Phép đặng cự trong không gian ơclít

Lời nói đầuPhép đẳng cự đợc biết đến trong hình học phổ thông bao gồm phép dời hình và phép phản dời hình là phép biến hình cơ bản và có nhiều ứng dụng để giải các bài toán trong hình họ

trờng đại học vinh

khoa toán -

Phép đẳng cự trong không gian

ơclít

khoá luận tốt nghiệp đại họcChuyên ngành: Cử nhân khoa học toán

Giáo viên hớng dẫn : TS Nguyễn Duy Bình

Sinh viên thực hiện : Hồ Sỹ Hoàng

Vinh - 2009

Lời nói đầu

Phép đẳng cự đợc biết đến trong hình học phổ thông bao gồm phép dời hình

và phép phản dời hình là phép biến hình cơ bản và có nhiều ứng dụng để giải các bài toán trong hình học Ơclit Đặc biệt là trong hình học sơ cấp có nhiều bài toán

có thể giải quyết đợc bằng một cách nhờ phép biến đổi đẳng cự của các hình qua các điểm đặc biệt

Từ những nhận xét đó, chúng tôi đã thực hiện đề tài "Phép đẳng cự trong không gian ơclit" với mục đích hệ thống lại một cách đầy đủ, bao gồm định

nghĩa, tính chất, phân loại các phép đẳng cự và tích của chúng Trên cơ sở lí thuyết đợc xây dựng, chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của phép đẳng cự cụ thể cũng nh tích của một số phép đẳng cự để giải một số bài toán biến hình trong hình học phẳng ở trờng phổ thông

Nội dung của khoá luận gồm:

Đ 1 Sơ lợc về phép đẳng cự Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất, phép

biến đổi đẳng cự và đa ra phơng trình của phép đẳng cự

Đ2 Các phép đẳng cự trong mặt phẳng Trong mục này chúng tôi trình bày

một cách chi tiết phép đẳng cự trong mặt phẳng, nh phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trợt Từ đó nêu đ… ợc định lí, phân loại phép đẳng cự trong mặt phẳng

Đ3 ứng dụng phép đẳng cự trong hình học phẳng Trong bài này chúng

tôi trình bày một số dấu hiệu sử dụng từng phép đẳng cự và giải một số bài toán sơ cấp theo phơng pháp dùng các tính chất của phép đẳng cự

Trong quá trình học tập tại trờng Đại học Vinh và khi thực hiện khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự phấn đấu của bản thân mình, tôi đã nhận đợc rất nhiều sự giúp đỡ quý báu

Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo - TS Nguyễn Duy Bình, ngời đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện khoá luận này

Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, rèn luyện trong suốt thời gian tôi học tập tại tr-ờng.

Sau cùng tôi xin cảm ơn những ngời thân trong gia đình cùng tất cả các bạn

bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Trong quá trình thực hiện khoá luận, do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định, kính mong sự giúp đỡ của các thầy cô để đề tài đợc hoàn thiện

Chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 05 năm 2009.

Tác giả.

Đ 1 Sơ lợc về phép đẳng cự

1.1 ánh xạ đẳng cự.

1.1.1 Định nghĩa : ánh xạ f: E → E' của các không gian Ơclit E và E' gọi là

ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết ϕ : Er→E'r

là một ánh xạ tuyến tính trực giao

1.1.2 Nhận xét

Từ định nghĩa ánh xạ đẳng cự, ta dễ dàng suy ra đối với mọi cặp điểm M,N thuộc E và ảnh của chúng M' = f(M), N' = f(N) ta có d(M, N) = d(M', N') nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Lấy I thuộc E và I' = f(I) Xét ánh xạ ϕ : Er→E'r xác định nh sau:

Giả sử u Er∈r ta lấy điểm điểm M ∈ E sao cho IM uuuur r= và đặt với (u) I'M '

ϕ r =uuuur với M' = f(M) Ta chứng minh ϕ không thay đổi tích vô hớng của hai véc tơ bất kì của Er Lấy thêm vr bất kì thuộc Er và lấy điểm N thuộc E sao cho

IN vuur r= , khi đó v) I'N'ϕ( =r uuuur với N' = f(N)

Vì f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) = d(M', N') Do đó,

MNuuuuur uuuuuuur2 = M ' N ' 2 ⇔ (IN IM)uur uuur− 2 = (I ' N ' I 'M ')uuuur uuuuur− 2

⇔ INuuur uuuur2 + IM 2 − 2IN.IM I ' N 'uur uuur=uuuuuur uuuuuur2 + I 'M ' 2 − 2I ' N '.I 'M 'uuuur uuuuur

