Luận văn sư phạm Các phép đối xứng trong không gian

Hình tròn I,r thƠnh hình tròn I’,r... Ch ng minh r ng: T giác MKNL có hai đ ng chéo vuông góc... Mi n đa giác ph ng thƠnh mi n đa giác ph ng.

L I C M N

Trong quá trình hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy, Em đã nh n đ c s đ ng viên

h ng d n, ch b o t n tình c a th y inh V n Thu , cùng nh ng ý ki n đóng góp

quý báu c a các th y cô trong t Hình h c - Tr ng i h c S Ph m HƠ N i 2

Qua đơy, Em xin g i l i c m n chơn thƠnh vƠ sơu s c nh t t i th y inh V n

Thu – ng i đã tr c ti p h ng d n vƠ ch b o em trong su t quá trình lƠm khoá

lu n ng th i em c ng xin bƠy t lòng bi t n chơn thƠnh t i các th y cô trong t

Hình h c đã giúp đ em hoƠn thƠnh khoá lu n này

HƠ N i, ngƠy 04 tháng 5 n m 2008

Sinh viên th c hi n

inh Th H i Y n

L i cam đoan

Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a quá trình h c t p, nghiên c u c a tôi

d i s ch b o, dìu d t c a các th y cô giáo, đ c bi t lƠ s h ng d n nhi t tình

c a th y inh V n Thu

Tôi xin cam đoan khoá lu n t t nghi p v i đ tƠi : “các phép đ i x ng trong

không gian.” Không có s trùng l p v i các khoá lu n khác

A – M đ u

1 Lí do ch n đ tƠi

B môn hình h c có m t v trí quan tr ng trong Toán h c, theo quan đi m

c a Toán h c hi n đ i, hình h c lƠ m t môn khoa h c nghiên c u các tính ch t c a

các hình b t bi n đ i v i nhóm phép bi n hình nƠo đó c a không gian hình h c

Tuy v y, trong ch ng trình Toán ph thông, hình h c lƠ m t trong nh ng môn

khoa h c khó Các khái ni m, các đ nh ngh a, đ nh lí v phép bi n hình đ c đ c p

trong ch ng trình sách giáo khoa l p 11 nh m cung c p cho h c sinh m t ph ng

ti n đ gi i quy t m t l p các bƠi toán trong hình h c, tuy nhiên vi c gi i toán nh

phép bi n hình ph thông ch m i gi i h n trong m t ph ng ch a đ c m r ng

trong không gian Trên th c t vi c v n d ng các phép bi n hình gi i quy t các bƠi

toán trong không gian nhi u khi đem l i hi u qu cao, giúp h c sinh tránh đ c

m t s sai l m, ng nh n khi gi i b ng ph ng pháp thông th ng, đ ng th i nơng

cao n ng l c t ng quát hoá, t ng t hoá cho h c sinh đem l i nhi u h ng thú h c

t p, tìm tòi, nghiên c u khoa h c cho h c sinh

lƠm sáng t thêm ph n nƠo đó v phép bi n hình trong ch ng trình Toán

ph thông nên Tôi đã ch n đ tƠi : “ Các phép đ i x ng trong không gian.”

2 M c đích nghiên c u

Nghiên c u trình bƠy h th ng v các phép đ i x ng qua các m- ph ng trong

không gian Euclid 3 chi u.s d ng các phép đó trong vi c gi i quy t các bài toán

4 Nhi m v nghiên c u

- Trình bƠy c s lí thuy t

- Nghiên c u các ki n th c c b n v phép đ i x ng trong không gian

- Xơy d ng h th ng ví d vƠ bƠi t p minh ho

5 Ph ng pháp nghiên c u

Ph ng pháp nghiên c u lí lu n, nghiên c u Sách giáo khoa, Sách tham kh o

vƠ các tƠi li u có liên quan đ n n i dung đ tƠi

Nh v y cho m t phép bi n hình f: P  P lƠ cho m t quy t c đ v i b t kì

đi m M  P, ta tìm đ c m t đi m M’ = f(M) hoƠn toƠn xác đ nh tho mãn hai đi u

ki n:

