Một số tính chất của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

Khi đó tồn tại một đẳng cấu môđun h: X/kerf Y sao cho ta có quan hệ giao hoán những đồng cấu của những môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại m

Trờng đại học vinh

Khoa toán

- -Nguyễn thị Chung

Một số tính chất của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán

Vinh - 2006

Môc lôc

Trang Më

Mở đầu

Lý thuyết môđun là một trong những lý thuyết phong phú,phát triển mạnh mẽ hiện nay và đã đạt đợc nhiều kết quả sâusắc có ý nghĩa

Khoá luận của chúng tôi chỉ xem xét tới những lớp môđunrất cơ bản, là hai trụ cột chính của lý thuyết môđun đó làmôđun xạ ảnh và môđun nội xạ Nghiên cứu các môđun này làcơ sở để hiểu thêm về môđun nơte và actin bởi mối liên hệgiữa xạ ảnh - nội xạ với nơte - actin, đồng thời là cơ sở để nghiêncứu các lớp môđun mở rộng của môđun xạ ảnh và nội xạ

Nội dung chính của khoá luận đợc thể hiện trong hai

ch-ơng:

Chơng 1 Một số kiến thức cơ sở

Chơng 2 Môđun xạ ảnh - môđun nội xạ

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắcnhất tới PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng đã chỉ bảo tận tình giúp tác giảhoàn thành khoá luận

Qua đây tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy côgiáo trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Đại

số - Khoa toán đã có công dạy dỗ trong những năm học qua

Mặc dù rất cố gắng nhng vì năng lực có hạn nên đề tài cònnhiều khiếm khuyết, rất mong đợc sự góp ý, bổ sung, sự quantâm chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đọc để đề tài nàytiếp tục đợc hoàn thiện

Vinh, tháng 4 năm 2006.

Tác giả.

Chơng 1 Một số kiến thức cơ sở

1 Môđun

1.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán với phần tử đơn

vị 1 Một tập X  đợc gọi là một môđun trên R (hay R - môđun)

nếu trên đó đã trang bị hai phép toán (+) và nhân vô hớng (.)(ta còn gọi là phép tác động) đợc xác định bởi:

(+): X x X  X

(a,b) a + b a,b  X(.) R x X X

(,a) a   R, a Xsao cho:

Theo định nghĩa môđun ta có:

1) Z là vành các số nguyên; X là nhóm aben bất kỳ X là Z

-môđun

2) R là vành giao hoán, có đơn vị R là R - môđun

3) R là trờng; X là R - không gian vectơ X là R - môđun

4) R là vành giao hoán, có đơn vị; I là iđêan của R I là R môđun

-5) R là trờng các số thực; C là trờng các số phức C là R - môđun.

6) R[x] là tập hợp các đa thức với hệ số trên R R[x] là R- môđun

7) Mn[R] là tập hợp các ma trận vuông cấp n với các phần tử trên R.

(a1, ,an) +(b1, ,bn) = (a1+b1, ,an+bn)

a(a1, ,an) = (aa1, ,aan)

a,ai,biR.Rn là R - môđun

11) M(m x n, R) là ma trận m hàng n cột với các phần tử trong R làmột R - môđun với hai phép toán cộng và nhân vô hớng trong R.12) Mỗi vành có đơn vị là một môđun trên mọi vành con chứa

14) Giả sử : RR là một đồng cấu vành bảo toàn đơn vị, tức là

(1) = 1’ Khi đó mỗi R’- môđun X’ là một R- môđun, trong đóphép nhân các phần tử của X’ với vô hớng trong R đợc địnhnghĩa nh sau: ax’ = (a) x’;  aR, x’X’

2 Môđun con

2.1 Định nghĩa Tập con A   của môđun X đợc gọi là

môđun con của môđun X nếu cùng với phép cộng (+) và phép

nhân vô hớng (.) ở trên X thì A cũng là một môđun

2.2 Tiêu chuẩn môđun con

A

A X  a,b A,R  a-bA

aA

3 Định lý đồng cấu môđun

Định lý Cho f: X Y là toàn cấu môđun Khi đó tồn tại một

đẳng cấu môđun h: X/ker(f) Y sao cho ta có quan hệ giao hoán

những đồng cấu của những môđun trên R sao cho ảnh của

đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđunkhác với hai đầu (nếu có) của dãy

4.2 Định nghĩa Một dãy khớp bất kỳ dạng:

0 X Y Z0

đợc gọi là một dãy khớp ngắn.