Nên ta suy ra: IN.IM I ' N '.I'M 'uur uuur uuuur uuuur= tức là u.vr r= ϕ (u) (v)r ϕ r

Vì ϕ bảo toàn tích vô hớng của hai vec tơ u, vr r bất kỳ nên ϕ là ánh xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng ϕ là liên kết của f

Vậy f là ánh xạ đẳng cự

1.2 Phép biến đổi đẳng cự.

ánh xạ đẳng cự f : E→E từ không gian Ơclit E vào chính nó thì vì f là

đơn ánh nên nó là một song ánh (do Er hữu hạn chiều).Khi đó ta gọi nó là một phép biến đổi đẳng cự của không gian Ơclit E ánh xạ ϕ liên kết với f là một

phép biến đổi tuyến tính trực giao của không gian véctơ Er

Ta có: BCuuur = B'C'uuuuur ⇒BCuuur2 =B'C'uuuur2⇒(AC AB)uuur uuur− 2 =(A 'C' A'B')uuuur uuuuur− 2

AC −2AC.AB AB+ =A'C' −2A'C'.A'B' A 'B'+

uuur uuur uuur uuur uuuuur uuuur uuuuur uuuuur

⇒ AC.AB A'C'.A'B'uuur uuur uuuuur uuuuur= do ACuuur = A'C' , ABuuuuur uuur = A 'B'uuuuur

Vì {AB,ACuuur uuur} là một cơ sở trong mặt phẳng và tích vô hớng của chúng đợc

bảo toàn qua ánh xạ liên kết fr nên tích vô hớng của hai vec tơ bất kì đợc bảo toàn,

do đó fr là ánh xạ tuyến tính trực giao

Vì vậy f là ánh xạ đẳng cự

Giả sử f là phép đẳng cự, và A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng, trong

đó điểm B ở giữa A và C Ta chứng minh ba điểm A' = f(A), B' = f(B),

C' = f(C) thẳng hàng và (A,B,C) = (A',B',C')

Theo định nghĩa của phép đẳng cự ta có: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C' Vì B

ở giữa A và C nên AB + BC = AC, Do đó A'B' + B'C' = A'C', Suy ra ba điểm A',B',C' thẳng hàng và B' ở giữa A' và C' Rõ ràng là

(A, B, C) = (A', B', C') Vậy phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số

đơn

1.4.2 Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên biến một

tam giác thành tam giác bằng nó

Chứng minh :

Thật vậy nếu tam giác ABC biến thành tam giác A'B'C' thì do AB = A'B',

BC = B'C' và AC = A'C' nên hai tam giác đó bằng nhau

1.4.3 Tính chất 3: Phép đẳng cự không làm thay đổi độ lớn của góc.

Chứng minh :

Giả sử phép đẳng cự của f biến góc ãxOy thành góc ãx 'O'y' Trên hai tia Ox

và Oy lần lợt lấy hai điểm A và B khác với 0 Gọi A'= f(A) và B' = f(B) thì A' và B' lần lợt nằm trên O'x' và O'y' Vì O' = f(O) nên hai tam giác AOB và A'O'B' bằng nhau , do đó hai góc ãxOy và ãx 'O'y' bằng nhau

1.4.4 Tính chất 4: Tích của hai ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự.

Chứng minh:

Cho hai ánh xạ đẳng cự f và g.Ta xét tích hai ánh xạ đẳng cự g0f

Giả sử A, B là hai điểm bất kì và ta có f(A) = A', g(A') = A", f(B) = B', g(B') = B" Vì f và g là ánh xạ đẳng cự nên ta có AB = A'B' và A'B' = A"B" nh vậy tích của hai ánh xạ đẳng cự g0f là một ánh xạ đẳng cự , vì nó là một phép đẳng cự

có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm A và B của mặt phẳng

1.4.5 Tính chất 5: Phép biến đổi đẳng cự biến một cơ sở trực chuẩn thành cơ sở

trực chuẩn, biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn.