- N u M, N lƠ hai đi m phơn bi t c a P thì f(M), f(N) lƠ hai đi m phơn bi t

c a P

- V i m t đi m M’P bao gi c ng có m t đi m M  P sao cho f(M) = M’

i m f(M) đ c g i lƠ nh c a đi m M qua phép bi n hình f Ng c l i

đi m M đ c g i lƠ t o nh c a đi m f(M) qua phép bi n hình f nói trên Ng i ta

nói phép bi n hình f bi n đi m M thƠnh đi m f(M) vƠ ta có : f(M) = M’

Trong m t ph ng cho đi m O c đ nh Phép bi n hình bi n m i đi m O thƠnh

chính nó, bi n m i đi m M khác O thƠnh đi m M’ sao cho O lƠ trung đi m c a

đo n th ng MM’ đ c g i lƠ phép đ i x ng tơm O i m O đ c g i lƠ tơm c a

phép đ i x ng đó, vƠ lƠ đi m b t đ ng duy nh t c a phép đ i x ng tơm O, kí hi u

O

+ Ví d 1.2:

- Cho đ ng th ng   P

Phép bi n hình bi n m i đi m M thu c  thƠnh chính nó, bi n m i M không

thu c  thƠnh M’ sao cho  lƠ đ ng trung tr c c a đo n th ng MM’ đ c g i lƠ

2 Tích hai ( hay nhi u ) phép bi n hình

Trong hình h c ta th ng ph i th c hi n nhi u phép bi n hình liên ti p nhau

- Ta l u ý lƠ phép bi n hình h = g.f lƠ k t qu c a hai phép bi n hình liên

ti p l y theo th t phép bi n hình f tr c vƠ phép bi n hình g sau

Nói chung tích ( f.g ) vƠ ( g.f ) lƠ hai phép bi n hình khác nhau

(M’) Theo đ nh ngh a c a phép t nh ti n

Ta có: (Tv ) (N) = N”

G i N1 = Tv(N)

N2 = (N1)

Ta có: ( .Tv) (N’) = N2

Nói chung ta có N”N2 nên Tv   .Tv

Nh v y tích các phép bi n hình nói chung lƠ không có tính ch t giao hoán

3 Phép bi n hình đ o ng c

Cho phép bi n hình f: P  P

Mf(M) = M’,  M  P

Vì f lƠ m t song ánh nên v i m i đi m M’ thí có m t vƠ ch m t đi m M mƠ

thôi, nên M = f-1(M’) c ng lƠ m t phép bi n hình vƠ g i lƠ phép bi n hình đ o

 T-1v = Tv

4 Phép bi n hình có tính ch t đ i h p

Cho m t phép bi n hình f bi n đi m M thƠnh M’, sau đó n u ta th c hi n ti p

theo phép bi n hình f đó đ i v i đi m M’ vƠ gi s f(M’) = M”

Ch ng 2: các phép đ i x ng trong không gian

Bài 1: Phép đ i x ng qua tâm

1 nh ngh a :

Cho tr c m t đi m O, v i m i đi m M  0 ta xác đ nh đi m M’ sao cho

'

OM  OM N u M  O thì M '  O Khi đó ta nói M’ lƠ nh c a M trong phép đ i

x ng qua tơm O ( ho c đ i x ng tơm O ) vƠ đ c kí hi u lƠ 0 : M  M ' i m O

 Tính ch t 4: N u A, B, C, D lƠ 4 đi m cùng n m trong m t m t ph ng vƠ

A’, B’, C’, D’ lƠ các nh t ng ng c a các đi m đó trong phép bi n đ i 0

thì 4 đi m A’, B’, C’, D’ cùng n m trong m t ph ng

* H qu Phép bi n đ i (d)bi n:

i) M t ph ng (P) thƠnh m t ph ng (P’) vƠ    P ฀ P ' ho c (P’) trùng v i

(P) N u O thu c (P) thì OlƠ phép đ i x ng qua tơm O xác đ nh trong

(P)

