Đường chính khúc và đường tiệm cận trên mặt trong e3

Đ-ờng chính khúc Mục này trình bày khái niệm đ-ờng chính khúc trên mặt trong E3 và xây dựng ph-ơng trình vi phân của đ-ờng chính khúc.. Đ-ờng tiệm cận Mục này trình bày định nghĩa, một

Tr-ờng đại học vinh

Mục lục

Trang

LờI Mở Đầu 2

Đ1 ánh xạ Weingarten và các độ cong 4

Đ2 Đ-ờng chính khúc 13

Đ3 Đ-ờng tiệm cận 24

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

Mục này trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của

ánh xạ Weingarten (Mệnh đề 1.4,1.6 ) Từ đó đi đến các khái niệm độ cong Gauss,

độ cong trung bình, các dạng cơ bản I, II, công thức Meusnier, Euler và chứng minh một số tính chất liên quan (Mệnh đề 1.7,1.8.1,1.8.2) để sử dụng cho các chứng minh sau này

Đ2 Đ-ờng chính khúc

Mục này trình bày khái niệm đ-ờng chính khúc trên mặt trong E3 và xây dựng ph-ơng trình vi phân của đ-ờng chính khúc Từ đó áp dụng để tìm đ-ờng chính khúc trên một số mặt th-ờng gặp Ngoài ra còn trình bày các tính chất của

đường chính khúc (Mệnh đề 2.5.1,…,2.5.7)

Đ3 Đ-ờng tiệm cận

Mục này trình bày định nghĩa, một số ví dụ và ph-ơng trình vi phân của

đ-ờng tiệm cận trong tham số hoá địa ph-ơng Thông qua ph-ơng trình vi phân để viết ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận của một số mặt th-ờng gặp trong E3 Ngoài ra còn trình bày và chứng minh một số tính chất quan trọng của đ-ờng tiệm cận trong

E3 (Mệnh đề 3.5.1,…,3.5.9)

Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình của thầy giáo -

TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành

đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh, cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh- năng lực của bản thân nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đ-ợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Vinh, tháng 04 năm 2009

Tác giả

 -Dn (D là đạo hàm của tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị trong E3)

đ-ợc gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Khi p thay đổi, kí hiệu chung các h p đó là h và gọi là ánh xạ Weingarten trên S

1.2 Nhận xét

Định nghĩa ánh xạ h p nh- trên là hợp lý vì với mọi pS:n   p.n p  1

Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2Dn.n 0 ,   TpS

Với mọi điểm p thuộc mặt S, ánh xạ là một tự đồng

cấu tuyến tính đối xứng

Chứng minh:

h p một tự đồng cấu tuyến tính:

Thật vậy, với mọi ,TpS; mọi k, lR ta có:

n D

TpS TpS

l k

l k p

lh kh

n lD n kD

n D n D

n D l

, ,

) (

v u r du

r n D p

R p R h

v u du

r n D

n D p

R h

v v

u p

p R u

.

' 0 '

du

Dr r n r du

r n

Dr r n p R p R

v u

T-¬ng tù ta cã: ( ) ( ( )) ( ) ( , )

'

v u dv

Dr r n p R h p

o v

p

Do r kh¶ vi nªn

u v

r v

6

1.5 Định nghĩa

Mỗi giá trị riêng của h p gọi là một độ cong chính tại p của S Mỗi vectơ

riêng của h xác định một ph-ơng gọi là ph-ơng chính tại p của p S

Định thức của tự đồng cấu h gọi là độ cong Gauss tại p của p S, kí hiệu là

 p

K

2

Vethp

gọi là độ cong trung bình tại p của S, kí hiệu là H p Điểm pSgọi là

điểm eliptic, hyperbolic hay parabolic của Stuỳ theo K p d-ơng, âm hay bằng 0

1.6 Nhận xét.

Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng h p suy ra rằng h luôn p

có hai giá trị phân biệt thực hoặc có đúng một giá trị riêng thực

2 1 1

de ce e

h

be ae e

h

p p

b e e h

p p

1 2

2 1

.

Từ tính đối xứng của h p suy ra bc

b a Ap





k d b

b k

a

* 0

.

2

2 2

ad b K d a K

- Nếu   0 ph-ơng trình  * luôn có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là h p

có hai giá trị riêng phân biệt, khi đó hai ph-ơng chính tại p hoàn toàn xác định

Gọi hai giá trị riêng đó là K~1,K~2 thì: h p e1  K~1.e1,h p e2 K~2.e2

Độ cong Gauss tại p của S là   ~

.