4.3 Định nghĩa Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn:

X Y Z

những đồng cấu của những môđun trên R đợc gọi là nửa khớp

nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấu vào bị chứa trong hạt nhâncủa đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy

5 Môđun tự do

5.1 Định nghĩa Ta gọi môđun tự do trên R lên một tập hợp S là

một môđun F trên R cùng với một hàm f: SF sao cho với  g: SX

X/

ker(f)

h (đẳng cấu) g

f

f (toàn cấu)

tồn tại một đồng cấu h: FX để cho ta có quan hệ giao hoán hof

= g trong sơ đồ sau:

5.2 Định nghĩa Giả sử X là một R - môđun

i) Tập con khác rỗng S của X đợc gọi là một cơ sở của X nếu mỗi

phần tử của X đều có biểu thị tuyến tính duy nhất qua cácphần tử của S

ii) Môđun X đợc gọi là môđun tự do nếu nó có một cơ sở hoặc

nó là môđun 0

X

Chơng 2

Môđun xạ ảnh - môđun nội xạ

Đ1 Môđun xạ ảnh

1.1 Định nghĩa Một môđun X trên R đợc gọi là xạ ảnh nếu với

mọi đồng cấu f: XB và toàn cấu g: AB của những môđuntrên R, tồn tại một đồng cấu h: XA thoả mãn goh= f

Ta có thể diễn đạt theo ngôn ngữ biểu đồ nh sau: Một

môđun X trên R đợc gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi biểu đồ:

X

A B 0những đồng cấu của những môđun trên R, trong đó dòng làkhớp đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán:

X

A B 0ngời ta gọi h là một "nâng" của f theo toàn cấu g

1.2 Mệnh đề Mọi R - môđun tự do đều xạ ảnh

Chứng minh Xét một môđun tự do tuỳ ý X trên R sinh ra bởi một

tập hợp S X Giả sử f: XB là một đồng cấu và g: AB là mộttoàn cấu tuỳ ý cho trớc của những môđun trên R Với s bất kỳthuộc S, tồn tại một phần tử j(s) của A với go[j(s)] = f(s) vì g làmột toàn cấu Sự tơng ứng sj(s) xác định một hàm j:SA Vì X

là môđun tự do trên R lên tập hợp S X nên j mở rộng ra thànhmột đồng cấu duy nhất h: XA:

S X

A B 0

f

f (đồng cấu) (toàn cấu)

h

f j

h

Gọi x là một phần tử tuỳ ý của X Vì X đợc sinh ra bởi S nên

x là một tổ hợp tuyến tính x = với iR và siS với mọi i =1,2, ,n Thế thì ta có go[h(x)] = go[h(si)] = go[j(si)] =

Vì x là một phần tử bất kỳ của X nên suy

ra goh = f Vậy ta có điều phải chứng minh

1.3 Mệnh đề Mỗi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ

ảnh

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh rằng: Mọi R - môđun X đều

đẳng cấu với thơng của một R - môđun tự do Thật vậy, giả sử X

là một môđun trên R tuỳ ý cho trớc Ta lấy ra một tập con S của X,sinh ra X, chẳng hạn lấy S = X

Xét môđun tự do F trên R sinh ra bởi tập hợp S thế thì hàmbao hàm g:SX mở rộng ra thành đồng cấu h: FX:

Xvì S = g(s) h(F) và vì S sinh ra X nên ta có h(F) =X do đó h làmột toàn cấu Theo định lý đồng cấu môđun suy ra F/ker(h) X:

F/ker(h)

Từ mệnh đề (1.2) và chứng minh trên ta có mọi R- môđun

X luôn đẳng cấu với một môđun thơng của một R - môđun xạ

ảnh Do vậy X là ảnh toàn cấu của môđun xạ ảnh F Vậy ta có

điều phải chứng minh

f h g

l (đẳng cấu) h

k

1.4 Mệnh đề Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi dãy

idx Mặt khác ta đã biết rằng với mọi dãy khớp ngắn: 0U V X0những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra nếu và chỉnếu đồng cấu f có một nghịch đảo trái hoặc đồng cấu g cómột nghịch đảo phải, từ đó dãy khớp ngắn đã cho chẻ ra

