Các phép biến đổi fourier trong không gian lp

Để có thể hiểu sâu sắc hơn và nắm vững một số kiến thức quan trọngcủa chuổi Fourier và làm tiền đề cho các bớc nghiên cứu và học tập tiếp theo,nên một trong những mong muốn của tác giả l

====Vinh /2005===

Trờng Đại học Vinh

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Các phép biến đổi fourier trong

Ngành học: cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: giải tích

Ngời hớng dẫn khoá luận:

Th.s Trần văn tự

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị hơng

====Vinh /2005===

Lời nói đầu

Các phép biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và hựctiễn, đặc biệt là trong Toán học và Vật lý Chính bản thân chuỗi Fourier đãchứa đựng những nội dung hết sức đa dạng và phong phú Nhiều kết quả của

nó là cả những công trình nghiên cứu lớn của nhiều nhà toán học đôi khinhững kết quả ấy đợc phát triển thành lý thuyết có ứng dụng rộng rải trongkhoa học và thực tiễn

Để có thể hiểu sâu sắc hơn và nắm vững một số kiến thức quan trọngcủa chuổi Fourier và làm tiền đề cho các bớc nghiên cứu và học tập tiếp theo,nên một trong những mong muốn của tác giả là tìm hiểu nghiên cứu phépbiến đổi Fourier trong một số không gian Tuy nhiên, do điều kiện thời gian

và năng lực bản thân còn những hạn chế nên trong khoá luận này tác giả chỉ

đi sâu nghiên cứu các ván đề về dạng mũ của chuổi Fourier, biến đổi Fouriertrong không gian L, một số kết quả của biến đổi Fourier đối với một số lớphàm

Luận văn này đợc chia làm 4 mục

Đ 1 Dạng mũ của chuỗi Fourier

Trong mục này, chúng tôi trình bày về dạng phức của chuỗi Fourier,chuỗi Fourier của hàm thuộc lớp L và một vài biến đổi của nó

Đ 2 Biến đổi Fourier trong không gian L

Trong mục này, trớc hêt chúng tôi trình bày về định nghĩa, định lý.Ngoài ra, chúng tôi đã đa ra đợc ví dụ minh hoạ

Đ3 Một số kết quả Fourier trong một số không gian L

Trong mục này, chúng tôi trình bày trớc hêt là phép biến đổi ngợcFourier có ví dụ, kết quả của biến đổi Fourier Trong phần kết quả này chúngtôi đã đa ra định nghĩa, định lý (có chứng minh)

Đ 4 Một số tính chất và biến đổi Fourier của một vài lớp hàm

Trong mục này, chúng tôi chủ yếu đa ra một vài biến đổi, tính chất cóchứng minh

Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành vào tháng 04/2005 tại khoaToán - Trờng Đại học Vinh Nhân dịp này tác giả xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.s Trần Văn Tự ngời đã trực tiếp giao đề tài vàtận tình hớng dẫn giúp đỡ tác giả trong qúa trình làm khoá luận

Vì thời gian và trình độ có hạn nên luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót trong nội dung và hình thức, tác giả rất mong đợc sự lợng thứ và sự

= 3 =

góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên trong và ngoài khoa đểkhoá luận đợc hoàn thiện hơn.

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,các thầy cô giáo trong khoa, tập thể sinh viên lớp 41E4 - Toán cùng các bạn

đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận vănnày

Trờng hợp nếu p = 1 ta ký hiệu: không gian L

Trờng hợp khi hàm xác định trên (a, b) thì không gian Lp đợc ký hiệulà: Lp(a,b)

ký hiệu: f đợc đọc là chuẩn của f

f( ) p = 0  f(x) ~ 0 (đpcm)

dx x f

dx x f

1

) ( )

1

) ( )

Vậy nếu f và g thuộc Lp thì f + g  Lp với mọi ,   k (đpcm)

2 Nếu f  g = 0 thì không suy ra đợc f (x) = g(x) với mọi x

1.3 Dãy hàm.

= 5 =

Dãy hàm fn(x)  Lp với n = 1, 2, …, đ ợc gọi là hội tụ trung bình theo, đdãy luỹ p đến hàm f(x)  Lp nếu thoả mãn đẳng thức

- Từ sự hội tụ theo điểm không suy ra đợc hội tụ trung bình Vì khi có

đẳng thức nlimfn(x) = f(x) thì cha suy ra đợc nó thoả mãn với tất cả các giá trịcủa x

Từ định lý 2 cho ta khái niệm về tính đủ của không gian Lp.

