Điểm bất động của các phép cơ yếu trong không gian Mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN HỮU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HỮU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP CO YẾU

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HỮU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP CO YẾU

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS TRẦN VĂN ÂN

NGHỆ AN - 2014

Mục Lục

Trang

Chương I Điểm bất động của các ánh xạ co cyclic trong không gian

1.2 Điểm bất động của các ánh xạ với điều kiện co cyclic suy rộngtrong không gian mêtric 12Chương II Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian

2.1 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu cyclic trong không gianmêtric đầy đủ 192.2 Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian mêtriccompắc 26

Lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọngcủa Giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi,các bao hàm thức vi phân và nhiều nghiên cứu trong Vật lí Một số kết quả

về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đóphải kể đến nguyên lí điểm bất động Brower (1912) và nguyên lí ánh xạ coBannach (1922)

Năm 1968 Kannan đã chứng minh một định lí điểm bất động cho các ánhxạ thỏa mãn điều kiện co mà nó không đòi hỏi tính liên tục của ánh xạ.Theo hướng mở rộng này người ta đã tìm cách mở rộng nguyên lí ánh xạ

co Bannach cho các lớp ánh xạ và các không gian khác nhau bằng cách điềuchỉnh điều kiện co cơ bản hoặc thay đổi không gian Chẳng hạn điều kiện tựa

co dạng Hardy-Roger và Ciric, dạng tựa co cyclic, dạng co yếu cyclic, phép

(ψ, ϕ)-co yếu, phép(ψ, ϕ)-co yếu cyclic, phép (ψ, ϕ)-co yếu cyclic suy rộng,phép(ψ, ϕ)-co yếu đa trị, trong không gian mêtric

Gần đây, E.Karapina trong [7] đã chứng minh một định lí điểm bất động

kết quả mới về điểm bất động cho các ánh xạ co yếu cyclic trong các khônggian mêtric đầy đủ và các không gian mêtric compắc

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS TrầnVăn Ân, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này, nhằm tìm hiểu về điểmbất động của các phép co yếu trên không gian mêtric và thực hiện đề tài:

"Điểm bất động của các phép co yếu trong không gian mêtric"

Mục chính của đề tài là trình bày một cách hệ thống các kết quả, tính chấtcủa không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ; các khái niệm ánh xạ co,

một số định lí mở rộng của định lý điểm bất động trong không gian mêtric,không gian mêtric đầy đủ và không gian mêtric compắc cho các lớp ánh xạ,cho các toán tử với các điều kiện khác nhau Bố cục luận văn gồm hai chương

gian mêtric Trong chương này, mục 1 dành cho việc giới thiệu một số kiến

thức cơ sở cho việc trình bày luận văn, định lí về điểm bất động của ánh xạ

(ψ, ϕ)-co yếu cyclic suy rộng và cho một số ví dụ Mục 2 dành cho việc giớithiệu và chứng minh chi tiết một số định lí điểm bất động của các ánh xạ với

điều kiện co cyclic suy rộng

gian mêtric đầy đủ và không gian mêtric compắc Trong chương này, mục

1 chúng tôi trình bày chi tiết và chứng minh một số định lí điểm bất động

(ψ, ϕ)-co yếu đa trị, trong không gian mêtric đầy đủ Mục 2 dành cho việctrình bày và chứng minh 3 định lí về điểm bất động của phép co yếu cyclictrong không gian mêtric compắc và đưa ra 3 ví dụ minh họa

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, nghiêm túc của thầy giáo NGƯT.PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy đã chỉ dạy cho tác giả những kiến thức,kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học Nhân dịp này tác giả xingửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, phòng đào tạo Sau

đại học, quí Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Vinh đãgiúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuối cùng tácgiả xin cảm ơn gia đình, cơ quan, đồng nghiệp, bạn bè, các học viên cao họckhóa 20 Toán-Giải tích tại trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi,giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực phấn đấu học tập và nghiên cứu song luậnvăn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ýkiến của quí Thầy Cô, đồng nghiệp và bạn đọc để luận văn được hoàn thiệnhơn

