Đường tiệm cận trên mặt trong e3

Đường tiệm cận trên mặt trong E3 Phần này trình bày định nghĩa, một số ví dụ và phương trình vi phân của đường tiệm cận trong tham số hoá địa phương.. Thông qua phương trình vi phân để

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về đường trên mặt là một nội dung quan trọng của hình học vi phân Nó được trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân như 1,2,3… Đặc biệt lý thuyết này có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học

Luận văn được trình bày gồm 5 mục:

3 Đường tiệm cận trên mặt trong E3

Phần này trình bày định nghĩa, một số ví dụ và phương trình vi phân của đường tiệm cận trong tham số hoá địa phương Thông qua phương trình vi phân

để viết phương trình đường tiệm cận của một số mặt thường gặp trong E3

4 Các tính chất của đường tiệm cận

Mục này tác giả đã trình bày và chứng minh được một số tính chất quan trọng của đường tiệm cận trên mặt trong E3

đã được nhận định ở các tài liệu Từ

đó đưa ra được một số kết quả (hệ quả 4.2, 4.4, 4.7)

5.Mở rộng khái niệm đường tiệm cận cho siêu mặt trong E n

Trên cơ sở mở rộng khái niệm ánh xạ Weingarten, dạng cơ bản I, II, công thức Meusnier, Euler cho siêu mặt trong E n

Tác giả đã đi đến khái niệm đường tiệm cận trên siêu mặt trong E n

và kiểm chứng được một số tính chất của đường tiệm c ận trên mặt trong E3

vẫn đúng cho siêu mặt trong En (mệnh đề 5.4, 5.5, 5.6)

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo- TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Trường đại học Vinh, cảm

ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Vinh, ngày 01 tháng 05 năm 2003

Sinh viên : Lê Thị Quỳnh Mai

1.1.2.Với điểm (uo, vo) U, cung tham số u  r (u,v0) trong En (ở đây u thay đổi trong một khoảng J  IR nào đó, vo J ) gọi là đường toạ

độ v = vo , cung tham số v  r (u0,v) trong En (v thay đổi trong khoảng J

IR, u0J ) gọi là đường toạ độ u=u0

1.1.3 Điểm (uo, vo) gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu

r đìm tại (uo, vo), tức là nếu r’u(uo, vo), r’v (uo, vo) độc lập tuyến tính

Điểm không chính quy còn gọi là điểm kỳ dị

Mảnh tham số r gọi là mảnh tham số chính quy nếu mọi điểm của nó

là điểm chính quy

1.1.4.Hai mảnh tham số trong En

: r : U  En, r~: U~ En gọi là tương đương nếu có vi phôi  : U  U~để r = r~. Đó là một quan hệ tương đương, mỗi lớp tương đương đó gọi là mọt mảnh trong En

và r gọi là tham số hoá của mảnh

1.1.5.Tập con S của En

gọi là một mảnh hình học trong En nếu nó là ảnh của một dìm , đồng phôi lên ảnh r : U  En từ một tập mở U trong IR2vào En, r gọi là một tham số hoá của mảnh hình học S

1.1.6.Tập con không rỗng S của En

gọi là một đa tạp hai chiều (hay một mặt) trong En nếu mỗi điểm p S có lân cận mở p trong En

là một mảnh hình học

Mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một mảnh tham số hoá địa phương của mặt S

1.1.7.Mỗi véctơ  thuộc tập các véctơ tiếp xúc của En tại p (Tp En) được gọi là một véc tơ tiếp xúc với S tại p nếu tồn tại cung tham số

TpS sao cho với mọi p0S, có tham số hoá địa phương r :U S của S , t(U)

 po và với mọi (u,v)  U, T(u,v) r biến hướng chính tắc của IR 2 thành hướng của

Tr (u,v) S tức là với mọi p r (U), hướng của TpS xác định bới cơ sở IRu (p), IRv (p) , tham số hoá này gọi là tương thích với hướng đó

