Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi đại học và cao đẳng

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ... - Biéu điễn các điểm cực trị nếu có - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điêm đặc biệt và biêu diễn b Một số tính chất

Biên soạn: /Vgzgyễn Đức Thắng - THPT /Vguyên Văn Linh — Ninh Thuan 1

V IETMATH |, COM

|——

||A.KIEN THUC CO BAN

I.) BANG DAO HAM

1 Phép toán: 2 Đạo hàm ham hop:

* Chiêu biến thiên: 7 ~ (cx+đ

- Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi

- Về các đường tiệm cận lên hệ trục toa do

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ

HỆ solemn Ỉ

u.Ina —(1+cot* w)u'

¢(a") =u'a" Ina (Néu u =x thi u'= 1)

= Duong thang x=1 1a tiém can ditng

* Bang bién thiên

- Giao của đô thị hàm số và Ox: y=0—x-1/2

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x =0 — y=l

- Đồ thị hàm số nhận điểm I(1:2) làm tâm đối xứng

VÀ

2 1

a

* Chiều biến thiên:

- Dao ham y' = 4ax’ + 2bx = 2x(2ax” + b)

- Xét dau x" từ do suy ra sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số

* Cue tri:

- Nếu qua xo mà y' đôi đấu từ (+) sang (-)

thi ham s6 dat cue daitai Xo : ycp = y(Xo)

- Néu qua xo mà y đôi dấu từ (-) sang (+)

thì hàm số đạt cực tiêu tại xo :Ycr = Y(Xo)

* Gidi han:

- lim (ax* + bx* +c)=

x00

+0,a>0 a<0

* Bang bién thién:

3 Vẽ đồ thị:

- Biêu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ

trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ các điểm đặc biệt và biêu diễn chúng

lên hệ trục toa do

điểm cực trị ( tại x = 0) hoặc 3 điểm cự trị

Biên soạn: /Vguyễn Đức Thắng —- THPT iVguyễn Văn Linh — Ninh Thuận 2

2 Khá t va vé do thi | 6 tri Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

“° SO DO KHAO SAT cóc Giải:

Hàm sô đạt cực đại tại x=0: yca=ƒ(0)= —3

Hàm số đạt cực tiêu tại hai điểm :

%y=-l1—7cr = ƒ(-1)E - 4 vàx„ =1>ycr= ƒ)— 4

Biên soan: /Vgzgyễn Đức Thắng —- THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuan 3

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm so bac ba y= ar +bx°+cx+d (a#0)

- Nếu qua xạ mà y' đôi dấu từ (+) sang (—) thì

hàm số đạt cực đại tại Xo: Ycp = YŒo)

- Nếu qua Xo ma y' đôi dấu từ (—) sang (+) thi

ham so dat cuc tiéu tai Xo: Ycr = y(Xo)

- Biéu điễn các điểm cực trị (nếu có)

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ, các điêm đặc biệt và biêu diễn

b) Một số tính chất (dùng để suy luận)

* Điểm uốn là tâm đối xứng

* Điểm uốn là trung điểm của đoạn thăng nối

điểm cực đại và cực tiểu

* Đồ thì luôn cắt trục hoàn tại ít nhất một điểm và

nhiều nhất 3 điểm

* Nếu y`=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số

có một điểm cực đại và một điểm cực tiêu, khi đó

Điều kiện Yeo Yer <9 | Yeo Yor = | Yoo Yor 79

Giao điểm với

Ham SỐ nghịch b biến trên các khoảng (— œ:0) va(2;+ 00)

Hàm số đông biến trên khoảng (0; 2)

* Cực frỊ Hàm số đạt cực đại tại x = 2 Vcb = 5

Hàm số đạt cực tiểu tai x = 0, yer = 1

* Gidi han:

Xét chiêu biến thiên của hàm số:

+Tính y va tim x; ma f (xi)=0 hoặcf (x;)khéng xac định

+ Xét dấu y và suy ra chiều biến thiên của hàm số

* Tìm cực tTỊ

* Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực

suyra tiệm cận (nếu có)