() Ngợc lại, giả thiết dãy khớp ngắn đã cho chẻ ra, xét biểu đồnhững đồng cấu:

X

V X 0tồn tại nghịch đảo phải h của của toàn cấu g, tức là goh = idx.Theo định nghĩa về môđun xạ ảnh ta có X là xạ ảnh

1.5 Mệnh đề X =  X i X là môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu X i

Giả sử X là môđun xạ ảnh fi: XiB là một đồng cấu g: AB

là một toàn cấu qi: XiX là phép nhúng tự nhiên pi:XXi là phépchiếu tự nhiên

ảnh nên tồn tại đồng cấu hi: XiA thoả mãn gohi = foqi:

foqi opi)(x) =f(x) suy ra goh = f Vậy X là môđun xạ ảnh

1.6 Mệnh đề Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là một

hạng tử trực tiếp của một môđun tự do (nghĩa là F = X  Y trong

h i

() Giả sử X là xạ ảnh, khi đó có môđun tự do F và toàn cấu g:FX, ta có f: ker(g) F là đồng cấu bao hàm Ta đợc mộtdãy khớp ngắn chẻ ra:

0ker(g) F Xkhi đó tồn tại h: XF sao cho goh = idx:

X

F X 0Mặt khác ta có: Nếu cái hợp thành h =gof của hai đồng cấuf: XY và g:YZ của các môđun X, Y, Z trên R là một đẳng cấuthì ba phát biểu sau là đúng:

+ f là một đơn cấu

+ g là một toàn cấu

+ Môđun Y phân tích đợc thành tổng trực tiếp của im( f)

và ker(g), ký hiệu Y = im(f)  ker(g)

Suy ra h là một đơn cấu và F = im(h)  ker(g) = X  ker(g).Vậy X là hạng tử trực tiếp của môđun tự do

1.7 Mệnh đề Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi toàn

cấu môđun g: B X đều có nghịch đảo phải.

Chứng minh Giả sử X là xạ ảnh và g: BX là một toàn cấu

môđun, idx: XX là đồng cấu Gọi h là đồng cấu từ XB thoảmãn goh = idx khi đó h là một nghịch đảo phải của g:

X

B X 0Ngợc lại, giả sử mọi toàn cấu lên X đều có nghịch đảo phải,

mà mỗi R - môđun tự do (hữu hạn sinh) đều là ảnh đồngcấu của một R - môđun tự do (tơng ứng hữu hạn sinh) suy ra tồn

id x

h

id x

h

tại toàn cấu g: FX, trong đó F là một môđun tự do Gọi h: XF

là một nghịch đảo phải của g, tức là goh = idx Từ đó F  X ker(g) X là xạ ảnh

1.8 Mệnh đề Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu với mọi toàn

= goh = f Do đó với mọi toàn cấu g: AB

g* = Hom (i,g):Hom (X,A)  Hom (X,B) cũng là một toàn cấu khi và chỉ khi X là xạ ảnh (điều phảichứng minh)

1.9 Mệnh đề Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu với mọi dãy

khớp ngắn:

0 A B C 0

những môđun trên R dãy:

0 Hom(X,A) Hom (X,B) Hom(X,C)  0

Với f * = Hom(i,f) và g * = Hom (i,g) cũng là một dãy khớp ngắn.

Chứng minh Ta đã biết rằng nếu M là một môđun tuỳ ý trên R

và

0A B C

là một dãy khớp những môđun trên R, thì dãy :

0Hom (M,A), Hom (M,B) Hom (M,C)

với f* = Hom (i,f) và g* = Hom (i,g), trong đó i:MM là tự đồngcấu đồng nhất của môđun M, cũng là khớp Mặt khác từ 1.8 ta có

điều phải chứng minh

1.10 Mệnh đề Mọi môđun M trên R đều có thể nhúng vào

một dãy khớp ngắn:

những môđun trên R trong đó X là môđun xạ ảnh.

Chứng minh Ta biết rằng với mọi môđun M luôn đẳng cấu với

một môđun thơng của một môđun xạ ảnh (cụ thể là tự do) Vìvậy M  X/L trong đó X là môđun xạ ảnh Do đó ta có dãy khớpngắn: 0L X X/L0 Mà M  X/L nên ta có: 0L X M0 (Điều phảichứng minh)

1.11 Mệnh đề Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những

môđun trên R:

X

A B C

trong đó X là xạ ảnh, g o h = 0 và dòng là khớp Khi đó tồn tại một

đồng cấu k:X A thoả mãn f o k = h.

