Về k thể tích trong không gian ơclit en

Trong các giáo trình củamôn học “Không gian Ơclit”, các công thức tính thể tích của các vật thể đơn giản nh hộp, đơn hình trong không gian có số chiều lớn hơn 3, đợc đa ra sử dụng cótính

Lời nói đầu

Thể tích là một nội dung rất quan trọng, nó đợc đề cập rất nhiều trong sáchgiáo khoa phổ thông và giáo trình toán học ở Đại học Trong các giáo trình củamôn học “Không gian Ơclit”, các công thức tính thể tích của các vật thể đơn giản

nh hộp, đơn hình trong không gian có số chiều lớn hơn 3, đợc đa ra sử dụng cótính chất áp đặt Tuy nhiên với n=1,2,3 thì vấn đề độ dài, diện tích, thể tích đã đ-

ợc xây dựng một cách chặt chẽ (xem tài liệu tham khảo [2]) Khoá luận nàynhằm mục đích xây dựng khái niệm thể tích trong không gian hữu hạn chiều En

của hộp và đơn hình, chứng minh sự tồn tại của thể tích trong En và các tính chấtcủa nó, chứng minh các công thức tính thể tích của hộp, thể tích của đơn hình vàmối liên hệ giữa chúng

Khoá luận đợc trình bày theo 3 mục:

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận không tránhkhỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý, chỉ bảo của thầy cô và các bạn Tôixin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 05 năm 2003

Sinh viên: Nguyễn Thị Kim Thuý

Đ 1 Khái niệm K- thể tích 1.1 Định nghĩa.

Cho (m+1) điểm độc lập P0, P1, , Pm Tập hợp các điểm M sao cho

đợc gọi là m-hộp Ký hiệu m - hộp nói trên là H(P0, P1, , Pm)

 

, i=1,2,…,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P0,P1, ,Pm) gọi

 m-hộp H(P0, P1, , Pm) có m cặp đáy đối diện Thật vậy mỗi một (m-1)-hộp

Hi=H(P0, P1, ,Pi-1,Pi+1,…,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P,Pm), i=1,2,…,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P,m là một đáy của H(P0, P1, , Pm) Hơn

nữa ảnh của Hi qua phép tịnh tiến theo véc tơ   

Mỗi một điểm K[MN] khi và chỉ khi MK  MN

m

i 0 m

1.3 Xây dựng khái niệm k-thể tích.

Cho hình bị chặn  trong Ek Xuất phát từ một hình k- lập phơng đơn vị(cơ sở)  ta xây dựng một dàn k- lập phơng bằng những (k-1) phẳng song songvới các (k-1) mặt bên của hình k-lập phơng đơn vị và cách các (k-1) - mặt bên đónhững khoảng cách bằng những bội số của cạnh Khi đó ta tạo nên một lới k - lậpphơng mà ta sẽ gọi là lới của bớc chia thứ nhất

Gọi n1 là số hình k - lập phơng của bớc chia thứ nhất hoàn toàn nằm tronghình 

Gọi N1 là số hình k- lập phơng của bớc chía thứ nhất có ít nhất 1 điểm củahình 

 Ta chia mỗi cạnh của hình k- lập phơng đơn vị làm 10 phần bằng nhau và dựngqua các điểm chia ấy những (k-1) - phẳng song song với các (k-1) - mặt bên củacơ sở Khi đó hình k- lập phơng đơn vị ban đầu đợc chia làm 10k hình k- lập ph-

ơng bằng nhau Dùng một trong các hình k-lập phơng đó và cũng bằng cách trên

ta sẽ tạo nên lới của bớc chia thứ hai các hình k-lập phơng

Chia mỗi cạnh của các hình k-lập phơng ở bớc chia thứ hai làm 10 phầnbằng nhau ta lại tạo tiếp lới của bớc chia thứ ba,

Gọi n2 , n3, tơng ứng là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ 2, thứ 3, hoàn toàn thuộc hình 

Gọi N2, N3, tơng ứng là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ 2, thứ 3, chứa ít nhất 1 điểm của hình 

Khi đó các số: n1, 2 3 2

) 10 (

,

10k k

n n

, (I) gọi tơng ứng là xấp xỉ thiếu thứ nhất,thứ hai, thứ ba, với k- thể tích hình 