* Lập bảng biến thiên

(Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đô thị:

- Xem xét tính chất đối xứng,tuần hoàn (nếu có)

- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định

ở trên đề vẽ đô thị

- Xác định thêm một số điểm đặc biệt khác

“* BAI TAP: Khao sát và vẽ đồ thị các hàm số

III.CAC BAI TOAN UNG DUNG HAM SO THUONG GAP

A PHUONG PHAP:

* Hàm số y= Ñx) có đồ thị (C) điểm M.(xo:yo) thuộc (C)

* Tiếp tuyến tại Mocó hệ số góc k= f(xo)và có phương trình :

Yy—Yo— P (Xo)(X — Xo)

Vay tiếp tuyến : y+ 1 =3(x + 1) hay y= 3x+2

b)Ta có xo= —2 — yo= ƒ(-2)=-8§Và f(-2)=12

=> Phương trình tiếp tuyến là :

Vi du 3: Cho ham s6 y= 2x41 5 O): Viết phương

trình tiếp tuyến của đồ thị mm hệ số góc của

* VỚI xo = 3 —yo =f(3) = 7 và Yy°ay = —Š

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y — 7=-5(x-3) hay y=-—5x+ 22

* VGiX) = 1 >yo(1) =-3 va ya) = -5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y+3=-S(x-1) hay y=-5x+2

* Vậy có 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k=-—5 là

dị: y=—5x † 22 và d;: y=— 5x +2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C) y = xỶ Viết phương

trình tiếp tuyến tại các điểm trên (C):

a) Biết tiếp tuyến song song với A: y = 3x + 1

b*)Biết tiếp tuyến vuông góc với (đ): 2x +3y—4 = 0

Giải:

Ta có : y= Ấx) = xÌ.f(x) = 3x” xác định trên R

a) Vì tiếp tuyến song song với y= 3x + 1

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Với Xo= —-l > f{xX)=-1 >

Phương trình tiếp tuyến là:

y =3(x+1)-1 hay y=3x+ 2 ( thỏa nan)

Vi du 4 Cho ham s6 y = sẽ ~2x+3 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

cat tia Ox,Oy lan lugt tai A,B sao cho OB = 20A

trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 3

*Chú ý : Đường thắngd¡:y=k¡x+b¡ và dạ:y=k;x+b;

=k

+) Song song = 1) +) Vuong goc@ k4,=-1

b, # b,

* Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm

([nộc ciurơng trình nâng cao) ;

+) Hai ham so y =f(x) va y =g(x) tiêp xúc nhau tại

cac diém thoa man: } f(x) = g(x)

ƒ@)=kx+b +) y = kx + b là tiếp tuyến của y=f(x]© )y p tuyển của y=Ẩ(X)© |

B BAI TAP NANG CAO THEO CHUONG TRINH CO BAN

& Trong phần nay ta con gap cac dang toán viết phương trình tiếp tuy én tai cdc diém gid dinh

@_ Các bài toán tiếp tuyến tại điểm mà không thể xác định trực tiếp tiếp điểm

2x+]

Ví dụ I: Cho hàm số y = = C ).Viết phương

trình tiếp tuyến của đồ thị ©), "biết tiếp tuyến đó

song song với đường thăng x— 3y = 0 đông thời

tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích

bằng i

Giai:

* Hệ số góc của tiếp tuyến: k= :

* Hoành độ tiếp điểm là xạ #1 thì

* Kiêm tra điêu kiện diện tích tam giác băng Ề thì

tiếp tuyến thoả mãn là:

đường thăng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm

Uy _—>” Ty

Từ bảng biến thiên ta có d(I; A) lén nhât khi và chỉ khi t = 1 hay

+) yebt © ky, Ky, =—9

+) Giải được xo = 0; xọ = -2 Suy ra có 2 điểm M

Vi du 3: Cho ham s6 y = SS (C).Viét phuong trinh

tiếp tuyến với đô thị (C) biết khoảng cách từ tâm

đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giả sử MŒ ; yo) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đô thị

tại đó có khoảng cách từ tâm đôi xứng đên tiêp

tuyên là lớn nhât Ví dụ 5: Cho hàm số y= xÌ - 3x + 2(C„) Tìm m

để đô thị của hàm số (C„) có tiếp tuyến tạo với đường thăng đ: x+ y+7=0 góc ø ,biếtcosơ =

Giải:

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến— tiếp tuyến có

vectơ pháp tuyến z4 =(#:—]) đ có vec tơ pháp

tuyến 7, =(1;1)

In, 1L |È-] k=

Yêu cau bài toán © it nhat một trong hai phương

trinh y'=k, va y'=k, co nghiém x

đô thị là (C„).Tìm những giá trị của m đề đường

thăng y=x+l cắt đồ thị (Cm) tại 3 điêm phân biệt

A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C„) tại B

trình tiếp tuyến của đô thị hàm số (1), biết tiếp

2)Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C)

Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)

tại M vuông góc với IM

Bài 3: Cho (C„): y = xÌ + 3mx” + mx + 1.Xác định

m để (Cạ) cắt (đ): y = 1 tại 3 giao điểm C(0; 1), D

và E Tìm m đề tiếp tuyến tại D và E vuông góc

(3x; +6x;)(3x¿ + 6xe)+ (m + 1)(

3xz+6x;†+3x2+6x¿) + (m+ 1)” =- 1

> 9%x;+„} +lÑx;v.(x; +x„)+36x;x„ +3@w+]((x;+ xe}

—2xpxc + 2(Xp; + xc ))+mẺ + 2m + 2 =0 Kết hợp với (1) ta được

= 9nr —54m+36m+3(m+1)(9—2m—3)+nY +2m+2=0

©4mŸ — 13m + 11 =0 phương trình vô nghiệm Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu

lượt là giao điểm thứ 2 giữa các tiếp tuyến tai A, B,

C.Chứng minh rằng A;.B; và C¡ thăng hàng

Bai 5: Cho ham sé y= — (C) Tìm các điểm

x — thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhât

Biên soan: /Vguyễn Đức Thắng - THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuan 6

WWW.VIETMATHS.COM

A-PHUONG PHAP:

cat truc tung tai diém ( 0; m)

* Cho hai ham sé y =f{x) c6 d6 thi (C;) va y =g(x) có 46 thi (C2) +) Phương trình hoành độ giao điểm : f{x) = g(x) (1)

+) Số giao điểm của (C¡) và (C:) bằng số nghiệm của phương trình (1) +) Khi đó các giao điểm (xo; Ấ(Xo) )

* Đường thẳng y = m (y = k(m)) là đường thăng song song trục hoành

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x` - 3X” + 4 (C).Tìm toạ

độ các giao điểm của (C) và đường thẳng y = 4

Phương trình hoành độ giao điểm :

x —-3xX+4=4

xÌ-3x =0 c> x=0 hoặc x = 3

+) Với x= 0 => Giao điểm (0 ;4)

+) Với x= 3 => Giao điểm (3 :4)

Ví dụ 2 Tìm toạ độ các giao điểm của đô thị hàm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hs (C)

b) Tìm các giá trị của tham số zz đê phương trình

xÌ—6x” + m=0 có 3 nghiệm thực phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị hàm số

Dang 1: Dwa vao đồ thị (hoặc bảng biến thiên) biện luận số nghiệm của phương trình

b)Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình: —xÌ +3x”—1=mm

Hướng dân a) Đồ thị hàm số M

h =3 phương trình có 2 nghiệm m=-l

* -1< m< 3: Phuong trinh cé6 3 nghiệm

* Dựa vào đô thị hàm số y= xÌ + 3x” — 4

Ta có đô thị hàm số y =ft) (nét liên trên hình)