Vinh, ngày 30 tháng 8 năm 2014

Nguyễn Văn Hữu

chương 1

Điểm bất động của các ánh xạ co cyclic

trong không gian mêtric

1.1 Các khái niệm cơ bản

(1) d(x, y) ≥ 0 với mọix, y ∈ X và d(x, y) = 0nếu và chỉ nếu x = y.(2) d(x, y) = d(y, x)với mọi x, y ∈ X

(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)với mọi x, y, z ∈ X

mọix, y ∈ R Khi đó d là một mêtric trên R

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X, x ∈ X, kíhiệud(x, A) = inf

y∈Ad (x, y)và gọi d(x, A)là khoảng cách từ điểm x đến tậphợpA

x, y ∈ta có

|d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y)

mọin ≥ n0ta cód (xn, x) < ε Lúc đó ta ký hiệu là lim

n→∞xn = xhayxn → x

khin → ∞

dX : M ì M → Rlà hàm cho bởidM(x, y) = d(x, y)với mọix, y ∈ M Khi

(X, d)

n, m ≥ n0 ta có d(xn, xm) < ε, hay {xn} là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu

lim

n,m→+∞d(xn, xm) = 0

mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ

1.1.12 Ví dụ 1) Tập hợp các số thựcRvới mêtricd (x, y) = |x − y|là khônggian mêtric đầy đủ.

các không gian mêtric đầy đủ

(1) Nếu M đầy đủ thìM là tập đóng

(2) Nếu M là tập đóng và X đầy đủ thì M đầy đủ

f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi là ánh xạ conếu tồn tại α ∈ [0, 1)sao cho

ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , với mọi x, y ∈ X.

đầy đủ,f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó Khi đó tồn tại duy nhất

điểmx∗ ∈ X sao chof (x∗) = x∗

x→x0sup f (x) ≤ f (x0)

x ∈ X

1.1.17 Định lí ([9]) Giả sử X là không gian tôpô và f : X → R Khi đó, f

nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới, tương ứng) khi và chỉ khi với mọi r ∈ R,tập{x ∈ X : f (x) < r} (tập{x ∈ X : f (x) > r}, tương ứng) mở trong X

liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi f nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại

x0

A → R Hàm f được gọi là bị chặn dưới (bị chặn trên) trên A nếu tồn tại

h ∈ Rsao chof (x) ≥ h(tương ứng, f (x) ≤ h) với mọix ∈ A

A

cảm sinh là một không gian compắc

gian mêtric đầy đủ(X, d)sao cho ánh xạ F : A ∪ B → A ∪ B thỏa mãn

d(Fn(x), Fn+l(x)) ≤ (kn+ kn+1+ ã ã ã + kn+l)d(x, F (x)).

Vì 0 < k < 1, từ bất đẳng thức cuối này ta suy ra rằng {Fn(x)} là dãy

kiện (1) ta có vô số phần tử của dãy {Fn(x)} nằm trongA và vô số phần tử

và A ∩ B là tập đầy đủ Vì vậy, A ∩ B 6= φ Lại nhờ điều kiện (1) ta có

F : A ∩ B → A ∩ B Từ điều kiện (2) ta suy ra F|A∩B : A ∩ B → A ∩ B là

gian mêtric đầy đủ(X, d) Cho f : A → Bvà g : B → Alà hai hàm sao cho

d(f (x), g(y)) ≤ kd(x, y) với mọix ∈ A, y ∈ B, (1.1)

trong đó k ∈ (0, 1) Khi đó, tồn tại duy nhất điểm x0 ∈ A ∩ B sao cho

và thỏa mãn các điều kiện sau

(ii) f (X1) ⊂ X2, f (X2) ⊂ X3, , f (Xm−1) ⊂ Xm, f (Xm) ⊂ X1

1.1.24 Định lý ([16]) Giả sử dãy các tập con đóng {Ai}pi=1 là một biểu diễncyclic của không gian mêtric đầy đủ(X, d)đối với ánh xạF :

vàF thỏa mãn điều kiện: Tồn tại số k ∈ (0, 1)sao cho

d(F (x), F (y)) ≤ kd(x, y), với mọix ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và với1 ≤ i ≤ p.

Khi đó,F có điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Lấy bất kỳx ∈

m

S

i=1

i = 1, , p có dãy con {Fin(x)} ⊂ {Fn(x)} sao cho {Fin(x)} nằm trong

(1) f (Ai) ⊆ Ai+1, trong đó Ap+1 = A1 vớii = 1, 2, 3, , p.