Còn các số N1, 2 3 2

) 10 (

,

10k k

n n

(II) gọi là xấp xỉ thừa thứ nhất, thứ hai, thứ

ba, với k - thể tích hình 

Rõ ràng: ni+1  10k ni; Ni+1  10k Ni

) 10 (

) 10 (

n n

n

i

k i k

) 10 (

) 10 (

n n

n

i

k i k

k      

) 10 (

lim





 k i i i

n

) 10 (

lim





 k i i i

N

) 10 (



 k i i i

n

) 10 (



 k i i i

n N

= 0,

) 10

1.4 Các tính chất của k - thể tích.

1.4.1 Tính cộng tính.

Nếu hình  là hợp của một số hữu hạn các hình khả thể 1, 2, , l, đôimột không có điểm trong chung thì hình  cũng khả thể và V() = V() +V() + + V(l)

10 (

) 10 ( )

10

) ( 1

) 1 (

l i i

k i i

Víi n[i] lµ sè h×nh k-lËp ph¬ng cña bíc chia thø i n»m hoµn toµn trong h×nh

 vµ bÞ c¸c biªn giíi cña c¸c h×nh j c¾t

DÔ thÊy: n[i]  (i1) (i2)  i l) (v× trong c¸c sè ( j i ) còng cã c¶ nh÷ng h×nh lËp ph¬ng c¾t biªn giíi cña h×nh  )

) 10 (

) ( )

2 ( ) 1 (

) 2 ( 1

) 1 (

1 lim( 10 ) lim( 10 ) lim( 10 ) )

i k i

i k i

i

k i

i

n n

n n

Từ cơ sở  ta xây dựng một dàn k- lập phơng tơng tự nh cách xây dựngkhái niệm k- thể tích.

Gọi ni, ni' lần lợt là số hình k - lập phơng của bớc chia thứ i hoàn toànthuộc hình A và hình B

) 10 (



 k i i i

n

) 10 (

' lim





 k i i i

n

Theo giả thiết hình A nằm trong hình B nên ni < ni'

) 10 (



 k i i i

n

) 10 (

' lim





 k i i i

Từ cơ sở  ta xây dựng lới các hình k-lập phơng của hình 

Giả sử hình  chứa hình k-lập phơng của bớc chia thứ i và bị phủ bởi Ni hình lập phơng của bớc chia đó

Ta dời cơ sở  (cùng toàn bộ lới chia ) cũng qua phép tịnh tiến Tv ta đợc cơ sở

' Gọi ni , Ni tơng ứng là số hìnhk-lập phơng của bớc chia thứ i của lới đợcchuyển dời hoàn toàn nằm trong ' và có ít nhất một điểm của hình '

Rõ ràng ni = n'i , Ni = N'i hay V()  = V(') '

Khi đó bài toán đa về chứng minh V(')  = V(') '

Từ hai cơ sở  và ' ta lập hai lới k-lập phơng L1, L2 của hình ' Do ' là ảnhcủa  qua Tv nên các (k-1) - mặt bên của  và ' tơng ứng và song song với

nhau Do đó ở bớc chia thứ i nếu hai k- lập phơng của hai lới L1, L2 có điểm

chung thì khoảng cách giữa hai (k-1) - mặt bên song song gần nhau nhất luôn bé

1 lim 1

Trờng hợp 1 Nếu v song song với một cạnh

của đ1, không mất tính tổng quát ta giả sử v

song song với P0P1

a) Nếu v= P0P1 với  < 1 (tức điểm

P'0 hoặc điểm P'1 nằm trên cạnh P0P1)

Ta chứng minh T P0P1 (H\H') = H'\H

Giả sử M  H\H'

Gọi  là đờng thẳng qua M song song với v

 cắt (k-1) - mặt bên (P0 , P2, …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk+1) của hộp H và đáy đối diện của nó tại I và I'

 cắt (k-1) - mặt bên (P'0, P'2, …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk+1) và đáy đối diện của nó tại J và J'

J' I'

] ' [ '

JJ M

II M



 ' '

'

H M

H M

 M'  H'\H

 Nếu  < 0 thì M  [I'J']

Chứng minh tơng tự ta có M'  H'\H

Dễ thấy T P0P1 là song ánh từ H\H' lên H'\H

Do tính chất cộng tính của Vk và tính bất biến qua phép tịnh tiến của Vk nên:

Vk + 1(H) = Vk + 1(H\H') + Vk + 1(H  H')

= Vk + 1(H'\H) + Vk + 1(H  H')

= Vk + 1(H')

b) Nếu v = P0P1 với  bất kỳ

Trong trờng hợp này ta tìm số nguyên dơng n sao cho  1

= .P0P1

n

 Thực hiện n lần phép tịnh tiến theo v' thì đ1 biến thành đ2

áp dụng trờng hợp a) ta suy ra V(H) = V(H')

Trờng hợp 2: Với v là vectơ bất kỳ

Khi đó ta phân tích v= P0P0' = v1 + …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P+ vk

Trong đó visong song với cạnh P0Pi, i = 1, 2, …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, k

áp dụng trờng hợp 1 ta suy ra V(H) = V(H') Điều phải chứng minh

J M' I J' M I'

chứa B1 Theo chứng minh trên, tồn tại hai k- hộp H'1,

H'2 có chung cạnh MN' e có tính chất sau: H1 và

H'1 có chung đáy B1 còn đáy B''1 của H'1 đối diện

với B1 thuộc (k-1)- phẳng qua N và song song với

(k-1)- phẳng chứa B1 H2 và H'2 có chung đáy B2 còn đáy B''2 của H'2 đối diện với

B2 thuộc (k-1)- phẳng qua N và song song với (k-1)- phẳng chứa B2 Rõ ràng B1=

B2 và B''1 = B''2

Trong các dàn (k-1) - phẳng song song với các (k-1) - mặt bên của  ta xétcác (k-1) - phẳng song song với MN' (tức là song song với cạnh e của ), chúngcắt (k-1) - phẳng qua B1, B2 theo các khối bằng nhau (vì chúng là ảnh của nhauqua phép tịnh tiến)

Giả sử B1 và B2 chứa ni, n'i các khối nh vậy ở bớc chia thứ i

Ta có: B1, B2 là hai (k-1) - lập phơng bằng nhau và đó là các (k-1) - lập phơngcùng nằm trong Ek-1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

Vk-1(B1) = Vk-1(B'1)  i

i i

Ta có H1', H2' chứa các k - lăng trụ (tức là các khối có các cạnh bên song song với

e và hai đáy là các khối nằm trong hai (k-1) - phẳng song song với nhau) Đáy củamỗi một lăng trụ là giao của B1, B2 với dàn (k-1) - phẳng nói trên

k

1

j ) (L lim

k i

i

) (L' V lim

Trong đó Lj , L'j là mỗi lăng trụ nói trên tơng ứng nằm trong H'1, H'2

(Do các Lj , L'j , j =1,2,…,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P là ảnh của nhau qua phép tịnh tiến nên thể tích Vk củachúng (đối với cơ sở ) bằng nhau )

i i

Gọi hai k - lập phơng đã cho là H(P0, P1, …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk) và H(P0, P1', …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk' )

(k-1) - phẳng  qua P0 và vuông góc với P0P1' cắt (k-1)- phẳng xác định bởi (P0,

P2, …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk) theo (k-2) - phẳng Suy ra tồn tại đờng thẳng d qua P0, d  

Quay H(P0, P1', …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk' ) quanh P0P1' cho cạnh P0P2' tới vị trí P0P2  d.Khi đó H(P0, P1', …,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P, Pk' ) biến thành H(P0,P1' ,P2, ,P k ) có chung cạnh P0P1'nên có k - thể tích bằng nhau

Do P0P1 và P0P1' cùng vuông góc với P0P2 (vì P0P2  d) nên tồn tại phépquay quanh P0P2 sao cho H(P0,P1' ,P2, ,P k ) biến thành H(

k P P

1.4.6 Nhận xét (Đây chính là tính bất biến của k - thể tích).

Nếu một hình  khả thể đối với cơ sở  thì nó cũng khả thể đối với cơ sở

' tạo từ  nhờ một phép dời hình tuỳ ý và hình  có cùng thể tích đối với cả haicơ sở

Chứng minh.

