a dudng tiém can cua S tai diém (w,v)

<= Duong toa do u 1a dudng tiém can cua S

N=0« II(£')=0

= R@)= 0

< F la phuong tiém can cita S tai diém (u,v)

© Đường toa độ u là đường tiệm cận của S

Theo 1.7 ta có: nếu mat S$ trong #` mà mọi điểm là điểm rốn thì độ cong

Gauss K là hằng, không âm

mặt khác, vì K(p)#0, VpeS nén K(p)>0, VpeS

Vậy từ 3.5.2 ta có điều phải chứng minh

30 3.5.4 Ménh dé

Đường trên mặt S trong E` là một đường tiệm cận của S khi và chỉ khi một

trong các điêu kiện sau được thoả mãn:

¡)_ Tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có phương là phương tiệm cận

ii) Đường là đường thẳng hay là tại mỗi điểm của nó mặt phẳng mật tiếp? trùng

với mặt phẳng tiếp xúc của mặt

iii) Tại mỗi điểm của nó độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến bằng 0 Chứng minh:

)=—ii):Giả sử z là đường trên mặt $ mà tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có phương

là phương tiệm cận Khi đó z là một đường tiệm cận của S

Giả sử: ø: —› S là một tham số hoá tự nhiên của z, s„ là điểm song chính qui bất

mà z(ø2(s¿)L ø(s) nên z(ø(s„)) vuông góc với mặt phẳng mật tiếp của z tại s„

Do đó mặt phẳng mặt tiếp của z tại s„ cùng phương với mặt phẳng tiếp xúc với Š

tại s„ nên chúng trùng nhau

1)=iii): z là một đường bất kỳ trên Š Ta xét các trường hợp sau:

a) z là đường thẳng:

Khi đó độ cong của z tại điểm s„ bất kỳ thuộc z là K(s,)=0

Giả sử z có tham số hoá tự nhiên ø: s> ø(s,)

Từ công thức Meusnier ta có: K(T(s,))=0, Vs, ey hay K(T)=0

b) Tại mỗi điểm của z mặt phẳng mật tiếp trùng với mặt phẳng tiếp xúc của mặt Khi đó, vì W(s,) nằm trong mật tiếp của z tại s„ nên N(p(s,)).N(s,)=90, Vs, e7

> K(r(s,))= K(s,)}.M(s,).M(p(s,)) = 0, VsSạ €7