(2) Tồn tại số k ∈ (0, 1) sao cho d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y), với mọi x ∈

Ai, y ∈ Ai+1 với1 ≤ i ≤ p

thay đổi khoảng cáchnếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(ii) ϕ (t) = 0 khi và chỉ khit = 0

ϕ ∈ Φsao cho

d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) − ϕ(d(x, y), với mọi x, y ∈ X.

(hayphép ϕ-co yếu cyclic) nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i=1

d (f (x), f (y)) ≤ d (x, y) − ϕ (d (x, y)) (1.2)

víif H¬n n÷a, nÕu ta lÊy hµm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞)cho bëi ϕ (t) = 2t, víimäit ∈ [0, +∞), th× ϕlµ hµm t¨ng ngÆt vµ

ψ(d(T x, T y)) ≤ ψ(d(x, y)) − ϕ(d(x, y))

2) ψ(d(T x, T y)) ≤ ψ(d(x, y)) − ϕ(d(x, y)), víi mäi x ∈ Ai vµ y ∈

1.1.34 Định lí ([14]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ vàA1, A2, Ap

là các tập con đóng khác rỗng của X sao choX =

Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số định lý điểm bất động đối với các

ánh xạ với điều kiện co cyclic suy rộng trên các không gian mêtric

d(F (x), F (y)) < d(x, y)với mọi x, y ∈ X màx 6= y.

Fn(x0), được gọi là dãy Picard

Năm 1962, M Edelstein đã chứng minh kết quả sau đây

ánh xạ co rút từX vào chính nó Nếu với mọix ∈ X, dãy Picard{Fn(x)}cómột dãy con hội tụ trongX, thìF có một điểm bất động duy nhất

Định lý sau đây là một mở rộng kết quả của M Edelstein mà không cần

gian mêtric đầy đủ X sao cho có ít nhất một tập trong chúng là compắc,

Ai thỏa mãn các điều kiện sau

(1) F (Ai) ⊆ Ai+1 với mọi1 ≤ i ≤ p,

(2) d(F (x), F (y)) < d(x, y) với mọix ∈ Ai, y ∈ Ai+1 mà x 6= y, với mọi

1 ≤ i ≤ p

Khi đó, F có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng A1 là tập compắc

Đặt d = dist(A1, Ap) := inf{d(x, y) : x ∈ A1, y ∈ Ap} Nhờ tính compắc

lim

n→∞d (x0, un) = d Ta sẽ chứng minh rằng d = 0 Giả sử ngược lại rằng

d > 0 Khi đó nhờ điều kiện (2) trong giả thiết ta có

d Fp+1(x0), Fp+1(un)
< ã ã ã < d (F (x0), F (un)) < d (x0, un) (2.1)

tính liên tục của hàm khoảng cách, ta có

d z, (Fp+1(x0)
≤ d.

Nhờ điều kiện (2), từ bất đẳng thức này ta suy ra

d Fp−1(z), F2p(x0)
< d.

VìFp−1(z) ∈ Ap vàF2p(x0) ∈ A1, điều này mâu thuẫn với cách đặt d Vậy

d = 0 Từ tính đóng của Ap, điều này kéo theo A1 ∩ Ap 6= φ Vì thế nhờ (1)

A := ∩pi=1Ai 6= φ

Vấn đề đặt ra là ta có thể thay thế điều kiện co rút (2) trong Định lý 1.2.3bởi điều kiện co để thu được một mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach.

Để làm điều đó trước hết chúng tôi giới thiệu một mở rộng định lý Banachcủa M A Geraghty bằng cách xét họ

S = {α : R+ → [0, 1)|nếu α(tn) → 1, thìtn → 0 khin → ∞}.

ánh xạ từX vào chính nó và giả sử rằng tồn tại α ∈ S sao cho

d (f (x), f (y)) ≤ α(d (x, y))d (x, y) , với mọix, y ∈ X.