ii) N a m t ph ng (P) thƠnh n a m t ph ng (P’) vƠ    P ' ฀ P ho c (P’)

vƠ (P) l p thƠnh m t m t ph ng

iii) Nh di n (P,Q) thƠnh nh di n (P’, Q’) vƠ s đo các góc ph ng c a 2

nh di n b ng nhau

iv) M t c u (I,R) thƠnh m t c u (I’,R); hình nón (N) thƠnh hình nón (N’)

có bán kính đáy vƠ đ dƠi đ ng sinh b ng các y u t t ng ng c a

(N); hình tr (T) thƠnh hình tr (T’) có bán kính đáy vƠ đ dƠi đ ng

ABB’A’, BCC’B’… đ c chuy n thƠnh C’D’DC,

D’A’AD … nh c a m t đi m thu c (H) s lƠ đi m thu c (H)

Qua ví d trên ta bi t r ng giao đi m các đ ng chéo c a hình h p chính là

tâm đ i x ng c a nó V y hình h p có bao nhiêu tâm đ i x ng? tr l i cho

câu h i này ta xét ti p ví d sau:

Ta xét thi t di n c a hình h p đi qua 3 đi m X, X’, X” Thi t di n đó lƠ m t

đa giác nh n O, O’ lƠ tơm đ i x ng Ta bi t r ng m t đa giác ph ng b t kì có

không quá m t tơm đ i x ng Mơu thu n đó ch ng t O vƠ O’ trùng nhau

Khác v i trong m t ph ng, trong không gian chúng ta đ c bi t thêm m t

khái ni m m i đó là khái ni m v hai đ ng th ng chéo nhau V y khi cho

tr c hai đ ng th ng chéo nhau (x), (y) li u có t n t i m t phép đ i x ng qua

tâm bi n đ ng th ng này thành đ ng th ng kia? tr l i cho câu h i này

ta xét ti p ví d sau:

 Ví d 1.3:

Cho hai đ ng th ng chéo nhau (x), (y) Ch ng minh r ng không t n t i m t

phép đ i x ng qua tơm bi n đ ng th ng nƠy thƠnh đ ng th ng kia

L i gi i:

G i O lƠ tơm c a phép đ i x ng đó, (x’) lƠ nh c a (x) qua phép đ i x ng

tơm O Khi đó    x ' ฀ x G i (P) lƠ m t ph ng ch a (x) vƠ (x’)

Vì (y) chéo nhau v i (x) nên (y) không n m trong (P), do đó (y) vƠ (x’)

không th trùng nhau

V y không t n t i m t phép đ i x ng qua tơm bi n (x) thƠnh (y)

 Ví d 1.4:

Cho m t ph ng (P) vƠ b n đi m A, B, C, D.V i m i đi m M  P ta xác

đ nh đi m N theo công th c:

MA MB MC      MD  2MN

Tìm t p h p đi m N khi M bi n thiên trong (P)

L i gi i:

G i G lƠ tr ng tơm c a b n đi m đã cho

V i M b t kì thu c (P), theo tính ch t c a tr ng tơm ta có:

Cho 4 đi m A, B vƠ C, D l n l t n m trên các đ ng th ng chéo nhau (x),

(y) Hãy d ng m t hình h p sao cho các đo n th ng AB vƠ CD lƠ hai đ ng

chéo thu c hai m t song song c a hình h p

G i I, J l n l t lƠ trung đi m c a AB vƠ CD G i O lƠ trung đi m c a

đo n IJ Khi đó phép đ i x ng qua tơm O,

0:A  B '

' ' '

+ D ng trung đi m O c a IJ

+ D ng B’ lƠ nh c a A qua phép đ i x ng tơm O

+ D ng A’ lƠ nh c a B qua phép đ i x ng tơm O

+ D ng D’ lƠ nh c a C qua phép đ i x ng tơm O

+ D ng C’ lƠ nh c a D qua phép đ i x ng tơm O

Khi đó hình h p AD’BC’A’DB’C lƠ hình c n d ng

* Ch ng minh:

Theo cách d ng ta có: 0:A  B '

' ' '

L i gi i:

Do đ ng th ng (d’) đ i x ng v i (d) qua I nên    d ' ฀ d vƠ (d’) đi qua

M’(x1; y1; z1) lƠ nh c a đi m M(x0; y0; z0) qua tâm I (a;b;c)

Theo đ nh ngh a ta có: IM '   IM suy ra:

2 2 2

 1,1 - Ch ng minh r ng: Phép bi n đ i 0 bi n 2 đ ng th ng chéo nhau

thƠnh 2 đ ng th ng chéo nhau

 1.2 - Ch ng minh r ng: Phép bi n đ i 0bi n m t t di n đ u thƠnh m t t

di n đ u có c nh b ng c nh t di n ban đ u

 1.3 - Ch ng minh r ng: M t hình t di n không th có tơm đ i x ng

 1.4 - Ch ng minh r ng: M t hình chóp không có tơm đ i x ng

 1.5 - Ch ng minh r ng: N u m t hình đa di n (T) có tơm đ i x ng, thì s

m t vƠ s c nh c a (T) lƠ ch n

 1.6 - Ch ng minh r ng: N u m t hình m t hình l ng tr mƠ đáy có tơm đ i

x ng thì l ng tr đó có tơn đ i x ng

 1.7 - Cho m t c u (O), m t m t ph ng (P) vƠ đi m Q không thu c (P) vƠ

không n m trên m t c u Tìm t p h p đi m M thu c m t c u sao cho t n t i

trong (P) đi m M’ đ i x ng v i M qua Q

 1.8 - Cho m t ph ng (P), (Q) vƠ đi m O không n m trên c hai m t ph ng

đó Tìm M  P ,N  Q sao cho O lƠ trung đi m c a MN

 1.9 - Cho m t c u (O) vƠ 4 đi m A,B,C,D V i m i đi m M thu c m t c u,

ta xác đ nh đi m N theo công th c:

2 MA 3 MB 4 MC 5 MD 7 MN

Tìm t p h p đi m N, khi M bi n thiên trên m t c u

 1.10 - Cho hai m t c u ti p xúc ngoƠi v i nhau t i A Hãy d ng m t m t

ph ng đi qua A c t đ ng th i hai m t c u đó thƠnh hai đ ng tròn có bán

Bài 2: phép đ i x ng qua m t đ ng th ng.

1 nh ngh a :

Cho tr c m t đ ng th ng (d), v i m i đi m M  0 ta xác đ nh đi m M’

sao cho (d) lƠ đ ng trung tr c c a đo n th ng MM’.N u M thu c (d) thì M’ chính

lƠ M Khi đó ta nói M’ lƠ đi m đ i x ng v i M qua (d) ho c M’ lƠ nh c a M qua

phép đ i x ng đó vƠ đ c kí hi u lƠ (d) : M  M '

ng th ng (d) đ c g i lƠ tr c đ i x ng N u quy t c đó đ c xác đ nh

cho m i đi m trong không gian, thì ta có m t phép đ i x ng qua m t đ ng th ng

(d) trong không gian

Cho m t hình  H T p h p nh c a m i đi m thu c  H qua phép bi n đ i

i) Ba đi m th ng hƠng thƠnh ba đi m th ng hƠng

ii) ng th ng   thƠnh đ ng th ng   ' ; tia Ox thƠnh tia O’x’; đo n

AB thƠnh đo n A’B’ vƠ AB = A’B’; góc ฀xOy thành góc ฀' ' ' x O y và xOy฀

= x O y ฀' ' '

iii) M t c u (O,R) thƠnh m t c u (O’,R)

