Sự Tương Đương Tiệm Cận Của Một Số Lớp Phương Trình Sai Phân.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHẠM THẾ QUYẾT SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, NĂM[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học

Theo Quyết định số 1241/QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng 6 năm 2022 của

Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức

Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh

trong hội đồng

TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ

GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện HLKHCNVN UV Phản biện 1

TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện 2PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD - ĐHQGHN Ủy viên

TS Đỗ Văn Lợi Hội Toán học Việt Nam UV Thư ký

Xác nhận của Người hướng dẫnHọc viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng

Ngày 18 tháng 7 năm 2022

GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luậnvăn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Phạm Thế Quyết

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới sựhướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Ngoài những chỉ dẫn vềmặt khoa học, thầy còn là động lực giúp tác giả tự tin và say mê nghiêncứu Tác giả bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với thầy Tác giảcũng bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS Lê Anh Minh về những gợi ý và chỉdẫn khoa học của thầy cho tác giả trong quá trình hoàn thiện luận văn.Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phòng QLĐTSĐH, bộmôn Giải tích - PPGD Toán, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiêncứu khoa học và hoàn thành luận văn này

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, bộ môn Toán trườngTHPT Hậu Lộc 1 - nơi tác giả công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình công tác và giảng dạy để có thời gian hợp lý hoànthành khóa học và luận văn thạc sĩ này

Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận văn, tác giả nhận được

sự quan tâm và góp ý của các nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giảchân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này

Thanh Hóa, tháng 7 năm 2022

Phạm Thế Quyết

1.1 Không gian định chuẩn 31.2 Một số đánh giá sử dụng trong luận văn 5

Chương 2 Sự tương đương tiệm cận của một số lớp phương

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Bài toán tương đương tiệm cận giữa các nghiệm của hai phương trình saiphân cho ta thông tin về mối liên hệ giữa hai phương trình sai phân đó.Thật vậy, nếu có hai phương trình là tương đương tiệm cận và ta biết đượcdáng điệu tiệm cận của nghiệm của một trong hai phương trình đó, thì tathu được thông tin về dáng điệu tiệm cận của phương trình còn lại Cónhiều cách tiếp cận nghiên cứu sự tương đương tiệm cận của các phươngtrình sai phân cụ thể, chẳng hạn: sử dụng tính nhị phân và nguyên lý ánh

xạ co với giả thiết Lipschitz đối với phần phi tuyến; hoặc sử dụng tiêuchuẩn so sánh kết hợp với phép chiếu nhị phân, Việc nghiên cứu mộtcách có hệ thống các phương pháp này cũng như ứng dụng của nó trongbài toán xét sự tương đương tiệm cận của một số lớp phương trình saiphân cụ thể, cũng như mở rộng các kết quả đã có được đặt ra mang tínhthời sự Do đó, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tương đươngtiệm cận của một số lớp phương trình sai phân”

2 Mục tiêu nghiên cứu Xét sự tương đương tiệm cận của một số lớpphương trình sai phân sau:

• Các phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai phân nửatuyến tính

• Các phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai phân tựatuyến tính

3 Đối tượng nghiên cứu

• Phương trình sai phân và ứng dụng trong thực tiễn

• Sự tương đương tiệm cận của các phương trình sai phân

• Các kết quả về sự tương đương tiệm cận và ví dụ minh họa.

