Bài toán lập phơng trình đờng thẳng ở lớp 9 thờng có các dạng sau: - Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đờng thẳng cho trớc hoặc vuông góc với 1 đờng thẳng cho t[r]
Trang 1Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b và hàm số y = ax
a Vẽ đồ thị hàm số: y = ax + b Đồ thị là đờng thẳng đi qua 2 điểm
- Tìm điểm cắt trục hoành (-b/a; 0)
- Tìm điểm cắt trục tung (0; b)
b Vẽ đồ thị hàm số: y= ax 2 Đồ thị là đờng Parabol đỉnh O
- Lập bảng giá trị, lấy ít nhất 5 cặp (x; y)
- Xác định các điểm đó trên mặt phẳng toạ độ
Chú ý: a>0: đồ thị nằm phía trên trục hoành
a<0: đồ thị nằm phía dới trục hoành
Phần bài tập áp dụng: Làm các bài tập vẽ đồ thị trong SGK trang 46, 49, 78, 79
Dạng 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị
1 Giao điểm của 2 đờng thẳng
Ta đã biết, hai đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ có 3 vị trí tơng đối:
- Hai đờng thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có 1 điểm chung duy nhất, điểm chung đó
có toạ độ (x0; y0), mà x0, y0 thoả mãn cả hai phơng trình đờng thẳng đã cho Vì vậy việc tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng quy về việc tìm nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Hai đờng thẳng song song khi và chỉ khi hệ vô nghiệm
- Hai đờng thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ vô số nghiệm
Bài 1: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3
Giải
Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:
¿
2 x −3 y=8
5 x+4 y=− 3
¿{
¿
Giải hệ ta đợc: x=1; y=-2Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là: (1; -2)
Từ bài toán 1 giáo viên gợi ý: Nếu có 1 đờng thẳng y = ax cũng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng trên thì xác định hệ số a nh thế nào?
Giáo viên đa ra bài toán 2 nh sau:
Bài 2: Xác định giá trị của a để các đờng thẳng y=ax; y=3x-10; 2x+3y=-8 đồng quy
Giải
- Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng: y=3x-10 và 2x+3y=-8
Giải tơng tự nh trên ta đợc toạ độ giao điểm là: (2, -4)
Thay x=2; y=-4 vào phơng trình y=ax ta đợc a=-2
Bài 3: Cho hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3.
a Tìm toạ độ giao điểm M của hai đờng thẳng trên
b Gọi giao điểm của hai đờng thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B Tính diện tích tam giác MAB
Giải
a Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:
¿
2 x − y =−6
x + y=3
⇔
¿x=− 1 y=4
¿{
¿
Toạ độ điểm M(-1; 4)
b Vẽ hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3 trên cùng một hệ trục toạ độ
Trang 2SMAB=1
2 MH AB
MH=|4|=4
¿
(đơn vị dài)
AB=|− 3|+|3|=6 (đơn vị dài)
SMAB=1
2 4 6=12 (đơn vị diện tích)
2 Giao điểm của đờng thẳng và Parabol
- Đờng thẳng (d): y=ax+b (a ≠ 0)
- Parabol (P): y=mx2 (m≠ 0)
Việc tìm giao điểm của (P) và (d) cũng qui về việc giải hệ 2 phơng trình Cách giải nh sau: Giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ:
¿
y=ax +b
y =mx2
¿{
¿
Trừ hai vế của hệ ta đợc: mx2=ax+b (1)
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không có điểm chung
+ Nếu (1) có nghiệm kép thì (d) và (P) tiếp xúc
+ Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài tập
Bài 1: Cho (P): y=x2
(d): y=-x+2
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Giải
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: x2=-x+2 x2+x-2=0
- Giải phơng trình ta đợc: x1=1; x2=-2
x1=1y1=12=1 x2=-2y2=(-2)2=4 Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: (1; 1); (-2; 4)
Bài 2: Cho Parabol (P) y = ax2 tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = x - 1
a Xác định hệ số a
b Tìm toạ độ tiếp điểm của (d) và (P)
Giải
a Phơng trình hoành độ của (P) và (d)
ax2-x+1=0
=1-4a Vì (P) tiếp xúc (d) = 0 1-4a=0 a=1
4
Phơng trình (P): y=1
4 x
2
b Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: 1
4 x
2
− x +1=0
x2− 4 x +4=0
Δ '=4 − 4=0⇒ x1=x2=2
⇒ y=1
4 2
2
=1
M
-1 -2
1 2 3 4
O
Trang 3Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1)
Bài 3: Cho Parabol: y=x2 Xác định hệ số n để đờng thẳng: y=2x+n tiếp xúc với (P)
Tìm toạ độ tiếp điểm
Giải
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:
x2-2x-n=0
Δ '=1+n
(P) và (d) tiếp xúc Δ '=0⇒1+n=0⇒ n=− 1
- Lúc đó phơng trình đờng thẳng là: y=2x-1
- Phơng trình hoành độ điểm chung là: x2-2x+1=0
- Giải phơng trình đợc: x1=x2=1
y=12=1 Toạ độ tiếp điểm là: (1; 1)
Bài 4: Cho Parabol: y=x2 và đờng thẳng (d): y=x+n
a Với giá trị nào của n thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) nếu n=6
Giải
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là:
x2-x-n=0
=1+4n
- Do (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt > 0
1+4n >0 n>−1
4
b Thay n=6 ta đợc: y=x+6 (d)
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:
x2-x-6=0
=1+24=25
x1=1+5
2 =3 ; x2=1− 5
⇒ y1=9 ; y2=4
Khi n=6 toạ độ giao điểm là: (3; 9) và (-2; 4)
Dạng 5: Lập phơng trình đờng thẳng.