~

K K p

Độ cong trung bình tại p của S là    1 2

~

~ 2

1

K K p

~

;

~

K K e K e h e

r  , độc lập tuyến tính

Gọi n là tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt S Vì mọi điểm của S là

điểm rốn nên các độ cong chính của S là K~1 K~2 K~ Ta có độ cong Gauss của S

r  , là cơ sở của TpS nên:

r h

u

r K u

r h

D R

h u

r h

u

R u

D R

h v

r h

v

R v

n

u

r K u

r K

v

r K u

v

r n

v u

r K

u

r K v

u

r n

0 2

2 '

0 2

.

~

~

.

~

~

Vì n0r khả vi nên:

u v

r v

r 

, độc lập tuyến tính nên K~v'  K~u'  0 Suy ra K~ là hàm hằng Vậy K K~ là hằng số không âm

I ,  ; ,  ,và khi p thay đổi ký hiệu I và II

Trong tham số hoá địa ph-ơng r: U S,  u,v r u,v

u

M

v u r II v

u

L

v u r I v u

G

v u r v u r I v u

F

v u r I v u

E

u u

u u

u u

u

, ,

, , , ,

, ,

, ,

, , , ,

, ,

'

' '

' '

' '

r n D

v u r v u du

r n D v

u r II v

u

L

u

u u

, ,

,

, , ,

,

' 0

0

' 0

r n D

uu u

=> L   u,v  n0r .r uu''   u,v

VËy   ''

0r .r uu n

L

T-¬ng tù:

 

  '' 0

'' 0

r r n M

r r r v

u

N

v u F EG

r r r v

u

M

v u F EG

r r r v

u

L

vv v u

uv v u

uu v u

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

2

'' ' '

2

'' ' '

2

'' ' '

r r v u r

, , ' '

' ' 0







v u F v

u E

v u r v u r v u r v u r

v u r v u r v u r v u r

v u r r r r v

u

r

r

v v

u v

v u

u u

v u v u v

u

,

, ,

, ,

, , ,

,

, , ,

,

,

,

2

' '

' '

' '

' '

' ' ' ' 2

r u  v  

v u F EG

r r r

v u r F EG

r r r

r

n

uu v u

uu v u uu

, ,

,

,

2

'' ' '

'' 2

' ' ''

r r r v

u

, ,

, ,

2

'' ' '

r r r v

u N

v u F EG

r r r v

u M

vv v u

uv v u

, '

, ,

, '

, ,

2

'' ' '

2

'' ' '

S J

T h T





DT  ta có:      0 . 0 .  0  .  n0 s0 ;

ds

DT s

n s N s

K~  số đó không đổi khi thay 

bằng  ,  là số thực khác 0 tuỳ ý, đ-ợc gọi là độ cong pháp dạng của S theo ph-ơng xác định bởi 

Khi đó công thức trên trở thành:

 0  0   0  ~  0 

.N s n s K T s s

e e K e e

e e h e I

e II e

.

.

~

~

~

K e K K

e

K   là các độ cong chính của S tại p

Nếu   cos e1 sin e2 thì I      1

2 1

2 1

sin

~ cos

.

~

sin cos

sin cos

.

K K

e e

e e

h

h

p p

12 VËy ta cã c«ng thøc:    2 

2 2

1 cos ~ sin

~

~

K K

' 0 0

' '

' 0 '

u du

n D du

r n D

u u

u u

1 ) (

'

u du

song song với '

r Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Nếu mọi điểm của Sđều là điểm rốn thì các đ-ờng cong  S đều là đ-ờng chính khúc

b a

Ap

Ta xét ph-ơng trình đặc tr-ng AKI  0  *

Do S gồm toàn điểm rốn K1 K2    0 , p 

14

aI a

a Ap b

d a

b d

a

ad b K d a

0

0 4 0

0

*

2 2

2 2

;

p

p

h

a h

Nh- vậy, các đ-ờng cong trên mặt phẳng, mặt cầu đều là đ-ờng chính khúc

2.3 Ph-ơng trình vi phân của họ các đ-ờng chính khúc trong tham số hoá địa ph-ơng

Giả sử r:U S,   u,v r u,v là một tham số hoá của mặtStrong 3

E Khi đó ph-ơng của aR u p bR v p với a,bR,a  b  0 xác định một ph-ơng chính củaStại pr u,v khi và chỉ khi:

, ,

,

2 2





v u N v

u M v

u

L

v u G v

u F v

u

E

a ab

v u p

u v u u

v u p

R bR aR K R bR aR

h

R bR aR K R

bR aR

h

~

~

tại  u, v

v p v u

p

u v u u u

v p u u

p

R bR R aR K R R h b R R

h

a

R bR R aR K R R h b R R

h

a

.