Tồn tại phép dời hình biến  thành '

Gọi hình ' là ảnh của hình  qua phép dời hình trên

Khi đó ta có V()  = V(') ' (1)

Mặt khác theo mệnh đề 1.4.6 ta có V(')  = V() ' (2)

Từ (1) và (2) suy ra V()  = V() '

Hay hình  có cùng thể tích đối với cả hai cơ sở  và '

Từ tính chất này mà từ nay về sau ta ký hiệu V() có nghĩa là số V()

chung cho mọi cơ sở  bằng nhau Khi cần tính thể tích ta có thể chọn vị trí của

 trong số các  bằng nhau đó sao cho cách tính thuận tiện nhất

P X

i i m

i

i

i P P t P P t

1

0 1

] ) 1 (

Ta có: 0  t i + (1-t) i  t + 1-t = 1 (vì i, i, t, 1-t  0 và i , i  1)

Suy ra X thuộc m - hộp

Rõ ràng Pi thuộc m hộp, i = 0 ,m (cho i = 1, j = 0 (j  i))

Vậy m - hộp là tập lồi chứa P0, P1, , Pm

2.3 Định nghĩa Cho m - hộp H(P0, P1, , Pm) Khoảng cách từ đỉnh Pm tới(m-1) - phẳng chứa đáy H’=H(P0, P1, , Pm-1) gọi là chiều cao của hộp ứng với

đáy H'

2.4 Định lý m - hộp khả thể và m - thể tích của m - hộp bằng tích của

(m-1)- thể tích đáy và chiều cao tơng ứng

Chứng minh Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo m.

a) Với m=1,2,3 định lý đã đợc chứng minh (xem tài liệu [2])

b) Giả sử định lý đúng với m-1, ta chứng minh định lý đúng với m

, 10

I i

m i m

m

n n

, 10

II i

m i m

m

N N

là xấp xỉ thiếu thứ nhất, thứ hai, , thứ i với (m-1) - thể tích hình H'

Rõ ràng: ni+1  10m-1ni ; Ni+1  10m-1Ni do đó ta có

1 1

1 1

2

) 10 (

n n

1 1

2

) 10 (

N N

lim  



 m i i i

n

) 10 (

lim  



 m i i i

V(H') = 1 1

) 10 (

lim  



 m i i i

n

) 10 (

lim  



 m i i i

N

Gọi hi là số lớp các hình m - lập phơng ở bớc chia thứ i nằm hoàn toàn trong hình H

Gọi h'i là số lớp các hình m - lập phơng ở bớc chia thứ i có ít nhất 1 điểm với hình H

Khi đó chiều cao tơng ứng với đáy H' bằng

1

1 10

' lim 10









i

i i i

h h

= d(I, Pm)

Ta có: nihi chính là số hình m - lập phơng ở bớc chia thứ i nằm hoàn toàn trong H

Nih'i chính là số hình m - lập phơng ở bớc chia thứ i có ít nhất một điểm với hình H

) 10 (

' lim )

10 (











 m i i i

i i

m i i i

h N h

n

=V(H') d(I, Pm)

 V(H) = V(H') d(I, Pm)

Hay thể tích của hộp bằng tích của thể tích hộp đáy và chiều cao tơng ứng

Điều phải chứng minh

2.5 Định thức Gram

Trong không gian ơclit En cho m - vectơ u1,u2 um

m m

m m

m m

u u

u u

u

u

u u

u u

u

u

u u

u u

u

u





































2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

và gọi là định thức Gram của hệ vectơ { u1,u2 um}

Bổ đề Định thức Gram của hệ vectơ luôn luôn không âm và bằng 0 khi và

chỉ khi hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh.

Gọi V là không gian vectơ ơclit con m chiều của En chứa (u1,u2 um)

Gọi  = {e1,e2, ,em} là sơ sở trực chuẩn của V.

Giả sử ui có toạ độ (a1i, a2i, , ami) đối với cơ sở 

1

) (

det ) , ( 

= det (At.A) = det At det A = (det A)2  0

Vậy định thức Gr (u1,u2 um) luôn luôn không âm.