1.4.6 Nhận xét:

Từ điều kiện bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kì, suy ra phép đẳng cự là một đơn ánh, từ tính chất đơn ánh và phơng trình của ánh xạ afin suy ra ánh xạ này cũng song ánh

1.5 Phơng trình của phép biến đổi đẳng cự.

Phơng trình của phép đẳng cự đối với mục tiêu trực chuẩn có dạng

[ ]x ' =B x[ ] [ ]+ b , trong đó B = A* với A là ma trận chuyển từ cơ sở liên kết của mục tiêu sang cơ sở ảnh của nó Vì các cơ sở này là cơ sở trực chuẩn trên A,

và do đó B là ma trận trực giao

Ngợc lại, nếu ánh xạ afin mà phơng trình đối với mục tiêu trực chuẩn có ma trận là ma trận trực giao thì ánh xạ đó biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, do đó nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, cho nên nó là phép

đẳng cự

Đ 2 Các phép đẳng cự trong mặt phẳng

2.1 Phép dời hình và phép phản dời hình trong mặt phẳng.

Giả sử f là một phép đẳng cự trong mặt phẳng và phơng trình của f đối với mục tiêu trực chuẩn {O;e ,er r1 2 } có dạng :

Từ (1) suy ra tồn tại góc ϕ sao cho a11=cosϕ ,a21=sinϕ

Từ (2) suy ra tồn tại góc θ sao cho a12 =sinθ,a22 =cosθ.

T ừ (3) suy ra cos sinϕ θ +sin cosϕ θ =0 nên sin(ϕ + θ =) 0

k

⇒ ϕ + θ = π, k∈Ζ ⇒ θ = −ϕ + πk Nếu k chẵn thì a12 = −sinϕ ,a22 =cosϕ ⇒A= cos

2.2.Phép tịnh tiến.

2.2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng P cho vectơ ur, phép biến đổi

mỗi điểm M thành điểm M' sao cho vectơ MM' uuuuuur r=

gọi là phép tịnh tiến theo véctơ ur và đợc ký hiệu Tur

2.2.2 Phơng trình của phép tịnh tiến

Giả sử Tur là phép tịnh tiến theo véctơ ur Xét một mục tiêu trực chuẩn

{0;e ,er r1 2} trong mặt phẳng và giả sử véctơ ur có tọa độ đối với mục tiêu là (b1; b2).

Giả sử M là điểm bất kỳ có ảnh là M' và [x], [x']

t-ơng ứng là ma trận toạ độ của M, M' Ta có: MM' uuuuuur r=

suy ra MM 'uuuuur = [u]r ⇒ [x'] - [x] = [b] ⇒ [x'] = [x] + [b], do đó: Tur là ánh xạ afin

2.2.3 Định lí: Phép tịnh tiến là một phép dời hình

Chứng minh:

Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và qua

phép tịnh tiến Tvr, chúng lần lợt biến thành các điểm A', B'

Ta có: AA' BB' vuuur =uuur =r

M'M

u r

Ta suy ra: AA' A'B BB' A'B A'B'uuur uuuur uuuur uuuur uuuur+ = + =

Vậy AB A'B'uuur uuuur=

Hay ABuuur = A 'B'uuuuur

Ta có AB = A'B' mặt khác đối với mục tiêu trực chuẩn {O;x , xr r1 2}và véctơ

Trong mặt phẳng cho đờng thẳng d Phép

biến đổi d biến mỗi điểm M thành M' sao cho d là

đờng trung trực của đoạn thẳng MM' đợc gọi là

phép đối xứng trục Ký hiệu: Đd

2.3.2 Phơng trình của phép đối xứng trục.

Giả sử f là phép đối xứng trục d Xét mục tiêu trực chuẩn {0;e ;er r1 2} sao cho

O nằm trên d và er1 là véc tơ chỉ phơng của d Dễ dàng thấy rằng toạ độ của mỗi

điểm và toạ độ của điểm ảnh liên hệ bởi hệ thức

d

Chứng minh:

Giả sử phép đẳng cự f biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Gọi d1 là trung trực của đoạn thẳng AA' và Đ1 là phép đối xứng trục với trục là d1 Khi đó

Đ1 biến tam giác ABC thành tam giác A'B1C1 Gọi d2 là trung trực của đoạn thẳng

B1B' (vì A'B1 = AB = A'B' nên A' nằm trên d2) và Đ2 là phép đối xứng trục mà trục

là d2 Khi đó Đ2 biến tam giác A'B1C1 thành tam giác A'B'C2 Gọi d3 là trung trực của đoạn thẳng C2C' thì dễ thấy rằng d2 đi qua A' và B', bởi phép đối xứng trục Đ3

mà trục là d3 sẽ biến tam giác A'B'C2 thành tam giác A'B'C' Nh vậy hợp thành

Cho một điểm O trong mặt phẳng và một góc lợng giác

ϕ Phép biến đổi mặt phẳng biến đổi điểm M thành điểm M'

sao cho OM = OM' và (OM,OM 'ãuuuur uuuur) = ϕ đợc gọi là phép quay

tâm O với góc quay ϕ Ký hiệu Q(o; ϕ)

