(SKKN HAY NHẤT) về những tính chất của giao điểm giữa HYPEBOL với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀĐ1/ Tính chất của giao điêm giữa Hypebol với Đường phân giác góc hợp bởi hai đường tiệm cận của Hypebol Trước khi nêu các tính chất ta đưa ra một số ký hiệu sau d 1 l

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA GIAO ĐIỂM GIỮA HYPEBOL VỚI

ĐƯỜNG PHÂN GIÁC GÓC TẠO BỞI HAI ĐƯỜNG TIỆM CẬN"

ĐẶT VẤN ĐỀ

Cách đây mấy năm trong một đề tài SKKN tôi đã đề cập đến vấn đề khai thác một số tính

các bài toán cực trị và đã giải quyết được một số bài toán Trong suốt thời gian qua tôi đã

dày công tìm hiểu thêm mối quan hệ giữa các đường tiệm cận của (H) và tiếp tuyến của

nó, tôi đã phát hiện thấy một số tính chất của chúng , đặc biệt tôi đã tìm ra 24 tính chất

giao điểm của Hypebol và đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận (có thể

coi đây là 24 bài toán về cực tri) Với phát hiện này ta có thể đưa ra một cách giải chung

cho tất cả các bài toán dạng:

 Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường

tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến điểm I (giao điểm hai

đường tiệm cận ) ngắn nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp tuyến tại M đến điểm I

( giao điểm hai đường tiệm cận )lớn nhất

và còn nhiều bài toán tương tự khác nữa Khi chưa phát hiện ra 24 tính chất nói trên thì

mỗi bài toán dạng này đều có cách giải khác nhau , nhưng các cách giải đó chưa nói lên

một cách nhìn chung Khi phát hiện được 24 tính chất trên tôi đã hướng dẫn học sinh có

một cách giải chung nhất cho tất cả các bài toán có dạng trên.Sau một thời gian áp dụng

phương pháp này học sinh đã có một cách nhìn các bài toán một cách đơn giản và tự tin

hơn Nhân dịp này tôi xin giới thiệu với các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội

dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đường phân giác góc tạo bởi

hai đường tiệm cận Với mong muốn giúp các em học sinh tự tin và chủ động hơn khi

gặp các bài toán dạng trên!

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Đ1/ Tính chất của giao điêm giữa Hypebol với

Đường phân giác góc hợp bởi hai đường tiệm cận của Hypebol

Trước khi nêu các tính chất ta đưa ra một số ký hiệu sau

(d 1 ) là tiện cận đứng của(H)

(d 2 ) là tiệm cận còn lại ( ngang hoặc xiên) của(H)

I là giao điểm hai tiệm cận

là góc tạo bởi hai tiệm cân

(d) là phân giác của góc

M , N là hai giao điểm của phân giác (d) với (H)

(T) là tiếp tuyến của (H) tại M

A là giao điểm của(T) và (d1)

B là giao điểm của (T) và(d2)

P là chu vi tam giác IAB

S là diện tich tam giác IAB

Tính chất: Giả sử đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận của (H) cắt (H)

tại hai điểm M, N thì điểm M và N có các tính chất sau:

1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B thì đoạn AB ngắn

nhất

2) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có chu vi nhỏ

nhất

3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của

hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất)

4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích của

hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đường tròn nôi tiếp lớn nhất)

5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm I của hai tiệm cận là lớn

nhất

7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất so với các

khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác (M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với

Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận của Hypebol )

8) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại

E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

9) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận tại

E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IEF là nhỏ nhất ( I là giao điểm của

hai đường tiệm cận)

10) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận

tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF là lớn nhất ( I là giao điểm của

hai đường tiệm cận)

11) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E

và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất

12) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận

tại E và F khi đó diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF là nhỏ nhất (Bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất)

13) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm cận

tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất)

14) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm tại E

và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đường tiệm

cận)

15) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M1M2 ngắn nhất

16) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận thì tổng MM1+ MM2 nhỏ nhất

17) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu vi tam giác MM1M2 nhỏ

nhất

18) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại

tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nhất (Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

19) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn nội tiếp

tam giác MM1M2 lớn nhất (Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất)

20) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp

tam giác IM1M2 nhỏ nhất (I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( I là giao điểm của hai

tiệm cận)

22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so với các khoảng cách từ I

đến một điểm khác trên (H)

23) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng các khoảng cách MM1+

MM2 + IM nhỏ nhất( I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc hai

nhánh của Hypebol

* *

*

Trước khi chứng minh các tính chất trên ta nêu và chứng minh lại một số tính chất đặc

( Hypebol)

Đ2/ Một số tính chất của đồ thị Hàm số y = và hàm số

y= ( Hypebol)

I / Mối quan hệ đặc biệt giữa tiếp tuyến và đường tiệm cận của

Hypebol.