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, seminar bộ môn, nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướngdẫn khoa học Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của giải tích,phương trình sai phân, lý thuyết ma trận

6 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn tổng hợp và trình bày một cách chi tiết, có hệ thống tính chấttiệm cận của nghiệm của các phương trình sai phân

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn gồm hai chương

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số khái niệm, kết quả được sử dụng trong luận văn: không gianđịnh chuẩn, không gian ℓp(N(n0),Rm) (với 1 ≤ p < ∞), không gian

ℓ∞(N(n0),Rm), tiêu chuẩn so sánh và các bất đẳng thức dạng rời rạc,

• Chương 2 Sự tương đượng tiệm cận của các phương trình sai phân:Trong chương này với những điều kiện được đưa ra, sử dụng định lýđiểm bất động Schauder chúng tôi chỉ ra sự tương đương tiệm cận (vàcân bằng tiệm cận) của các lớp phương trình sai phân dạng tuyến tính

và dạng tuyến tính có nhiễu, và giữa các phương trình sai phân phituyến với nhau

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gianđịnh chuẩn, các bất đẳng thức liên quan đến dãy số Nội dung của chươngnày được tham khảo từ các tài liệu [1, 2]

1.1 Không gian định chuẩn

Trong luận văn này, ta ký hiệu tập các số phức là C, tập các số thực là R

và K là tập các số thực hoặc là tập các số phức

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một K - không gian véctơ Một chuẩn trên

X là một hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi

x, y ∈ X, mọi λ ∈ K

(i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 khi và chỉ khi x = 0,

(ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥,

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

Khi đó, cặp (X, ∥ · ∥) được gọi là một không gian định chuẩn Trong luậnvăn này, không gian định chuẩn (X, ∥ · ∥) được viết tắt là X

Định nghĩa 1.1.2 Tập con E của không gian định chuẩn X được gọi là:(i) bị chặn nếu tồn tại hằng số K sao cho

Nhận xét 1.1.5 Dễ thấy mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy, nhưng điềungược lại không đúng.

Định nghĩa 1.1.6 Một không gian định chuẩn được gọi là đầy đủ (hay

là, không gian Banach) nếu và chỉ nếu một dãy Cauchy tùy ý gồm cácphần tử thuộc X luôn hội tụ đến một phần tử thuộc X

Định nghĩa 1.1.7 Cho E là một tập con của không gian Banach X.Điểm x ∈ X được gọi là điểm tụ của E nếu tồn tại dãy các phần tử thuộc

∥x∥ =



X

Định nghĩa 1.1.9 ([1, 2]) Ta nói tập E ⊂ ℓ∞(N(n0),Rm) là đồng hội tụđến η ∈ Rm nếu với mọi ε > 0 tồn tại M ≥ n0 sao cho

|x(n) − η| < ε

với mọi x ∈ E và n ≥ M

Mệnh đề 1.1.10 (Tiêu chuẩn compact tương đối của một tập thuộc

ℓ∞(N(n0),Rm), [1, 2]) Tập E ⊂ ℓ∞(N(n0),Rm) là compact tương đối nếu

E bị chặn và đồng hội tụ đến η ∈ Rm nào đó

Định lý 1.1.11 (Định lý điểm bất động Schauder) Cho E là một tập conkhác rỗng, đóng và lồi trên một không gian Banach X Giả sử T : E → E

là một ánh xạ liên tục sao cho T E là một tập con compact tương đối của

X Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong E, tức là, tồn tại x ∈ E

sao cho T x = x

1.2 Một số đánh giá sử dụng trong luận văn

Bổ đề 1.2.1 (Tiêu chuẩn so sánh, [1]) Cho ι(n, r) là một hàm khônggiảm, không âm đối với biến r khi n ∈ N(n0) cố định Giả sử với n ≥ n0

tùy ý, các hàm không âm u(n) và v(n) cùng xác định trên N(n0) thỏa mãnbất đẳng thức:

ωi (1⩽ i ⩽ p − 1) là các hàm không giảm trên (0, ∞)

Để nghiên cứu (1.1), ta xây dựng

Như vậy, ta có định lý sau:

Định lý 1.2.2 (Bất đẳng thức kiểu Bihari, [2]) Giả sử điều kiện các điềukiện (A1) - (A3) được thỏa mãn, nếu u thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) và