* Dé phương trinh đã cho vô nghiệm thì y =f(t)

BAI TAP: Cho hàm số y = x` -3x —1; gọi đồ thị hàm số là (C)

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình xÌ -3x—1—zz=0

Biên soạn: /Vguyễn Đức Thắng —- THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuận 7

*Đê hàm sô (Cm) căt đường thăng tại 2 diém phân

biệt thì (1) có 2 nghiệm khác -1, khi đó :

*Dé ham sé (Cm) cat truc hoanh tai 4 diém phan

biệt thì (1) có 4 nghiệm phân biệt ,suy ra (2) cd 2

nghiệm dương phân biệt ,khi đó :

cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt

A và B năm về cùng một phía với trục hoành

2x+l x-l

đường thăng y =zzx +2 cắt đô thị hàm số đã cho

tại 2 điểm phân biệt (ÐS: m< -12 hoặc m > 0)

Bài 2: Cho hàm số y = f(x)=x° + 3x° —4

a) khảo sát hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình xÌ+3x?+z =0 tuỳ theo giá trị của tham số m

b) Biện luận số nghiệm phương trình

xŸ +2x? +m=0 tuỳ theo giá trị của tham số m

f(x) =ax” +bx +c (a +0)A=#ˆ ~4ac, A' = b'*—ac,b' _5

* Nếu A < 0 (A’< 0) thì fx) cùng dấu avớiVxeR,

* Nếu A = 0(A'= 0) thì fx) cùng dấu a với Vx # 2a

* Nếu A > 0(A'>0).,tam thức có 2 nghiệm (x¡ < Xa)

>x f(x) cing dau a khi l _? hay x e(—a) CÁ x;;+e)

Dạng 3* Biến đôi đồ thị trong bài toán tương giao(tham khảo thêm)

ƒ(+z) nêu ƒ(x)>0

* Hàm số y=|ƒ(x)|= he neu f(x) <0 => Đồ thị hàm số y= | + (x)| gôm hai phân

Phân 1: Là phân phía trên trục hoành của đồ thị hàm số y = fox)

Phân 2: Là đối xứng của phần nằm phía dưới trục hoành của y = ƒx) qua trục hoành

f(x) néu x>0

* Himsb y= F0xD= 17 x) néu x <0 => Đồ thị hàm số y= f(\x |) gom hai phan

Phan 1: La phân phía bên phải trục tung của đồ thị hàm số y = f(x)

Phân 2: Là đối xứng của phan! qua trục tung

*_ Hàm sốy= ƒ(x+a)+b được suy ra bằng cách tịnh tiến y = ƒ(x) theo u = (—a:b)

Vi du 1 Cho ham s6 y = 2x" - 4X”

1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đô thị hàm sô (1)

2)Với các giá trị nào của phương trìnhx”|x” - 2|=m

có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phan biét khi

và chỉ khi đường thăng y= 2ø cắt đồ thị

trên trục hoành của đô thị

hàm số y = 2x* - 4x”

Phan 2: Là đối xứng của phần nằm phía đưới trục hoành của y = 2x” - 4x qua trục hoành

Dựa vào đô thị yêu câu bài toán được thoả mãn khi và chi khi: 0<2m<2 6 0<m<l]

B BAI TAP NANG CAO THEO CHUONG TRINH CO BAN

Ok] Bài toản tương giao có thêm điễu kiện về giao điểm

@ Bài toán tương giao thông qua biên đổi đô thị

@ Bài toán tương giao có sứ dụng tính chất cực trị

trình đường thắng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C)

tai hai diém phan biét A, B sao cho O là trung điêm

cua doan AB

m Tim m dé d cat (C) tai3 diém phan biét A, M, N sao cho hai tiêp tuyên của (C) tại M4 và ý vuông góc với nhau