 Tính ch t 4: Phép bi n đ i (d)bi n 4 đi m cùng n m trong m t m t ph ng

thƠnh 4 đi m cùng n m trong m t m t ph ng

* H qu : Phép bi n đ i (d)bi n:

i) M t m t ph ng (P) thƠnh m t m t ph ng (P’) vƠ (P) trùng v i (P’),

khi (d) thu c (P) ho c    P ฀ P ' , khi (d) không thu c (P) N a m t

ph ng thƠnh n a m t ph ng Mi n đa giác l i thƠnh mi n đa giác l i

Hình tròn (I,r) thƠnh hình tròn (I’,r)

ii) Góc nh di n bi n thƠnh m t góc nh di n vƠ s đo các góc ph ng c a

2 nh di n đó b ng nhau

iii) Hình nón (N) thƠnh hình nón (N’) vƠ 2 hình nón đó có đ dƠi đ ng

sinh b ng nhau, bán kính đáy b ng nhau; hình tr (T) thƠnh hình tr

(T’) có đ dƠi đ ng sinh b ng nhau, bán kính đáy b ng nhau

b G i O lƠ trung đi m c a đo n MN Ch ng minh r ng: V i đi m K

n m trong t di n, ta có: KA+KB+KC+KD  OA+OB+OC+OD

L i gi i:

a) Do ABCD lƠ t di n đ u nên ta có: CAB   DBA  CM  DM

Xét  CMD Có: CM  DM VƠ N lƠ trung đi m c a CD  MN  CD

T ng t ta có: MN  AB

V y MN lƠ đ ng trung tr c c a AB vƠ CD, hay MN lƠ tr c đ i x ng c a

t di n ABCD

b) G i K’ lƠ đi m đ i x ng c a K qua MN

Cho 2 đ ng th ng (x), (y) c t vƠ vuông góc v i nhau t i O

Ta đ t = (y)  (x) Ch ng minh r ng lƠ phép đ i x ng qua m t đ ng

th ng (z), trong đó (z) vuông góc v i m t ph ng ch a (x) vƠ (y) t i O

L i gi i:

Ta tìm đ ng th ng b t đ ng c a

G i (z) lƠ đ ng th ng b t đ ng c a vƠ M lƠ đi m b t kì thu c (z)

Theo đ nh ngh a (x):M  M ', khi đó MM’ vuông góc v i (x) t i trung đi m

c a nó

(y):M '  M, khi đó M’M vuông gócv i (y) t i trung đi m c a nó

V y (x) vƠ (y) cùng đi qua trung đi m c a MM’ vƠ vuông góc v i MM’

i u đó ch ng t giao đi m O c a (x) vƠ (y) lƠ trung đi m c a MM’ và MM’

vuông góc v i m t ph ng ch a (x) vƠ (y) Suy ra MM’ chính lƠ đ ng th ng (z)

Gi s X lƠ đi m b t kì không thu c (z), X’ lƠ nh c a X qua phép bi n đ i

(x), khi đó, XX’ vuông góc v i (x) t i trung đi m H c a nó

X’’ lƠ nh c a X’ qua phép bi n đ i (y), khi đó X’X’’ vuông góc v i (y) t i

trung đi m K c a nó Ta c n ch ng minh (z) lƠ đ ng trung tr c c a XX’

G i I lƠ giao đi m c a đ ng th ng k qua X’ vƠ song song v i (z) Hi n

nhiên m t ph ng IXX '  ฀ y và IX X ' ''  ฀ x , do đó t giác OHIK lƠ hình ch

nh t

G i N lƠ trung đi m c a XX’’, khi đó X’N đi qua giao đi m các đ ng chéo

c a hình ch nh t OHIK vƠ nh n giao đi m đó lƠm trung đi m

Ta d ng m t ph ng (P) đi qua MM’ vƠ (d) Khi đó (P) c t t di n theo m t

thi t di n tam giác có m t đ nh lƠ A Vì (d) c ng lƠ tr c đ i x ng c a (P) nên

(d) lƠ tr c đ i x ng c a thi t di n Thi t di n tam giác có tr c đ i x ng đi qua

đ nh A, thì tam giác đó cơn t i A V y đ ng th ng (d) vuông góc v i m t

ph ng (BCD) t i H

Do (d) lƠ tr c đ i x ng c a tam giác BCD, không n m trong m t ph ng ch a

tam giác đó, nên H lƠ tơm đ i x ng c a tam giác đó i u nƠy không th x y ra,

vì tam giác không có tơm đ i x ng

 Ví d 2.4:

Ch ng minh r ng n u m t hình l ng tr tam giác có tr c đ i x ng thì l ng

tr đó có c nh bên vuông góc v i đáy

L i gi i:

Ta kí hi u ABCA’B’C’ lƠ hình l ng tr có tính ch t đã nêu trong bƠi toán

AA ' ฀ BB ' ฀ CC 'vƠ (d) lƠ tr c đ i x ng c a nó

Hi n nhiên (d) không th n m trong m t ph ng đáy l ng tr , ch ng h n (d)

thu c m t ph ng (ABC), vì các đ nh A’, B’, C’ n m trong m t ph ng song song

v i (ABC) nên nh c a chúng khác phía v i m t ph ng (A’B’C’) vƠ không thu c

l ng tr

Ta c ng th y (d) không cát đáy c a l ng tr , vì n u (d) c t (ABC) t i O, thì

nh c a m i c nh bên lƠ m t c nh bên, suy ra (d) ph i thu c m t m t bên i u

đó không th x y ra

V y (d) song song v i đáy c a l ng tr Phép đ i x ng qua (d) bi n m t

ph ng (ABC) thƠnh (A’B’C’), m t bên ch a A thƠnh m t bên ch a A’, vì v y A

T gi thi t c a bƠi toán ta suy ra m t ph ng ch a hình bình hƠnh song song

v i AB vƠ CD Vì IK  AB và IK  CD nên IK MNPQ

M t khác các đ ng trung bình c a t giác MNPQ c t IK, dó đó giao đi m

các đ ng trung bình thu c IK

V y IK đi qua tơm đ i x ng c a t giác MNPQ ó lƠ đi u ph i ch ng minh

 Ví d 2.6:

Cho m t ph ng (P) vƠ 2 đ ng th ng (x), (y) chéo nhau không thu c (P)

Hãy tìm trong (P) đi m A vƠ trên (y) đi m B sao cho (x) lƠ đ ng trung tr c c a

đo n AB

L i gi i:

* Phân tích :

Gi s đã tìm đ c đi m A trong m t ph ng (P) vƠ đi m B trên (y) tho mãn

(x) lƠ đ ng trung tr c c a đo n AB

Khi đó, (x): B  A

     y  y '  P

* Cách d ng :

- D ng nh (y’) c a (y) qua phép

bi n đ i (x) Giao đi m c a (y’) và

(P) ( n u có ) lƠ A

- D ng B lƠ nh c a A qua phép

bi n đ i (x)

* Ch ng minh :

Theo cách d ng vƠ theo tính ch t c a phép bi n đ i (x)

Ta có: (x) lƠ đ ng trung tr c c a AB vƠ A  P ; B  y

* Bi n lu n :

- N u    y ' ฀ P , suy ra bƠi toán vô nghi m hình

 Ví d 2.7:

Cho hình h p ch nh t ABCDA’B’C’D’

Trên đo n AC vƠ B’D’ ta l y l n l t các

đi m M, N sao cho AM = D’N Tìm t p h p

trung đi m c a đo n MN khi M, N bi n

Theo gi thi t: AM = D’N, do đó M’ và N trùng nhau

V y trung đi m c a đo n MN thu c IJ

* Bi n lu n :