φk 0+
= 0, (1 ⩽ k ⩽ p) (1.7)

là một dạng điều kiện ổn định

Chương 2 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự cân bằngtiệm cận và tương đương tiệm cận của một số lớp phương trình sai phân.Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3, 4]

2.1 Bài toán cân bằng tiệm cận

Cho ∆ là toán tử sai phân xác định bởi côg thức

∆x(n) = x(n + 1) − x(n)

Ta xét hệ phương trình sai phân sau:

∆x(n) = f (n, x(n)), x (n0) = x0 (2.1)trong đó f :N(n0) ×Rm →Rm

Định nghĩa 2.1.1 ([1]) Ta nói hệ (2.1) cân bằng tiệm cận nếu

(i) tồn tại ξ ∈ Rm và r > 0 sao cho với x (n, n0, x0) là nghiệm của hệ(2.1) thỏa mãn |x0| < r thì

trong đó ωi, 1⩽ i ⩽ p, thỏa mãn điều kiện (A3), và λi là các dãy số không

âm sao cho λi ∈ ℓ1(N0) với 1 ⩽ i ⩽ p Hơn nữa, ta giả sử tồn tại mộthằng số c > 0 sao cho

với φ = φp−1 được cho bởi công thức (1.3).

Khi đó, nghiệm x của hệ (2.1) với |x (n0)| ⩽ c được xác định trên N0 vàthỏa mãn (2.2)

Chứng minh Ta thấy nghiệm x = x (n, n0, x (n0)) của hệ (2.1) thỏa mãnphương trình

trong đó φp được cho bởi công thức (1.3)

Hơn nữa, nếu x(·) là nghiệm thì

Khi đó, mọi nghiệm x(·) của hệ (2.1) thỏa mãn |x (n0)| ⩽ c xác định trên

N(n0), theo (2.5) thì x(n) hội tụ và thỏa mãn (2.2)

ωi(s),

suy ra không tồn tại c > 0 thỏa mãn điều kiện (2.4) của Định lý 2.1.2.Mặt khác, luôn tồn tại c đủ nhỏ thỏa mãn điều kiện (2.4) Trong mọitrường hợp, số c lớn nhất thỏa mãn điều kiện (2.4) là

Khi đó φ−11 (∞) = W1−1(−α1) = e−1 Hệ quả 2.1.4 (b) cho thấy nghiệm

x của hệ (2.8) hội tụ nếu

|x(1)| < φ−11 (∞) = e−1

Điều kiện cuối cùng không thỏa mãn với nghiệm x(n) = en Hơn nữa, ví

dụ này cho thấy điều kiện |x (n0)| < φ−1p (∞) phải được thỏa mãn trong

Hệ quả 2.1.4 và như thế, trong trường hợp tổng quát, quả cầu B(0, ρ)

không thể mở rộng thành quả cầu đóng

Định lý 2.1.6 ([2]) Giả sử các giả thiết của Định lý 2.1.2 được thỏa mãn.Hơn nữa, giả sử rằng f (n, x) liên tục theo x với n cố định tùy ý Khi đóvới mỗi ρ > 0 tồn tại n0 đủ lớn sao cho với mọi ξ ∈ Rm thỏa mãn |ξ| ⩽ ρ,tồn tại một nghiệm x(n) của hệ (2.1) dần tới ξ khi n → ∞

Chứng minh Giả sử ξ ∈ Rm tùy ý và ρ > 2|ξ| Ta xét tập hợp

(i) Tồn tại n0 để S biến Bρ thành chính nó Thật vậy, ta chọn n0 đủ lớnsao cho

với g ∈ ℓ1(N(n0)), và gj(k) → 0 khi j → ∞ vì f (n, ·) liên tục, suy ra

|Sxj(n) − Sx(n)| =

Như vậy S là liên tục

(iii) Tập SBρ là compact tương đối Lúc này sử dụng “Tiêu chuẩn compacttrên ℓ∞(N(n0),Rm)” ta chỉ cần chỉ ra SBρ là bị chặn và đồng hội tụđến ξ Thật vậy Với x ∈ Bρ tùy ý, ta có