~

.

.

.

~

.

bF aE K bM aL

aM

bF aE bM

aL

tại  u, v

0

2 2







N M

L

G F

E

a ab b

Mdu

Fdv Edu Mdv

Ldu

2 2





G F

E

N M

L

du dudv

0 , sin , cos

cos sin

0 , sin , cos

1 , 0 , 0

0 , cos , sin

''

''

''

2 2 2 2 '

'

' ' 0

v u v

u

r

r

u b u a r

u b

u a

u a u b r

r

r r r

n

r

u b u a r

Do đó:

' ' 2 2 2 2

' ' ' '

sin cos 0

sin cos 0

cos sin

cos sin

2 2 2 2 2

2 2

u a

du u b

0 , ,

0 , ,

1 , 0 , 0

0 , ,

''

''

''

2 2 2

' '

' ' 0

v u v

u

r

r

bshu achu r

u ch b shu a

ashu bchu

r r

r r r

n

r

bchu ashu

1

0

0 0

2 2 2 2

dv

du

dv du

dv

u ch b u sh a u

ch b u sh

u u

0 , 4 , 0

1 4

0 , 1 , 2

1 , 0 , 0

0 , 4 , 2

''

''

''

2 '

'

' ' 0

v u v

u

r

r

p r

u

u r

r

r r r

n

r

pu p r

1 4

4

1

0

16 4

.

'' 0

'' 0

2

'' 0

' '

' '

2 2 2

' '

v v

v u

u u

r r n

N

r r n M

u

p r

r n

L

r r

G

r r

F

u p p

r r

E

18 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cña ®-êng chÝnh khóc lµ:

0

0 0

16 4

1 4

2

dv du

dv du

dv

du u p p

du u

u u

0 , sin ,

cos

, cos , sin

0 , sin , cos

, cos , sin

''

''

''

2 2 '

'

' ' 0

v u v

u

r

u u r

u v u v r

v h

v u h u h r

r

r r r

n

u u r

h u v u v r

1

0

'' 0

2 2

'' 0

'' 0

' '

' '

2 2 ' '

v v

v u

u u

r r n

N

v h

h r

r n M

r r n

L

r r

G

r r

F

v h r r

E

du h v dv

du h v dv

dv du

h v

h

du h v dv

h v

h

1

0

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

lnv v h C

u     ( C0 là hằng số)

2.5 Một số tính chất của đ-ờng chính khúc

2.5.1 Mệnh đề

Mọi đ-ờng trên mặt S là đ-ờng chính khúc nếu H2 p K p, pS , trong đó H , K

theo thứ tự là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S

K

K K

K K K

K p

K p

1

2 1

2 2 1

2 1 2 2 1 2

Do đó mọi điểm của S đều là điểm rốn

Vậy theo nhận xét 2.2.b) ta có điều phải chứng minh

' 0

' '

.

.

u v

v u

r r n r u r n M

r r F

' '

' ' 0 '

' 0

' '

.

0

0

0 0

0

u v

v u

u v v

u

v u

r dv

r n D r du

r n D

r r

r r n n r r n

r r M

' 0

v

u

r song song dv

r n D

r song song du

r n D

VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

r





 cos , sin , ,

sin

, sin ,

cos

' '

''

'

' '

'

'

v u v u

r

v u v u

r

u v u v u

u r

r

r r r n

v u

v u

2 ' 2

'

' '

' '

'

' ' 0

, sin ,

' 0

' '

r r n M

r r F

VËy theo 2.5.2 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

3 , 3

3 , 3

3 , ,

:

v u v v u v u uv u v u r v

u

E R

Khi đó các đ-ờng toạ độ của mặt S là đ-ờng chính khúc

Giả sử hai mặt S1, S2 trong 3

E cắt nhau theo một đ-ờng  d-ới một góc không đổi Khi đó nếu  là đ-ờng chính khúc của S1 thì nó cũng chính là đ-ờng chính khúc của S2

1) C là một đ-ờng chính khúc khi và chỉ khi N' t và ' t cùng ph-ơng

2) Nếu C là một đ-ờng chính khúc thì độ cong chính ứng với ' t là ' '

t

t N D

t t

t t hp t

t I

t t t

p K

.