Cho hàm số y = , (aD o) và hàm số y= , (c 0) có đồ thị

là các đường Hypebol (H) Khi đó xét các tính chất đặc trưng sau:

Tính chất 1: Tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H) đến hai đường tiệm

cận là một số không đổi.

Chứng minh:

Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :y = a x+ b ( ) và x = - ( )

Gọi M (xo ; axo+ b + )là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các khoảng cách

2/ Đối với (H):y = , ta viết lại hàm số thành dạng y = a+

Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :y = a ( ) và x = - ( )

Gọi M (xo ; a + ) là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các khoảng cách

Tính chất2: Nếu một cát tuyến bất kỳ cắt (H) tại hai điểm A,B và cắt hai đường

tiệm cận tại hai điểm C và D thì AC = BD

Chứng minh:

1/ Đối với (H): y=ax+b+ Giả sử cát tuyến có phương trình y=mx+n

khi đó hoành độ các điểm A,B là nghiệm của phương trình:

ax + b + = mx + n (ac- mc)x2+(ad +cb- md- cn)x +k + bn- nd = 0

khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là: xI=

Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận xiên) là nghiệm của

phương trình: mx + n = ax + b xC =

Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : xD = - ,khi đó

Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD

2/ Đối với (H): y=a + Giả sử cát tuyến có phương trình y = mx + n

khi đó hoành độ các điểm A ; B là nghiệm của phương trình:

a + = mx + n mcx2+( md + cn – ac )x + nd – ad - k = 0

khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là: xI =

Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận ngang) là nghiệm của

phương trình: mx + n = a xC =

Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : xD = - ,khi đó

Hoành độ trung điểm J của CD là: xJ = = (**).

Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD

Chú ý : Khi C trùng D thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến của (H) tại tiếp

điểm M (điểm M là điểm trùng của C và D) Từ tính chất trên ta suy ra hệ quả sau:

Hệ quả: Nếu tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ cắt hai tiệm cận tại hai điểmA , B

thì khi đó M là trung điểm đoạn AB

Tính chất3: Tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ tạo với hai đường tiệm cận của

(H) một tam giác có diện tích không đổi.

Chứng minh:

1/ Đối với (H): y=ax+b+ Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :

y = ax+ b ( ) và x =- ( ).Gọi M (xo ; y0)( trong đó y0= axo+ b + ) là điểm tuỳ ý

trên (H), ta có phương trình tiếp tuyến tại M là:

Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là :

Giao điểm của hai đường tiệm cận là :

I (- ; b - ) Ta có:

= = (không đổi).

2/ Đối với (H): y = a + Khi đó hai đường tiệm cận của (H) là :

y = a ( ) và x =- ( ).Gọi M (xo ; y0)( trong đó y0= a + ) là điểm tuỳ ý trên (H),

ta có phương trình tiếp tuyến tại M là:

Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là :

Giao điểm của hai đường tiệm cận là :

I (- ; a) Ta có:

SIAB=2SIMA = IA.d(M ; ) =

II/ Nhận xét : Từ các tính chất trên ta rút ra các nhận xét sau

1 M là giao điểm của (H) và đường phân giác của góc hợp bởi hai đường tiệm cận

Mặt khác theo các tính chất trên M là trung điểm của AB nên suy ra tam giác IAB

cân tại I (IA = IB)

2 Theo các tính chất trên diện tích tam giác IAB không đổi và góc I không đổi nên

tích IA.IB cũng không đổi

3 Tích IA.IB không đổi suy ra tổng IA + IB nhỏ nhất khi IA = IB ( Tam giác IAB

cân tại I )

4 Tacó

( Hằng số) Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Vậy khi IA = IB thì AB cũng ngắn nhất

Sau đây ta áp dụng các nhận xét trên để chứng minh 24 tính chất ở Đ1/

Đ3/ Chứng minh các tính chất

Trong mục này ta sẽ chứng minh 24 tính chất đã nêu ở Đ1

Gọi M là giao điểm giữa Hypebol với Đường phân giác góc hợp bởi hai đường tiệm cận

ta có các tính chất sau đây

1)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B thì đoạn AB

ngắn nhất.