+ Hệ vectơ (u1,u2 um) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi det A = 0 hay (detA)2 = 0

Từ bổ đề trên dễ dàng suy ra: Hệ vectơ (u1,u2 um) độc lập tuyến tínhkhi và chỉ khi Gr (u1,u2 um) = 0

2.6 Định lý Cho một điểm I và m - phẳng  qua S và có phơng

= (u1,u2 um)

Khi đó khoảng cách từ điểm I xuống m - phẳng  là

d(I, =

) ,

, (

) , ,

, (

2 1

2 1

m

m

u u u Gr

SI u u u Gr

) , , , (

Gr

SI u u

Vậy d(I, ) =

) , , (

) , , , (

Gr

SI u u Gr

Thật vậy, theo định lý 2.4 ta có: V(H) = V(H') d(I,Pm)

Trong đó: d(I,Pm) là khoảng cách từ đỉnh Pm xuống (m-1) phẳng chứa H'

Từ giả thiết quy nạp suy ra V(H) = Gr(u1,u2 um1) d(I,Pm) (1)

Mặt khác theo định lý 2.6 ta có: Gr(u1, , um) = Gr(u1, , um-1) d2(Pm, I) (2) Từ(1) và (2)  V(H) = Gr(u1,u2 um) Điều phải chứng minh

Chú ý Nếu f: En  En là một biến đổi afin H(I, u , ,1 un) là một n - hộp tuỳ ý En

P 2

và m - hộp H' xác định bởi (P'0, u'1, ,u'm).

Với u 'i=ui, i 1 ,m (  > 0)

Ta có: V2(H') = Gr (u'1, ,u'm) =

m m

m m

m

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

' '

'

' '

'

.

' '

'

' '

'

' '

' '

' '

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

m m

m m

u u

u u

u

u

u u

u u

u

u

u u

u u

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

= 2m Gr (u , ,1 um) = 2m V2(H)

 V(H') = m V(H) Điều phải chứng minh

2.9 Định lý (Công thức đổi đơn vị đo).

Giả sử  là hình bị chặn bất kỳ trong En H và H' là hai m - lập phơng đồng dạng

với nhau theo tỷ số ; Vm ()/H = v1, Vm ()/H' = v2

Khi đó: v2 = m v1

Chứng minh.

Ta lập hai lới L1, L2 chia hình  từ các m - lập phơng cơ sở H và H' tơng ứng

Gọi ni là số hình m - lập phơng của bớc chia thứ i của L1 nằm hoàn toàn trong 



 k i i i

n

) 10 (

'



 k i i i

n

ở bớc chia thứ i các m - lập phơng của lới L1 và L 2 đồng dạng với nhau theo tỷ

số  nên theo định lý 2.8 thì m - thể tích của chúng tỷ lệ m Từ đó suy ra V()/H

= V()/H' m

 v2 = m v1 (Điều phải chứng minh)

M O OO

0

) '

( '

O OO

) ' '

'

0 0

O M

, 1

OP t

0 0

) 1

m

i i i

i m

t t

t t

t

0

) 1 ( )

) 1 (

và ti + (1-t) i  0 (vì i, i  0, 0  t  1)

 X  S( Po, P1, , Pm)

Vậy S là tập lồi chứa các đỉnh Po, P1, , Pm

+) Chứng minh S (Po, P1, , Pm) là tập lồi nhỏ nhất chứa Po, P1, , Pm Thật vậy, giả sử S' là tập lồi chứa Po, P1, , Pm

Ta sẽ chứng minh S' chứa m - đơn hình S(Po, P1, , Pm) bằng quy nạp

 Dễ thấy S' chứa 1- đơn hình S (P0, P1)

 Giả sử S' chứa k - đơn hình S(Po, P1, , Pk), 0  k < m

 Ta chứng minh: S' chứa (k+1) - đơn hình S(Po, P1, , Pk+1).Giả sử M  S(Po, P1, , Pk+1) tức là:

, 1

0

1 0

= 1 1 1

i 1( ) 1 , 0 , 0 ,

0 0

Vậy S (Po, P1, , Pk+1)  S'

Tóm lại: Đơn hình S(Po, P1, , Pm) là tập lồi bé nhất chứa Po, P1, , Pm

3.4 Nhận xét S (Po, P1, , Pm)  H(Po, P1, , Pm)

Điều này dễ dàng suy ra từ định lý 3.3 và định lý 2.2

3.5 Bổ đề Trong kg afin An chi hai m - phẳng  và  có phơng là  và

,  //  và một 2 - phẳng  cắt  và  theo 2 giao tuyến l1 và l2 Khi đó l1//l2

' '

2 A l

A

B A

'

B B A AB

B' A'



B' A'

l 1