Bài toán lập phơng trình đờng thẳng ở lớp 9 thờng có các dạng sau:
- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đờng thẳng cho trớc( hoặc vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc, hoặc tiếp xúc với một Pa ra bôn)
- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm
Cách giải:
- Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax +b (1)
- Bớc 2: Tìm a, b
- Bớc 3: Thay a, b vào (1) và chỉ ra hàm số cần tìm
Sau đây là một số bài tập và hớng dẫn học sinh cách giải
Bài 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;3) và song song với đờng thẳng y=x
Giải
- Phơng trình đờng thẳng có dạng: y=ax+b
- Vì đờng thẳng song song với đờng thẳng: y=x a=1
- Vì đờng thẳng đi qua A(1;3) 3=1.1+b b=2
Phơng trình cần tìm là: y=x+2
Bài 2: Lập phơng trình đi qua B(2;0) và vuông góc với đờng thẳng: y=2x+3(1)
Hớng dẫn: Hai đờng thẳng vuông góc thì aa' = - 1
Giải: Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (2)
Vì hai đờng thẳng (1) và (2) vuông góc nên 2a = - 1 a = −1
2
Trang 4Vì đờng thẳng (2) đi qua B (2; 0) nên 0 = 2 ( −1
2 ) + b b = 1
Phơng trình tìm đợc: y=−1
2x +1
Bài 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2) và B(2;3)
Giải:
Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b
Vì đờng thẳng đi qua A(1;2) và B(2;3) ta có hệ
¿
a+b=2
2 a+b=3
¿{
¿
Giải hệ ta đợc: a = 1; b = 1
Hàm số cần tìm là : y = x + 1
Bài 4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng:
x-3y=8 và 5x+4y=-3 và song song với đờng thẳng: y=2x-1
Hớng dẫn
- Tìm giao điểm của hai đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3
- Lập phơng trình đi qua giao điểm trên và song song với: y=2x-1
Đáp số: - Giao điểm: M(1;-2)
- Phơng trình đờng thẳng: y = 2x - 4
Bài 5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm M(3;5); N(-1;-7) Tìm toạ độ giao điểm
của các đờng thẳng với các trục toạ độ
Đáp số: y=3x-4
Đôi khi bài toán lập phơng trình đờng thẳng vận dụng chứng minh các điểm trong mặt phẳng toạ độ thẳng hàng Ví dụ bài tập sau:
Bài 6: Cho 3 điểm A(3;5); B(-1;-7); C(1;-1) Chứng minh 3 thẳng hàng.