.

.

,

, ,

' '

' ' '

'

'

' '

' ' '

'

' ' '

t t N t p K

t t N t t N

t t N t t N

,

.

0

.

' '

'' '

'' '

'

'' '

däc theo C

Do lµp mÆt ph¼ng, suy ra V constV'  0

Do N.V =const N.V'N'.V  0

V N V

0 '

24

Đ3 Đ-ờng tiệm cận

3.1 Định nghĩa

Ph-ơng xác định bởi  TpS 0 gọi là một ph-ơng tiệm cận củaS tại p

nếu độ cong pháp dạng của S theo ph-ơng đó là 0, K~   0

Đ-ờng trên S mà ph-ơng tiếp xúc tại mọi điểm là một ph-ơng tiệm cận của

S tại điểm đó gọi là một đ-ờng tiệm cận của S

3.2 Ví dụ

Slà mặt phẳng thì mọi đ-ờng trên Slà đ-ờng tiệm cận của S

Thật vậy vì S là mặt phẳng nên tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị n của S là tr-ờng vectơ song song Do đó với mọi  TpS 0 ta có Dn 0

~

0 ,

TpS II









Vậy đ-ờng có ph-ơng xác định bởi  là đ-ờng tiệm cận của S

Do đó mọi đ-ờng trên S là đ-ờng tiệm cận của S

3.3 Ph-ơng trình vi phân của họ các đ-ờng tiệm cận trong tham số hoá địa ph-ơng

: , ,

0r u b n r v .a r u b r v n

2

2 2

dv dt

du M dt

du L

Vậy ph-ơng trình vi phân cần tìm là: Ldu2 2MdudvNdv2  0

3.4 Các ví dụ

Ví dụ 1:Tìm ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận của mặt nón trong 3

E Ph-ơng trình biểu diễn của mặt nón trong không gian 3

u v y

u v x

sin cos

cos

0 , cos , sin

1 , sin , cos

0 , cos , sin

u u r

u u r

u v u v r

2

, sin , cos

v

v u v u v

n

Ph-ơng trình vi phân của họ đ-ờng tiệm cận của mặt nón có dạng:

0

Ví dụ 2:Tìm ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận của mặt S trong có ph-ơng trình:

2 2 1 1

y x

z  trong 3

E

Mặt S đã cho xác định bởi tham số hoá

26 3

x  U mở E 3

Ta có:

0 , 0 , 0

6 , 0 , 0

2 , 1 , 0

6 , 0 , 0

2 , 0 , 1

''

4 ''

3 '

4 ''

3 '

y r

x r

x r

Khi đó:

6 6 4

6 6 4

6 6

3 3

4 4 1 6 0

4 4 1 6

4 4 1

1 ,

2 , 2

y x y

N

M

y x x

L

y x

y x n

4 1

6 4

4 1

6 6 4

2

6 6 4

dx

y x x

 

2 2

2 2

2 1

x z

y z

z y

1 2 1 1

VËy ®-êng tiÖm cËn cña S cã ph-¬ng tr×nh d¹ng:

t y

t x

1 2 1 2

VÝ dô 3:T×m ph-¬ng tr×nh ®-êng tiÖm cËn cña mÆt trô trong 3

E XÐt mÆt trô trong 3

u a

x

sin cos

0 , sin ,

cos

1 , 0 , 0

0 , cos , sin

'' '' '' ' '

r r

u a u a r

r

u a u a r

Khi đó:

0 0

0 , sin , cos

a L

a

u a u a n

Ph-ơng trình vi phân của họ đ-ờng tiệm cận của mặt trụ có dạng:

R a const C

C u du

du a

du a

Ndv Mdudv Ldu

0 0 0

0 2

2

2 2

Vậy đ-ờng tiệm cận của mặt trụ là các đ-ờng toạ độ:

R a const C

' 0

v

u

r II r

N

r II r

r II L

r II N

1 cos ~ sin

~

~

K K

K   (K~1,K~2 là các độ cong chính của  tại p )

Dọc đ-ờng tiệm cận  của S thì K~   0 nên:

0

~

~0sin

~cos

~

2 1

2 2

Theo 1.7 ta có: nếu mặt S trong 3

E mà mọi điểm là điểm rốn thì độ cong Gauss K là hằng, không âm

mặt khác, vì K p  0 , pS nên K p  0 , pS

Vậy từ 3.5.2 ta có điều phải chứng minh

i) Tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có ph-ơng là ph-ơng tiệm cận

ii) Đ-ờng là đ-ờng thẳng hay là tại mỗi điểm của nó mặt phẳng mật tiếp trùng

với mặt phẳng tiếp xúc của mặt

iii) Tại mỗi điểm của nó độ cong pháp dạng theo ph-ơng tiếp tuyến bằng 0

Chứng minh:

i)ii):Giả sử  là đ-ờng trên mặt S mà tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có ph-ơng

là ph-ơng tiệm cận Khi đó  là một đ-ờng tiệm cận của S

Giả sử:  :J S là một tham số hoá tự nhiên của , s0 là điểm song chính qui bất

0 0

0

,

, 0

s s n s N

s s

n s

N

mà n s0  ' s nên n s0  vuông góc với mặt phẳng mật tiếp của  tại s0

Do đó mặt phẳng mặt tiếp của  tại s0 cùng ph-ơng với mặt phẳng tiếp xúc với S

tại s0 nên chúng trùng nhau

ii)iii):  là một đ-ờng bất kỳ trên S Ta xét các tr-ờng hợp sau:

a)  là đ-ờng thẳng:

Khi đó độ cong của  tại điểm s0 bất kỳ thuộc  là K s0  0

Giả sử  có tham số hoá tự nhiên  :s  s0

Hay K~ T  0

Vậy tại mỗi điểm của  độ cong pháp dạng bằng 0

iii)i): Giả sử  là đ-ờng trên S sao cho tại mỗi thời điểm của nó độ cong pháp dạng bằng 0, khi đó với s0là điểm thuộc  thì K~T s0  0

Do đó ph-ơng tiếp xúc của T s0 là ph-ơng tiệm cận, nên  là đ-ờng tiệm cận của S

1 2

2 2 2

2 2

2 1

1 1

1 1 1

1 1

~

~

~sin

0sin

cos

~

~

~sin

0sin

cos

K K

K TpS

e e

K K

K TpS

e e

Thì K~ 1 K~ 2  0 nên 1, 2 là hai ph-ơng tiệm cận của S tại p

Vậy tại mỗi điểm pS thì có hai ph-ơng tiệm cận của S

32 Lấy  e1,e2 là một cơ sở trực chuẩn của TpSgồm những vectơ riêng của h p t-ơng ứng với K~1,K~2

Với   cose1 sine2TpS 0 thì   2 

K (K~1,K~2 là các độ cong chính tại pcủa S)

Lấy cơ sở trực chuẩn e1, e2 của TpS gồm những vectơ riêng h p t-ơng ứng với các giá trị riêng K~1,K~2

Với  cose1sine2TpS 0 , độ cong pháp dạng của S theo ph-ơng xác định bởi  là:

2 2

1 cos ~ sin

~

~

K K

R J S J

là một cung tham số của S



R

0   n0

' ' 0

'

0

' 0

R R

t t

n

n D

1 1

1 1

e R e

h

e R e

h

p p

 §é cong Gauss cña mÆt cÇu S t¹i p lµ   p S

R p

D

S p h

K K

K K

~

~

, 0 sin

~ cos

~

~

2 1

2 2 2 1

Suy ra n lµ tr-êng vect¬ song song

VËy S lµ mÆt ph¼ng hoÆc mét phÇn mÆt ph¼ng

34

3.5.9 Mệnh đề

Trên miền các điểm hyperbolic của mặt S các đ-ờng chính khúc tại mỗi

điểm chia đôi góc giữa các đ-ờng tiệm cận

cos 1 1 1 2

1  e   e TpS

2 1

1

1 ~ ~

~ sin

K K

cos 2 1 2 2

2   e   e TpS

2 1

1

~ sin

K K

là hai ph-ơng tiệm cận của S tại p

Giả sử 1, 2 là hai đ-ờng tiệm cận của S có ph-ơng xác định bởi 1 và 2;

 là đ-ờng chính khúc của S Để chứng minh  chia đôi góc giữa 1 và 2 ta chứng minh 1,e1  2,e1 và 1,e2  2,e2

Thật vậy ta có:

1 1

1 1 1 1

.

,

cos

e

e e





 

 cos 1e1 sin 1e2.e1 ( Vì 1  e1  1)  cos 1

 

1 2

1 2 1 2

.

,

cos

e

e e





 

 cos 2e1 sin 2e2.e1 ( Vì 2  e1  1)  cos 2

Mặt khác cos 1   cos 2  cos1,e1 cos2,e1

1,e1  2,e1

Chứng minh t-ơng tự ta có 1,e1  2,e2