Gọi A (Xo yo) Vì B đối xứng với A qua gốc tọa độ

O nén B(- Xo; - Yo) Vai tro cua A, B nhu nhau nén

giả Sử Xo> 0

A, B đều thuộc (C) nên có hệ:

để đường thăng d: y= 2x+m_ cắt đồ thị (C) tại 2

điểm phân biệt A B sao cho AB = 2/5

WWW.VIETMATHS.COM

Phương trình hoành độ giao điểm:

2x +mx+ m+2=0,(%z - 1) (1)

Duong thang d cat (C) tai 2 diém phan biét

©PT(1) có 2 nghiém phan biét khac -1

©m -§m-16>0 (2)

Goi A(x1; 2x1 + m) , B(X2; 2x2 + m

Ta cO X;, X2 1a 2 nghiệm của PT(1)

m X,+xX, =-— } Sen

2

Theo DL Viết ta có :

m + 2

Zz AB’ =5 (x, —x,)? +4(x, —x,) =F

cat do thi (C) tai hai diém phan biét A, B.Tim m dé

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

® l—< = om> : Phương trình vô nghiệm

® I—-m=l<©m=0: Phương trình có 1 nghiệm

® 1-7>l‹>m<0: Phương trình vô nghiệm

Giải Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thăng

d la nghiệm của phương trình

nên đường thăng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai

diém phan biệt A, B

Ta co ya = M— Xa; YB = M— Xp

=>AB* = (Xa—Xz) + (Ya Ya) = 2(m* + 12)

— AB ngắn nhất © AB’ nho nhat

©m=0.Khi đó 48 = v24

Ví dụ 6: Cho hàm số y =—x" +5x”—4 (1)Tìm m

đê đường thẳng y = m cắt đô thị hàm số (1) tại 4

điêm phân biệt A,B,C,D sao cho AB = BC = CD

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = 8x” -9x? +1.Dựa

vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của

phương trình §cosx — 9cos”x +z„ = 0 với x e[0;Z]

Giải:

Ta có: §eos°Ỉx—-9cos°x+/„=0 với xe[0:z] (1)

Đặt / = cosx (1) trở thành: 8” —9/” +zm =0 (2)

Vì xe[0:;z] nên / c[—l;1] giữa x và ft có sự tương

ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương

trình (1) và (2) băng nhau

Ta có: (2) © 8! — 9? +1=1—m (3)

Vì (3) là phương trình hoành độ giao điểm của

(Cj): y=§8/!—9/ˆ+1 với f[—1;1] và đường thang

Giai:

Đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt A.B.C.D © pt:-t? +5t—4 =m (2) c62

nghiệm phân biệt dương <> —4 < m < -

Khid6 A(—J,:m), B(-J4,:m) Cf, :m), Daft, :m)

với í,.f, là 2 nghiệm của phương trình (2) va t,>t,>0

AB=BC=CD © Jt, =3f, @ 1 = 9,

yêu cầu bài toán © pt:-t?+5t-4=m có 2 nghiệm {° 1 70, ¬ © ¬

Chú ý : học sinh có thể tính trực tiếp toa dé

A,B,C,D theo m va giai phuong trinh vô tỷ

® BÀI TẬP TƯƠNG TU:

> Ham sé bac ba:

1 Cho hàm s6 y= x° —3x°+6x (C) và đường thang d đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k Tìm k đề d cắt (C) tại 3 điêm phân biét O, A, B sao

3 Tim m đề đường thăng d: y=—x+2 cắt đô thi

(Cm) : y=x° +2mx* +3(m—1)x+2 tai ba diém

A(0;2) , B, C sao cho tam giac IBC co dién tích

bằng 24/6 với I( 1:3)