Suy ra SBρ là một tập con bị chặn đều của không gianℓ∞(N(n0),Rm)

Hơn nữa, nó đồng hội tụ đến ξ, do với mọi ε > 0, tồn tại T = T (ε)

với mọi n ⩾ T và mọi x ∈ Bρ

Áp dụng định lý điểm bất động Schauder ta thấy tồn tại x ∈ Bρ sao cho

x = Sx, hay x(n) là nghiệm của phương trình

Định lý 2.1.8 ([1]) Giả sử với n ∈ N(n0) và x ∈ Rm hàm f thỏa mãn

|f (n, x)| ≤ ι(n, |x|) (2.10)

trong đó ι : N(n0) ×R+ → R+ là hàm không giảm theo biến u với mỗi

n ∈ N(n0) Hơn nữa, ta cũng giả sử mỗi nghiệm u(n) của phương trìnhsai phân

∆u(n) = ι(n, u(n)), u (n0) = u0, n ≥ n0, (2.11)

là bị chặn trên N(n0) Khi đó, nếu nghiệm x(n) của hệ (2.1) sao cho

|x(n)| ≤ r với mỗi n ≥ n0 thì nó thỏa mãn tính chất tiệm cận (2.2).Chứng minh Giả sử x(n) là nghiệm tùy ý của hệ (2.1) Khi đó, ta có

ra |x(n) − x(m)| < ε với mọi n ≥ m ≥ T, hay nghiệm x(n) của hệ (2.1)hội tụ đến ξ ∈Rm khi n → ∞

Lưu ý rằng, từ điều kiện (2.10) ta có thể chỉ ra sự tồn tại nghiệm của

Khi đó, với mỗi ρ > 0 tồn tại n0 đủ lớn sao cho với mọi ξ ∈ Rm thỏa mãn

|ξ| ≤ ρ, đều tồn tại nghiệm x(n) của hệ (2.1) hội tụ đến ξ khi n → ∞.Chứng minh Tương tự như chứng minh của Định lý 2.1.6, vớiξ ∈ Rm tùy

(i) Tồn tại n0 sao cho S biến Bρ thành chính nó

Thật vậy, do u(n) hội tụ nên ta chọn n0 đủ lớn sao cho

(ii) Toán tử S là liên tục

Cho x ∈ Bρ và {xj}∞j=0 là dãy tùy ý các phần tử của Bρ thỏa mãn

lim

j→∞∥xj− x∥∞ = 0 Do các nghiệm u(n)ˆ và u(n) của hệ (2.11) với các

điều kiện ban đầu u (nˆ 0, n0, ˆu0) = ˆu0 và u (n0, n0, u0) = |x0|, là hội tụ,nên với ε > 0 tùy ý ta có thể chọn n1 ∈ N(n0) đủ lớn sao cho

Như vậy, S là liên tục

(iii) Tập SBρ là compact tương đối

Lúc này, áp dụng định lý điểm bất động Schauder suy ra tồn tại x ∈ Bρ

sao cho Sx = x Nói cách khác, tồn tại nghiệm x(n) của hệ (2.15) Dễthấy x(n) là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

∆x(n) = f (n, x(n)), x (n0) = x0 = lim

n→∞x(n)

Định lý được chứng minh hoàn toàn

Hệ quả 2.1.10 ([1]) Nếu các giả thiết như trong Định lý 2.1.9 được thỏamãn thì hệ (2.1) là cân bằng tiệm cận

Ta minh họa Hệ quả 2.1.10 qua ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.11 Xét hệ phương trình sai phân

anx7(n)

1 + 4x6(n)

trong đóM là một hằng số dương Mặt khác, do f (n, x) là liên tục theo x

với mỗi n ∈ N(n0) và như vậy mọi giả thiết như trong Định lý 2.1.9 đượcthỏa mãn Suy ra hệ (2.16) là cân bằng tiệm cận