Chứng minh Vì dòng là khớp nên im (f) = ker(g) do đó f là toàn

cấu Mặt khác, giả thiết cho goh = 0 nên : XC là đồng cấukhông, hay C = 0

X

A B 0lại do X là xạ ảnh nên theo định nghĩa, tồn tại một đồng cấu k:XA thoả mãn fok = h (điều phải chứng minh)

1.12 Mệnh đề Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những

k j

trong đó X là xạ ảnh, hình vuông là giao hoán, dòng trên là nửa khớp và dòng dới là khớp Khi đó tồn tại một đồng cấu h: X A thoả

mãn f o h = j o d.

Chứng minh Vì dòng dới là khớp suy ra im(f) = ker(g) nên f là toàn

cấu Mặt khác, dòng dới là khớp nên nó là nửa khớp suy ra gof là

đồng cấu tầm thờng suy ra C là đồng cấu không Mà X xạ ảnhnên theo định nghĩa tồn tại đồng cấu h:XA sao cho foh = l= jod

X Y Z

hay foh = jod (điều phải chứng minh)

1.13 Chú ý Môđun xạ ảnh không nhất thiết tự do

Ví dụ: Cho R là vành các ma trận vuông cấp 2, phần tử thuộc ờng F và:

a b

0 0Khi đó M là R - môđun xạ ảnh nhng không phải là R - môđun tựdo

Chứng minh Nhận thấy rằng nếu gọi:

0 0

x ythì R = M  N Từ đó M là xạ ảnh (vì M là hạng tử trực tiếp của

R - môđun tự do R) Mặt khác M không tự do vì M không cócơ sở Thật vậy nếu:

®iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh chÊt cña c¬ së (®iÒu ph¶i chøngminh).

Đối ngẫu với khái niệm môđun xạ ảnh là môđun nội xạ.

Đ2 Môđun nội xạ.

2.1 Định nghĩa Một môđun X trên R đợc gọi là nội xạ nếu với

mọi đồng cấu f: AX và mọi đơn cấu g: AB của nhữngmôđun trên R, tồn tại đồng cấu h: BX thoả mãn hog= f

Ta có thể diễn đạt theo ngôn ngữ biểu đồ nh sau: Một

môđun X trên R đợc gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi biểu đồ:

ngời ta gọi h là một "mở rộng" của f theo đơn cấu g

2.2 Mệnh đề Mọi môđun trên R đều đẳng cấu với một

môđun con của một môđun nội xạ trên R.

Chứng minh Cho A X, xét biểu đồ những đồng cấu:

0 A X

ta có g là đơn cấu (vì A X) theo định nghĩa thì X là môđunnội xạ Vậy với môđun M bất kỳ tồn tại một môđun A là môđuncon của môđun nội xạ X, sao cho M  A (điều phải chứng minh)

2.3 Mệnh đề Môđun X trên R là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi

(đơn cấu)

f

X

h

Chứng minh

() Giả thiết X là nội xạ và xét biểu đồ:

0 X U

những đồng cấu Theo định nghĩa tồn tại một đồng cấu h: UX

thoả mãn hof = idx, tức là f có một nghịch đảo trái, suy radãy khớp ngắn:

0X U V0chẻ ra

()Ngợc lại, giả thiết dãy khớp ngắn đã cho chẻ ra, xét biểu đồnhững đồng cấu:

0 X U

tồn tại nghịch đảo trái h của đơn cấu f, tức là hof = idx Theo

định nghĩa về môđun nội xạ ta có X là nội xạ

2.4 Mệnh đề Môđun U trên R là nội xạ nếu và chỉ nếu U là

một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ X trên R

Chứng minh Giả thiết X = U  V Ta phải chứng minh rằng U nội

xạ khi và chỉ khi X nội xạ

() Giả sử f: A X là một đồng cấu g: A  B là một đơn cấu p:

X  U là phép chiếu tự nhiên q: U  X là phép nhúng tự nhiên Ta

có pof là một đồng cấu Do U nội xạ nên tồn tại đồng cấu k: B  Uthoả mãn kog = pof:

0 A B

id xX

id xX

hXU

k f

p

ta có h = qok Với x bất kỳ thuộc X ta có: (hog)(x) =  (qokog)(x) =

 (qopof)(x) = f(x), do đó hog = f Vậy X là môđun nội xạ

() Giả thiết X nội xạ ta chứng minh U nội xạ (V tơng tự) Giả sử f:AU là một đồng cấu và g: AB là một đơn cấu Gọi q: UX làphép nhúng tự nhiên p: XU là phép chiếu tự nhiên Vì X nội xạnên tồn tại một đồng cấu h: BX thoả mãn hog = qof Xét đồngcấu hợp thành k = poh: BU:

0 A B

vì poq là tự đồng cấu đồng nhất của U nên ta đợc kog = pohog =

poqof = f (điều phải chứng minh)

2.5 Mệnh đề X = X là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu X i

là môđun nội xạ.

Chứng minh

() X nội xạ  Xi nội xạ

Giả sử fi: AXi là một đồng cấu g: AB là một đơn cấu

qi:XiX là phép nhúng tự nhiên pi: XXi là phép chiếu tự nhiên

Ta có qi ofi là một đồng cấu Do X nội xạ nên tồn tại đồng cấu h:BX thoả mãn hog = qi ofi:

0 A B

ta có hi = pi oh suy ra hi og = pi ohog = pi oqi ofi = fi Vậy Xi là môđunnội xạ

kUX

h f

do đó hog = f Vậy X là môđun nội xạ.

* Để có những ví dụ cụ thể hơn về môđun nội xạ ta xét

tr-ờng hợp vành R = Z một Z -môđun (tức là nhóm aben) D đợc gọi

là chia đợc nếu dD, và mọi số nguyên m 0, xD sao chomx=d

Nh vậy Z và Z/n là không chia đợc nZ, ngợc lại Q,R,C là các Z - môđun chia đợc.

2.6 Mệnh đề Một Z - môđun là nội xạ nếu và chỉ nếu nó chia

đợc.

Chứng minh Ta sẽ chỉ chứng minh rằng nếu Z - môđun X là nội

xạ thì nó chia đợc và thừa nhận khẳng định ngợc lại

Với mỗi 1 X, và mỗi số nguyên m  0 ta xét đồng cấumôđun f: ZX cho bởi f(1) = d và đơn cấu môđun g: ZZ xác

định bởi g(1) = m Vì X nội xạ nên có đồng cấu h: ZX sao cho f

= hog:

0 Z Z

hX

h (đồng cấu) (đồng

cấu) f

khi đó d = f(1) = ho(g(1)) = h(m) = m.h(1) Nh vậy h(1) chính làmột nghiệm của phơng trình mx = d.

2.7 Mệnh đề Môđun X là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi đơn

cấu môđun X B đều có nghịch đảo trái

Chứng minh Phép chứng minh đối ngẫu với chứng minh ở mệnh

đề 1.7 cụ thể: Giả sử X là nội xạ và g: XB là đơn cấu môđun,

idx: XX là đồng cấu Gọi h là đồng cấu từ BX thoả mãn hog =

idx khi đó h là một nghịch đảo trái của g:

0 X B

Ngợc lại, giả sử mọi đơn cấu g: XB đều có nghịch đảotrái Gọi h: BX là một nghịch đảo trái của g, ta dễ dàng suy ra

đợc X là nội xạ

2.8 Hệ quả Nếu R là một trờng thì mọi R môđun (tức là R

-không gian vectơ) đều nội xạ

2.9 Mệnh đề Môđun X là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi đơn

cấu g: A B

g * = Hom (g,i): Hom (B,X)  Hom(A,X) là một toàn cấu.

Chứng minh Theo định nghĩa, g* = Hom (g,i) là một toàn cấunếu và chỉ nếu, với mọi phần tử f: AX trong Hom (A,X), tồn tạimột phần tử h: BX trong Hom (B,X) sao cho g*(h) = iohog =

hog = f Do đó với mọi đơn cấu g: AB

g* = Hom(g,i) = Hom(B,X)  Hom (A,X)

là một toàn cấu khi và chỉ khi X nội xạ

2.10 Mệnh đề Môđun X là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi dãy

khớp ngắn:

X

X h

id x