4 Cho hàm số : y=x° +(m-1)x°+x-—m-1

(C„) Tìm m đề (Œ„) cắt trục hoành tại 3 điêm

phân biệt có hoành độ dương

Chứng minh rằng đô thị hàm số luôn đi qua điểm

cô định A trên trục hoành Tìm m đề đô thị hàm số

căt trục hoành tại ba điêm phân biệt A, B, C thỏa

mãn hệ thức ; | — | +| —] =—

9 Cho ham s6 y=x+3x° +mx+1 Timm dé

đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm

phan biệt 1(0: 1), A và B.Với giá tri nao cua m, các

tiếp tuyến của đồ thị hàm số các điểm A, B vuông

góc nhau

10 Cho ham sé y=x° —3x° +2 (C).Chimg minh

răng đường thăng tuỳ ý đi qua điểm cực đại A mà

cat đô thị hàm sô tại hai điêm khác A là B và C thì

Xa + xc là hằng số.Xác định hằng số đó

> Ham tring phwong bac 4:

1 Cho ham s6 y =x*—mx? +m-1 Tim m dé đồ

thi ham s6 cat truc hoanh tai 4 diém phan biét

2 Tim m đề đô thị hàm số y = x* —2mx* +m? -1

Tìm m đề đô thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân

biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

3 Cho ham sé y =mx* —(m—3)x* +3m Timm

dé d6 thi ham s6 cat truc hoanh tai 4 diém phan

biệt với một điêm có hoành độ nhỏ hơn - 2 và 3

điểm kia có hoành độ lớn hon — 1

4 Cho hàm số y =—x” +2(m+2)x” - 2m - 3

Tìm m đề đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm

phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

5 Tìm m đẻ đô thị hàm sô

y=x`°-(3m+2)x°+3m cắt đường thắng y =- l

tại 4 điểm phân biệt có hoành độ Xị.X;.X: X; tỷ +x} +x; +x; +#X;x;x, = 4

6 Cho hàm số y = x” - ax” Tìm điều kiện đối với

a và b dé hàm số cắt đường thăng y = b tại 4 điểm phân biệt có hoành độ xị x; x; x¿ ( Xị <Xạ <1; <x¿) Trong trường hợp này, tính tông xỷ + x; + x; + x¿

7 Cho hàm số vase ox +e có đồ thị là (C) Tìm m đề tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành

độ x = m còn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân

biệt A B khác M

8 Cho hàm số y = 3x” — 2(m+1)x” + 3m — 3

Tìm m sao cho đồ thị cắt trục hoành tại đúng hai

diém A, B sao cho AB =2

> Ham nhat bién:

1 Cho hàm sé y = 22+!

x+2 thăng d: y=—x+ Tìm m đề d cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB sao cho AB ngắn nhất

2x+4

d: y=—2x+m cat d6 thi ham so tai hai diém A, B

Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB

a Tim a, b dé duong thang A: y=av+2b—4 cat

(C) tai hai diém phan biét M, N sao cho M, N đối

xứng nhau qua © TS

b Đường thăng y= x cắt đô thị (C) tại hai điêm

A, B Tim m dé đường thắng y= x+m cắt (C) tại

hai điểm C D sao cho ABCD là hình bình hành

6 Cho hàm số y= _— (C) Tìm Ä⁄Z e(C), biết

x+

rằng tiếp tuyến với (C) gi M cat Ox,Oy lần lượt

tại A và B tạo thành AOAB có điện tích bằng :

Biên soạn: /Vguyễn Đức Thắng —- THPT Nguyên Văn Linh — Ninh Thuan 11

B4: Kết luận (Qua xạ mà y' đôi dấu từ (+) sang(-)

thì Xcp= Xo: Ycp = yŒ) Ê nếu y' đôi dấu từ (-)

sang (+) thi Xcp = Xo :ycr = y(%o))

e Ciú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác

Vậy x =-3 là điểm cực đại và y.a=71

—— X=2 là điêm cực tiêu và y‹; = - 54

3AI TAP: Tim cuc tri cua cac ham so sau:

B4: Dựa vào dấu của f” (x;) suy ra cực trị

+ f£”(x;) > 0 thi ham số có cực tiểu tai xi;