Hớng dẫn: Lập phơng trình đờng thẳng AB Thay toạ độ điểm C vào phơng trình ta đợc hai vế
bằng nhau và kết luận 3 điểm thẳng hàng
(Đáp án: Phơng trình đờng thẳng là: y = 3x - 4)
Bài 7: Cho (P): y = x2 lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (d1): y = 2x và tiếp xúc với (P)
Giải
- Phơng trình có dạng: y=ax+b
- Vì (d) song song d1 a=2
- Vì (d) tiếp xúc (P) Phơng trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:
x2-2x-b = 0
'=1+b
- Vì tiếp xúc '=0 b = -1
Bài 8: Cho (P): y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(1;0) và tiếp xúc với (P)
Giải
- Phơng trình có dạng: y=ax+b
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d):
x2-ax-b=0
=a2+4b Vì (P) và (d) tiếp xúc =0 a2+4b=0 (1)
(d) đi qua điêmr A (1;0) a+b=0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
¿
a+b=0
a2+4 b=0
¿{
¿
Trang 5Giải hệ ta đợc:
¿
a=0 b=0
;
b=− 4
¿{
¿
Phơng trình đờng thẳng (d) là: y=0; y=4x-4
Bài 9: Cho (P): y= x
2
4 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với
(P) Tìm toạ độ tiếp điểm
Đáp số: y=x-1 toạ độ tiếp điểm là: (2;1)
y = -2x - 4 toạ độ tiếp điểm là: (-4;4)
Ta có thể vận dụng bài toán lập phơng trình đờng thẳng và bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị để giải bài toán sau
Bài 10: Cho (P): y=1
2x
2
và điểm M(-1;2) Chứng minh đờng thẳng đi qua điểm M có hệ
số góc là k luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k
Giải
- Phơng trình đờng thẳng có dạng: y=ax+b
- Vì hệ số góc là k a=k
- Vì đờng thẳng đi qua M(-1;2) -k+b=2 b=2+k
- Đờng thẳng đã cho là: y=kx+2+k (d)
- Phơng trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:
1
2x
2
=kx +2+k
¿
⇔ x2−2 kx − 4 −2 k =0
k +1¿2+3>0∀ k
Δ '=k2+4 +2 k=k2+2 k +1+3=¿
Do '>0 (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 11: Trên mặt phẳng toạ độ oxy, cho hai điểm A(1;1); B(0;-1)
a Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A;B
b Gọi C là giao điểm của đờng thẳng AB và đồ thị hàm số: y=x-2 Tìm toạ độ điểm C
c Đờng thẳng AB và đồ thị y=x-2 cắt trục hoành lần lợt tại hai điểm P và Q Tính diện tích tam giác CPQ
Đáp số: a Phơng trình y=2x-1
b Toạ độ điểm C(-1;-3)
c SCPQ=9
4 (đơn vị diện tích)
Một số bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm m để giao điểm của hai đờng thẳng mx – y = 2; 3x+my=5 nằm trong góc IV.
Đáp số: −5
2<m<
6 5
Bài 2: Cho (P): y=1
2x
2
và điểm M(-1;2)
a Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của k
b Gọi xA, xB lần lợt là hoành độ của A, B Xác định k để:
Trang 6xA+xB+2xAxB(xA+xB) đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị ấy.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1998-1999)
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y=(m+2)x+m+1
a Với m=1 Vẽ đờng thẳng (d)
b Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến
c Với giá trị nào của m thì ba đờng thẳng: y=2x-1; y=-3x+4 và y=(m+2)x+m+1 đồng qui
(Đề kiểm tra chất lợng học kỳ năm học 2001-2002-PGD Nam Sách)
Bài 4: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1;2) và (-1;-4) Tìm toạ độ giao điểm của
đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1999-2000)
Bài 5: Cho hàm số: y=(m+2)x+m-3
a Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến
b Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
c Tìm giá trị của m để đồ thị của các hàm số y=2x-1; y=-3x+4 và y=(m+2)x+m-3 đồng qui
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2000-2001)
Bài 6: Cho hàm số: y=(m-1)x+m+3
a Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y=-2x+1
b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-4)
c Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m
d Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích)
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2000-2001)
Bài 7: Cho hai điểm A(1;1), B(2;-1)
a Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A,B
b Tìm giá trị của m để đờng thẳng y=(m2-3m)x+m2-2m+2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm (0;2)
(Đề thi lớp 10 năm học 2001-2002)
Bài 8: Cho hàm số y=(2m-1)x2-2m
a Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2;-4) Vẽ đồ thị với giá trị m tìm đợc
b Chứng minh rằng đờng thẳng y=x-2 luôn cắt đồ thị trên với mọi giá trị của m
(Đề thi thử tốt nghiệp THCS)
Bài 9: Cho hàm số y=-2x2 có đồ thị là (P)
a Các điểm A(3;-18); B (√3;− 6) ; C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) hay không
b Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m;m-1) thuộc đồ thị (P)
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2001-2002)
Bài 10: Cho hàm số y=(a2-5a+6)x2+(a2+ab-6b2)x+3 (a, b là các số thực xác định)
Trang 7Hãy tìm a và b để hàm số trên là hàm số bậc nhất
(Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2001-2002- PGD-ĐT Nam Sách)
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = 1
2x
2
1 Với giá trị nào của x hàm số nhận các giá trị: 0 ;−2 ;− 1
16 , 3 .
2 A và B là 2 điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lợt là -1 và 2 Viết phơng trình
đờng thẳng đi qua A và B
(Đề thi vào lớp 10 THPT năm học 2003 – 2004 Hải D ơng ngày 10/7/2003)
Bài 12: Cho hàm số: y=f (x)=3
2x
2
1 Hãy tính: f(-2); f(3); f (√3);f (√5);f (−√2
3 ) .
2 Các điểm A(2;6); B( −√2 ;3¿ ; C(-4;-24); D( 1
√2;
3
4¿ có thuộc đồ thị của hàm số
không?