Đa tạp S gọi là định hướng được khi S có hướng và S gọi là đa tạp định hướng nếu đã chọn một hướng trên S

Đa tạp hai chiều S trong E3

định hướng được khi và chỉ khi có trường véctơ pháp tuyến đơn vị (khả vi) trên S Cụ thể, trong tham số hoá r : U S của

S tương thích với hướng đã chọn trên S, xét trường véctơ pháp tuyến đơn vị trên r(U) :

n=

v u

v u

R R

R R



 (R =r’u , Rv= r’v )

1.2- Mặt kẻ

1.2.1.Định nghĩa

Xét cung chính quy trong E3 xác định bởi  : J E3

,u  f(u) (J là một khoảng trong IR) cho hàm Véctơ A : J  3

E , u  A(u) A(u)  0 , u J Xét tập mở U trong IR2 mà U =  (u,v) ; u J  là một khoảng trong IR thì mảnh trong không gian E3

xác định bởi :

r : U  E3

(u,v)  r(u.v) = (u)+ vA(u) , được gọi là (mảnh ) mặt kẻ với đường chuẩn là cung đã cho

Các đường toạ độ u = u0 (không đổi) gọi là các đường thẳng sinh của mặt

kẻ

1.2.2.Định nghĩa

Mặt kẻ S trong E3 có tham số hoá r Giả sử r không có điểm kỳ dị Khi đó các tiếp diện của mặt tại mọi điểm của cùng một đường thẳng sinh tuỳ ý của S luôn trùng nhau thì S được gọi là mặt khả triển

Rõ ràng  không đổi và  có phương không đổi

Giả sử  và  không công tuyến thì N (uo,vo) thay đổi phương khi điểm thay đổi trên đường sinh u =uo Do đó mặt đã cho không phải là mặt khả triển

Vậy  , là cộng tuyến Khi đó phương của N (uo,vo) khi điểm chạy trên đường thẳng sinh u0 luôn là phương véc tơ hằng  suy ra tiếp diện của mặt không đổi khi điểm chạy trên đường thẳng sinh u = uo

Mặt khác  , cộng tuyến   ' (u0)xA' (u o) và A' (u o)xA(u o) cộng tuyến  ( ' (u0)xA(u o)) A' (u o) = 0

2.1 Định nghĩa

S là một đa tạp hai chiều (mặt) trong E3 có hướng xác định bởi trường véc

tơ pháp tuyến đơn vị n trên S Ánh xạ

hp : TpS  TpS

 -Dn (D là đạo hàm trong R3

)

Được gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Khi p thay đổi, ký hiệu chung các hp đó là h và gọi là ánh xạ Weingarten trên S (ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các đường trên mặt

hp : TPS  TPS   (no)’(to)

hp (k  + l  ) = - Dk +l n

= - ( D k n +D l  n ) = - kD  n – lD  n = k hp() +lhp ()

Để chứng minh hp đối xứng ta chứng minh rằng với mọi ,  thuộc TpS thì

có hp () =  hp() với mọi p S

Thật vậy , lấy tham số hoá địa phương

r : U (  IR2 )  S (u, v)  r (u,v)

Ta có r’u (u, v) = Ru (u ,v) ; r’v (u, v) = Rv (u ,v)

 Ru (u ,v); Rv (u ,v)  là cơ sở trong TpS

Do đó ta chỉ cần chứng minh hp ( Ru (p)) ( Rv (p)) = ( Ru (p)) hp ( Rv (p)) Tại p = r (u, v) ta có :

hp ( Ru(p) ) = - D Ru(p) n

= - ( )(u,v)

du

r no D

hp ( Ru(p) ) Rv(p) = (- ( )r' )(u,v)

du

r no D

v (1) Mặt khác (nor)r’v = 0

Lấy đạo hàm hai vế theo u ta có

r v

du

r no D

' ) (

(u,v)