- N u AC = B’D’ thì t p h p c n tìm lƠ đo n IJ

- N u ACB’D’ thì t p h p c n tìm lƠ m t t p h p con thu c đo n IJ

M x y z đ i x ng v i M vƠ M1 qua Ox

G i H vƠ H’ l n l t lƠ hình chi u c a M0 và M1 trên Ox

 2.1 - Cho t di n ABCD có AC = AD = BC = BD G i M, N l n l t lƠ

trung đi m các c nh AB vƠ CD Trên c nh AC l y đi m K M t ph ng

đi qua K, M, N c t BD t i L

Ch ng minh r ng: T giác MKNL có hai đ ng chéo vuông góc

 2.2 - Ch ng minh r ng n u m t hình chóp có tr c đ i x ng đi qua đ nh,

thì đáy c a hình chóp lƠ m t đa giác có s ch n c nh

 2.3 - Ch ng minh r ng m t hình h p ch nh t có không quá 3 tr c đ i

x ng

 2.4 - Cho t di n đ u ABCD vƠ m t hình l p ph ng MNPQM’N’P’Q’

n i ti p trong t di n sao cho các c nh NP, MQ n m trong các m t

ACD, BCD; Các c nh N’M’ và P’Q’ n m trong các m t ABD vƠ CBD

Ch ng minh r ng tơm c a 2 hình vuông MNPQ vƠ M’N’P’Q’ n m trên

tr c đ i x ng c a t di n

 2.5 - Cho đ ng th ng (d) vƠ đi m A không thu c (d) Hãy d ng m t t

di n đ u có m t đ nh lƠ A vƠ đ ng th ng (d) đi qua trung đi m hai

c nh chéo nhau c a t di n

 2.6 - Cho l ng tr đ ng ABCA’B’C', có đáy lƠ tam giác cơn

ABCAB  AC Trên các c nh AC vƠ A’B' ta l y các đi m t ng ng

M và M’ sao cho AM = A’M’ Tìm t p h p trung đi m c a đo n MM’

 2.7 - Cho hình chóp SABCD có đáy lƠ hình bình hƠnh ABCD vƠ các c nh

bên SA = SC, SB = SD G i M, N l n l t lƠ trung đi m các c nh SA

vƠ SC Trên đo n BM vƠ DN ta l y các đi m t ng ng K vƠ H sao cho

 2.10 Tìm nh c a đi m M1, 0, 4   qua phép bi n đ i (d), trong đó (d) có

ph ng trình tham s : x  t y ;  t z ;  t

1 nh ngh a:

- Cho tr c m t m t ph ng (P) V i

m i đi m M không thu c (P) ta xác đ ng

đi m M’ sao cho (P) lƠ m t ph ng trung

tr c c a đo n MM’ N u M thu c (P) thì

M’ chính lƠ M Khi đó ta nói M’ chính lƠ

đi m đ i x ng c a M qua (P) hay M’ lƠ

- Cho m t hình (F) T p h p nh c a m i đi m thu c (F) qua phép bi n đ i

(P)l p thƠnh m t hình (F’) lƠ nh c a hình (F) N u (F) vƠ (F’) trùng nhau thì

iii) M t c u (I, R) thƠnh m t c u (I’, R)

 Tính ch t 4: Phép bi n đ i (p)bi n đi m cùng n m trong m t ph ng thƠnh

b n đi m cùng n m trong m t m t ph ng

* H qu Phép bi n đ i (P)bi n:

iv) M t ph ng (Q) thƠnh m t ph ng (Q’) vƠ hai m t ph ng đó song song ho c c t nhau theo m t giao tuy n trên (P) N a m t ph ng thƠnh

n a m t ph ng Mi n đa giác ph ng thƠnh mi n đa giác ph ng Nh di n

thƠnh m t nh di n vƠ s đo các góc ph ng c a chúng b ng nhau

a G i M lƠ trung đi m c a AB M t ph ng đi qua M vƠ CD chính lƠ m t

ph ng trung tr c c a AB M t ph ng đó bi n A thƠnh B, Bi n C, D thƠnh chính

Vì K lƠ đi m b t kì trong tam

giác ACD nên BK  BH

E lƠ giao đi m c a BK v i

m t ph ng đ i x ng nên AE =

BE

 EA+ EK =EB + EK= BK  BH= AB. 2

3 ó lƠ đi u ph i ch ng minh