+ £”(x;) < 0 thì hàm số có cực đại tại x;)

hoặc khi việc xét dấu f(x) phức tạp

Cách 2(Oui tắc II)

; €) y=2sinx + cos2x voix € [0; 7]

& Phwong phap: Cho ham so y = f(x) có f'(a)=0 và có đạo hàm cấp 2 tại x = a

* Néu ie (a)#0 => y= Zz #(a)=0 hu— 4) đạt cực trị tạix : > + — =a * *Nêu NA;

xá, Nếu Jý@)=0 on => y =ftx) đạt cực đại tại x = a es wa * Nó Nêu |

Ä=

tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiêu

Vay m= 1 1a gia tri can tim

ạt cực đại tại x = 2

Bai 2 Tim m dé hàm sô y = + —?mx” + (n ages có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có cực đại hay cực tiêu

Bai 3 Tim m để hàm số y = xÌ— 2x? +rm”xT— 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 4 Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: ƒ(x) = xÌ +ax? +bx +c đạt cực tiêu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ

thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7

Biên soạn: /Vguyễn Đức Thắng —- THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuận 12

Dang 3 Tim m đề hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nao do.’

* Hàm số y =ax” +bx? +cx+đ (a #0) có cực trị © y° = 0 có hai nghiệm phân biệt ( A > 0 )

* Hàm số y =axÌ +bx” +cx+đ (a #0) không có cực trị © y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép( A < 0)

* Hàm số y=ax”+bx+c (a <0) luôn có 1 điểm cực trị

*% Hàm sô y=ax”+bx” +c (a#0)có y'= x(4ax + 2b)=0© 5 ©) &=—-)

+) Đề hàm số có 3 cực trị thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, khi đó K > 0

+) Đề hàm số có 1 cực trị thì (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x = 0, khi đó K < 0

#? Hướng dân Hàm số có cực đại và cực tiểu

y!= x?+ 2mx +m + 6 © phương trình y'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Đề hàm số có cực trị thì phương trình y' = 0 có © 3(n+2)x” +6x + m =0có 2 nghiệm phân biệt

B BAI TAP NANG CAO THEO CHUONG TRINH CO BAN

Bai 2: Timm dé ham sé y=x

Vi du 1:Cho f(x) -a# +(cosa—3sina)x? ~8(1+eœ22)x+1 eh As — ‡1/e0s 4

1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiêu X; +X} <18 9sin’ a—6sinacosa+17cos’ a—18<0

2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại X.X).CM:x; +X} <18 (Tuôn đúng - HS tự chứng minh - Dat sinx = t

Giai- - Sử dụng định lý dâu tam thức bậc 2 ) 1.Xét phương trình:

f'(x) = 2x° + 2(cos a — 3sin a)x — 8(1 + cos 2đ) = 0

Ta có A'= (cos a— 3sin a)“ + 16(1 + cos 2a)

A'= (cosa — 3sin a)Ÿ + 32cos” a>0Va

Ví dụ 2: Cho ƒ ()=5x +(m4+)x° +(nt +4m+3)x

a) Tìm m đê hàm sô có cực đại và cực tiêu

s r “A " 4$

b) Gọi các điêm cực trỊ là xị.Xa

Tìm max của A=|x,x; — 2(x, + x;)

cosa — 5siha —0 sina=0 a) ƒ'(x)=2x” + 2(n + 1x + m” + 4m +3

> 0=cos* a+sin° a=1>0=1>Vély DS: 5 <m<-l

Ti dé suy ra A'> 0Va & f'(x)=0 cd 2 nghiém b) Ta có x;.x¿ là nghiệm phương trình: f'{x) = 0

phan biét x;,x va ham số đạt cực trị tại Xị,Xa, x, +x, =—-(m+1)

= Gsina—cosa) +8(1+cos2a) Dấu '=' khi m=-4e (—5:—1)