2.4.2 Phơng trình của phép quay

Giả sử Q(O; ϕ) là phép quay tâm O góc quay ϕ

Xét mục tiêu trực chuẩn {O;e ,er r1 2} Gọi { ' ' }

Giả sử M là điểm trong mặt phẳng có toạ độ với mục tiêu {O;e ,er r1 2} là (x1, x2 ) Khi đó toạ độ của điểm M' đối với mục tiêu ảnh { ' ' }

O;e ,er r cũng là (x1, x2) Giả sử toạ độ của M' đối với mục tiêu ban đầu { ' ' }

OM ' x euuuur= r +x er =x (cos eϕ +r1 sin e ) x ( sin eϕ.r2 + − ϕ +r1 cos e )ϕ.r2

= (x cos1 ϕ −x sin e2 ϕ) +r1 (x sin1 ϕ +x cos e2 ϕ)r2 (2)

(OM,OM ') (ON,ON ')uuuuruuuur = uuur uuuur = α

và (OM,ON) (OM,OM ') (OM',ON ') (ON ',ON)uuuuruuur = uuuur uuuur + uuuur uuur + uuur uuur

= α +(OM',ON ')uuuur uuur − α =(OM ',ON')uuuur uuur

Do đó: M'N 'uuuuuur2 =(ON ' OM ')uuur uuuur− 2 =ON 'uuur2+OM 'uuuur2 −2ON'.OM'uuuur uuuur

= ON 'uuuur2 +OM'uuuur2 −2ON '.OM '.cos(OM ',ON')uuuur uuuur

= ON 'uuuur2 +OM 'uuuur2 −2ON.OM.cos(OM,ON)uuuur uuur

= (ON OM)uuur uuuur− 2 =MNuuuur2

Vậy M 'N'uuuuuur = MNuuuur hay M'N' = MN mặt khác, chọn hệ tọa độ ơclit trong

đó O là tâm phép quay thì ta có biểu thị tọa độ của phép quay là

2.4.4 Định lí:

Tích hai phép đối xứng trục có hai trục

cắt nhau là một phép quay Ngợc lại mỗi phép

quay đều có thể phân tích thành tích của hai

phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng

MOM" MOM ' M'OM" 2 HOM ' M 'OK= + = + =2HOK = ϕ

Rõ ràng là góc lợng giác ϕ không phụ thuộc vào điểm M Ngoài ra

Đb.Đa(O) = O Vậy Đb Đa là phép quay tâm O, và góc quay ϕ

ΜΟ

Η a

Μ'K

b

Μ"

Ngợc lại, giả sử Q là phép quay tâm O, với góc quay ϕ Lấy hai đờng thẳng

a, b đi qua O sao cho góc (a,b)=ϕ

2 , và gọi Đa và Đb là các phép đối xứng có trục

Giả sử có f = T 0 Đ, trong đó Đ là phép đối

xứng có trục là đờng thẳng d, T là phép tịnh tiến

theo vectơ ur Lấy hai véctơ vr và wr sao cho

C ộ n g

h o à

x

ã

h ộ

i c h ủ

n g h ĩ a

V i ệ

t N a m

Đ ộ

c l ậ

p

- T

ự d

o

- H

ạ n

h p h ú c

-

15Phép đối xứng trục là một trờng hợp riêng của phép đối xứng trợt (khi véctơ của phép tịnh tiến là véctơ không).

Đó chính là phơng trình của phép tịnh tiến theo véctơ b (b ,b )r= 1 2

Trờng hợp 2: Ma trận có dạng (2) khi đó phơng trình phép dời hình có dạng:

Với 0 < ϕ≤π (nếu ϕ = 0 ta có trờng hợp 1)

Trong trờng hợp này phép hình có một điểm kép duy nhất muốn tìm điểm kép ta giải hệ phơng trình:

Nếu ta tịnh tiến mục tiêu sao cho gốc của nó trùng với điểm kép đó thì đối với mục tiêu này phơng trình phép dời hình có dạng:

ộ n g

h o à

x

ã

h ộ

i c h ủ

n g h ĩ a

V i ệ

t N a m

Đ ộ

c l ậ

p

- T

ự d

o

- H

ạ n

h p h ú c

-

Đó là phép quay điểm kép O và góc quay ϕ.