Do r khả vi nên

v u

r





 2 =

u v

r





 2 Suy ra

2.5 - Định nghĩa

Mỗi giá trị riêng của hp gọi là một độ cong chính tại p của S

Mỗi véctơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính tại p của S

Định thức của tự đồng cấu hp gọi là độ cong Gauss tại p của S Ký hiệu là K(p)

2

p

Veth

gọi là độ cong trung bình tại p của S , Ký hiệu là H(p)

Điểm p S gọi là điểm elliptic, hyperbolic hay parabolic của S tuỳ theo K(p) dương, âm, hay bằng 0

b d-k

Ta có : k2 = (a+d) k – (b2- ad) = 0 (*)

 = (a - d)2  0

= 0

-Nếu  > 0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là hp

có hai giá trị riêng phân biệt, khi đó hai phương chính tại p hoàn toàn xác định Gọi hai giá trị riêng đó là k~1, k~2 thì hp(e1) = k~1 e1 , hp(e2) = k~2e2

Độ cong Gauss tại p của S là K(p) = k~1 k~2; độ cong trung bình tại p của

có hp(e1) = k~1 e1 ; hp(e2) = k~2 e2 , k~1 = k~2 và K(p) = k~12 ; Hp = k~1 Điểm p như thế gọi là điểm rốn của S ; khi k~1 = k~2 = 0 P còn gọi điểm dẹt

k~1 = k~2  0 p còn gọi là điểm cầu

là tham số hoá địa phương tuỳ ý của S

r

, độc lập tuyến tính Gọi n là trường véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S Vì mọi điểm của S là điểm rốn nên các độ cong chính của S là k~1 =k~2= -k~ Ta có độ cong Gauss của

u

r





r



Mặt khác ta có :

u

r no

v

r no

v u

r no

r



 + k~

v u

r no

r



 + k~

u v

r no

r no

r



 = ~ '

u

k v

r



 hay ~ '

v

k u

r



 = 0

(  ,  )    IIp : TpS x TpS  IR

(  ,  )  hp () 

Là những dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS, chúng được gọi theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p người ta cũng ký hiệu

Ip (,) = Ip() , IIp (,) = IIp () , và khi p thay đổi ký hiệu I và II

Trong tham số hoá địa phương r : U  S , (u ,v)  r(u ,v)

E, F, G gọi là các hệ số của dạng cơ bản I

L,M,N gọi là các hệ số của dạng cơ bản II

u r du

nor D

)(u,v) (nor) (u,v)  r’u(u,v) Nên (nor) r’u(u,v) = 0

Do đó ( '

) (

u

r du

r no D

)(u,v) + ((nor) ruu'' )(u,v) = 0

 L(u,v) = ((nor) ''

uu

r )(u,v)

v u F EG

r r

r u v uu

 M(u,v) = ( , , 2)( , )

'' ' '

v u F EG

r r

r u v uv

 N(u,v) = ( , , 2)( , )

'' ' '

v u F EG

r r

r u v vv

Chứng minh:

Ta có (nor)(u,v) = ( , )

' '

' '

v u r r

r r v u

v u

ru'(u,v) ru'(u,v) ru'(u,v) rv' (u,v)

rv' (u,v) ru'(u,v) ru'(u,v) rv' (u,v)

F EG

v u F EG

r r

r u v uu



=

=

Vậy L (u,v) = ( , , ) ( , )

2 u v F EG

r r

r u v uu

Tương tự ta chứng minh được

M(u,v) = ( , , ) ( , )

2

'' ' '

v u F EG

r r

v u F EG

r r

2.9.1 Độ cong pháp dạng -Công thức Meusner

Cho  là một cung chính quy nằm trong S có tham số hoá tự nhiên

trong đó k(s0) là độ cong của  tại so

N(so) là véc tơ pháp tuyến chính đơn vị của  tại s0

) (

S theo phương xác định bới 

Khi đó công thức trên trở thành :

) (

e I

e II

e e

e e

e e k

.

.

