Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ GV... Tìm m để hàm số đồng biến trên... Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy nghĩa là x0  0 - Tìm tọa độ giao điểm của đồ

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

GV ĐỖ VĂN THỌ

2012

CHUYÊN ĐỀ: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN

- Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

- Bước 2: Tính đạo hàm y '

- Bước 3: Xét dấu y '

- Bước 4: Kết luận

Ta cần nhớ:

Với tam thức bậc hai   2

f x  ax bx , với c a  có hai nghiệm phân 0 biệt x x 1; 2

 Nếu f x vô nghiệm     0 hoặc có nghiệm kép   0 thì dấu của f x phụ thuộc và hệ số   a

 Nếu f x có hai nghiệm phân biệt     0 x x với 1; 2 a  ta có 0 bảng xét dấu sau:

b Nếu 1 2  

0 0

Ví dụ 1: Cho hàm số   2 

y  f x  x m x  m Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng 1  x  2

3 4 12 0

3

m m

số nghịch biến trong khoảng 2;  ĐS:  m  5 3 2

Bài 5: Cho hàm số y  x4  8mx2  9m Tìm m để hàm số đồng biến trên

Bài 10: Cho hàm số  

2

1 1

Bài 11: Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 2  

- Bước 2: Thực hiện phép chia y cho y ta được ' y  y p x'.  q x 

- Bước 3: Khi đó phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là y  q x 

b Xác định m để (d) song song với đường thẳng y  kx, với k cho trước Biện luận theo k số giá trị của m

Cách hai: “ chia y cho y’ ”

Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn:

- Nếu k  không tồn tại giá trị m 0

- Nếu k  tồn tại một giá trị m 0

- Nếu k  tồn tại hai giá trị m 0

 

 

2 2

2

2

0' 0

ax b dx e d ax bx c

y f x

ax bx c y

12

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số

2 2 2

2 1

Bài 3: Cho hàm số   3   2  

y  f x  x  m x  m x  Tìm m để hàm số có CĐ, CT với hoành độ các cực trị ở trong khoảng  2,3

ĐS: 1   m  và 4 m  3

Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 2

2 3

y  x mx  mx  có hai cực trị x x thỏa mãn 1; 2 x1  x2  4

ĐS: m  và 1 m   2

Bài 9: Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 2

3

y  x  x  mx  m có CĐ, CT đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 15 ĐS: m   2

Bài 10: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số

2

3 1

x mx y

x

 



 có hai cực trị cách đều đường thẳng   :x  y  2  ĐS: 0 m   2

- Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 (1) có hai nghiệm phân biệt 0

 y'  4ax3 3bx2  2cx  d (1)

- Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu   1 có ba nghiệm

phân biệt thỏa mãn định lý Viet

34

- Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y  f x 

- Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y  f x  qua trục hoành

Đồ thị hàm số y  f  x gồm 2 phần:

- Phần bên phải Oy của đồ thị y  f x 

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

* Đồ thị hàm số  

 

f x y

- Phần đồ thị (C): y  f x  g x  tương ứng với x sao cho

  0

g x 

* Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số

bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng”

 Giả sử phương trình có 3 nghiệm x x x1; 2; 3 x1  x2  x3 Khi

a

  thay vào (1)  tham số m

- Bước 3: Thử lại giá trị m

* Sự tiếp xúc của hai đồ thị:

- Bước 2:  C và 1  C tiếp xúc nhau 2   1 có nghiệm bội bậc chẵn

*Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y  f x tại điểm

Nếu đề bài cho các dữ kiện sau:

1 Phương trình tiếp tuyến tại M x 0; y0  trên đồ thị

- Tính y'  f ' x rồi tính f ' x 0

- Viết PTTT: y  y0  f ' x0 x  x0

2 PTTT tại điểm có hoành độ

0

x trên đồ thị (biết trước hoành

độ x của tiếp điểm ) 0

4 Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy (nghĩa là x0  ) 0

- Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy bằng cách cho

1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  nên có hệ số b

góc là k  a

- Khi đó f ' x0  k

- Tính f ' x Rồi tính 0 f ' x0  k  x0  y0

- PTTT: y  y0  a x  x0

2 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  nên hệ số b

góc tiếp tuyến là k a 1 k 1

a

- Khi đó  0

1'

* Bài toán 4: Tìm điểm để từ đó kẻ được K tiếp tuyến tới đồ thị

- Bước 1: Giả sử A x y 0; 0 Phương trình đường thẳng đi qua

 0; 0 

A x y với hệ số góc k có dạng

 d : y  k x  x A y A

- Bước 2: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có

Thay (2) vào (1) ta được: f x   f ' x x  x A  y A (3)

- Bước 3: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ

3 Hai điểm nằm về hai phía trục tung  x x1 2  0

4 Hai điểm nằm về hai phía trục hoành  y y1. 2  0

5 Hai điểm M, N cách đều đường thẳng (d) cho trước:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):

 ;   ; 

f x m  g x m (1) Tiệm cận đứng của (C) là đường thẳng

''

c x

điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

y  x

2

m  

Bài 2: Cho hàm số 1 3 2 1

3

y  x  mx  x m Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ, CT Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất

ĐS: m  0

Bài 3: Cho hàm số 3   2  

y  x  m  x  m m  x  Với giá trị nào của m thì hàm số có hai cực trị đối xứng nhau qua

đường thẳng y  x  2

4

m   m   

Bài 4: Cho hàm số y  x3 3x2  m x2  m Xác định m để điểm

CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

Cho (C) y  x4  x2 6 Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến này

vuông góc với đường thẳng 1 1

6

y  x  ĐS: y  6x 10

x



 Tìm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại

M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho 1

Cho (C) 2

x y

x





 Viết PTTT (d) của (C), biết (d) cắt Ox ở A,

cắt Oy ở B sao cho OAB tại tại O





 Tìm A thuộc Oy mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C)

ĐS: A0; 1 

Bài 15: Cho (C): 3

1

x y

Khi m  2  y'' 1    2 0  x  là điểm CĐ1  m  2thỏa mãn

Bài 20: (Khối B - 2007) Cho (C)

a Tìm m để (C) có hai điểm chung với Ox

b Chứng minh với mọi m, (C) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Bài 24: Cho y  x4 2a x2 2  b Tìm a  và b để các điểm 0

CĐ, CT của (C) tạo thành tam giác đều

ĐS: a  6 3, b tùy ý

Bài 25: Cho (C) y  x4  2mx2  3m 1 Tìm m để (C) có điểm CĐ, CT và các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Cho (C)

1

x y

Bài 32: (ĐHMB - 1972) Cho (d) y  4x  a và (C) 3

1

x y

x



 Chứng minh (d) cắt (C) ở hai điểm có hoành độ x x phân 1; 2biệt với mọi a Tìm a để x1  x2 nhỏ nhất

x y

Bài 37: (Khối D - 2006) Cho (C) y  x3 3x  2 Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A3, 20, có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) ở ba điểm phân biệt

Cho (C) y  x3 3x2  4 Chứng minh rằng mọi đường thẳng

đi qua điểm I1;2 với hệ số góc k (k   ) đều cắt (C) tại ba 3điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn AB

phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn AB thuộc trục tung

ĐS: 4  m  5