Thật vậy, gọi M' là ảnh của M qua phép dời hình ta có:

Vậy (OM,OM 'uuuur uuuurã ) = ϕ Điều đó chứng tỏ phép dời hình là phép quay tâm O với góc quay ϕ Nh vậy phép dời hình này là tích của một phép tịnh tiến với một phép quay

Trờng hợp 3: Ma trận A của phép dời hình có dạng (3) khi đó phép dời hình có

a) Nếu b1 = b2 = 0 phép dời hình là phép đối xứng qua đờng thẳng x2 = 0

b) Nếu b1 = 0 ta dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn

phép thứ nhất trong hai phép trên là phép đối xứng qua đờng thẳng song

song với trục toạ độ thứ nhất và cách nó một khoảng bằng b2

2 , còn phép thứ hai là phép tịnh tiến theo véctơ b (b ,0)r= 1

Nếu b1 = b2 = 0 thì phép phản chiếu là phép đối xứng qua đờng thẳng Hợp của hai phép biến đổi trên rõ ràng là giao hoán đợc và cách phân tích trên là duy nhất

x" x ' xy" y' y

x '' x 'cos y'sin xy" x 'sin y'cos y

x" x cos ysin x a cos bsiny" x sin ycos y bcos a sin

= ϕ − ϕ + + ϕ − ϕ



 = ϕ + ϕ + + + ϕ



lµ phÐp quay gãc ϕ

Trêng hîp 2: Gi¶ sö Q : x ' x cos ysin x

y' x sin ycos y

0 0

0 0

1

x" x 'cos y'sin x

Q :y" xsin y'cos y

x" x cos( ) ysin( ) x cos y sin x

y" xsin( ) ycos( ) x sin y cos y

Đ2 có trục đối xứng d2 có phơng trình là a'x + b'y + c' = 0 (a'2 + b'2≠ 0)

a 'y" y'

b'2c'y" x 'sin y'cos cos

a 'y" y'

Th× ta cã:

2

csin 2c'x" x cos ysin

:

cy" x sin ycos sin

b'2c'y" x 'sin y'cos cos

Đ 3 ứng dụng phép đẳng Cự trong hình học phẳng

3.1 Dấu hiệu sử dụng phép tịnh tiến.

Không có điểm kép nếu véctơ tịnh tiến khác véctơ không Nếu A là một nghiệm kép của phép tịnh tiến T thì T là phép đồng nhất

Phép tịnh tiến thờng đợc sử dụng đối với các bài toán có các đờng thẳng có phơng trình không đổi Những bài toán xuất hiện các yếu tố song song, nh hình thang, hình bình hành

3.1.1 Bài 1: Cho hình thang ABCD (AD // BC) với ˆA D< ˆ

Suy ra: AA' = BC = DD'

A'C //AB và A'C = AB;

D'C // DB và D'C = DB (1)

Gọi I là trung điểm của AD'

Khi đó, trong ∆ CA'D có ID' = IA

So sánh 2 tam giác ICD và ICA' có ˆI2 <ˆI1

So sánh 2 tam giác ICD' và ICA có CD' < CA

Kết hợp (1) ta suy ra AC > BD

3.1.2 Bài 2 : Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm M chạy trên đờng

tròn đó Cho một đoạn thẳng AB có các nút A và B không nằm trên đờng tròn cho trớc Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM', khi

điểm M chạy trên đờng tròn cho trớc

Giải

Giả sử ta đã có hình bình

hành ABMM' có đỉnh M thuộc

đ-ờng tròn tâm O cho trớc

Ta có MM' BAuuuuur uuur= Điểm M'

là ảnh của M qua phép tịnh tiến

theo véctơ BAuuur Do đó khi M vẽ

trên đờng tròn tâm O,bán kính O'M'

= R Để tìm tâm O' ta cần dựa vào

hệ thức: OO' BAuuuur uuur=

Vậy tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM', khi M chạy trên đờng tròn tâm O cho trớc là đờng tròn ảnh của đờng tròn tâm O qua

phép tịnh tiến theo véctơ v BAr=uuur

3.1.3 Bài 3: Cho hai đờng thẳng d và d' cắt nhau và hai điểm A và B không thuộc

hai đờng thẳng đó (AB không song song với một trong hai đờng thẳng d và d') Hãy tìm một điểm M trên d và một điểm M' trên đờng thẳng d' sao cho tứ giác

ABMM' là một hình bình hành

Giải

Giả sử đã dựng đợc hình bình hành

ABMM' thoả mãn các điều kiện của bài

toán.Ta nhận thấy rằng M' là ảnh của điểm

d'

d"M'