Vậy Lp là không gian tuyến tính, định chuẩn, đầy đủ

= 7 =

B Phép biến đổi Fourier

Đ 1 Dạng mũ của hệ Fourier

1.1 Dạng phức của chuổi Fourier.

Cho f(x)  L(-  ,  ), ( tức là hàm f(x) khả tichá tuyệt đối trên [-, ]

Từ đó suy ra tồn tại các hệ số Fourier

Theo công thức Euler ta có:

Coskx =

2

ikx ikx e

2

Nhân hai vế của (1.2) với eilx thì tính chất hội tụ đều không thay đổi do

) (

k l i

) ( )

(

k l i

k l



 )  sin(

1.2 Chuỗi Fourier của hàm số thuộc lớp L(-l , l).

Giả sử hàm f(x) xác định trên đoạn [-l, l] và thuộc không gian

L(-l, l) Ta đổi biến số: Đặt x = ul, trong đó u thay đổi trên đoạn [- ,  ].Khi đó, g(u) = f(ul) = f(x) sẽ xác định trên đoạn [- ,  ] và thuộc không gianL(-, )

Đối với chuỗi Fourier của hàm g(u) theo (1.1) và (1.5) sẽ là

g(u)eikudu

Trở về với biến x Để xác định hệ số Ck ta thực hiện đổi biến u =

l

x

thìthu đợc công thức

ik

1.3 Một vài biến đổi chuỗi Fourier.

= 9 =

Giả sử f(x)  L(-l, l), với mọi l > 0 sao cho: f(x) = 





k

Ck x l

f(u)ei  (u-x) du là hàm xác định trên toàn bộ trục số Trục số đó

đợc chia thành các đoạn có độ dài

l

1 theo các điểm 0; 

Sau đó tính giá trị của hàm

Đ 2 Biến đổi Fourier trong không gian L

f( ). iu = Vf(x) (2.2)Khi đó hàm f(x) theo công thức (2.1) đợc biểu diễn qua hàm F() nh sau:

Toán tử Fourier V (hay còn gọi là toán tử biến đổi Fourier)

Ký hiệu là: F() = Vf(x)

Công thức (2.3) đợc gọi là công thức biến đổi ngợc của hàm F() đợc

ký hiệu: V-1 và ta có công thức: f(x) = V-1F() và công thức (2.1) có thể viếtdới dạng sau: f(x) = V-1Vf(x)

Toán tử Fourier có tính chất:

2.2 Định lý Riman - Lơbe.

2.2.1 Định nghĩa.

Hàm  (a, b; x) xác định nh sau:  (a,b ; x) =

đợc gọi là hàm đặc trng trên khoảng (a,b)

Tính chất còn lại đợc chứng minh theo hai bớc:

Chứng minh đúng với các hàm đặc trng trên mọi khoảng

Chứng minh đúng với các hàm bậc thang

Để chứng minh đợc trờng hợp tổng quát ta vận dụng tính đầy đủ củatập hợp các hàm bậc thang trên L

Ta xét biến đổi của hàm (a,b; x) trên (a,b)

2

 0 khi    

Với bất kỳ hàm bậc thang h(x) đều có thể viết đợc dới dạng hợp tuyến

tính của các hàm đặc trng (a,b;x) nh sau: h(x) = 



n

k 1 k

 (ak, bk;x) Khi đóbiến đổi Fourier đợc ký hiệu H( ) và có công thức:

H() = Vh(x) = V 



n k

k k

b a

= 



n k



Giả sử f(x) thuộc L , lớp các hàm bậc thang có tính đầy đủ trong L Bởithế cho nên tồn tại một dãy các hàm bậc thang  hn(x) hội tụ đến hàm f(x)theo chuẩn ở trong L, nghĩa là đối với dãy này thì nó phải thoả mãn đẳngthức: nlim f  h n = 0 (2.5)

Giả sử  > 0 bé tuỳ ý, thì tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n >

Không phải bất kỳ một hàm liên tục Q() nào trên trục số mà thoả mãn

hệ thức: limQ() = 0 đều là biến đổi Fourier của một hàm từ không gian L

Giải:

Xét hàm Q() xác định theo công thức sau:

= 13 =

Hiển nhiên hàm Q() liên tục trên trục số và có giới hạn bằng 0, khi 

  Ta sẽ chứng minh: không có hàm q(x) thuộc L để sao cho Q() =Vq(x) Xét giới hạn sau đây: Nlim 



0q(x).sinxdx]



0q(x).sinxdx]

Víi q0(x) lµ biÓu thøc i[q(x) - q(-x)] vµ hiÓn nhiªn q0(x) thuéc L(o, ).

Ta nh©n c¶ hai vÕ cña (2.9) víi

= 15 =

Đ3 Một số kết quả Fourier trong một số không gian L

3.1 Biến đổi Fourier ngợc.

Giả sử hàm f(x) thuộc L và biến đổi Fourier của nó là hàm F() nóichung không thuộc không gian L Xác định hàm f(x) bởi f(x) = e-x nếu x > 0

và f(x) = 0 nếu x < 0thì nó thuộc không gian L

Tìm phép biến đổi Fourier của hàm f(x)

1



  i Suy ra: F() = 211 i = 2

1 2

1



  Vậy giá trị tuyệt đối của F() là vô cùng bé tơng đơng với  -1, nghĩa

là không khả tích

Do vậy không thể xác định đợc biến đổi ngợc Fourier

Để xác định đợc nó ta phải vận dụng đến giá trị chính của tích phânsuy rộng

Nh ta đã biết tích phân suy rộng của hàm liên tục Q() trên trục số từ

- đến - đợc định nghĩa bằng giới hạn: Lim 



1

) (

;

1

; 1

Giá trị chính của tích phân suy rộng với cận từ -  đến  của hàmQ() là bằng 0

Chứng minh:

Nếu hàm f(x) thuộc L thì F() = Vf(x) bị chặn và liên tục trên toàn trục

số và thoả mãn: limF() = 0 (theo định lý Riman - Lơbe)

F()e-i xd (3.3), với N > 0

Trong đẳng thức (3.3.) nếu đặt giá trị hàm F() =

f(u)ei(u- x)  f(u)ei(u- x)  f(u) 

Do đó tích phân suy rộng hội tụ đều theo tham số u Đổi thứ tự tíchphân thì ta có đẳng thức sau:

= 17 =

i (u - x)

x u

e e

i (u - x) - i (u - x)

x u i

N N





=

) (

x) - (u sinN 2i

x u

i 

=

) (

x) - (u sinN 2

x) - (u sinN 2

x) - (u sinN

sinNtdt +

nÕu  > 0 nÕu  = 0 nÕu  < 0

dt t

Nt

sin

(3.10)Cho  > 0 bé tuỳ ý Khi đó với việc chọn số A(A >1) thì t   1 suy ra

t

Nt

sin

 1, và f(x + t)  L theo biến t Do vậy giá trị tuyệt đối số hạng thứ

hai ở vế phải (3.10) có môđun nhỏ hơn

3



Số hạng thứ ba của (3.10) với việc

chọn A có thể làm cho môđun của nó nhỏ hơn

hội tụ đều với mọi N  1

Từ điều kiện Dina ta có: Ψ(t) = ) =

t

x f t x f

thuộc L, nên khi đó theo định lý Riman - Lơbe ta có hệ thức:

n

x f x

f là hữu hạn với mọi phân hoạch:

a = x0 < x1 < x2<…, đ< xn = b của đoạn [a, b]

1 2

) 0 ( ) 0

e F x

f x

= 19 =

t  A

t  >A

Trong trờng hợp riêng, nếu hàm f(x) liên tục tại x0 thì vế trái của đẳngthức (3.11) thay bằng f(x0).