Ta nhận thấy, do u(n) là bị chặn và không giảm trên N(n0), nên u(n)

hội tụ đến ξ ∈ R+ nào đó và với mỗi ξ ∈ R tồn tại nghiệm u(n) của hệ(2.17) sao cho

Như vậy, hệ (2.17) cũng là cân bằng tiệm cận

2.2 Bài toán tương đương tiệm cận

Trong phần này, với A(n)là hàm ma trận cấpm × m xác định trên N(n0),

ta xét hệ phương trình sai phân tuyến tính

∆x(n) = A(n)x(n) (2.18)

và hệ có nhiễu (hay, nửa tuyến tính) tương ứng của hệ (2.18) có dạng

∆y(n) = A(n)y(n) + g(n, y(n)) (2.19)trong đó g : N(n0) ×Rm →Rm

Định nghĩa 2.2.1 ([1, 2]) Ta nói hệ (2.18) và (2.19) là tương đương tiệmcận, nếu với nghiệmx(n) tùy ý của hệ (2.18), đều tồn tại nghiệm y(n) của

hệ (2.19) sao cho

y(n) = x(n) + o(1), khi n → ∞ (2.20)

và ngược lại, với y(n) là nghiệm tùy ý của hệ (2.19), tồn tại một nghiệm

x(n) của hệ (2.18) sao cho (2.20) đúng

Trước hết, giả sử Φ là một ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính(2.18), ta sẽ tìm điều kiện để nghiệm y của hệ nửa tuyến tính (2.19) thỏamãn tính chất tiệm cận

y(n) = Φ(n)[ξ + o(1)] khi n → ∞ (2.21)Cuối cùng, sử dụng các kết quả đó ta chỉ ra sự tương đương tiệm cận giữacác nghiệm của các hệ (2.18) và (2.19)

Định lý 2.2.2 ([2]) Giả sử Φ(n) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyếntính (2.18) Hơn nữa, giả sử rằng với (n, y) ∈N(n0) ×Rm ta có

trong đó λi, ωi(1 ⩽ i ⩽ p) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.2 Khi

đó nghiệm y của hệ (2.19) với |y (n0)| ⩽ c được xác định trên N(n0) vàthỏa mãn tính chất tiệm cận (2.21)

Chứng minh Xét Φ thỏa mãn Φ (n0) = I (ma trận đồng nhất); khi đó

u(n) = Φ−1(n)y(n) thỏa mãn phương trình

∆u(n) = Φ−1(n + 1)g(n, Φ(n)u(n)), u (n0) = y (n0) (2.22)Nhận thấy, hệ này thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.2, nên tồn tạigiới hạn lim

n→∞u(n) và (2.2) được thỏa mãn

Chú ý 2.2.3 ([2]) Nếu y (n0) ̸= 0, thì tồn tại n0 đủ lớn để ξ ̸= 0 Thậtvậy, nếu ta giả sử nghiệmy(n)của hệ (2.1), với điều kiệny (n0) ̸= 0, nhưng

lim

n→∞y(n) = 0, thì từ các giả thiết ta sẽ suy ra được điều mâu thuẫn.Định lý 2.2.4 ([2]) Giả sử các giả thiết của Định lý 2.1.6 được thỏamãn Khi đó, với mỗi ρ > 0 tồn tại n0 đủ lớn sao cho với mọi ξ ∈ Rm mà

|ξ| ⩽ ρ, tồn tại một nghiệm của (2.19) xác định trên N(n0) và thỏa mãntính chất tiệm cận (2.21)

Định lý 2.2.5 ([2]) Giả sử các giả thiết của Định lý 2.1.6 và Định lý2.2.2 được thỏa mãn Hơn nữa, giả sử tất cả các nghiệm của (2.18) là bịchặn trên N(n0), và

| det Φ(n)| =