~ =k~

Từ đó nếu lấy một cơ sở trực chuẩn  e1, e2  của TpS gồm những véc tơ riêng của hp thì k~.(e1) = k~1, k~( e2) = k~2 là các độ cong chính của S tại p

Nếu  = Cos  e1 + Sin e2 thì I ()=   =1

nên k~() =

) (

) (





I II

= hp ()  = hp (Cos  e1 + Sin e2 ) (Cos  e1 + Sin e2 )

= k~1 Cos2  +~2

k Sin2 Vậy ta có công thức :

-Nếu các độ cong chính k~1 , k~2 cùng dấu thì k~() cũng có dấu đó với mọi   TpS - 0 

-Nều các độ cong chính k~1 , k~2 khác dấu thì có  TpS ) –  0 

mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi

là một đường tiệm cận của S

3.2 Ví dụ

S là mặt phẳng thì mọi đường trên S là đường tiệm cận của S

Thật vậy vì S là mặt phẳng nên trường véctơ pháp tuyến đơn vị n của S là trường véc tơ song song Do đó với mọi   TpS -  0  ta có D  n = 0

r: U  S , (u,v)  r(u,v) là một tham số hoá địa phương của mặt S trong

E3 thì phương của  = aRu(p) + bRv(p) ( a = u’t , b =v’t a +b  0 ) xác định một phương tiệm cận của S tại r (u,v) = p khi và chỉ khi k~1 () = 0

+ 2Mab + Nb2 = 0 tại (u,v)

IR2 r(u,v) = (a cosu, asinu, v)

n =

a

u u

acos , sin , 0 ) (

E2 r(u,v) = (v cosu, vsinu, v)

Ta có :

r’u = (-v.sinu, v.cosu, 0);

r’v = ( cosu, sinu, 1)

r’’uv = (-sinu, cosu, 0)

r’’uu = ( -v Cosu, - v Sinu, 0)

r’’vv = ( 0, 0, 0 )

Khi đó :

n =

2

) , sin , cos (

v

v u v u

M = 0

N = 0 Phương trình vi phân của họ đường tiệm cận của mặt nón có dạng :

x - 12

y )

Ta có: r’x = (1, 0, - 23

x ) r’’xx = (0, 0, 64

x ) r’y = (0, 1, 23

y ) r’’yy = (0, 0, - 64

y ) r’’xy = (0, 0, 0)

Khi đó n =

6 6

3 3

4 4 1

1 ,

2 , 2

y x

y x

1 6

y x

M = 0

N =

6 6

1 6

y x



Phương trình vi phân của họ các đường tiệm cận của mặt S trong E3

có dạng :

6 6

1 6

y x

dx2 -

6 6

1 6

y x

z =

x

2 -1

Hay y =

z



1 2

x =

z



1 2

Vậy họ các đường tiệm cận của S có phương trình dạng

x =

t



1 2

y =

t



1 2

z = t

4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TIỆM CẬN

TRÊN MẶT S TRONG E 3

4.1.Mệnh đề

L = 0 khi và chỉ khi các đường toạ độ u là đường tiệm cận của S

N = 0 khi và chỉ khi các đường toạ độ v là đường tiệm cận của S

 k~( '

u

r ) = 0  '

v

r ) = 0  '

v

r là phương tiệm cận của S tại điểm (u,v)

 Đường toạ độ u là đường tiệm cận của S

Ta có công thức Euler: k~() = k~1 cos2 + ~2

k sin2 (~1

k ,k~2 là các độ cong chính của S tại p)

Dọc đường tiệm cận  của S thì k~() = 0, nên

Ta biết rằng nếu mặt S trong E3

mà mọi điểm là điểm rốn thì độ cong Gauss K là hằng, không âm (theo 2.7)

Mặt khác, vì K(p)  0,  p S nên K(p) > 0,  p S

Vậy từ 4.3 suy ra điều phải chứng minh

4.5.Mệnh đề

là một đường tiệm cận của S khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây được thoả mãn:

i) Tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có phương là phương tiệm cận

ii) Đường là đường thẳng hay là tại mỗi điểm của nó mặt phẳng mật tiếp trùng với mặt phẳng tiếp xúc của mặt

iii)/ Tại mỗi điểm của nó độ cong pháp dạng bằng không

Suy ra:

Hoặc k(s0) = 0,  s0     là đường thẳng Hoặc N(s0).n((s0)) = 0 ,  s0 

 N(s0)  n((s0))

mà n((s0))  ’

(s0) Nên n((s0)) vông góc với mặt phẳng mật tiếp của  tại s0

Do đó mặt phẳng mật tiếp của  tại s0 cùng phương với mặt phẳng tiếp xúc với S tại s0 nên chúng trùng nhau

* ii) iii):

 là một đường bất kỳ trên S ta xét các trường hợp sau:

a) là đường thẳng

Khi đó độ cong của  tại điểm s0 bất kỳ thuộc  là k(s0) = 0

Giả sử  có tham số hoá tự nhiên : s  (s)

Mặt mà mọi điểm trên nó là điểm eliptic thì không có đường tiệm cận

Lấy cơ số trực chuẩn e1, e2  của TpS gồm những véctơ riêng hp thì các

độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi e1, e2 là :

Giả sử S là mặt cầu bán kính R , n là trường véc tơ pháp tuyến đơn vị

“ hướng ra ngoài” của S

hp(e2) =

-R

1 e2

Suy ra độ cong Gauss của mặt cầu S tại p là K(p) = 12

R > 0 , p S Vậy mọi điểm trên S là điểm eliptic do đó theo 4.6 mặt cầu S không có đường tiệm cận

4.8 Mệnh đề

Mặt S mà mọi điểm trên nó là điểm parabolic mà không là điểm dẹt thì tại

mỗi điểm của S có duy nhất một đường tiệm cận

Do đó tại mỗi điểm trên S thì có duy nhất một đường tiệm cận

4.9.Mệnh đề

hai đường tiệm cận

k

 )

2 = cos 2 e1 + sin 2 e2  TpS - 0 , (sin 2 =

-2 1

k

 ) thì k~(1) = k~(2) = 0 nên 1, 2 là hai phương tiệm cận của S tại p

Vậy tại mỗi điểm p S thì có hai đường tiệm cận của S

4.10 Mệnh đề

Trên mặt phẳng đường bất kỳ là đường tiệm cận và ngược lại một mặt mà trên nó mọi đường là đường tiệm cận thì nó là mặt phẳng hoặc một phần mặt phẳng

tiệm cận Do đó mọi đường trên mặt phẳng S là đường tiệm cận của S

+) Ngược lại , giả sử S là mặt mà mọi đường trên nó là đường tiệm cận.Khi đó mọi phương xác định bởi   TpS - 0 là phương tiệm cận (p

độ cong chính của S tại p) Mặt khác p không phải là điểm dẹt

Do đó: k~1 k~2 < 0

Vậy K(p) = k~1 k~2 < 0 nên p là điểm hyperbolic Suy ra S là mặt mà mọi điểm trên nó là điểm hyperbolic nên theo mệnh đề 4.9 tại mỗi điểm của S sẽ có hai đường tiệm cận có phương xác định bởi

1 = cos 1 e1 + sin 1 e2  TpS - 0 với sin 1 =

2 1

k



2 = cos 2 e2 + sin 2 e2  TpS - 0 với sin2 =

-2 1

k



Khi đó: 1 2 = (cos 1 e1 + sin 1 e2) (cos 2 e2 + sin 2 e2)

= cos 1 cos  + sin 1 sin 2

=(1 -

2 1

k

 )

= 1 –

2 1

k



2 1

2 1

k k







= 0 Vậy tại mỗi điểm p S hai phương tiệm cận vuông góc với nhau nên suy

ra trên S lưới các đường tiệm cận là trực giao

k,  lần lượt là độ cong, độ xoắn của 

Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến chính của  là

r : U  E3, (U  IR2

)