Đ 4 Một số tính chất và biến đổi Fourier của một vài

lớp hàm 4.1 Biến đổi Fourier của một vài lớp hàm.

a Giả sử hàm F() là biến đổi Fourier của f(x) Khi đó F(   ) là biến

đổi Fourier của hàm f (x)

F e-ixd (vì  và * có vai trò nh nhau)Vậy F(   ) là biến đổi Fourier của hàm f (x)

b Giả sử hàm F() là biến đổi Fourier của f(x) Khi đó F(-) là biến

F eixd (2)

Đặt  = -*  d = - d* Khi  = -   * = 

 =   * = -  khi đó (2) trở thành: f(-x) =

F e-ixd

Vậy F(- ) là biến đổi Fourier của hàm f(-x)

= 21 =

c Giả sử hàm F() là biến đổi Fourier của hàm f(x) Khi đó

a

1F(

a



) làbiến đổi Fourier của hàm f(ax)

F e-iaxd(3)

a

F a

a F a

a

F  là biến đổi Fourier của f(ax) (đpcm)

d Giả sử hàm F() là biến đổi Fourier của f(x) Khi đó e-iaF() là biến

đổi Fourier của hàm f(x+a)

F e-ixd Khi đó f(x+a) =

F e-iae-ixd.Vậy e-iaF() là biến đổi Fourier của hàm f(x+a)

e Giả sử hàm F() là biến đổi Fourier của f(x) Khi đó eib F(-) là biến

đổi Fourier của hàm f(b-x)

F e-ib e-i(-)xd(3)

F eib* e-i*xd*)

F eib e-ixd (vì  và * có vai trò

F e-ixd.(2)

Đặt  = -*  d = - d* Khi  = -   * = 

 =   * = -  Khi đó (2) trở thành: f(x) =

F eixd (vì  và * có vai trò nh nhau)

Theo giả thiết f(x) = f (x) 

F

eixd

 F(-) = F(  ).Vậy nếu f(x) = f (x) thì F(-) = F( ) (đpcm)

F eixd (*)

Đặt  = -*  d = - d* Khi  = -   * = 

 =   * = -  = 23 =

F e ixd

Trong khoá luận này, chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau:

- Các khái niệm cơ bản của không gian Lp

- Trình bày một số biến đổi về dạng mũ của hệ số Fourier

- Định lý Riman - Lơbe của phép biến đổi Fourier trong không gian L

- Biến đổi ngợc và các hệ quả của phép biến đổi Fourier

- Một số tính chất và biến đổi Fourier của một vài lớp hàm

Tài liệu tham khảo

[1] P.N.Nhiazeb Các phép biến đổi tích phân Minsk (bản tiếng Nga), 1969 [2] Vũ Tuấn- Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn Giải tích toán học Tập 2,

tập 3, NXB Giáo Dục - Hà Nội, 1988

[3] OANTERUĐIN - Cơ sở giải tích toán học Tập 2( bản dịch tiếng Việt),

NXB Giáo dục - Hà Nội, 1970

= 25 =

Mục lục

Lời nói đầu 1

A Không gian L p 3

Đ 1 Các khái niệm cơ bản 3

B Các phép biến đổi Fourier 7

Đ 1 Dạng mũ của hệ số Fourier 7

Đ 2 Biến đổi Fourier trong không gian L 10

Đ 3 Một số kết quả Fourier trong không gian L 16

Đ 4 Một số tính chất và biến đổi Fourier của một vài lớp hàm 21

Kết luận 25

Tại liệu tham khảo 26

Trang