Trước tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai

nghiệm phân biệt xạ X›

Ví du 6: Cho hàm số: y = ` - 2mx” + 2m + mỶ

Tìm m đê hàm sô có 3 cực trị là 3 đỉnh của một

tam giác đêu

Ví dụ 4: Cho hàm số : y = 2x + ax” —12x — 13

Tim a đê hàm số có cực đại, cực tiêu và hai điêm

này cách đêu trục tung

Goi XI, X là 2 nghiệm phân biệt của pt y =0

Hai điêm cực trị cách đêu trục tung

x,=x, (loai)

=lsl=lsle[

Xị =—X;

S©x¡+x, =0 ©.§= “=0 œa=0

Ví dụ 7: Cho hàm số : y=Ñx)=x + aXx” + bx +c

có đô thị (C) Định a, b,c biết răng (C) có một

diém cuc tri (- 2 ; 0) va di qua diém A(1 ; 0)

Giải ra ta duoc a=3 ,b=0,c=-4

tham số) có đô thị là (Cm) Xac dinh m dé (C„) có

các diém cực đại và cực tiêu đối xứng nhau qua

đường phân giác thứ nhất Oxy

mđê đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiêu

cua(C,,) cat dwong tròn tâm 7 (1;1), bán kính băng

1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giac JAB dat giá trị lớn nhat

Trung điêm của đoạn 48 là /ứn; 2m”)

Điều kiện đê 4 đối xứng nhau qua đường thắng

= x là 4 vuông góc với đường thăng y = x và 7

thuộc đường thăng y = x

cách từ điêm cực đại của đô thị hàm sô đên gôc tọa

độ O bằng +/2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu

của đô thị hàm sô đên góc tọa độ O

Giải:

Ta có y'=3x”—3m

Để hàm số có cực đại, cực tiêu thì phương trình

y'=0 có hai nghiệm phân biệt <> 7m > 0

Vì y= = '—2mx+2 nên đường thăng A di qua

cực đại, cực tiêu của đô thị hàm số có phương trình

la y=—2mx+2

|2m _ l| `

oes < R=1 (Vi m > QO),

A4m” +1

chứng tỏ đường thắng A luôn cắt đường tròn tâm

1: 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực

tiêu của đô thị hàm số là B(m+1;-2-2m)

Theo giả thiệt ta có

m=-3+24/2

OA =J20B © m? +6m+1=00

m=-3-2¥2 Vay co 2 gia tri cua m la

m=—3—-2¥2 va m=-3+2V2

v2 Két hợp với điều kiện ta có: m= i

Vi du 11: Cho hàm số

y=xÌ+(1-—-2m)x” + (2— m)x + m + 2 (C„)

Tìm m đề đồ thị hàm số (C„) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiêu nhỏ hơn 1

& Kỹ năng tính nhanh cực tri ham bac

3(bô sung kiến thức):

Biên soạn: /Vguyễn Đức Thắng - THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuan 15

WWW.VIETMATHS.COM

Buocl: Xét phuong trinh f(x) = 0 ( tim diéu kién

cuc tri néu can)

Bước2: Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta cd:

Vidu 12: Tim m dé ham

số y=2x` +3w—])xˆ +6(w—2)x—1 có đường thẳng đi

qua CD,CT song song với đường thẳng y = đx + ð

Dao ham f'(x) =6(x? + (m—1)x +m —2)

f'(x)=02 x? +(m-1l)x+m-2=0

ham số c6 CD,CT © f'(x) = Ohayg(x) =0 cé hai

nghiệm phân biệt A = (m - 3)” > 0 © m # 3

.Thực hiện phép chia ƒ(x) cho ø(x) ta có

#(x)= ƒ(9)|[2x+ứn—1)]~@n—3)`x—(wỄ —3m+3)

Với m # 3 thì ø(x) =0 có hai nghiệm phân biệt

X1.X2 va ham s6 dat cuc tri tai x1.X2 : do