Chứng minh: Tacó

Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (*) cũng xảy ra Vậy AB đạt giá trị nhỏ

nhất (đpcm)

2)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có chu vi nhỏ

nhất.

Chứng minh: Gọi P là chu vi tam giác IAB , ta có :

(**)

Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (**) cũng xảy ra Vậy P nhỏ nhất (đpcm)

3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích

của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Chứng minh: Theo định lý sin trong tam giác IAB ta có , mà AB ngắn

nhất nên R nhỏ nhất do đó tam giác IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

(đpcm)

4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác IAB có diện tích

của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đường tròn nôi tiếp lớn nhất)

Chứng minh: Ta có , mà không đổi Mặt khác theo tính chất 2 chu vi p tam

giác IAB nhỏ nhất nên r ( Bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IAB có

diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Chứng minh:

Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận Khi đó tích khoảng cách MM1.MM2 là

một số không đổi Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách MM1+ MM2 là nhỏ nhất

(đpcm)

6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm I của hai tiệm cận

(Tâm đối xứng của (H) ) là lớn nhất.

Chứng minh: Theo các tính chất trên thì diện tích tam giác IAB không đổi và AB là

ngắn nhất nên khoảng cách từ I đến AB ( Đường cao thuộc cạnh AB của tam giác IAB )

là lớn nhất (đpcm)

7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất so với

các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác của (H)

(M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đường phân giác của góc hợp bởi hai

đường tiệm cận của Hypebol )

Chứng minh Vì I là tâm đối xứng của (H) nên khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và

N bằng 2 lần khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M Mà theo chứng minh trên thì

khoảng cách từ I đến AB là lớn nhất , vậy khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và N

lớn nhất (đpcm)

8)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất

( I là giao điểm của hai đường tiệm cận)

Chứng minh: Nhận thấy tam giác IEF có chu vi bằng nữa chu vi tam giác IAB mà ta

đã chứng minh được chu vi tam giác IAB nhỏ nhất nên ta có chu vi tam giác IEF nhỏ

nhất (đpcm)

9)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

cận tại E và F khi đó diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF là nhỏ nhất ( I là

giao điểm của hai đường tiệm cận)

Chứng minh: Tam giác IEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng dạng k = Mà

theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất nên hình tròn

ngoại tiếp tam giác IEF cũng có diện tích nhỏ nhất (đpcm)

10) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF là lớn nhất ( I là giao

điểm của hai đường tiệm cận)

Chứng minh: Ta có , mà không đổi Mặt khác theo tính chất 8 chu vi p của

tam giác IEF nhỏ nhất nên r ( r bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác

IEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

11)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

tại E và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất.

Chứng minh: Nhận thấy tam giác MEF có chu vi bằng nữa chu vi tam giác IAB mà ta

đã chứng minh được chu vi tam giác IAB nhỏ nhất nên ta có chu vi tam giác MEF nhỏ

nhất (đpcm)

12)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF là nhỏ nhất

Chứng minh: Tam giác MEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng dạng k =

Mà theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất nên hình tròn

ngoại tiếp tam giác MEF cũng có diện tích nhỏ nhất (đpcm)

13) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF là lớn nhất (Bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất)

Chứng minh: : Ta có , mà không đổi Mặt khác theo tính chất 11 chu vi p

của tam giác MEF nhỏ nhất nên r ( r bán kính đường tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam

giác MEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

14)Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với hai tiệm cận lần lượt cắt lại hai tiệm

tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai

đường tiệm cận)

Chứng minh: Nhận thấy hình bình hành EIFM có chu vi bằng 2 lần tổng IA + IB mà

ta đã chứng minh được IA + IB nhỏ nhất nên ta có chu vi hình bình hành EIFM cũng

nhỏ nhất (đpcm)

15) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M 1 M 2 nhỏ nhất.

Chứng minh:

Mà MM1= MM2 nên dấu bằng (*) xảy ra khi đó M1M2 nhỏ nhất

16) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng

MM1+ MM2 nhỏ nhất

Chứng minh: Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận Khi đó tích khoảng

cách MM1.MM2 là một số không đổi Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách đó

MM1+ MM2 là nhỏ nhất.(đpcm)

17) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu vi tam giác MM 1 M 2

nhỏ nhất

Chứng minh: Kết hợp tính chất 15 và 16 suy ra chu vi tam giác MM1M2 nhỏ nhất

(đpcm)