Khi đó f có một điểm bất động duy nhất z ∈ X và dãy {fn(x)} hội tụ về z

với mỗix ∈ X

gian mêtric đầy đủ X với Ap+1 = A1, α ∈ S và giả sửf :

là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

(1) f (Ai) ⊆ Ai+1 với mọi1 ≤ i ≤ p

(2) d (f (x), f (y)) ≤ α(d (x, y)) d (x, y)), với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1và vớimọi 1 ≤ i ≤ p

Khi đó,f có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh.Để chứng minh định lý này ta sẽ chứng minh rằng Tp

tiện trong ký hiệu và đơn giản trong các lập luận về sau ta quy ước rằng nếu

j > p, thì ta đặt Aj = Ainếu j = i(mod p) với 1 ≤ i ≤ p

n→∞d (xn, xn+1) = 0 Thật vậy, từ điều kiện (2) ta suy ra dãy

{d (xn, xn+1)}là đơn điệu giảm và bị chặn dưới Do đó, lim

n→∞d (xn, xn+1) =

r ≥ 0 Giả sửr > 0 Khi đó, cũng từ điều kiện (2) ta có

d (xn+1, xn+2)

d (xn, xn+1) ≤ αd (xn, xn+1) , n = 1, 2,

Lấy giới hạn 2 vế bất đẳng thức này khi n → ∞ta nhận được

αd (xn, xn+1) → 1.

vớin − m = 1(mod p) sao cho d (xn, xm) ≥ ε0 > 0 Nhờ bất đẳng thức tacó

d (xn, xm) ≤ d (xn, xn+1) + d (xn+1, xm+1) + d (xm+1, xm)

Do n − m = 1 (modp) ta suy ra xm ∈ Ai vàxn ∈ Ai+1 với chỉ số i nào đó

mà1 ≤ i ≤ p, nên nhờ điều kiện co từ bất đẳng thức trên ta nhận được

[1 − α(d (xn, xm))]ε0 < [1 − α(d (xn, xm))](d (xn, xm)

≤ d (xn, xn+1) + d (xm, xm+1)

Chon, m → ∞vớin − m = 1(modp), ta kết luận rằng α(d (xn, xm)) → 1

n→∞d (xn, xn+1) = 0, nên với mọi

ε > 0, tồn tại N1 ∈ Nsao cho với mọi n ≥ N1 ta có d (xn, xn+1) ≤ ε/p

j = p − k + 1 Vì thế, nhờ bất đẳng thức tam giác ta thu được

d (xn, xm) ≤ d (xm, xn+j) + d (xn+j, xn+j−1) + ã ã ã + d (xn+1, xn) ≤ ε.

i=1

Ai 6= φ.Nhờ lập luận trên và điều kiện (2) trong giả thiết của định lý, nên bằng

i=1

i=1

Ainày 

Định lý sau đây cho ta một mở rộng của định lý điểm bất động Wong.

gian mêtric đủ X với Ap+1 = A1 và giả sử f :

(1) f (Ai) ⊆ Ai+1 với mọi1 ≤ i ≤ p

(2) d (f (x), f (y)) ≤ ψ(d (x, y)) với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và với mọi

1 ≤ i ≤ p, trong đóψ : R+ → [0, ∞)là một hàm nửa liên tục trên bênphải và thỏa mãn 0 ≤ ψ(t) < tvới t > 0

Khi đó,f có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Để chứng minh định lý này ta tiến hành các bước tương tự

nếuj = i(mod p) Lấyx0 ∈ A1 và đặt xn = fn(x0), n = 1, 2, Khi đó tacó

n→∞d (xn, xn+1) = 0 Thật vậy, nhờ điều kiện (2) ta có dãy {d (xn, xn+1)}

n→∞d (xn, xn+1) = r ≥ 0

mk > nk ≥ k sao cho d (xmk, xnk) ≥ ε0 Hơn nữa với mỗi k ∈ N ta có thể

Cho k → ∞ và sử dụng các kết quả đã chứng minh ở trên ta thu được

ε0 ≤ ψ(ε0) Điều này mâu thuẩn với điều là ψ(t) < tvới mọi t > 0

lập luận hoàn toàn tương tự ta gặp phải mâu thuẩn như trên Do đó dãy

Ai, i = 1, , plà đầy đủ và nhờ Nhận xét 1.1.10 ta suy ra Tp

i=1

Ai 6= φ.Nhờ lập luận trên và điều kiện (2) trong giả thiết của định lý, nên bằng

i=1

i=1

i=1

Ainày 

đầy đủ vàf : M → M Nếu tồn tại một hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới

ϕ : M → RtừM vào tập các số thực Rsao cho

(2) d (x, f (x)) ≤ ϕi(x)−ϕi+1(f (x)), với mọix ∈ Aivà với mọi1 ≤ i ≤ p,trong đó mỗi hàm ϕi : Ai → R là hàm nửa liên tục dưới và bị chặndưới.

Khi đó,f có một điểm bất động

Chứng minh Giả sử x1 ∈ A1 Với mỗi n ≥ 2ta đặt xn = fn−1(x1) Khi

= ϕn(xn) − ϕm(xm).

i→∞ϕi(xi) = r và mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy, từ bất đẳng thức trên ta

chương 2

Điểm bất động của các phép co yếu cyclic trong không gian mêtric đầy đủ và

không gian mêtric compắc

2.1 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu cyclic trongkhông gian mêtric đầy đủ

p

S

i=1

làphép (ψ, ϕ)-co yếu cyclic suy rộng nếu

ψ(d(T x, T y)) ≤ ψ(M (x, y)) − ϕ(M (x, y)), (2.1)

và

M (x, y) = max

 d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y) + d(y, T x)

2



trả lời câu hỏi này

không gian mêtric đầy đủ (X, d) và T :

p

T

i=1

Ai.Chứng minh Giả sử x ∈

p

S

i=1

x ∈ Ai và T x ∈ Ai+1 Khi đó xvà T xthỏa mãn điều kiện (2.1) Vì với bất

n→∞d(Tnx, Tn+1x) = 0 Giả sử ngược

n→∞d(Tnx, Tn+1x) = r > 0 Khi đó bằng cách cho n → ∞trong

này mâu thuẫn.Vì thế ta có

lim

n→∞d(Tnx, Tn+1x) = 0.

tăng {mk}, {nk} của các số nguyên dương sao cho n ≤ mk < nk với mọi

Điều này dẫn đến mâu thuẫn Vì thế {Tnx} là dãy Cauchy Vì X là đầy

M (u, z) = d(u, z) Vì thế nhờ bất đẳng thức (2.1) ta có

ψ(d(u, z)) ≤ ψ(d(u, z)) − ϕ(d(u, z)) ≤ ψ(d(u, z)).

Vìψ, ϕ ∈ Φ, từ bất đẳng thức này ta suy ra d(u, z)) = 0, hay u = z Vì thế

nguyên dương,A1, A2, , Ap là các tập con đóng khác rỗng của X và X =

p

S

Ai Giả sửT : X → X là ánh xạ thỏa mãn

(i) X =

p

S

i=1

Ailà một biểu diễn cyclic của X đối với T

(ii) T là một phép co cyclic yếu đối với một hàm nào đó ϕ ∈ Φ

Khi đó T có điểm bất động duy nhất z ∈

p

T

i=1

Ai.Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1.3 bằng cách đặt M (x, y) = d(x, y) vớimọix, y ∈ X =

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động

CB(X) là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng, bị chặn của X và H : CB(X) ì CB(X) → Rcho bởi

H(A, B) = max

( sup

d(x, y) Khi đó H là một mêtric trên CB(X) Ta gọi

2.1.8 Định nghĩa ([18]) Giả sử {Ai}pi=1 là các tập con khác rỗng của không

p

S

i=1

T (x) ⊂ Ai+1, với mọi x ∈ Ai, với i = 1, 2, 3, , p, trong đó Ap+1 = A1.

(2) ψ(H(T x, T y)) ≤ ψ(d(x, y)) − ϕ(d(x, y)), với mọix ∈ Ai, y ∈ Ai+1

với 1 ≤ i ≤ p, trong đó ψ, ϕ ∈ ΦvàAp+1 = A1

không gian mêtric đầy đủ(X, d)sao choX =

d(xn, xn+1) ≤ H(T xn−1, T xn).

ψ(d(xn, xn+1) ≤ ψ(H(T xn−1, T xn)) ≤ ψ(d(xn−1, xn)) − ϕ(d(xn−1, xn))

Do ψ, ϕ ∈ Φ, nên điều này chỉ đúng khi à = 0 Do đó dãy {xn} là dãy

p

S

i=1

Ailà